第1頁(yè)/共1頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集運(yùn)算直接求解.【詳解】集合，，故.故選：C.2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】代入正弦型函數(shù)的最小正周期公式，即可求得.【詳解】函數(shù)的最小正周期是.故選：D3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得解.【詳解】函數(shù)不是奇函數(shù)，故A不正確；函數(shù)是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B不正確；函數(shù)是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故C不正確；圖象如圖：所以函數(shù)是奇函數(shù)且是增函數(shù).故選：D4.已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁浇饧癁?，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯(cuò)誤；，故C正確.故選：C.5.函數(shù)，且)與函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)和分類(lèi)討論然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸為，且對(duì)應(yīng)方程的判別式，故A、B均不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸為，且對(duì)應(yīng)方程的判別式，故C滿(mǎn)足．D不滿(mǎn)足.故選：C.6.“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)的等價(jià)條件，再由充分、必要條件的定義即可得解.【詳解】若在上為增函數(shù)，則，即，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A．7.在中，已知，判斷的形狀（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得，再利用正弦的差角公式化簡(jiǎn)整理得，進(jìn)而推斷，答案可得.【詳解】解：根據(jù)正弦定理由，得，即，所以，所以，所以為等腰三角形.故選：D.8.已知函數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)B.點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C.函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向左平移得到D.若，則的值域?yàn)椤敬鸢浮緼B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷A，由正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判斷B，根據(jù)圖像的平移判斷C，由正弦型函數(shù)的值域判斷D.【詳解】，若，則，因此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，A項(xiàng)正確；，因此點(diǎn)是函數(shù)圖像一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B項(xiàng)正確；由函數(shù)的圖像向左平移得到，因此由函數(shù)的圖像向左平移不能得到函數(shù)的圖像，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，則，因此的值域?yàn)椋珼項(xiàng)不正確.故選：AB二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.給定數(shù)集，若對(duì)于任意，有，且，則稱(chēng)集合為閉集合，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A.集合為閉集合B.正整數(shù)集是閉集合C.集合為閉集合D.若集合為閉集合，則為閉集合【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)新定義依次判斷，舉反例得到ABD錯(cuò)誤，取，得到，，C正確，得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)集合時(shí)，而，集合不為閉集合，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，是任意的兩個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不是正整數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)}時(shí)，設(shè)，則，，正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)是閉集合，且，而，此時(shí)不為閉集合，錯(cuò)誤．故選：ABD．10.下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：AC11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心B.直線(xiàn)是的對(duì)稱(chēng)軸C.在區(qū)間上單調(diào)減D.的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象【答案】CD【解析】【分析】由圖知且求，再由過(guò)求，將A、B中的點(diǎn)代入驗(yàn)證是否為對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷給定區(qū)間是否為減區(qū)間，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷平移后解析式是否為.【詳解】由圖知：且，則，∴，可得，又過(guò)，∴，得，又，∴當(dāng)時(shí)，.綜上，.A：代入得：，故錯(cuò)誤；B：代入得：，故錯(cuò)誤；C：由，故在上單調(diào)遞減，則上遞減，而，故正確；D：，故正確；故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)部分圖象確定的參數(shù)，寫(xiě)出解析式，進(jìn)而根據(jù)各選項(xiàng)的描述，判斷對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)區(qū)間及平移后的解析式.三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍______________【答案】【解析】【分析】由得到，然后分B為空集和不是空集討論，當(dāng)B不是空集時(shí)利用端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式求解．【詳解】解：，，由，，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，解得．綜上，．故答案為：．13.已知為鈍角，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】解：，，為鈍角，.故答案為：14.設(shè)則的值是________．【答案】24【解析】【分析】由分段函數(shù)的解析式知：即可求值.【詳解】∵當(dāng)時(shí)，，又，∴，故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查了利用分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知，是方程的兩根，求下列各式的值.（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)兩角和的正切公式計(jì)算可得；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及和差角公式得到，，從而代入計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋欠匠痰膬筛?，所以，，所?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，即，又，所以，所以，所?16.已知函數(shù)且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.（1）求的解析式；（2），求實(shí)數(shù)x的值；【答案】（1）（2）或16【解析】【分析】（1）由已知得，，從而求解析式即可；（2），即或3，即可求實(shí)數(shù)x的值；【小問(wèn)1詳解】由已知得，，，（且）解得，；故；【小問(wèn)2詳解】，即或3，∴或3，∴或16.17.已知關(guān)于x的函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點(diǎn)．（1）求m的范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為－4，求m的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分類(lèi)討論函數(shù)的類(lèi)型，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義求出零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，根據(jù)判別式列式可求出結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有兩個(gè)不同的實(shí)根，利用判別式和韋達(dá)定理列式可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)化為，令，得，此時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有零點(diǎn)，可得，即且，綜上所述：的取值范圍是：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，解得且，設(shè)(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的兩個(gè)不同的實(shí)根分別為和，則，，因?yàn)椋?，所以，解得，符合題意綜上所述：.18.設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)的解析式，由，可得，從而得到答案.（2）化簡(jiǎn)可得，由余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得答案.【小問(wèn)1詳解】，即．因?yàn)?，所以，即，即，所求函?shù)的值域?yàn)椋拘?wèn)2詳解】，即令，，得，，即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需，即，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19.已知是定義在上的奇函數(shù)，且若對(duì)任意的m，，，都有.（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若不等式對(duì)任意和都恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用單調(diào)性的定義，令，計(jì)算，證得在上遞增，由此結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，求