2025數(shù)字信號(hào)處理教程例題及答案例題1：離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算與特性分析已知離散時(shí)間信號(hào)\(x[n]=\begin{cases}2^n,&n=-2,-1,0\\3,&n=1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，完成以下操作并繪制波形：（1）計(jì)算\(x_1[n]=x[n-2]+x[-n]\)；（2）判斷\(x[n]\)是否為能量信號(hào)，計(jì)算其能量\(E\)。解答：（1）首先確定\(x[n]\)的非零區(qū)間為\(n=-2,-1,0,1\)，對(duì)應(yīng)值分別為\(x[-2]=2^{-2}=0.25\)，\(x[-1]=2^{-1}=0.5\)，\(x[0]=2^0=1\)，\(x[1]=3\)。-\(x[n-2]\)是\(x[n]\)右移2位，非零區(qū)間變?yōu)閈(n=0,1,2,3\)，對(duì)應(yīng)值：\(x[-2+2]=x[0]=1\)（\(n=0\)），\(x[-1+2]=x[1]=3\)（\(n=1\)），\(x[0+2]=x[2]=0\)（\(n=2\)，原\(x[2]=0\)），\(x[1+2]=x[3]=0\)（\(n=3\)）。因此\(x[n-2]\)的非零值為\(n=0\)時(shí)1，\(n=1\)時(shí)3，其余為0。-\(x[-n]\)是\(x[n]\)反褶，非零區(qū)間變?yōu)閈(n=-1,0,1,2\)，對(duì)應(yīng)值：\(x[-(-1)]=x[1]=3\)（\(n=-1\)），\(x[-0]=x[0]=1\)（\(n=0\)），\(x[-1]=x[1]=0.5\)（\(n=1\)），\(x[-2]=x[2]=0.25\)（\(n=2\)）。將\(x[n-2]\)和\(x[-n]\)相加，逐點(diǎn)計(jì)算\(x_1[n]\)：-\(n=-1\)：\(x[n-2]=0\)，\(x[-n]=3\)，故\(x_1[-1]=3\)；-\(n=0\)：\(x[n-2]=1\)，\(x[-n]=1\)，故\(x_1[0]=2\)；-\(n=1\)：\(x[n-2]=3\)，\(x[-n]=0.5\)，故\(x_1[1]=3.5\)；-\(n=2\)：\(x[n-2]=0\)，\(x[-n]=0.25\)，故\(x_1[2]=0.25\)；-其他\(n\)處\(x_1[n]=0\)。波形繪制：橫軸為\(n\)，縱軸為幅值，在\(n=-1\)（3）、\(n=0\)（2）、\(n=1\)（3.5）、\(n=2\)（0.25）處標(biāo)記離散點(diǎn)，其余位置為0。（2）能量信號(hào)的定義是能量有限（\(0<E<\infty\)）。計(jì)算\(x[n]\)的能量：\[E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=|x[-2]|^2+|x[-1]|^2+|x[0]|^2+|x[1]|^2=0.25^2+0.5^2+1^2+3^2=0.0625+0.25+1+9=10.3125\]由于\(E\)為有限正值，故\(x[n]\)是能量信號(hào)。例題2：Z變換的求解與逆變換已知離散時(shí)間信號(hào)\(x[n]=(0.5)^nu[n]+2^nu[-n-1]\)，求其Z變換\(X(z)\)及收斂域（ROC），并通過部分分式法求逆Z變換驗(yàn)證。解答：將\(x[n]\)拆分為兩部分：\(x_1[n]=(0.5)^nu[n]\)（右邊序列），\(x_2[n]=2^nu[-n-1]\)（左邊序列）。（1）\(x_1[n]\)的Z變換：右邊序列\(zhòng)(a^nu[n]\)的Z變換為\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)，ROC為\(|z|>|a|\)。故\(X_1(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}=\frac{z}{z-0.5}\)，ROC：\(|z|>0.5\)。（2）\(x_2[n]\)的Z變換：左邊序列\(zhòng)(a^nu[-n-1]=-a^nu[n]\)的鏡像（\(n\to-n\)），其Z變換為\(\frac{-1}{1-a^{-1}z}\)（推導(dǎo)：\(\sum_{n=-\infty}^{-1}(2)^nz^{-n}=\sum_{k=1}^{\infty}(2)^{-k}z^{k}=\sum_{k=1}^{\infty}(z/2)^k=\frac{z/2}{1-z/2}=\frac{z}{2-z}\)，當(dāng)\(|z/2|<1\)即\(|z|<2\)）。更直接的方法：\(x_2[n]=2^nu[-n-1]=\begin{cases}2^n,&n\leq-1\\0,&n\geq0\end{cases}\)，其Z變換為\(\sum_{n=-\infty}^{-1}2^nz^{-n}=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}z^{k}=\sum_{k=1}^{\infty}(z/2)^k\)，這是等比級(jí)數(shù)，收斂條件為\(|z/2|<1\)即\(|z|<2\)，和為\(\frac{z/2}{1-z/2}=\frac{z}{2-z}\)。因此\(X(z)=X_1(z)+X_2(z)=\frac{z}{z-0.5}+\frac{z}{2-z}\)。合并分式：\[X(z)=\frac{z(2-z)+z(z-0.5)}{(z-0.5)(2-z)}=\frac{2z-z^2+z^2-0.5z}{(z-0.5)(2-z)}=\frac{1.5z}{(z-0.5)(2-z)}\]收斂域?yàn)閮刹糠諶OC的交集，即\(0.5<|z|<2\)。（3）逆Z變換驗(yàn)證：將\(X(z)/z=\frac{1.5}{(z-0.5)(2-z)}=\frac{A}{z-0.5}+\frac{B}{2-z}\)，解得：\(1.5=A(2-z)+B(z-0.5)\)，令\(z=0.5\)，得\(1.5=A(2-0.5)\)→\(A=1\)；令\(z=2\)，得\(1.5=B(2-0.5)\)→\(B=1\)。故\(X(z)/z=\frac{1}{z-0.5}+\frac{1}{2-z}\)，即\(X(z)=\frac{z}{z-0.5}+\frac{z}{2-z}\)。對(duì)于\(\frac{z}{z-0.5}\)，ROC\(|z|>0.5\)對(duì)應(yīng)右邊序列\(zhòng)((0.5)^nu[n]\)；對(duì)于\(\frac{z}{2-z}=\frac{1}{1-2z^{-1}}\cdotz^0\)（調(diào)整形式），ROC\(|z|<2\)對(duì)應(yīng)左邊序列\(zhòng)(-2^nu[-n-1]\)（注意原左邊序列的Z變換公式為\(\frac{a}{z-a}\)對(duì)應(yīng)\(-a^nu[-n-1]\)，此處\(\frac{z}{2-z}=\frac{1}{2/z-1}=-\frac{1}{1-2/z}=-\sum_{n=1}^{\infty}(2/z)^n=-\sum_{n=1}^{\infty}2^nz^{-n}\)，對(duì)應(yīng)\(n\geq1\)時(shí)系數(shù)為\(-2^n\)，即\(x_2[n]=-(-2^n)u[-n-1]=2^nu[-n-1]\)，與原信號(hào)一致）。因此逆Z變換結(jié)果為\(x[n]=(0.5)^nu[n]+2^nu[-n-1]\)，與題目給定一致。例題3：離散傅里葉變換（DFT）的計(jì)算與性質(zhì)應(yīng)用已知有限長序列\(zhòng)(x[n]=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0,1,2,3\)），計(jì)算其4點(diǎn)DFT\(X[k]\)，并利用DFT的循環(huán)卷積性質(zhì)，求\(x[n]\)與自身的4點(diǎn)循環(huán)卷積\(y[n]=x[n]\circledast_4x[n]\)。解答：（1）4點(diǎn)DFT的定義為\(X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{kn}\)，其中\(zhòng)(W_4=e^{-j2\pi/4}=e^{-j\pi/2}=-j\)。計(jì)算各\(k=0,1,2,3\)時(shí)的\(X[k]\)：-\(k=0\)：\(X[0]=1+2+3+4=10\)；-\(k=1\)：\(X[1]=1\cdotW_4^0+2\cdotW_4^1+3\cdotW_4^2+4\cdotW_4^3=1+2(-j)+3(-1)+4(j)=(1-3)+(-2j+4j)=-2+2j\)；-\(k=2\)：\(X[2]=1\cdotW_4^0+2\cdotW_4^2+3\cdotW_4^4+4\cdotW_4^6=1+2(-1)+3(1)+4(-1)=1-2+3-4=-2\)（因\(W_4^4=W_4^0=1\)，\(W_4^6=W_4^{2}=-1\)）；-\(k=3\)：利用共軛對(duì)稱性（實(shí)序列的DFT滿足\(X[3]=X^[1]\)），故\(X[3]=-2-2j\)（直接計(jì)算驗(yàn)證：\(1+2j+3(-1)+4(-j)=1-3+2j-4j=-2-2j\)）。因此\(X[k]=\{10,-2+2j,-2,-2-2j\}\)。（2）循環(huán)卷積\(y[n]\)的DFT滿足\(Y[k]=X[k]\cdotX[k]\)（4點(diǎn)DFT相乘），故先計(jì)算\(X[k]^2\)：-\(Y[0]=10^2=100\)；-\(Y[1]=(-2+2j)^2=4-8j+(2j)^2=4-8j-4=-8j\)；-\(Y[2]=(-2)^2=4\)；-\(Y[3]=(-2-2j)^2=4+8j+(2j)^2=4+8j-4=8j\)。對(duì)\(Y[k]\)進(jìn)行4點(diǎn)逆DFT（IDFT）得到\(y[n]\)，IDFT公式為\(y[n]=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}Y[k]W_4^{-kn}\)。計(jì)算各\(n=0,1,2,3\)時(shí)的\(y[n]\)：-\(n=0\)：\(y[0]=\frac{1}{4}(100-8j+4+8j)=\frac{1}{4}\times104=26\)；-\(n=1\)：\(y[1]=\frac{1}{4}(100\cdotW_4^0+(-8j)W_4^{-1}+4W_4^{-2}+8jW_4^{-3})\)\(W_4^{-1}=e^{j\pi/2}=j\)，\(W_4^{-2}=e^{j\pi}=-1\)，\(W_4^{-3}=e^{j3\pi/2}=-j\)，代入得：\(\frac{1}{4}[100+(-8j)(j)+4(-1)+8j(-j)]=\frac{1}{4}[100+8-4+8]=\frac{1}{4}\times112=28\)；-\(n=2\)：\(y[2]=\frac{1}{4}(100+(-8j)W_4^{-2}+4W_4^{-4}+8jW_4^{-6})\)\(W_4^{-4}=W_4^0=1\)，\(W_4^{-6}=W_4^{-2}=-1\)，代入得：\(\frac{1}{4}[100+(-8j)(-1)+4(1)+8j(-1)]=\frac{1}{4}[100+8j+4-8j]=\frac{1}{4}\times104=26\)；-\(n=3\)：利用循環(huán)卷積的對(duì)稱性（實(shí)序列循環(huán)卷積仍為實(shí)序列），或直接計(jì)算：\(y[3]=\frac{1}{4}(100+(-8j)W_4^{-3}+4W_4^{-6}+8jW_4^{-9})\)\(W_4^{-3}=-j\)，\(W_4^{-6}=W_4^{-2}=-1\)，\(W_4^{-9}=W_4^{-1}=j\)，代入得：\(\frac{1}{4}[100+(-8j)(-j)+4(-1)+8j(j)]=\frac{1}{4}[100-8-4-8]=\frac{1}{4}\times80=20\)（驗(yàn)證：直接計(jì)算循環(huán)卷積\(y[n]=\sum_{m=0}^{3}x[m]x[(n-m)_4]\)，當(dāng)\(n=0\)時(shí)，\(m=0\)取\(x[0]x[0]\)，\(m=1\)取\(x[1]x[3]\)，\(m=2\)取\(x[2]x[2]\)，\(m=3\)取\(x[3]x[1]\)，即\(1×1+2×4+3×3+4×2=1+8+9+8=26\)，與IDFT結(jié)果一致；\(n=1\)時(shí)，\(m=0\)取\(x[0]x[1]\)，\(m=1\)取\(x[1]x[0]\)，\(m=2\)取\(x[2]x[3]\)，\(m=3\)取\(x[3]x[2]\)，即\(1×2+2×1+3×4+4×3=2+2+12+12=28\)，同樣一致）。例題4：快速傅里葉變換（FFT）的算法實(shí)現(xiàn)與復(fù)雜度分析已知8點(diǎn)序列\(zhòng)(x[n]\)，其8點(diǎn)FFT采用基-2時(shí)間抽?。―IT）算法實(shí)現(xiàn)。（1）畫出信號(hào)流圖的蝶形運(yùn)算結(jié)構(gòu)；（2）計(jì)算FFT與直接計(jì)算DFT的乘法次數(shù)之比。解答：（1）基-2DITFFT的8點(diǎn)信號(hào)流圖分為3級(jí)（因\(8=2^3\)），每級(jí)包含\(N/2=4\)個(gè)蝶形單元。-第1級(jí)（分組長度2）：輸入為自然順序\(x[0],x[1],x[2],x[3],x[4],x[5],x[6],x[7]\)，每組2點(diǎn)，間隔\(N/2=4\)，旋轉(zhuǎn)因子\(W_8^0=1\)（因\(k=0\)時(shí)\(W_8^{0×1}=1\)）。蝶形運(yùn)算為\(X_m[p]=X_{m-1}[p]+X_{m-1}[p+4]\)，\(X_m[p+4]=(X_{m-1}[p]-X_{m-1}[p+4])W_8^0\)。-第2級(jí)（分組長度4）：每組4點(diǎn)，間隔\(N/4=2\)，旋轉(zhuǎn)因子\(W_8^0=1\)（前半組）和\(W_8^2=e^{-j2\pi×2/8}=e^{-j\pi/2}=-j\)（后半組）。蝶形運(yùn)算為\(X_m[p]=X_{m-1}[p]+X_{m-1}[p+2]\)，\(X_m[p+2]=(X_{m-1}[p]-X_{m-1}[p+2])W_8^{0\text{或}2}\)。-第3級(jí)（分組長度8）：每組8點(diǎn)，間隔\(N/8=1\)，旋轉(zhuǎn)因子\(W_8^0=1\)、\(W_8^1=e^{-j\pi/4}\)、\(W_8^2=-j\)、\(W_8^3=e^{-j3\pi/4}\)。蝶形運(yùn)算為\(X_m[p]=X_{m-1}[p]+X_{m-1}[p+1]\)，\(X_m[p+1]=(X_{m-1}[p]-X_{m-1}[p+1])W_8^k\)（\(k=0,1,2,3\)）。信號(hào)流圖的結(jié)構(gòu)特征為：輸入倒序（二進(jìn)制反轉(zhuǎn)），每級(jí)蝶形的間隔按\(N/2^m\)遞減，旋轉(zhuǎn)因子指數(shù)遞增。（2）直接計(jì)算8點(diǎn)DFT的乘法次數(shù)為\(N^2=64\)次（每個(gè)\(X[k]\)需\(N\)次乘加，共\(N\)個(gè)\(k\)）?；?2FFT的乘法次數(shù)為\(\frac{N}{2}\log_2N=\frac{8}{2}\times3=12\)次（每級(jí)\(N/2\)個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形1次乘法，共\(\log_2N\)級(jí)）。因此乘法次數(shù)之比為\(12:64=3:16\)，F(xiàn)FT的計(jì)算量顯著低于直接DFT。例題5：FIR濾波器設(shè)計(jì)（窗函數(shù)法）設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，要求通帶截止頻率\(\omega_p=0.3\pi\)，阻帶截止頻率\(\omega_s=0.5\pi\)，阻帶衰減\(A_s\geq50\)dB。選擇漢明窗（HammingWindow），并求出濾波器系數(shù)\(h[n]\)。解答：（1）確定理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)\(h_d[n]\)：理想低通的頻率響應(yīng)為\(H_d(e^{j\omega})=\begin{cases}1,&|\omega|\leq\omega_c\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\omega_c\)為理想截止頻率（取通帶和阻帶的中點(diǎn)\(\omega_c=(\omega_p+\omega_s)/2=0.4\pi\)）。\(h_d[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{j\omegan}d\omega=\frac{\sin(\omega_cn)}{\pin}=\frac{\sin(0.4\pin)}{\pin}\)（\(n\neq0\)），\(h_d[0]=\omega_c/\pi=0.4\)。（2）選擇窗函數(shù)并確定濾波器長度\(N\)：漢明窗的阻帶衰減約為53dB，滿足\(A_s\geq50\)dB的要求。窗函數(shù)的過渡帶寬度\(\Delta\omega=\omega_s-\omega_p=0.2\pi\)，漢明窗的過渡帶寬度近似為\(8\pi/N\)（經(jīng)驗(yàn)公式：漢明窗的過渡帶寬度\(\approx6.6\pi/N\)，更精確值為\(2\pi\times6.2/N\)，此處取\(\Delta\omega\approx6.6\pi/N\)）。由\(\Delta\omega=0.2\pi=6.6\pi/N\)，解得\(N\approx6.6/0.2=33\)（取奇數(shù)以保證線性相位類型I，即\(N=33\)，階數(shù)\(M=(N-1)/2=16\)）。（3）加窗并移位：FIR濾波器的沖激響應(yīng)\(h[n]=h_d[n-M]w[n]\)，其中\(zhòng)(w[n]\)為漢明窗，\(w[n]=0.54-0.46\cos(2\pin/(N-1))\)（\(n=0,1,...,N-1\)）。計(jì)算\(h_d[n-M]\)：當(dāng)\(n=0\)時(shí)，\(n-M=-16\)，\(h_d[-16]=\sin(0.4\pi\times(-16))/(\pi\times(-16))=\sin(-6.4\pi)/(-16\pi)=\sin(-0.4\pi)/(-16\pi)=(-\sin0.4\pi)/(-16\pi)=\sin0.4\pi/(16\pi)\approx0.9511/(16×3.1416)≈0.0189\)；當(dāng)\(n=16\)時(shí)，\(n-M=0\)，\(h_d[0]=0.4\)；當(dāng)\(n=32\)時(shí)，\(n-M=16\)，\(h_d[16]=\sin(0.4\pi×16)/(16\pi)=\sin(6.4\pi)/(16\pi)=\sin(0.4\pi)/(16\pi)≈0.0189\)（對(duì)稱性）。漢明窗\(w[n]\)在\(n=0\)時(shí)為\(0.54-0.46\cos(0)=0.08\)，\(n=16\)時(shí)為\(0.54-0.46\cos(\pi)=0.54+0.46=1.0\)，\(n=32\)時(shí)為\(0.08\)（對(duì)稱性）。因此\(h[n]=h_d[n-16]\timesw[n]\)，具體系數(shù)需逐點(diǎn)計(jì)算（示例部分系數(shù)）：-\(n=0\):\(0.0189\times0.08≈0.0015\)；-\(n=8\):\(h_d[-8]=\sin(0.4\pi×(-8))/(-8\pi)=\sin(-3.2\pi)/(-8\pi)=\sin(0.8\pi)/(-8\pi)\approx0.5878/(-8×3.1416)≈-0.0234\)，\(w[8]=0.54-0.46\cos(2\pi×8/32)=0.54-0.46\cos(\pi/2)=0.54\)，故\(h[8]≈-0.0234×0.54≈-0.0126\)；-\(n=16\):\(0.4×1.0=0.4\)；-\(n=24\):\(h_d[8]=\sin(0.4\pi×8)/(8\pi)=\sin(3.2\pi)/(8\pi)=\sin(0.8\pi)/(8\pi)≈0.5878/(8×3.1416)≈0.0234\)，\(w[24]=w[8]=0.54\)，故\(h[24]≈0.0234×0.54≈0.0126\)；-\(n=32\):\(0.0189×0.08≈0.0015\)。最終濾波器系數(shù)\(h[n]\)關(guān)于\(n=16\)對(duì)稱，滿足線性相位條件。例題6：IIR濾波器設(shè)計(jì)（雙線性變換法）用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯（Butterworth）低通IIR濾波器，要求數(shù)字域指標(biāo)：通帶截止頻率\(f_p=1kHz\)，通帶最大衰減\(\alpha_p=3dB\)，阻帶截止頻率\(f_s=3kHz\)，阻帶最小衰減\(\alpha_s=15dB\)，采樣頻率\(f_samp=10kHz\)。解答：（1）預(yù)畸變處理，將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率：雙線性變換的頻率映射關(guān)系為\(\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)\)（\(T=1/f_samp=0.1ms\)），故\(\Omega_p=\frac{2}{0.1×10^{-3}}\tan(\pif_p/f_samp)=2×10^4\tan(\pi×1000/10000)=2×10^4\tan(0.1\pi)≈2×10^4×0.3249≈6498\)rad/s；\(\Omega_s=2×10^4\tan(\pi×3000/10000)=2×10^4\tan(0.3\pi)≈2×10^4×0.7265≈14530\)rad/s。（2）確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)\(N\)和3dB截止頻率\(\Omega_c\)：巴特沃斯濾波器的幅頻平方函數(shù)為\(|H_a(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+(\Omega/\Omega_c)^{2N}}\)。由通帶條件\(\alpha_p=10\log_{10}(1+(\Omega_p/\Omega_c)^{2N})=3\)dB，得\((\Omega_p/\Omega_c)^{2N}=1\)（因3dB對(duì)應(yīng)\(1+x=2\)，但實(shí)際巴特沃斯的3dB截止頻率定義為\(\Omega_c\)，此時(shí)\(\alpha_p=3\)dB，故\(\Omega_c=\Omega_p\)）。阻帶條件\(\alpha_s=10\log_{10}(1+(\Omega_s/\Omega_c)^{2N})\geq15\)dB，代入\(\Omega_c=\Omega_p\)得：\(1+(\Omega_s/\Omega_p)^{2N}\geq10^{1.5}\approx31.62\)→\((\Omega_s/\Omega_p)^{2N}\geq30.62\)。計(jì)算\(\Omega_s/\Omega_p≈14530/6498≈2.236\)，取對(duì)數(shù)得\(2N\log_{10}(2.236)\geq\log_{10}(30.62)\)→\(2N×0.35≈1.486\)→\(N≈1.486/(2×0.35)≈2.12\)，取\(N=3\)。（3）確定模擬濾波器傳遞函數(shù)\(H_a(s)\)：3階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)為\(s_k=\Omega_ce^{j\pi(2k+1)/(2N)}\)（\(k=0,1,2\)），代入\(N=3\)，\(\Omega_c=6498\)rad/s：-\(k=0\):\(s_0=6498e^{j\pi/6}=6498(0.866+j0.5)≈5630+j3249\)；-\(k=1\):\(s_1=6498e^{j\pi/2}=j6498\)；-\(k=2\):\(s_2=6498e^{j5\pi/6}=6498(-0.866+j0.