第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).0403考教銜接精研教材課時測評02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)微提醒討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)___________，(a，b)為f(x)的單調(diào)_____區(qū)間f'(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)__________，(a，b)為f(x)的單調(diào)_____區(qū)間f'(x)=0f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是__________單調(diào)遞增遞增單調(diào)遞減遞減常數(shù)函數(shù)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(a，b)時，f'(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈(a，b)時，f'(x)≤0恒成立.(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時，f'(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時，f'(x)<0有解.(3)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)于函數(shù)的增減.導(dǎo)數(shù)的絕對值大說明函數(shù)值變得快，曲線也就陡；絕對值小說明變得慢，曲線也就平緩.自主檢測1.(多選)下列結(jié)論正確的是A．如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性B．在(a，b)內(nèi)f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減C．若函數(shù)f(x)在定義域上都有f'(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增D．函數(shù)f(x)=x－sinx在R上是增函數(shù)√√√2.(多選)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象，則下列判斷正確的是A．在區(qū)間(－2，1)上f(x)單調(diào)遞增B．在區(qū)間(2，3)上f(x)單調(diào)遞減C．在區(qū)間(4，5)上f(x)單調(diào)遞增D．在區(qū)間(3，5)上f(x)單調(diào)遞減√√

3.函數(shù)f(x)=cosx－x在(0，π)上的單調(diào)性是A．先增后減 B．先減后增C．增函數(shù) D．減函數(shù)√因?yàn)閒'(x)=－sin

x－1<0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上是減函數(shù).故選D．4.函數(shù)f(x)=x－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為________.

(0，1)

5.(用結(jié)論)已知f(x)=x3－ax在[1，+∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是______.

3f'(x)=3x2－a≥0，即a≤3x2，又因?yàn)閤∈[1，+∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

自主練透

√

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟第一步：確定函數(shù)y=f(x)的定義域；

第二步：求f'(x)；

第三步：解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

第四步：解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.規(guī)律方法考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

師生共研典例1

討論含參函數(shù)單調(diào)性的方法1.研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

2.劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).

注意：個別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如：f(x)=x3，f'(x)=3x2≥0(f'(x)=0在x=0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).規(guī)律方法對點(diǎn)練1.已知函數(shù)f(x)=ex－ax－a，a∈R，討論f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)f(x)=ex－ax－a的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f'(x)=ex－a，當(dāng)a≤0時，f'(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，令f'(x)=ex－a>0，解得x>ln

a，令f'(x)=ex－a<0，解得x<ln

a，即f(x)在(－∞，ln

a)上單調(diào)遞減，在(ln

a，+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln

a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln

a，+∞).考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

多維探究典例2

√√

(2)函數(shù)f(x)=ex－e－x+sinx，則不等式f(x)>0的解集是A．(0，+∞) B．(－∞，0)C．(0，π) D．(－π，0)√

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的方法

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，把比較大小和解不等式問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小和解不等式問題.比較大小時，還要注意當(dāng)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)時，應(yīng)先利用函數(shù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再進(jìn)行比較；解不等式時，還要注意將常數(shù)巧妙地轉(zhuǎn)化為函數(shù)值，再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f”.規(guī)律方法典例3角度2

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=aex－lnx在區(qū)間(1，2)單調(diào)遞增，則a的最小值為A．e2 B．e C．e－1 D．e－2√

變式探究

已知函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的步驟第一步：對含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f'(x).

第二步：若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f'(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f'(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍.

第三步：驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號時，是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常數(shù)函數(shù)，舍去此參數(shù)值.規(guī)律方法

√根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時，f(x)=ex－cos

x，此時有f'(x)=ex+sin

x>0，則f(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù).f(2x－1)+f(x－2)>0?f(2x－1)>－f(x－2)?f(2x－1)>f(2－x)?2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集為(1，+∞).故選D．

[0，1)

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

返回教材呈現(xiàn)(湘教版選擇性必修二P44T14)設(shè)函數(shù)f(x)=ex－1－x－ax2，a∈R.(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a>0，求最大的常數(shù)a使ex≥1+x+ax2對所有x≥0成立.點(diǎn)評：本題與教材習(xí)題都是通過分類討論求函數(shù)的單調(diào)性，解答時首先要確定f(x)的定義域，再求得導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.課時測評

√易知f'(x)=x2－3x+a，由題意知f'(x)≤0的解集為[－1，4]，則－1與4是方程x2－3x+a=0的兩個根，故a=－1×4=－4.故選A．2.已知f'(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且y=f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是√根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0，2)時，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，+∞)時，f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，所以只有D選項(xiàng)符合.故選D．

√

4.若函數(shù)f(x)=2x2+ax+lnx在(0，+∞)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A．(－∞，－4) B．(－∞，－4]C．(－4，+∞) D．[－4，+∞)√

√√

6.(多選)若函數(shù)f(x)=ax3+3x2－x+1恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值可以是A．－3 B．－1 C．0 D．2√√

7.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf'(x)≥0的解集為___________________.

8.(2024·四川綿陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+bx2，若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y=x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________.

9.(開放題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，給出下列三個條件：①?x∈D，有f(x)+f(－x)=0；②?x∈D，有f'(x)≤0；③?x1，x2∈