第頁北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《1.2直角三角形》同步檢測題含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、勾股數(shù)1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.，2，B.，，C.1，1，2D.9，12，152.下列三角形的邊長是勾股數(shù)且能構(gòu)造成直角三角形的有（）A.0.3；0.4；0.5B.1；；C.6；7；8D.11；60；613.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A.a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5B.a＝2，b＝2，c＝2C.a＝4，b＝5，c＝6D.a＝5，b＝12，c＝134.觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：請你寫出有以上規(guī)律的第⑨組勾股數(shù)：

．①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．5.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面規(guī)律，第7個勾股數(shù)組為

．6.觀察下列各組勾股數(shù)有哪些規(guī)律：請解答：（1）當(dāng)a＝11時，求b，c的值；（2）判斷21，220，221是否為一組勾股數(shù)？若是，請說明理由．7.清代揚州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷研究勾股定理，提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”，其中有一個法則是“如果k是大于2的偶數(shù)，那么k和k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)”．（1）按照這個法則，寫出1組不同的勾股數(shù)：

（最大數(shù)不超過18）；（2）用含有k的等式表示這三個勾股數(shù)的數(shù)量關(guān)系并證明．二、最短路徑問題1.如圖，長方體的底面邊長為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要（）A.12cmB.11cmC.10cmD.9cm2.如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的B點，已知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．A.8B.5C.20D.103.某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm．為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（）A.30cmB.30cmC.60cmD.20πcm4.如圖，圓柱形玻璃杯高為7cm，底面周長為20cm，在杯頂部C處有一滴蜂蜜離杯頂B點的曲線長度為2cm，此時一只螞蟻正好也在杯外壁，離杯底2cm點A處，則螞蟻從外壁A處到C處的最短距離為

cm．（杯壁厚度不計）5.如圖，已知圓柱的底面周長18cm，高為12cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是

cm．6.（1）如圖1，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．現(xiàn)有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程；（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？7.如圖，在一個圓柱上、下底面上有相對的A，B兩點，現(xiàn)將一根紅線沿側(cè)面纏繞圓柱一圈，并且經(jīng)過A，B兩點，若圓柱高為8cm，底面圓的周長為12cm，那么至少需紅線多長？（π取3）三、直角三角形的性質(zhì)1.如圖所示，直線a∥b,直角△ABC的頂點C在直線b上．若∠1=33°，則∠2的度數(shù)為（）A.57°B.47°C.67°D.33°2.在ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，如圖，則圖中與∠B（∠B除外）相等的角的個數(shù)是（）A.3B.4C.5D.63.如圖，點E是△ABC中AC邊上的一點，過E作ED⊥AB，垂足為D，若∠1=∠2，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分別在AB，AC上，將△ADE沿DE折疊得△FDE，且滿足EF∥AB，則∠1=

.5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為AC邊上一動點，將△CBD沿著直線BD對折得到△EBD．若∠ABD=15°，則∠ABE的度數(shù)為

.6.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AF是△ABC的角平分線，過點D作DG∥AF交BC于點G，求證：∠CEF=∠CGD．7.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD，AC于點F，E．（1）若∠CEF=50°，求∠A的度數(shù)；（2）∠CFE與∠CEF相等嗎？請說明理由．四、用HL判定三角形全等1.如圖所示，∠C=∠D=90°添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是（）A.AC=ADB.AB=ABC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD2.如圖，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加一個條件是（）A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC3.如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A.AC=A′C′，BC=B′C′B.∠A=∠A′，AB=A′B′C.AC=A′C′，AB=A′B′D.∠B=∠B′，BC=B′C′4.如圖，已知AC⊥BD于點P，AP=CP，請增加一個條件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加輔助線），你增加的條件是

.5.如圖，AB⊥CF，垂足為B，AB∥DE，點E在CF上，CE=FB，AC=DF，依據(jù)以上條件可以判定△ABC≌△DEF，這種判定三角形全等的方法，可以簡寫為

.6.在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求證：Rt△ABE≌Rt△CDF．7.如圖所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．五、勾股定理1.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面積分別為25，和144，則AB的長度為（）A.13B.169C.119D.2.如圖，△ABC的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD⊥AC于點D，則BD的長為（）A.B.C.D.3.如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長為（）A.9B.8C.7D.64.如圖，圖中所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5cm，則正方形A，B，C，D的面積和是

cm2．5.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝5，則AB2+CD2＝

．6.如圖：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的長．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），請寫出頂點B，C的坐標(biāo)，并求出△ABC中AC邊上的高為多長．六、勾股定理的應(yīng)用1.如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時的速度從A地出發(fā)向正東方向前進(jìn)，乙以12千米/時的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn)，甲、乙兩人相距6千米時，最短用時是（）A.0.4小時B.0.5小時C.0.6小時D.0.8小時2.如圖，一個梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測得AO＝2米．若梯子的頂端沿墻下滑0.5米，這時梯子的底端也恰好外移0.5米，則梯子的長度AB為（）A.2.5米B.3米C.1.5米D.3.5米3.有一輛裝貨的汽車，為了方便裝運貨物，使用了如圖所示的鋼架，其中∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，則AB的長為（）A.1.2mB.1.5mC.1.8mD.15m4.如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行

米．5.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去間（kǔn）一尺，不合二寸，向門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（AD和BC），門邊緣D，C兩點到門檻AB的距離為1尺（1尺＝10寸）兩扇門間的縫隙CD為2寸，那么門的寬度（兩扇門寬度的和AB為

寸．6.某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技術(shù)人員通過測量確定了∠ABC＝90°．（1）小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點A經(jīng)過點B再到點C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開辟一條從點A直通點C的小路，請問如果方案落實施工完成，居民從點A到點C將少走多少路程？（2）這片綠地的面積是多少？7.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，繩子始終繃緊且繩長保持不變．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移動的距離．（結(jié)果保留根號）（2）此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計算回答，該男子能否在30秒內(nèi)將船從A處移動到岸邊點F的位置？七、互逆命題與互逆定理1.下列正確敘述的個數(shù)是（）①每個命題都有逆命題②真命題的逆命題是真命題③假命題的逆命題是真命題④每個定理都有逆定理⑤每個定理一定有逆命題⑥命題“若a=b,那么a3=b3”的逆命題是假命題．A.1B.2C.3D.42.下列命題中，逆命題是真命題的是（）A.對頂角相等B.如果兩個數(shù)是偶數(shù)，那么它們的和是偶數(shù)C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等D.如果a=b,那么a2=b23.定理“等腰三角形的兩個底角相等”的逆定理是（）A.有兩個角相等的三角形是等腰三角形B.有兩個底角相等的三角形是等腰三角形C.有兩個角不相等的三角形不是等腰三角形D.不是等腰三角形的兩個角不相等4.命題：“兩直線平行，則同旁內(nèi)角互補”的逆命題為

．5.命題：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命題是

，該逆命題是

命題（填“真”或“假”）．6.已知：如圖，△ABC中，點D，E是邊BC上的兩點，點G是邊AB上一點，連接EG并延長．交CA的延長線于點F．從以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個正確的數(shù)學(xué)命題，并加以證明．條件：

，結(jié)論：

．（填序號）證明：

．7.（1）如圖，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，試說明FG⊥AB；（2）若把（1）中的題設(shè)中的“DE∥BC”與結(jié)論“FG⊥AB”對調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由．八、勾股定理的的逆定理1.在同一張方格紙上，如果點A用數(shù)對表示為（1，1），點B用數(shù)對表示為（4，1），點C用數(shù)對表示為（1，3），那么這個三角形ABC一定是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形2.如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（）A.180°﹣αB.180°﹣2αC.90°+αD.90°+2α3.如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A.B.C.D.4.如圖，每個小正方形的邊長為1．（1）三角形ABC是否是直角三角形？

．（填“是”或“否”）（2）AC邊上的高為

．5.如圖，在6×4的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，E均在格點上，連接AC，AD．（1）∠DAC的大小為

（度）；（2）∠ABC﹣∠DCE＝

（度）．6.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的四個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：（1）線段AC的長為

，CD的長為

，AD的長為

．（2）通過計算說明△ACD是什么特殊三角形．7.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，請按要求完成下列各題．（1）線段AB的長為

；（2）若△ABC是直角三角形，且邊BC的長度為，請在圖中確定點C的位置，并補全△ABC．

參考答案一、勾股數(shù)1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.，2，B.，，C.1，1，2D.9，12，15【答案】D【解析】A.，2，中，，不是整數(shù)，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；B.，，不是整數(shù)，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；C.∵12+12≠22，∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；D.∵92+122＝152，∴能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意．故選：D．2.下列三角形的邊長是勾股數(shù)且能構(gòu)造成直角三角形的有（）A.0.3；0.4；0.5B.1；；C.6；7；8D.11；60；61【答案】D【解析】A.0.3，0.4，0.5，不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)的定義；B.1；；，不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)的定義；C.62+72≠82，不符合勾股數(shù)的定義；D.112+602＝612，符合勾股數(shù)的定義．故選：D．3.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A.a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5B.a＝2，b＝2，c＝2C.a＝4，b＝5，c＝6D.a＝5，b＝12，c＝13【答案】D【解析】A.0.3，0.4，0.5都不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；B.2不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C.52+42≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D.52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；故選：D．4.觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：請你寫出有以上規(guī)律的第⑨組勾股數(shù)：

．①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．【答案】19，180，181．【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，∴第n組勾股數(shù)為：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴第⑨組勾股數(shù)為a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181．故答案為：19，180，181．5.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面規(guī)律，第7個勾股數(shù)組為

．【答案】（15，112，113）【解析】由勾股數(shù)組（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4組勾股數(shù)中間的數(shù)為4×（9+1）＝40，即勾股數(shù)為（9，40，41）；第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為5×（11+1）＝60，即（11，60，61），第6組勾股數(shù)中間的數(shù)為6×（13+1）＝84，即（13，84，61），第7組勾股數(shù)中間的數(shù)為7×（15+1）＝112，即（15，112，113），故答案為（15，112，113）．6.觀察下列各組勾股數(shù)有哪些規(guī)律：請解答：（1）當(dāng)a＝11時，求b，c的值；（2）判斷21，220，221是否為一組勾股數(shù)？若是，請說明理由．【答案】解（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．解得b＝60，c＝b+1＝61．（2）是勾股數(shù)．理由：∵2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，又∵212＝441，∴2212﹣2202＝212，∴21，220，221是勾股數(shù)．7.清代揚州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷研究勾股定理，提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”，其中有一個法則是“如果k是大于2的偶數(shù)，那么k和k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)”．（1）按照這個法則，寫出1組不同的勾股數(shù)：

（最大數(shù)不超過18）；（2）用含有k的等式表示這三個勾股數(shù)的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】解（1）當(dāng)k＝4時，這一組勾股數(shù)是3，4，5．故答案為：3，4，5．（2）當(dāng)k大于2時，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2．證明：∵左邊＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2＝k2+k4+1﹣k2＝k4+k2+1；右邊＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1．∴左邊＝右邊，∴等式成立．二、最短路徑問題1.如圖，長方體的底面邊長為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要（）A.12cmB.11cmC.10cmD.9cm【答案】C【解析】將長方體展開，連接AB′，則AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點之間線段最短，AB′＝＝10cm．故選：C．2.如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的B點，已知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．A.8B.5C.20D.10【答案】C【解析】如圖，線段AB即為所需彩帶最短，由圖可知AC＝3×4＝12，BC＝16，∴由勾股定理得，AB=，故選：C．3.某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm．為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（）A.30cmB.30cmC.60cmD.20πcm【答案】B【解析】∵圓錐的底面圓周長為20πcm，∴圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的弧長為20πcm，設(shè)扇形的圓心角為n度，∴＝20π，解得n＝120，∴∠ABA′＝120°，作BC⊥AA′于點C，∴∠BAA′＝30°，∴BC＝15cm，∴AC＝15cm，∴AA′＝2AC＝30cm，∴這條彩帶的最短長度是30cm．故選：B．4.如圖，圓柱形玻璃杯高為7cm，底面周長為20cm，在杯頂部C處有一滴蜂蜜離杯頂B點的曲線長度為2cm，此時一只螞蟻正好也在杯外壁，離杯底2cm點A處，則螞蟻從外壁A處到C處的最短距離為

cm．（杯壁厚度不計）【答案】【解析】如圖，將杯子側(cè)面展開，連接AC，則AC即為最短距離，AC＝＝（cm）．答：螞蟻從外壁A處到C處的最短距離為cm．故答案為：．5.如圖，已知圓柱的底面周長18cm，高為12cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是

cm．【答案】15【解析】沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接AB則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，∵AC＝9cm，BC＝12cm，∴AB＝＝15cm，故答案為：15．6.（1）如圖1，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．現(xiàn)有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程；（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】解（1）由題意得，該長方體中能放入木棒的最大長度是（cm）．（2）分三種情況可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，所以最短路程為cm；（3）∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝13（cm）．7.如圖，在一個圓柱上、下底面上有相對的A，B兩點，現(xiàn)將一根紅線沿側(cè)面纏繞圓柱一圈，并且經(jīng)過A，B兩點，若圓柱高為8cm，底面圓的周長為12cm，那么至少需紅線多長？（π取3）【答案】解把圓柱體展開如圖，∵點B應(yīng)為展開圖長方形一邊的中點，∴AC為底面圓周長的一半，AC＝6cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∴紅線的長為10×2＝20（cm），∴至少需紅線20cm．三、直角三角形的性質(zhì)1.如圖所示，直線a∥b,直角△ABC的頂點C在直線b上．若∠1=33°，則∠2的度數(shù)為（）A.57°B.47°C.67°D.33°【答案】A【解析】在直角△ABC中，∠ACB=90°，∵∠1=33°，∴∠3=180°-90°-33°=57°，∵a∥b,∴∠2=∠3=57°，故選：A．2.在ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，如圖，則圖中與∠B（∠B除外）相等的角的個數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，∴∠B+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠B=∠FDA．∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC．∵∠DAC+∠C=∠C+∠CDE=90°，∴∠DAC=∠CDE．∴圖中與∠B（∠B除外）相等的角有∠FDA，∠DAC，∠CDE共三個．故選：A．3.如圖，點E是△ABC中AC邊上的一點，過E作ED⊥AB，垂足為D，若∠1=∠2，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定【答案】A【解析】△ABC是直角三角形：理由如下：∵ED⊥AB，∴∠1+∠A=90°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠A=90°，∴∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形．故選：A．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分別在AB，AC上，將△ADE沿DE折疊得△FDE，且滿足EF∥AB，則∠1=

.【答案】76°【解析】∵△ADE沿DE折疊得△FDE，∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE，∵EF∥AB，∴∠F=∠BDF，∴∠A=∠BDF，∵∠C=90°，∠B=62°，∴∠A=90°-∠B=28°，∴∠BDF=28°，∴∠ADF=180°-∠BDF=152°，∴∠ADE=∠ADF=76°，∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°．故答案為：76°．5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為AC邊上一動點，將△CBD沿著直線BD對折得到△EBD．若∠ABD=15°，則∠ABE的度數(shù)為

.【答案】60°【解析】∵∠ABD=15°，∠ABC=90°，∴∠DBC=∠ABC-∠ADB=90°-15°=75°，由折疊可得∠DBE=∠DBC=75°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=75°-15°=60°．故答案為：60°．6.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AF是△ABC的角平分線，過點D作DG∥AF交BC于點G，求證：∠CEF=∠CGD．【答案】證明∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC=90°（垂直定義），∴∠DAE+∠AED=90°（直角三角形兩銳角互余），∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形兩銳角互余），∵AF是△ABC的角平分線（已知），∴∠CAF=∠DAE（角平分線定義），∴∠AED=∠CFA（等角的余角相等），∵∠AED=∠CEF（對頂角相等），∴∠CEF=∠CFA（等量代換），∵DG∥AF（已知），∴∠CFA=∠CGD（兩直線平行，同位角相等），∴∠CEF=∠CGD（等量代換）．7.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD，AC于點F，E．（1）若∠CEF=50°，求∠A的度數(shù)；（2）∠CFE與∠CEF相等嗎？請說明理由．【答案】解（1）∵∠ACB=90°，∠CEF=50°，∴∠CBE=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=80°，∴∠A=90°-80°=10°；（2）∠CFE=∠CEF，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵CD⊥AB，∴∠EBA+∠BFD=90°又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，∴∠CEB=∠BFD，∵∠BFD=∠CFE，∴∠CEB=∠CFE，即∠CFE=∠CEF．四、用HL判定三角形全等1.如圖所示，∠C=∠D=90°添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是（）A.AC=ADB.AB=ABC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD【答案】A【解析】需要添加的條件為BC=BD或AC=AD，理由為：若添加的條件為BC=BD，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的條件為AC=AD，理由為：在Rt△ABC與Rt△ABD中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故選A．2.如圖，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加一個條件是（）A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC【答案】D【解析】條件是AB=CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠AEB=90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故選D．3.如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A.AC=A′C′，BC=B′C′B.∠A=∠A′，AB=A′B′C.AC=A′C′，AB=A′B′D.∠B=∠B′，BC=B′C′【答案】C【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故選C．4.如圖，已知AC⊥BD于點P，AP=CP，請增加一個條件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加輔助線），你增加的條件是

.【答案】AB=CD【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于點P，AP=CP，即一角一邊，則我們增加斜邊AB=CD，利用HL判定其全等．5.如圖，AB⊥CF，垂足為B，AB∥DE，點E在CF上，CE=FB，AC=DF，依據(jù)以上條件可以判定△ABC≌△DEF，這種判定三角形全等的方法，可以簡寫為

.【答案】HL【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE為公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL．6.在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求證：Rt△ABE≌Rt△CDF．【答案】證明在Rt△ADC與Rt△CBA中，∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC=BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE與Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．7.如圖所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．【答案】證明在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．五、勾股定理1.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面積分別為25，和144，則AB的長度為（）A.13B.169C.119D.【答案】A【解析】根據(jù)正方形的面積得AC2＝25，BC2＝144，在Rt△ACB中，AB＝＝＝13，故選：A．2.如圖，△ABC的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD⊥AC于點D，則BD的長為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故選：C．3.如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長為（）A.9B.8C.7D.6【答案】D【解析】由題意得，MN是AC的垂直平分線，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故選：D．4.如圖，圖中所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5cm，則正方形A，B，C，D的面積和是

cm2．【答案】25【解析】由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B，C，D的面積之和＝52＝25（cm2）故答案為：25．5.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝5，則AB2+CD2＝

．【答案】29【解析】由題意知BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，根據(jù)勾股定理得，OA2+OD2＝AD2＝22＝4，OB2+OC2＝BC2＝52＝25，∴OA2+OD2+OB2+OC2＝4+25＝29，根據(jù)勾股定理得，OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，∴AB2+CD2＝29，故答案為：29．6.如圖：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的長．【答案】解∵DC⊥BC，AE⊥DE，∴∠C＝∠AED＝90°，在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD＝＝＝13，即AD的長為13．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），請寫出頂點B，C的坐標(biāo)，并求出△ABC中AC邊上的高為多長．【答案】解由圖可知，B的坐標(biāo)為（2，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3），又∵A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），∴AC=，AB＝4，S△ABC=×AB×|yC-yB|=×4×4=8，設(shè)△ABC中AC邊上的高為h，則有S△ABC=×AC×h=×2×h=h=8，∴△ABC中AC邊上的高為h=．六、勾股定理的應(yīng)用1.如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時的速度從A地出發(fā)向正東方向前進(jìn)，乙以12千米/時的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn)，甲、乙兩人相距6千米時，最短用時是（）A.0.4小時B.0.5小時C.0.6小時D.0.8小時【答案】A【解析】設(shè)最短用時t小時，甲、乙兩人相距6千米．根據(jù)題意，得BC＝（10﹣16t）千米，CD＝12t千米，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2+CD2＝BD2，即（10﹣16t）2+（12t）2＝62，整理得（5t﹣2）2＝0，解得t＝，即t＝0.4．故選：A．2.如圖，一個梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測得AO＝2米．若梯子的頂端沿墻下滑0.5米，這時梯子的底端也恰好外移0.5米，則梯子的長度AB為（）A.2.5米B.3米C.1.5米D.3.5米【答案】A【解析】設(shè)BO＝x米，依題意得，AC＝0.5米，BD＝0.5米，AO＝2米．在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，AB2＝AO2+OB2＝22+x2，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，解得，x＝1.5，∴AB＝＝2.5（米），即梯子的長度AB為2.5米，故選：A．3.有一輛裝貨的汽車，為了方便裝運貨物，使用了如圖所示的鋼架，其中∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，則AB的長為（）A.1.2mB.1.5mC.1.8mD.15m【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，∴AB==1.5(m)，故選：B．4.如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行

米．【答案】10【解析】如圖，設(shè)大樹高為AB＝10米，小樹高為CD＝4米，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米），在Rt△AEC中，AC＝＝10（米），故答案為：10．5.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去間（kǔn）一尺，不合二寸，向門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（AD和BC），門邊緣D，C兩點到門檻AB的距離為1尺（1尺＝10寸）兩扇門間的縫隙CD為2寸，那么門的寬度（兩扇門寬度的和AB為

寸．【答案】101【解析】設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r，過D作DE⊥AB于E，則DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得2r＝101．故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．故答案為：101．6.某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技術(shù)人員通過測量確定了∠ABC＝90°．（1）小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點A經(jīng)過點B再到點C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開辟一條從點A直通點C的小路，請問如果方案落實施工完成，居民從點A到點C將少走多少路程？（2）這片綠地的面積是多少？【答案】解（1）如圖，連接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝＝15（m），∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），答：居民從點A到點C將少走6m路程．（2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2，∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，∴S△DAC＝AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60+54＝114（m2），答：這片綠地的面積是114m2．7.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，繩子始終繃緊且繩長保持不變．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移動的距離．（結(jié)果保留根號）（2）此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計算回答，該男子能否在30秒內(nèi)將船從A處移動到岸邊點F的位置？【答案】解（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，∴AC=（米），∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），∴BC=（米），∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，答：此人需向右移動的距離為（）米．（2）∵需收繩繩長AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），且此人以0.5米每秒的速度收繩，∴收繩時間，答：該男子不能在30秒內(nèi)將船從A處移動到岸邊點F的位置．七、互逆命題與互逆定理1.下列正確敘述的個數(shù)是（）①每個命題都有逆命題②真命題的逆命題是真命題③假命題的逆命題是真命題④每個定理都有逆定理⑤每個定理一定有逆命題⑥命題“若a=b,那么a3=b3”的逆命題是假命題．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換得到它的逆命題，所以①正確；原命題：若a=b,則|a|=|b|，其逆命題為：若|a|=|b|，則a=b,它是假命題，所以②錯誤；原命題：若am＞bm,則a＞b,其逆命題：若a＞b,則am＞bm,它是假命題，所以③錯誤；定理的逆命題不一定是真命題，所以每個定理不一定有逆定理，所以④錯誤；每個定理一定有逆命題，所以⑤正確；命題“若a=b,那么a3=b3”的逆命題為“若a3=b3，則a=b”，它是真命題，所以⑥錯誤．故選：B．2.下列命題中，逆命題是真命題的是（）A.對頂角相等B.如果兩個數(shù)是偶數(shù)，那么它們的和是偶數(shù)C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等D.如果a=b,那么a2=b2【答案】C【解析】A.對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，是假命題，不符合題意；B.如果兩個數(shù)是偶數(shù)，那么它們的和是偶數(shù)的逆命題是如果兩個數(shù)的和是偶數(shù)，那么這兩個數(shù)是偶數(shù)，是假命題，不符合題意；C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；D.如果a=b,那么a2=b2的逆命題是如果a2=b2，那么a=b,是假命題，不符合題意．故選：C．3.定理“等腰三角形的兩個底角相等”的逆定理是（）A.有兩個角相等的三角形是等腰三角形B.有兩個底角相等的三角形是等腰三角形C.有兩個角不相等的三角形不是等腰三角形D.不是等腰三角形的兩個角不相等【答案】A【解析】定理“等腰三角形的兩個底角相等”的逆定理是有兩個角相等的三角形是等腰三角形，故選：A．4.命題：“兩直線平行，則同旁內(nèi)角互補”的逆命題為

．【答案】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行5.命題：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命題是

，該逆命題是

命題（填“真”或“假”）．【答案】如果3a=3b,那么a=b真6.已知：如圖，△ABC中，點D，E是邊BC上的兩點，點G是邊AB上一點，連接EG并延長．交CA的延長線于點F．從以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個正確的數(shù)學(xué)命題，并加以證明．條件：

，結(jié)論：

．（填序號）證明：

．【答案】解條件是①AD平分∠BAC，②EF∥