專(zhuān)題17解三角形（七大題型+模擬精練）目錄：01余弦定理、正弦定理02判斷三角形的形狀03解三角形與平面向量04解三角形幾何的應(yīng)用05取值范圍、最值問(wèn)題06解三角形的實(shí)際應(yīng)用07解三角形解答題01余弦定理、正弦定理1．（2024·浙江金華·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，，.若，，，則為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【解析】由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故選：C.2．（21-22高一下·江蘇連云港·期中）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】先求得B的余弦值，再根據(jù)余弦定理可求得b的值.【解析】，∴，∴.故選：A.3．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則（

）A． B．5 C．8 D．【答案】A【分析】由三角形的面積和計(jì)算出的值，再根據(jù)余弦定理求出的值，即可得到答案【解析】由題意可知，，得，由余弦定理可得：整理得：，故選：A4．（2022·山西晉城·三模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理可求得，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求出結(jié)果.【解析】因?yàn)椋?，所以，所以的面積為.故選：C.5．（2023·四川南充·三模）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【解析】由得，所以，由于,故選：A02判斷三角形的形狀6．（21-22高二上·廣西桂林·期末）內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則一定是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用余弦定理角化邊整理可得.【解析】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C7．（2023·上海嘉定·一模）已知，那么“”是“為鈍角三角形”的（

）A．充分條件但非必要條件 B．必要條件但非充分條件C．充要條件 D．以上皆非【答案】A【分析】利用余弦定理得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【解析】，即，由余弦定理得：，因?yàn)椋裕蕿殁g角三角形，充分性成立，為鈍角三角形，若為鈍角，則為銳角，則，必要性不成立，綜上：“”是“為鈍角三角形”的充分條件但非必要條件.故選：A8．（2023·貴州·一模）在中，分別為角的對(duì)邊，且滿(mǎn)足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【解析】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A03解三角形與平面向量9．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）中，若，則（

）A．54 B．27 C．9 D．【答案】A【分析】利用正弦定理求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【解析】在中，若，由正弦定理得，所以.故選：A10．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，，則的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，即點(diǎn)四點(diǎn)共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解析】設(shè)，由，，，則，所以，又，所以，即點(diǎn)四點(diǎn)共圓，要使最大，即為圓的直徑，在中，由余弦定理可得，即，又由正弦定理可得，即的最大值為，故選：A11．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，從而點(diǎn)在度數(shù)為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，或點(diǎn)在圓的內(nèi)部，然后根據(jù)三角形中線性質(zhì)和圓的性質(zhì)可解.【解析】設(shè)，，則是與同方向的單位向量，是與同方向的單位向量，對(duì)于，即，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，因此可以得到與的夾角，在構(gòu)成等邊三角形時(shí)取等號(hào)，在如圖所示的圓中，點(diǎn)在圓上，其中劣弧的度數(shù)為，點(diǎn)在度數(shù)為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，或點(diǎn)在圓的內(nèi)部，若點(diǎn)在圓上，根據(jù)正弦定理，可得圓的半徑滿(mǎn)足，即，設(shè)為的中點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)達(dá)到最大值，此時(shí)為等邊三角形，可知，即，當(dāng)點(diǎn)在圓的內(nèi)部時(shí)，則重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，又，綜上所述，的取值范圍為.故選：D04解三角形幾何的應(yīng)用12．（2024·北京·三模）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．11 C． D．12【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用全等三角形性質(zhì)及余弦定理求出即得.【解析】在四棱錐中，連接交于，連，則為的中點(diǎn)，如圖，

正方形中，，，在與中，，則≌，于是，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)為.故選：C13．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，的平分線的長(zhǎng)為，則邊上的中線的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由設(shè)，可得的值，進(jìn)而可求得的值，結(jié)合余弦定理可得，由可求得，即可求得結(jié)果.【解析】由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因?yàn)椋?，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是邊上的中線，得.所以，中線長(zhǎng).故選：A14．（2023·四川南充·二模）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，則的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理有，再根據(jù)條件整體代換即可.【解析】因?yàn)?，則根據(jù)正弦定理和余弦定理有.故選：B.05取值范圍、最值問(wèn)題15．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則邊b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根據(jù)角A的范圍利用余弦函數(shù)性質(zhì)求解值域即可求解.【解析】由，得，，由正弦定理可得，即，所以，所以或（舍去），所以，由正弦定理得,，而，，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：B16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡(jiǎn)后換元，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可.【解析】在中，由可得，由正弦定理得：又為銳角三角形，所以，解得，令，則，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以，則.故選：C17．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】由正弦定理得，再通過(guò)兩角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?所以，顯然必為正（否則和都為負(fù)，就兩個(gè)鈍角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).所以.故選：B.18．（2023·陜西榆林·一模）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結(jié)合即可求解.【解析】因?yàn)?，由正弦定理?又，所以.因?yàn)?，所以，?故選：A.06解三角形的實(shí)際應(yīng)用19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在高的樓頂處，測(cè)得正西方向地面上兩點(diǎn)與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點(diǎn)之間的距離為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.【解析】由題意，而，所以.故選：D20．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)鐘樓的高度為，根據(jù)相似得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【解析】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，由，可得：，由，可得：，故，故，故選：D.

21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開(kāi)展測(cè)量太陽(yáng)高度角的數(shù)學(xué)活動(dòng)．太陽(yáng)高度角是指某時(shí)刻太陽(yáng)光線和地平面所成的角．測(cè)量時(shí)，假設(shè)太陽(yáng)光線均為平行的直線，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為120°，墻的高度均為3米．在時(shí)刻，實(shí)地測(cè)量得在太陽(yáng)光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線查閱嘉定的天文資料，當(dāng)天的太陽(yáng)高度角和對(duì)應(yīng)時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時(shí)刻最可能為（

）太陽(yáng)高度角時(shí)間太陽(yáng)高度角時(shí)間43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意圖形，在四邊形中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形的外接圓直徑大小，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義，算出的大小，即可得到本題的答案.【解析】如圖所示，設(shè)兩豎直墻面的交線為，點(diǎn)被太陽(yáng)光照射在地面上的影子為點(diǎn)，點(diǎn)分別是點(diǎn)在兩條墻腳線上的射影，連接，，，由題意可知就是太陽(yáng)高度角.∵四邊形中，，，∴，∴中，，可得，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是其外接圓直徑，∴設(shè)的外接圓半徑為，則，在中，，所以，對(duì)照題中表格，可知時(shí)刻時(shí)，太陽(yáng)高度角為，與最接近.故選：B.22．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測(cè)量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽(yáng)S在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置如圖所示．地球在位置時(shí)，測(cè)出；行星M繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周回到原來(lái)位置，地球運(yùn)動(dòng)到了位置，測(cè)出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項(xiàng)中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【解析】連接，在中，，又，則是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，則，在中，由余弦定理得.故選：A

07解三角形解答題23．（2024·內(nèi)蒙古·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，證明：為直角三角形.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到，求出答案；（2）由（1）得到，結(jié)合，得到，化簡(jiǎn)得到，，得到答案.【解析】（1）由，可得，所以，所以，則，即.（2）證明：由（1）可得.又，所以，即，故，所以，即，因?yàn)?，所以為銳角，解得（負(fù)值舍去），即，所以為直角三角形.24．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）三角形三內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.(1)求角的大??；(2)若的面積等于，為邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線的長(zhǎng)最短時(shí)，求邊的長(zhǎng).【答案】(1)(2).【分析】（1）由正弦定理以及條件邊化角得，再結(jié)合輔助角公式即可求解.（2）先由面積公式得，再在中，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得中線的最小值，進(jìn)而可得長(zhǎng).【解析】（1）在中，由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，所以，即，又，則，所以.（2）由（1）得，所以，在中，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)，故.25．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.(1)求角的大?。?2)若為銳角三角形且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求得答案；（2）由正弦定理得，，代入三角形面積公式化簡(jiǎn)得，結(jié)合角的范圍求出答案.【解析】（1）由正弦定理得，，所以，即，化簡(jiǎn)得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.26．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別記為，，，且．(1)若，求的大?。?2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再利用兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求得的關(guān)系，即可得解；（2）利用正弦定理求出，再根據(jù)的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解析】（1）因?yàn)椋?，即，即，所以，即，而，所以或，所以或（舍去），又因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）得，因?yàn)?，所以，，則，又由，得，所以，所以，所以.27．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用二倍角公式及和角公式代入化簡(jiǎn)解方程即可.（2）根據(jù)銳角三角形得B的范圍，運(yùn)用正弦定理邊化角，將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的對(duì)勾函數(shù)，研究其值域即可.【解析】（1）∵，∴，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，又∵，∴，又，即，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，與△ABC為銳角三角形矛盾，所以不成立；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以．由，得．所以，故．因?yàn)?，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為．一、單選題1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理，求出，從而求出角.【解析】由正弦定理得，，所以，解得，由為三角形內(nèi)角，所以，故選：B.2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，“”是“”（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理和正切函數(shù)的性質(zhì)以及充要條件的判定即可得到答案.【解析】當(dāng)，根據(jù)正弦定理得，顯然A，，則，因?yàn)锳，B為三角形內(nèi)角，則,則充分性成立；當(dāng)，因?yàn)锳，B為三角形內(nèi)角，則不會(huì)存在的情況，則A，，則，則，根據(jù)正弦定理則，故必要性成立；則“”是“”的充分必要條件.故選：C．3．（2024·江西九江·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ?，因?yàn)椋归_(kāi)化簡(jiǎn)，又.故選:B.4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，若，，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】利用正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.【解析】，由正弦定理得，又，所以，即，得，即，又，所以，而，由余弦定理得.故選：A5．（2024·浙江紹興·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則A等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題先根據(jù)誘導(dǎo)公式對(duì)條件式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用余弦定理進(jìn)行邊角互化，即可得出答案.【解析】因?yàn)椋?，即，如圖，過(guò)B點(diǎn)作于D，可知，，所以，所以，又，所以.故選：D.6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求得，進(jìn)而利用三角形的面積公式求得正確答案.【解析】由余弦定理得，即，所以三角形的面積為.故選：A7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，且滿(mǎn)足，，則面積取最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合正、余弦定理，得到角的關(guān)系，再用角的三角函數(shù)表示的面積，換元，利用導(dǎo)數(shù)的分析面積最大值，對(duì)應(yīng)的角的三角函數(shù)值，再利用角的關(guān)系，求.【解析】因?yàn)?，又由余弦定理：，所以，所?由正弦定理得：，所以或（舍去），故.因?yàn)?，所?由正弦定理：.所以.因?yàn)?，所?設(shè)，.則，由，由，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.即當(dāng)時(shí)，的面積最大.此時(shí).故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題用到了三倍角公式，因?yàn)橛行┙滩牟恢v這個(gè)公式，所以該公式的記憶或推導(dǎo)在該題中就格外重要.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，若，且，則能取到的值有（

）A．5 B．4 C． D．3【答案】B【分析】由可求，再根據(jù)，化簡(jiǎn)可得，用對(duì)應(yīng)角的正弦來(lái)表示邊，得，最后結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式即可求解.【解析】由，又，所以，則．因?yàn)?根據(jù)正弦定理得，故，即，所以，即．根據(jù)正弦定理得，所以，．因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，，即，，解得，所以．因?yàn)?，所以，則，所以，即．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于用正弦定理的邊角互化，求出和用對(duì)應(yīng)角表示對(duì)應(yīng)邊，將所求邊長(zhǎng)之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)所求角的范圍來(lái)求值域即可.二、多選題9．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，若滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)，則邊的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8【答案】BC【分析】根據(jù)即可求解.【解析】根據(jù)題意可得：滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)，可得，故選:BC10．（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的重心，，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得出，可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合，利用平面向量的數(shù)量積定義、數(shù)量積運(yùn)算法則及基本不等式可判斷選項(xiàng)B；由和平面向量數(shù)量積的定義可得出，由求出，再根據(jù)三角形面積公式可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合選項(xiàng)B得出，再利用余弦定理即可判斷選項(xiàng)D.【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)槭堑闹匦?，所以點(diǎn)是中點(diǎn)，，則.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)?，即，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．（2024·貴州黔南·二模）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且的面積為.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．的取值范圍為C．若，則的外接圓的半徑為2D．若，則的面積的取值范圍為【答案】ABD【分析】對(duì)A：借助面積公式與余弦定理計(jì)算即可得；對(duì)B：借助銳角三角形定義與三角形內(nèi)角和計(jì)算即可得；對(duì)C：借助正弦定理計(jì)算即可得；對(duì)D：借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來(lái)，結(jié)合的范圍即可得解.【解析】對(duì)A：由題意可得，由余弦定理可得，即有，即，由，故，即，故A正確；對(duì)B：則，，解得，故B正確；對(duì)C：由正弦定理可得，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，則，由正弦定理可得，即，即，由，則，故，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來(lái)，結(jié)合的范圍即可得解.三、填空題12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）在中，若，，，則.【答案】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求解，再由正弦定理可得解.【解析】由已知，，則，，又，所以，，又根據(jù)正弦定理，則，故答案為：.13．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)D在線段上，，，，點(diǎn)M是外接圓上任意一點(diǎn)，則最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圓半徑，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合數(shù)量積公式，可得的最大值，即可得答案.【解析】由題意可得：，，所以，解得，則，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的線性運(yùn)算知，，所以，由圖可知：．當(dāng)且同向時(shí)，，所以最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量解題方法1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過(guò)作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí)，務(wù)必要注意兩向量的方向．14．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，若分別在邊和上，且把的面積分成相等的兩部分，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題目中，可求出b及角B大小，再根據(jù)三角形面積公式及題意可求出，進(jìn)而可得出，根據(jù)余弦定理表示出，最后利用基本不等式即可求出的最小值.【解析】由，得，即，解得，，，令，令，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求出與的等量關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)求出的最小值.四、解答題15．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，的外接圓半徑為.(1)求的面積；(2)求邊上的高.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理可求出，利用面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形面積公式即可求.【解析】（1）在中，由正弦定理可得，，則，根據(jù)余弦定理，得，所以，所以，所以.（2），所以.16．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）在中，.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，由余弦定理，?（2）因?yàn)?，即，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，周長(zhǎng)，即周長(zhǎng)的最大值為17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)