專題4.3平行四邊形的判定【九大題型】

【浙教版】

【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】.............................................................1

【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】.............................................................4

【翹型3數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】...........................................................7

【翹型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】..............................................10

【題型5證明四邊形是平行四邊形】............................................................14

【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】........................................................18

【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】....................................................22

【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】....................................................28

【題型9平行四邊形的應(yīng)用】..................................................................36

A花蘆一漂三

【知識點1平行四邊形的判定】

⑴定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

⑵定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

⑶定理2；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

⑸定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

【例1】（2021秋?湖南永州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子

釘成一個矩形框架然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形A8C0為平行四邊形；②對角線

8。的長度不變；③四邊形4BCD的面積不變；④四邊形4BCD的周長不變，其中所有正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】①正確，根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷；

②錯誤，觀察圖象即可判斷；

③錯誤，面積是變小了；

④正確，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：團兩組對邊的長度分別相等，

團四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；

回向右扭動框架，

團BD的長度變大，故②錯誤；

團平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，

回平行四邊形ABCD的面積變小，故③錯誤；

國平行四邊形ABCD的四條邊不變，

回四邊形ABCD的周長不變，故④正確.

故所有正確的結(jié)論是①④.

故選：B.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的周長、面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這

些知識解決問題.

【變式1-1]（2022春?北京西城?八年級校考期中）下歹IJ乙4團乙8（3乙C團乙。的值中，能判定四邊形48co是平行

四邊形的是（）

A.1020304B.10402E3C.1回2團2團1D,3團2回3團2

【答案】D

【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以-1和，C是對角，NB和乙。是對角，對角的份數(shù)應(yīng)

相等，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件.

故選：D.

【點睛】本題考杳了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細觀察題目所給的條件,

仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法.

【變式1-2]（2021春?河南新鄉(xiāng)?八年級新鄉(xiāng)市第十中學(xué)校考期中）在四邊形力8c。中，對角線AC,8。相交

于點O.給出下列四組條件:?AB\\CD,AD\\BC；②AB=CD,AD=BC；③AO=CO,BO=DO；@AB\\CD,

AD=BC.其中一定這個四邊形是平行四邊形的條件有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的5個判斷定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等

的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的匹邊形是平行

四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

【詳解】解：①根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這

個四邊形是平行四邊形；

②根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是三行四邊形，可知②能判斷這個四邊形是平

行四邊形；

③根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個四邊形是

平行四邊形；

④根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個四邊形

是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；

故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個四邊形是平行四邊形.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確無誤的掌握平行四邊形的判定定理，難

度一般.

【變式1-3]（2022春?浙江舟山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，己知如13CD的一組鄰邊A3,BC,用尺規(guī)作圖作

團力BCD,下列4個作圖中，作法與理論依據(jù)都正確的有幾個（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)各個圖形的做法結(jié)合平行四邊形的判定方法進行判斷即可;

【詳解】解：圖①，由作圖可知,8=CD,AD=BC,根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平吁四邊形〃可

知，圖①作法與理論依據(jù)正確；

團DE=BF,不能得出財?！?團。?凡

回不能得出四邊形。仍“是平行四邊形，故A錯誤：

回四邊形A8C。是平行四邊形，

^AD=BC,WAE=^BCF,

ME=C尸，

^ADE^CBF(SAS),

0EL4ED=[3CF?,DE=BF,

00DEF=H^FE；

回Q￡W，

回四邊形。EBr是平行四邊形，故B正確；

團四邊形A8CO是平行四邊形，

^AD=-BC,0DAE=0Z?CF；

^AF=CEt

^AE=CF,

^ADE^CBF(SAS),

0EL4ED=[?1CF^,DE=BF,

00DEF=0/?FE,

回Q￡W，

回四邊形。EBr是平行四邊形，故C正確：

團四邊形A8CO是平行四邊形，

^AD=BC,WAE=WCF,

^BADE=XBF,

的ADE013cB/(ASA),

^DE=CF,^AED=WFC,

^DEF=^BFE,

^DEWCF,

回四邊形。EBF是平行四邊形，故D正確；

故選:A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)

鍵.平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注

意它們的區(qū)別與聯(lián)系.

【變式2-1]（2022春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點D,E,尸分別為邊BC,AB,AC

上的點，連接尸。并延長到點G,已知尸GII/1B,則添加下列條件，可以使線段4G,。月互相平分的是（）

C.DEWACD.DG=AE

【答案】D

【分析】通過分析線段AG,互相平分，得四邊形AQGE是平行四邊形，結(jié)合選項，利用平行四邊形的

判定定理即可求解.

【詳解】若線段4G,OE互相平分，則四邊形4OGE是平行四邊形,

???添加DG=AEt

乂即GII48,

同四邊形ADGE是平行四邊形，

回線段AG,。石互相平分，

故選：D.

【點睛】本題考杳了平行四邊形的判定定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2022春?黑龍江雙鴨山?八年級統(tǒng)考期末）若O是四邊形的對角線AC和8。的交點,

且。8=0。，4c=24cm,則當(dāng)QA=cm時，四邊形A8CZ）是平行四邊形.

【答案】12

【分析】由OA=12cm求出OC,得出O4=OC,再由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解:當(dāng)。4=12cm時，0024-12=12（cm）,

(3OC=OA,

團08:00,

團四邊形A8C。是平行四邊形，

故答案為：12.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟記對角線互相平分的四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2022春?河南新鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形人4c。中，DELAC,BFLAC,垂足

分別為點￡,F.

⑴請你只添加一個條件（不另加轉(zhuǎn)助線），使得四邊形OE8r為平行四邊形，你添加的條件是

（2）添加了條件后，請證明四邊形DEBF為平行四邊形.

【答案】⑴QE=B尸（答案不唯一）

⑵見解析

【分析】（1）由平行四邊形的判定可得出答案；

（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論.

（1）

解：由題意得。比1BF,由平行四邊形的判定可添加的條件是。后BF（答案不唯一），

故答案為：DE=BF（答案不唯一）；

（2）

證明：團。阻4C,4限4C,

回。匝4小，

團

團四邊形。為平行四邊形.

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】

【例3】（2021春?內(nèi)蒙古包頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形4BCD中，EFIIBC,GH\\AB,E尸與

G”相交于點。，圖中共有個平行四邊形（）

A.4個B.5個C.8個D.9個

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：回四邊形A3c。是平行四邊形，

BAB\\CD,AD\\BC,

0EFIIBC,GH||AB,

EFIIAD,GHIICD,

西EIIOGIID尸，BEWHWCF,AGWEWBH,DGWFWCH,

硒邊形BCFE,四邊形4。左，四邊形ABHG,四邊形CDGH,四邊形4EOG,四邊形BEOH,四邊形DFOG,

四邊形CR7”均為平行四邊形，

田圖中共有個平行四邊形9個.

故選：D

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3?1】（2021春?重慶?八年級期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中

第①個圖形中一共有10個平行四邊形，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19

個平行四邊形，......按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（）

聞Bzrrg"http:///〃-

①②③④

A.39B.40C.41D.42

【答案】B

【分析】觀察圖形的變化可得10+4=14,14+5=19,19+6=25,25+7=32,32+8=40,即可得結(jié)果.

【詳解】解：觀察圖形的變化可知：

第①個圖形中一共有10個平行四邊形，

第②個圖形中一共有14個平行四邊形，

第③個圖形中一共有19個平行四邊形，

第④個圖形中一共有25個平行四邊形，

第⑤個圖形中一共有32個平行四邊形，

則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為40.

故選；B.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的認(rèn)識，規(guī)律型：圖形的變億類，本題是一道根據(jù)圖形進行數(shù)字猜想的

問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題.

【變式3?2】（2021春?浙江杭州?八年級期末）如圖，點A,B,C在同一直線上，點Q,E,F,G在同一直

我上、？.ACIIDG,ADIIBE//CF,AF/IBG.圖中平行四邊形有（）個

A.4B.5C.3D.6

【答案】B

［分析］根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行的判定求解可得.

【詳解】解：如圖，

圖中的平行四邊形有：口ABED,口ABGF,33CFE,MCFD,口PBQF,

故選從

【點睛】本題主要考杳平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四

邊形.（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

【變式3-3］（2021春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級統(tǒng)考期末）如圖，由25個點構(gòu)成的5x5的正方形點陣中，橫、

縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位.定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形口L做陣點平行

四邊形.圖中以A,4為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數(shù)為（）

A.6個B.7個C.9個D.11個

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，兩組對邊必須平行，可以得出上下各兩個平行四邊形符合要求，以及特

殊四邊形矩形與正方形即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：?共11個面積為4的陣點平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】

【例4】(2020春?四川廣元?八年級統(tǒng)考期末)已知A,B,C三點的坐標(biāo)分別是(3,3),(8,3),(4,6),若

以A,B,C,D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標(biāo)不可能是()

A.(-1,6)B.(9,6)C.(7,0)D,(0,-6)

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別從以BC為對角線、以AC為對角線、以AB為府角線去分析求解即可

求得答案.

【詳解】解：當(dāng)以BC為對角線時：CD=AB=5,此時D(9,6)；

當(dāng)以AC為對角線時，CD=AB=5,比時D(-1,6)：

當(dāng)以AB為對角線時，AD=BC04,比時點D(7,0).

團D點的坐標(biāo)不可能是：(0,-6).

故選：D.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等.解此題的美犍是分類討論數(shù)學(xué)思

想的運用.

【變式4-1](2019秋?江蘇南通?八年級校考期末)以不在同一直線上的三個點為頂點作平行四邊形最多能

作()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】連接不在同一直線上的三點，得到一個三角形，分別以三角形的三邊為對角線，用作圖的方法,

可得出選項.

如圖，以點A,B,C'能做三個平行四邊形：分別是麗欣工),MA*’,財上8c.

故選B.

【變式4-2](2022春?湖南邵陽?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以A(3,5),B(1,1),

C(4,1)三點為頂點畫平行四邊形.

⑴吁以畫多少個平行四邊形？

(2)寫出每個平行四邊形第四個頂點。的坐標(biāo).

【答案】(1)可以畫3個平行四邊形；

(2)(0,5)或(6,5)或(2,-3).

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將平行四邊形畫出來即可;

(2)根據(jù)所作平行四邊形可直接得出點。的坐標(biāo).

(1)

解：可以畫3個平行四邊形，如圖所示:

由圖可得：平行四邊形第四個頂點。的坐標(biāo)為（0,5）或（6,5）或（2,-3）.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識：熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式4-3］（2020春?山東濟南?八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，己知點A（l,1）,仇3,2）.

（1）如圖1,在），軸上是否存在一點P,使出+PB最小，若存在求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（2）如圖2,點C坐標(biāo)為（4,1）,點。由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點。運動兒

秒時，四邊形A8C。是平行四邊形;

（3）點?在x軸上，點。在y軸上，且以4、B、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P以

及對應(yīng)的點Q的坐標(biāo).

)'八

?B

4?

>

OX

圖1

【答案】（1）存在點P的坐標(biāo)，且P（0,：）;（22運動2秒后四邊形ABCZ）是平行四邊形；（3）P點坐標(biāo)為（4,0）

4

或（20）或（2,0）,對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為（0,3）或。1）或（0,-1）.

【分析】⑴過A點作關(guān)于y軸的刈?稱點M,連接BM后與），軸的交點即為所求的點P,求出BM解析式，再

令v=0進而求出P點坐標(biāo);

⑵只能是AC為一條對角線，BD為另一對角線，設(shè)D（m,0）,利用BD的中點與AC的中點為同一個點即可求

解;

⑶分類討論：設(shè)P（皿0）,Q（0,〃），再分成①AB為對角線；②AP為對角線；③AQ為對角線共三種情況分別

求解即可.

【詳解】解：（1）過A點作關(guān)于），軸的對稱點M（-l,1）,連接BM后與），軸的交點即為所求的點P,

如下圖所示：

；然，解之得產(chǎn)）

<2=3k+bb=-

4

團直線BM解析式為y=

令尸0,解得）W，

回存在點P的坐標(biāo)，且P{0,當(dāng)，

4

故答案為：存在點P的坐標(biāo)，使得PA+PB最小，此時P點坐標(biāo)為（0,；）;

4

⑵當(dāng)四邊形人8CO是平行四邊形，只能是AC為一條對角線，另一條對角線為BD,

設(shè)D（m,0）,由中點坐標(biāo)公式可知:

線段AC的中點坐標(biāo)為（號,手），即得,1）,

線段BD的中點坐標(biāo)為（等,等），即（等,1）,

又線段AC與BD中點為同一個點，

=解得m=2,

故四邊形ABC。是平行四邊形，D點的坐標(biāo)為（2,0）,乂速度為1個單位每秒，

團經(jīng)過2秒后，四邊形4BCO是平行四邊形，

故答案為：2秒；

⑶分類討論：設(shè)P（/〃Q），Q（0,〃），B（3,2）,

情況①：AB為對角線時，另一對角線為PQ,

線段AB的中點坐標(biāo)為(2,j)，線段PQ的中點坐標(biāo)為(；甫)，

又線段AB和線段PQ的中點為同一個點，

0｛3解得｛m二;，故此時P(4,0)，Q(0,3)：

3——71—3

22

情況②：AQ為對角線時，另一無?角線為BP,

線段AQ的中點坐標(biāo)為(右手)，線段BP的中點坐標(biāo)為(等,等)，

又線段AQ和線段BP的中點為同一個點，

1_3+m

0｛i；r如，解得［2,故此時P(-2,0),0(0,1)；

=H-1

2----2

情況③：AP為對角線時，另一對角線為BQ,

線段AP的中點坐標(biāo)為苫二程)，線段BO的中點坐標(biāo)為(甲,學(xué))，

又線段AQ和線段BP的中點為同一個點，

1+m_3+0

團｛40一《3,解得｛比2,故此時P(2,0)，Q(0,-l)；

2~2

綜上所述，P點坐標(biāo)為(4,0)或(-2,0)或(2,0),對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為(0,3)或。1)或(0,-1).

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定、平行四邊形的存在性問題等，熟練掌握判定法則及平行四

邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5證明四邊形是平行四邊形】

【例5】(2023秋?山東泰安?八年級?？计谀?如圖，在ZMBC中,BC=AC,點、E,F分別是邊XB,4C的中

點，連接EF并延長，交AABC外角NACD的平分線于點G.求證：四邊形力ECG是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】先由=可以知道角相等，再利用角平分線的性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)化得到平行，然后根據(jù)中點得到

邊相等，進而得到全等三角形，最后根據(jù)△力EF三△CFG得到相等，最后得出結(jié)論.

【詳解】解：MC=AC

^BAC=/.ABC

(3CG是外角乙4CD的角平分線

^Z.ACG=Z.DCG=\^ACD

^Z-ACD=Z.BAC+乙ABC=2乙BAC

^Z.ACG=/-BAC

1214EIICG

同點尸是AC的中點

04F=FC

回在△4EF?和△CGF中

Z.ACG=Z.BAC

raAF=FC

Z.AFE=乙CFG

0AZIFFCFG(ASA)

^AE=CG

回四邊形力ECG是平行四邊形

【點睛】本題考查了三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得到邊相等

是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2022春?湖北恩施?八年級統(tǒng)考期末)如圖，8E是財BC的中線，延長"到。，使ED=BE,

連接4。，CD,補全圖形.判斷囚邊形ABC。的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】四邊形4BCO是平行四邊形，理由見解析

【分析】按題意畫出圖形，證明4c與B?；ハ嗥椒旨纯傻贸鼋Y(jié)論.

【詳解】解：補全圖形如下，

B

圖1

證明：團8石是0ABC的中線，

回七是AC的中點，

"DE=BE,

即E是3。的中點，

財。與8?；ハ嗥椒?，

團四邊形A8C。是平行四邊形.

【點睛】本題考查了三角形的中線，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題檢關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022春?寧夏中衛(wèi)?八年級校考期末）如圖，AABC是等邊三角形，點0是射線BC上的一個動

點（點。不與點8,。重合），△AOE是以力。為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線力氏低于

點F,G,連接BE.

⑴求證:△AEB^LADC.

（2）當(dāng)點0在線段BC上時.探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程.

【答案】⑴見解析

⑵科邊形8CGE是平行四邊形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得43=4C,AE=AD,LBAC=^EAD=60°,然后求出乙=

乙CAD,再利用邊角邊證明△AEB和△ADC全等:

（2）四邊形8CGE是平行四邊形，因為△4￡18皿人。（?，所以可得乙48￡1="=60。，進而證明"4BE=乙BAC,

則可得到EB\\GC,又EG||BC,所以四邊形BCGE是平行四邊形.

(1)

證明：???△48C和△49E都是等邊三角形，

.-.AE=AD,AB=AC,Z.EAD=LBAC=60°.

又??乙EAB=AEAD-Z.BAD,^DAC=4BAC-々BAD,

Z.EAB=Z.DAC,

在A4E8和△力OC中，

(AB=AC

\^EAB=^DAC，

(AE=AD

.?.△71EZ?(?)Ai4DC(SAS)；

(2)

解：四邊形3CGZ?是平行四邊形，理由如下：

由⑴得△AEBA/lDC,

AZ.ABE=ZC=60°.

又??乙BAC=Z.C=60°,

???Z.ABE=Z.BAC,

0EU||GC,

又魴G||BC,

匹邊形BCGE是平行四邊形.

【點睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，靈活運用相關(guān)的性

質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的美犍.

【變式5-3](2022春?江西九江?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平行四邊形A8CD中，E,尸分別是AD,BC邊上

的點，且DE=CF,連接BE和4F的交點為M,CE和。尸的交點為N,連接MN,EF.

⑴求證：四邊形為平行四邊形;

(2)若AD=6cm,求MN的長.

【答案】(1)見解析

(2)3cm

【分析】(1)由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形為平行四邊形;

(2)由平行四邊形的性質(zhì)可得D/V=FN,AM=MF,由三角形中位線定理可求解.

(1)

證明：?.?四邊形48CD是平行四邊形，

.'.ADWBC,AD=BC.

???DE=CF,

:.AE=BF.

匹邊形力8FE是平行四邊形；

(2)

解：?：DE=CF,ADWBC,

.他邊形DE”是平行四邊形，

DN=FN,

?.?匹邊形力8FE是平行四邊形，

AAM=MF,

MN\\AD,MN=^AD=3cm.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握平行四邊形的對角線互相平分是

解題的關(guān)鍵.

【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】

【例6】(2022春?福建原門?八年級統(tǒng)考期中)如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種

紙片的兩條直角邊長分別為1和2,另一種紙片的兩條直角邊長都為2.圖1、圖2、圖3是三張形狀、大

小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1.

⑴請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形(非矩形)，每種方法要把圖中所給的四

塊直角三角形紙片全部用上，互入重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不

相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上.

要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；

②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡.

⑵請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）圖1可以先用邊長為1、2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2

的直角三角形；圖2可以先用邊長都為2的直角三角形拼出矩形,再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2、

1的直角三角形；圖3以四個直隹三角形的直角邊拼出對角線為3的平行四邊形即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法證明即可.

（1）

證明：如圖1中，^AB=CD=3,AD=BC=>J22+22=2V2,

回四邊形A8CO是平行四邊形.（同理，圖2和圖3均可根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行

證明）

【點睛】小題考宜作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行四邊形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用直

角三角形和平行四邊形的性質(zhì)進行拼接.

【變式6-1］（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，有兩塊全等的含30。角的直角三角板，將它們拼成形狀不

同的平行四邊形，則最多可以拼成（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【分析】分別以不同的二邊為對角線進行拼接即可得.

【詳解】以不同的三邊為對角線進行拼接，可拼成如下三種平行四邊形：

故J選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握理解并靈活運用判定方法是解題關(guān)鍵.

【變式6-2］（2021?河南周口?三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙匕使其每一個頂點都在格點上，如

圖1所示（方格邊長均為加.對這個三角形進剪切、拼接后，可以得到一個平行四邊形，如圖2中陰影部

分所示.

剪切、拼接的方案如下：如圖2,取BC的中點M,連接AM;剪下財MC后，拼接到（38E4位置，可得到平

行四邊形AEBM.

我們約定：剪切、拼接時，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片.

⑴請你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行

四邊形，并補充已知和求證，寫出證明過程.

⑵對這個三角形進行剪切、拼接后，也可以得到一梯形.試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必

說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)沿中位線裁剪即為平行四邊形.8c是拼成四邊形的一條邊，即可，再根據(jù)拼接方法，寫出

已知、求證，利用平行線的判定定理證明即可：

(2)沿一腰的中點D向底邊剪開，得出FD=DG,進而得出梯形.

(1)

解：所畫圖形如下所示，

已知：沿EL48C的中位線NE裁剪下0ANE,將0ANE按如圖所示拚接在一起，即點A與點C重合，點N與點

M重合，AE與CE重合，得到四邊形BCMN,

求證：四邊形BCMN是平行四邊形.

證明：由題意，得勖NE即1CME,

配L4=(MCM,AE=CM,

aAMICM,即8NIICM,

回四邊形4CMN是平行四邊形.

(2)

【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行四邊形性質(zhì)與判定、梯形的性質(zhì)，正確利用全等三角形

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式6-3]（2020秋?河北石家莊?九年級校考期中）如圖所示，2MBe的頂點在8x8的網(wǎng)格口的格點上.

⑴畫出ZM8C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的ZMBiG；

⑵在圖中確定格點D,并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）由題意可知旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的畫圖方法作圖即可；

（2）如圖有三種情況，構(gòu)造平行四邊形即可.

【詳解】解：（1）如圖即為所求

（2）如圖，D、D\D〃均為所求.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及中心對稱圖形，熟練掌握作旋轉(zhuǎn)圖形的方法及中心對稱圖形的定義是解

題的關(guān)鍵.

【題型7利用平行四地形的判定和性質(zhì)求解】

【例7）（2022秋?山東淄博?八年級校考期末）如圖,在M48CD中，過對角線BO上一點P作EF||BC,GH||AB,

=

且CG=3BG>SMEPGL5,則SBAEPH=-?

AHD

EL-P

B

G

【答案】4.5*

【分析】由條件可證明四邊形Z/P廣。、BEPG為平行四邊形，可證明S四邊形^=5四邊形PFCG，再利用面積的

和差可得出四邊形4"”和四邊形PFCG的面積相等，由已知條件即可得出答案.

【詳解】解：vEF||BC,GH||AB,

二四邊形HPFD、BEPG、AEPH.CFPG為平行四邊形,

:，SMPEB=S&BGP，

同理可得=S&DFP，S〉A(chǔ)BD=S&CDB，

?*,S'ABD~SRPEB~S&PHD=S&CDB-SRBGP~S&DFP，

即$四邊形AEPH=$四邊形PFCG'

?；CG=3BG9S^BEPG~1.5,

S四邊形AEPH=S四邊形p“G=3X1.5=4.5

故答案為：4.5.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組

對邊分別平行=四邊形為平行四邊形，②兩組對邊分別相等o四邊形為平行四邊形，（3）?組對邊平行且相

等Q四邊形為平行四邊形，④兩組對角分別相等0四邊形為平行四邊形，⑤對角線互相平分=四邊形為平

行四邊形.

【變式7-1]（2021秋?湖北十堰?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtzMBC中，44c8=90。，分別以AB,AC為

腰向外作等腰直角三角形4BO和等腰直角三角形4CE,連接DE,C4的延長線交DE于點R則與線段4尸相

等的是（）

A.BCB.gABC.|ACD.AB

【答案】A

【分析】如圖，作DH_LC尸交CF的延長線于〃，連接EH,證明△BC4三△力HO(AAS),四邊形4OHE是平行

四邊形，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作D/nCF交CF的延長線于從連接EH.

■.'Z.ACB=Z-BAD=/.DHA=90°,

.-.Z.BAC+Z-DAH=90a,Z04H+乙力DH=90°,

???KBAC=￡ADH,

"3=4D,

三△AHD(AAS),

：.AC=DH,BC=AH,

???△DH4=NE4，=90°,AC=AE,

WHWAE,AH=AE,

???四邊形是平行四邊形，

：.AF=FH.

：.AF=\AH=\BC,

22

故選A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)健是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

【變式7-2](2022春?廣東深圳?八年級?？计谀?如圖，3。垂直平分4C,交AC于E,^BCD=BADF,

FA^AC,垂足為A,AF=DF=5,AD=6,則AC的長為

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=OC,BA=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到同OAC=(WCA,

WAC=WCA,證明人例。尸，進而得到四邊形"Q8為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到8/>"=5,

A反。45,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【詳解】解：班。垂直平分AC,

0￡)A—DC>BA=BC,

00DAC=0DCA,^BAC=^BCA,

圓3D4C+(3B4C=[3OCA+[Z18C4,即(3D4B=(3BC。，

005CD=a4DF,

^DAB=^ADF,

^ABWDF,

0/710AC,。砸IC,

0AFIIBD,

團四邊形AFQ3為平行四邊形，

^BD=AF=5,AB=DF=S,

設(shè)BE=x,則。E=5—x,

在R/AAEB中，AB2-BE2=AE2,

在RAAEQ中，AD2-DE2=AE2,

^AB2-BE2=AD2-DE2,即5?-x2=62-(5-x)2,

解得：x=(,

3斤荷w，

a4C=2AE=9.6,

故AC的長為9.6,

故答案為：9.6.

【點睛】本題考杳的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點到線段

兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式7-31(2022秋,江蘇?八年級期末)【情境】某校數(shù)學(xué)興趣小組嘗試自制數(shù)學(xué)學(xué)具進行自主合作探究.圖

①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學(xué)具，P是邊AC上一個動點，由點力向點C運動，速度為lcm/s,Q是

邊CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由點8向CB延長線方向運動，連接PQ,交力B于點0,設(shè)點P

運動的時間為t(s).

(1)【問題】填空：CP+CQ=—cm；

(2)當(dāng)/0Q8=30。時，求t的值；

(3)【探究】如圖②，過點P作PE148,垂足為E,在點P,點Q運動過程中，線段CE的長度是否發(fā)生變化?

若不變，請求出OE的長度：若變化，請說明理由.

【答案】⑴24

(2)4

⑶不變，是定值6

【分析】(1)由線段和差關(guān)系可求解：

(2)由直角三角形的性質(zhì)可列方程，即可求t的值；

(3)過點Q作交力B延長線于點F連接￡Q,PF,由全等三角形的性質(zhì)可證AB=EF,由題意可證四

邊形PEQF是平行四邊形，可得DE=DF；

【詳解】(1)解：^ABC是邊長為12的等邊三角形，

^Z-ACB=60°,AB=BC=AC=12,

設(shè)/IP=tcm，

則PC=(12-t)cm,QB=tcm,

:.QC=QB+BC=(12+t)cm,

CP+CQ=12—t+12+t=24cm

(2)解：v/-ACB=60°,Z.BQD=30°

“PC=90°

QC=2PC

???12+￡=2(12-t),

解得：t=4

(3)解：線段OE的長度不改變，

如圖：過點Q作QFJ.48交48延長線于點F連接EQ,PF

vPELAB,QF1AB

???QFWPE

同點P、Q速度相同，

/.AP=BQ

?.?△ABC是等邊三角形，

:.LA=/.ABC=乙FBQ=60°

AP=BQ,乙AEP=^QFB,乙A=LQBF

??.△AEP三△BFQ(AAS)

AE=BF

???BE+AE=BF+BE

:.AB=EF=12

vPE1AB,QF1AB

:.QF||EP,QF=EP,

回四邊形PEQF是平行四邊形,

:.DE=DF=±EF=6

2

【點睛】本題考查的是三角形綜合題，等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與

性質(zhì)，熟練全等三角形判定是解答此題的關(guān)鍵.

【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】

【例81(2022春?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末)如圖，以胤4BCO的邊力為邊，作等邊△A8E和等邊△CDF,

連接〃占，8”.求證：四邊形8”/兒是平行四邊形.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出=AB=CD,乙DABjBCD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，

得出力8=BE==CO=CF=0/，Z.BAE=DCF=60°,再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出乙64￡=

乙BCF，再根據(jù)SAS,得出△ADEwaCBF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出DE=8凡再根據(jù)平行四邊形的

判定定理，即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：回四邊形力BCD是平行四邊形，

^AD=CB,AB=CD,Z.DAB=乙BCD,

(3△/CDF是等邊三角形,

團48=BE=AE=CD=CF=DF,乙BAE=DCF=60。，

回乙DA5—4BAE=乙BCD-乙DCF,

(3ZD/1E=乙BCF,

在么力DE和4CB尸中，

(AD=CB

l^DAE=￡BCF,

(AE=CF

^ADE=△CB尸(SAS),

ME=BF,

團BE=DF,

田四邊形BFDE是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的

關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理.

【變式8-1](2022春?四川成都?八年級校考期末)如圖，在平行四邊形71BCD中，對角線4C,8。相交于點

0,8。=248,點E為線段0C的中點.

(1)求證：4AB0=2乙0DE；

(2)若F,G分別是OB,CD的中點.

①判斷△￡7(的形狀并證明你的結(jié)論；

②當(dāng)EF1EG,且AB=2代時，求平行四邊形力8co的面積.

【答案】⑴見解析，

⑵①△￡?-；的形狀為等腰三角形，理由見解析；②24

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)易證/CD0=NAB。，再證△CD。是等腰三角形，由等腰三角形三線合

一性質(zhì)得出，0DE=乙CDE=g/CD。，即可得出結(jié)論；

(2)①易證DE1C。，由G為40中點，得出EG=1/10,再由E、F分別是0C、。8的中點，得出EF=g8C,

由平行四邊形的性質(zhì)得A。=BC,即可得出EG=EF,則4EFG是等腰三角形；

②先證四邊形8￡TG是平行四邊形，WHUFFS=Z.GDE,LDGE=Z.FEG,再證△/?/%；、bDEG、△AEO都

是等腰直角三角形，設(shè)DG=GE=x,則==CE=^AE=^,由勾股定理求出x=3,得出

DE=3V2,AC=4CE=472,最后由S平行四邊形.四二2x?0E,即可得出答案.

【詳解】⑴???四邊形/BCD是平行四邊形，

AAB\\CDfAB=CD,BD=2D0=28。，

Z.CDO=乙ABO,

???BD=248,

AB=DO=CD,

是等腰三角形，

??點E為線段0C的中點,

-ODE=Z.CDE=-LCDO=-Z.ABO,

22

???LABO=2乙ODE；

（2）①△E"G的形狀為等腰三角形，理由如下：

???△CD。是等腰三角形，E是CO中點，

ADE1CO,

:.LDEA=9。。，

???G為4D中點，

：?EG=-AD,

2

?:E、F分別是0C、。8的中點，

EF=^BC,

?.?四邊形AZ?CO是平行四邊形，

???AD=BC,

???EG=EF,

.?.△E/G是等腰三角形；

②解：???四邊形4BCD是平行四邊形，

:.0A=OC,AB=CD=2遍，AD=BC,AD\\BC,

?:E、F分別是0C、08的中點，

CE=-AE,EF是〉0BC的中位線,

3

二EFII8C,EF=^BC,

.'.EFWBCWG,

???G是AD的中點，

ADG=-AD=-BC,

22

???EF=DG,

???四邊形8EFG是平行四邊形，

Z.EFG=Z.GDE,EFWDG,

:，Z.DGE=乙FEG,

???EF1EG,

Z.FEG=Z.DGE=90°,

由①得：EG=EF,

??.△EFG是等腰直角三角形，

:.AEFG=乙GDE=45°,

??.△DEG是等腰直角三角形，

DG=GE,

???Z.DEA=90°,

.??△4E0是等腰直角三角形，

ADE=AE,

設(shè)DG=GE=x,

則DE=AE=a%,CE=-AE=^,

在&△DEC中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2,

即（2遙）2=（A/2X）2+（與/，

解得：x=3或％=-3（不合題意，舍去），

DE=3V2,

/IC=4CF=4x—=4x—x3=472,

33

S平行四邊形ABC。=2x“C?=4>/2x3A/2=24.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與

性質(zhì)、中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形面積的計算等知識；熟練掌握平行四邊

形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）已知，在AAEC中，點M是BC的中點，點。是線段4M上

一點（不與點A重合）.過點。作4B的平行線，過點。作4M的平行線，兩線交于點E,連結(jié)4E.

圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)點。與M重合時，求證：四邊形480E是平行四邊形；

⑵如圖2,當(dāng)點。不與M重合時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)圖3,延長交AC于點H,若BH上AC,且=求乙CAM的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵成立，證明見解析

(3)30°

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)可得同位角相等，再利用4S力證明A4BD會AEOC,得48=ED,從而證明

結(jié)論；

(2)過點M作MGIIDE交ECT點G,則四邊形OMGE為平行四邊形，得E。=GM且EO〃GM,由(1)可得

力8=GM且/BIIGM,從而得出結(jié)論；

(3)取線段HC的中點/,連接M/,由三角形中位線定理得M/I出H,MI=”H,則M/=MILAC,

即可解決問題.

(1)

解：證明：?.?OE|NB,

:.Z.EDC=乙48M,

???CEII4M,

:.乙ECD=Z.ADB,

???AM是A/IBC的中線，且D與M重合，

BD=DC,

???A/48D會AEOC(ASA),

AB=ED,

-ABWED,

四邊形A8DE是平行四邊形；

(2)

成立，理由如下：

過點M作MGIIDE交EC于點G,

E

川

BMC

圖2

???CEWAM,

，四邊形DMGE為平行四邊形，

:.ED=GMREDWGM,

由（1）可得力B=GM且ABIIGM,

：.AB=EDH.ABWED,

???四邊形A8DE為平行四邊形；

（3）

取線段HC的中點/,連接M/,

圖3

.??M/是ABHC的中位線，

???M/IIBH,Ml=^BH,

MI=-AM,MILAC,

2

ACAM=30°.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的

判定與性質(zhì)等知識，遇中點取中點構(gòu)造中位線是解決問題（3）的關(guān)鍵.

【變式8-3］（2022春?江西吉安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中,AB=AC=2,乙8=30。，將△48C繞

頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE.設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為a度（0。工aV120。），AD交BC于點F,。七分別交3C、AC

于點G、H.試探究以下問題；

(1)當(dāng)。=時，△48"為直角三角形：

⑵當(dāng)且為等腰三角形時，求8尸的值；

⑶連接8D是否存在角a,使得四邊形AB