專題08概率與統(tǒng)計

?111_____

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國二卷?高考真題）樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.18

2.（2025?上海?高考真題）己知事件A、3相互獨立，事件A發(fā)生的概率為P（A）=1,事件2發(fā)生的概率為

P（B）=；,則事件AcB發(fā)生的概率尸（4門3）為（）

A.-B.-C.gD.0

842

3.（2025?天津?高考真題）下列說法中錯誤的是（）

A.若X~N（〃,4）,貝！JP（XW〃-cr）=尸（XN〃+cr）

B.若x：N（I,22）,y?N（2,22）,則P（X<l）<P（y<2）

c.越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)

D.W越接近0,相關(guān)性越弱

二、填空題

_/567、

4.（2025?上海?高考真題）已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望￡X]=.

5.（2025?天津?高考真題）在（尤-的展開式中，V項的系數(shù)為.

6.（2025?上海?高考真題）在二項式（2x-l）5的展開式中，爐的系數(shù)為.

7.（2025?上海?高考真題）4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊列，要求隊列的頭和尾均是

家長，則不同的排列個數(shù)有種.

8.（2025?北泉?IWJ考真題）已知（1—2x）4=旬一2。]尤+42/-8。3爐+16%犬，則％=.

q+%+%+%=.

9.（2025?天津?高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5,

若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4,6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈

的概率為0.6,6圈的概率為0.4.小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達(dá)標(biāo),

則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X,則期望E（x）=

10.(2025?全國一卷?高考真題)一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標(biāo)號，若每次取一顆，有放回地

取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X,則數(shù)學(xué)期望E(X)=.

=、解答題

11.(2025?全國一卷?高考真題)為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)

調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：

超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計8002001000

(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P,求P的估計值；

(2)根據(jù)小概率值=0.001的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

n(ad-be)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x2..k)0.0050.0100.001

k3.8416.63510.828

12.(2025?上海?高考真題)2024年巴黎奧運會，中國獲得了男子4x100米混合泳接力金牌.以下是歷屆奧

運會男子4x100米混合泳接力項目冠軍成績記錄(單位：秒)，數(shù)據(jù)按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

(2)從這10個數(shù)據(jù)中任選3個，求恰有2個數(shù)據(jù)在211以上的概率；

(3)若比賽成績y關(guān)于年份x的回歸方程為y=-0.3Ux+b,年份x的平均數(shù)為2006,預(yù)測2028年冠軍隊的

成績(精確到0.01秒).

13.(2025?北京?高考真題)某次考試中，只有一道單項選擇題考查了某個知識點，甲、乙兩校的高一年級

學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對該知識點的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學(xué)生

該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80,乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相

互獨立，用頻率估計概率.

(1)估計甲校高一年級學(xué)生該題選擇正確的概率P

（2）從甲、乙兩校高一年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計X=1的

概率及X的數(shù)學(xué)期望；

（3）假設(shè)：如果沒有掌握該知識點，學(xué)生就從題目給出的四個選項中隨機(jī)選擇一個作為答案；如果掌握該知

識點，甲校學(xué)生選擇正確的概率為100%,乙校學(xué)生選擇正確的概率為85%.設(shè)甲、乙兩校高一年級學(xué)生掌

握該知識點的概率估計值分別為P-P”判斷R與。2的大?。ńY(jié)論不要求證明）.

14.（2025?全國二卷?高考真題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負(fù)者得0分.設(shè)每個球

甲勝的概率為乙勝的概率為4,P+4=l,且各球的勝負(fù)相互獨立，對正整數(shù)％22,記P*為

打完左個球后甲比乙至少多得2分的概率，縱為打完上個球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求。3，。4（用P表示）.

（2）若義a=4,求p.

%一%

（3）證明：對任意正整數(shù)加，p2m+i-q2m+l<p2m-q2m<P2,“+2-%,“+2.

?BII

2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?福建莆田?三模）小明所在的學(xué)校每周都要進(jìn)行數(shù)學(xué)周測，他將近8周的周測成績統(tǒng)計如下：112,

101,93,99,106,105,114,119,則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（）

A.99B.100C.101D.113

2.（2025?安徽蚌埠?三模）醫(yī)療研究者會創(chuàng)建散點圖來顯示少女的體重指數(shù)（BMI）和身體脂肪百分比之間

的相關(guān)關(guān)系，如圖，下列說法正確的是（）

脂肪百分比與BMI的散點圖

50F----------------------------------------------------------

A.BMI越大，脂肪百分比越大

B.BMI越大，脂肪百分比越小

C.BMI與脂肪百分比正相關(guān)

D.BMI與脂肪百分比負(fù)相關(guān)

3.（2025?湖南長沙?三模）二項式*一/的展開式中第5項的系數(shù)為

A.252B.-252C.210D.-210

4.（2025?廣東深圳?二模）下列各組數(shù)據(jù)中方差最大的一組是（）

A.6,6,6,6,6B.5,5,6,7,7C.4,5,6,7,8D.4,4,6,8,8

5.（2025.廣東茂名.二模）隨機(jī)變量J~N（4,2）,若尸］＞二—1）=尸＜＜。）,則實數(shù)。的值為（）

5

A.2B.-C.3D.4

2

6.（2025?天津?二模）某地組織全體中學(xué)生參加了主題為“強(qiáng)國之路”的知識競賽，隨機(jī)抽取了2000名學(xué)生

進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左

閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）

A.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［90,100）內(nèi)的學(xué)生有750人

B.直方圖中x的值為0.020

C.估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為87

D.估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90

7.（2025?浙江?二模）的展開式中，爐產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.60B.120C.240D.360

8.（2025?湖南?三模）若甲、乙、丙、丁、戊隨機(jī)站成一排，則甲、乙不相鄰的概率為（）

,3「4c9-13

A.—B.-C.—D.—

551020

9.（2025?北京昌平?二模）若（2x-l）s=%%5+%尤4+%尤3+凄*2，則％+生+%+%+%=（）.

A.-1B.0C.1D.2

10.（2025?廣西河池?二模）一家銀行有V7P客戶和普通客戶，V7尸客戶占客戶總數(shù)的30%,普通客戶占客戶

總數(shù)的70%.已知VIP客戶的信用卡欺詐概率為2%,而普通客戶的信用卡欺詐概率為5%.現(xiàn)在隨機(jī)抽取一個

發(fā)生信用卡欺詐的客戶，請問這個客戶是以產(chǎn)客戶的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

41251050

11.（2025?山東?三模）某班成立了A、2兩個數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，2組30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)

行了一次測試，在該測試中，A組平均成績?yōu)?30分，方差115,2組平均成績?yōu)?10分，方差為215,則

在這次測試中，全班學(xué)生的平均成績和方差為（）

A.115分，105B.115分，265

C.120分，105D.120分，265

12.（2025?湖南長沙?三模）己知某個群體中對某活動持滿意態(tài)度的人數(shù)比例為90%,從該群體中隨機(jī)抽取

io人，設(shè)這io人中持滿意態(tài)度的人數(shù)為x,隨機(jī)變量y=2x+3,則D（Y）=（）

A.1.8B.3.6C.4.2D.4.8

13.（2025?湖北武漢?三模）現(xiàn)有一雙運動鞋和一雙涼鞋，從這四只鞋中隨機(jī)取出2只，記事件4="取出的

鞋不成雙"；3="取出的鞋都是同一只腳''.則下列結(jié)論中正確的是（）

A.AcBB.P（B）=1C.尸網(wǎng)=gD.P（A+B）=|

14.（2025?安徽蚌埠?三模）空間中三個點A、B、C滿足AB=3C=C4=1,在空間中任取2個不同的點，

使得它們與A、8、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法種數(shù)為（）

A.8B.9C.11D.12

15.（2025?廣東廣州?三模）一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8,將其隨機(jī)拋擲兩次,

記與地面接觸面上的數(shù)字依次為再,馬，事件人士=3,事件3：3=6,事件C：X1+X2=9,則（）

A.A,B互斥B.A|JB=C

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A,B,C兩兩獨立

16.（2025?重慶九龍坡?三模）"142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當(dāng)

142857與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字組成.若從1,4,

2,8,5,7這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700

的偶數(shù)個數(shù)是（）

A.66B.75C.78D.90

17.（2025?山東棗莊?二模）子貢曰：“夫子溫、良、恭、儉、讓以得之”，“溫、良、恭、儉、讓”指五種品德：溫和、

善良、恭敬、節(jié)儉、謙讓.現(xiàn)有分別印有這5個字的卡片（顏色均不同）各2張，同學(xué)甲從中抽取4張卡片分給

另外4位同學(xué)，每人一張卡片，恰有2位同學(xué)分到的卡片是相同字的分配方案有（）

A.120種B.210種C.1440種D.2880種

18.（2025?四川巴中?二模）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的

圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，

最后掉入下方的某一個球槽內(nèi).若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會均等，且小球需要經(jīng)過5次碰撞后落

入球槽，求小球最終落入從左往右數(shù)第5號球槽的概率為（）

①②③④⑤⑥

19.（2025?浙江?三模）若數(shù)軸上有一個質(zhì)點位于x=0處，每次運動它都等可能地向左或向右移動一個單位，

已知它在第10次運動后首次到達(dá)尤=6處，則它在運動過程中沒有重返過原點的概率為（）

A.1B.上C?里D.二

2274515

20.（2025?黑龍江大慶?三模）某商店店慶，每個在店內(nèi)消費到一定額度的顧客都可以參與抽獎活動.組織方

準(zhǔn)備了"（"23）個盲盒，其中有機(jī)（1<機(jī)<〃-1）個盲盒內(nèi)有獎品.抽獎規(guī)則為：抽獎?wù)邚倪@〃個盲盒中隨機(jī)抽

取1個盲盒，兌獎后組織方會再補(bǔ)回一個相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎?wù)叱楠?抽獎?wù)呒紫饶?/p>

起了一個盲盒，在猶豫是否打開時，組織方拿走了一個沒有獎品的盲盒，最終甲選擇了另外一個盲盒打開，

記甲中獎的概率為億.抽獎?wù)咭以谶x盲盒時不小心碰掉了一個盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒有獎品，隨后

乙從剩下的盲盒中選定一個盲盒打開，記乙中獎的概率為則（）

A.>p2B.Pi=PzC.Pr<p2D.無法確定Pi與。2的大小關(guān)系

21.（2025?浙江嘉興?三模）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩

個人中的任何一人，若第一次由甲傳出，則經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（）

二、多選題

22.（2025?重慶?三模）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同

學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)x（甲同學(xué)）和y（乙同學(xué)）的概率分布圖分別是如圖的甲、乙:通過計算

,磯x）=E（y）=8,則下列說法正確的是（）

A.甲同學(xué)的平均成績高于乙同學(xué)

B.乙同學(xué)擊中8環(huán)的概率高于甲同學(xué)

C.甲同學(xué)擊中10環(huán)的概率高于乙同學(xué)

D.乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定

23.（2025?廣東廣州三模）已知一組樣本數(shù)據(jù)士,々,1,不0（無1<%<1<%。）的方差S2=G￡（X,-2）2,則（）

5Uz=i

A.這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于100

B.這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定為2

C.數(shù)據(jù)3%+1,3X2+1,3%。+1的標(biāo)準(zhǔn)差為3s

D.現(xiàn)構(gòu)造新的樣本數(shù)據(jù)咒K迤產(chǎn),L,也產(chǎn)則該組樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的

方差

24.（2025?山東?二模）若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0,2?）,隨機(jī)變量y服從正態(tài)分布N（2,3?）,則（）

A.E（2X+1）=1B.￡>（27+1）=12

C.P（X4-2）+P（XW2）=lD.P（|x|<2）>P（|y|<2）

25.（2025?重慶?三模）若隨機(jī)變量X?3（10,川，且E（X）=2,隨機(jī)變量V~N（〃,2）,且E（2V+1）=7,則

（）

A.p=-

5

B.〃二3

C.中+|12

D.5￡>（x）+r）（y）=io

26.（2025?湖北武漢?三模）為保護(hù)學(xué)生視力、促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組從該校學(xué)生

中按男、女生比例，采用分層隨機(jī)抽樣的方法選取了100名學(xué)生（其中男生60人，女生40人），調(diào)查他們

每日使用手機(jī)的時間.若每日使用手機(jī)時間超過40分鐘，則認(rèn)為該生手機(jī)成癮.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如圖所示

的等高堆積條形圖，用樣本估計總體，用頻率估計概率，下列說法正確的有（）

□手機(jī)成癮

□手機(jī)不成癮

男生女生

A.該校男生和女生人數(shù)之比為3:2

B.如果從男生和女生各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么男生手機(jī)成癮的概率小于女生手機(jī)成癮的概率

C.從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，則該生手機(jī)成癮的概率為《

D.從該校學(xué)生中抽到一名手機(jī)成癮的學(xué)生，則該生是男生的概率為:

27.（2025?甘肅白銀?三模）定義：對一個三位數(shù)來說，如果其十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都小，則稱

它為“三位凹數(shù)”，如果其十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱其為“三位凸數(shù)”，現(xiàn)從1至9共9個數(shù)

中，選取3個不同的數(shù)排成三位數(shù)則（）

A.排成的“三位凹數(shù)”共有168個

B.排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等

C.從所有的M中隨機(jī)抽取一個三位數(shù)，該三位數(shù)是“三位凸數(shù)”的概率為:

2

D.從所有的M中隨機(jī)抽取兩個三位數(shù)，至少有一個是“三位凹數(shù)”的概率為］

28.（2025?安徽蚌埠?三模）己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0,l）,設(shè)函數(shù)f（x）=P（XVx）,則下列說法正

確的是（）

A./（O）=lB.f（x）是偶函數(shù)

C./（x）的圖象關(guān)于點中心對稱D.y（x）是增函數(shù)

29.（2025?湖北黃岡?三模）在本場考試中，多選題可能有2個或3個正確的選項.全部選對得6分，若有3

個正確的選項則每選對一個得2分；若有2個正確的選項則每選對一個得3分；有選錯或未選的得。分.若

因完全不會做某道題目而必須隨機(jī)選擇1-3項選項.設(shè)該題恰有3個正確選項的概率為P。，得分設(shè)為隨機(jī)變

量X,則下列說法正確的是（）

A.若隨機(jī)選擇一項，則E（X）為定值

B.若p0>g,則隨機(jī)選擇兩項比選擇一項更優(yōu)

C.存在P。使隨機(jī)選擇三項的得分期望大于隨機(jī)選擇一項的得分期望

D.存在P。使隨機(jī)選擇三項的得分期望大于隨機(jī)選擇兩項的得分期望

30.（2025.廣東.二模）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為尸（X=xJ=p,1=1,2,3,…，吟定義隨機(jī)變量

y=e'x?eR,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）的分布列如下：

Yeftl*L

PPlPiLPn

隨機(jī)變量V的數(shù)學(xué)期望E（Y）=E（e戊）=稱為隨機(jī)變量X的生成函數(shù)，記為"x（0.K（。）是函數(shù)

i=\

Mx⑺在，=0處的導(dǎo)數(shù)，則（）

A.Mx（0）=E（X）

1

B.若X服從兩點分布，p（x=o）=p（x=i）=5,則⑺=3

22

C.若X?8（“,。），貝UMx（/）=（e'+l-p）”

D.若實數(shù)。力為常數(shù)，則/+/）=/.^?（加）

三、填空題

31.（2025?天津?二模）己知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的20%、

40%、40%.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為5%、4%、3%,現(xiàn)從這批零件中任取一個零件，則它是次

品的概率為.

32.（2025?山東德州?三模）已知變量,與x線性相關(guān)，由樣本點。,乂）,（2,…,（5,%）求得的回歸直線方程

1_5

為尸K+6,若點（1,%）在回歸直線上，且％=2,x=3,貝-

5i=i

33.（2025?山東?三模）甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2樣，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1

種相同的選法共有種.（用數(shù)字作答）

34.（2025?湖南岳陽?三模）（1+/）12X-￡|的展開式中/的系數(shù)為.

35.（2025?江西?二模）甲、乙兩名乒乓球選手進(jìn)行比賽，根據(jù)賽前兩位選手勝負(fù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得在一局比賽

21

中甲獲勝的概率是乙獲勝的概率為且各局比賽之間互不影響，若采用“五局三勝制”，則甲最終獲勝

的概率為.

36.（2025?湖南邵陽?三模）若隨機(jī)變量X~3（10,0.5）,則當(dāng)尸（X=。取得最大值時，正整數(shù)％的值是.

37.（2025?上海?三模）北斗七星是夜空中的七顆亮星，它們組成的圖形象我國古代舀酒的斗，故命名為北

斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點A,B,C,D,E,F,

G表示某季節(jié)的北斗七星，其中D,E,歹看作共線，其他任何三點均不共線.若過這七個點中任意三

點作三角形，則所作的不同三角形的個數(shù)為.

38.（2025?上海黃浦三模）若隨機(jī)變量X~N（3,〃），且尸（"XV3）=a,P（X>5）=b,則學(xué)學(xué)的最

'/2ab

小值為______

39.（2025?上海閔行二模）已知數(shù)據(jù)再、9、…、再。。的平均數(shù)為2,方差為5,則無;、石、…、流。的平均數(shù)

為.

40.（2025?河北保定?三模）甲、乙兩人進(jìn)行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號1,2,3,4,5,6的卡片各

1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于10或者所有卡片

被抽完時，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，則甲抽了3張卡片時，游戲恰好結(jié)束的概率為—.

41.（2025?廣東廣州?三模）某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個不同的辦公室

打掃衛(wèi)生，要求每個辦公室至少分配1人，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個辦公室的情況有種

（用數(shù)字作答）.

42.（2025?湖南長沙?三模）設(shè)”是給定的正整數(shù)5>2）,現(xiàn)有〃個外表相同的袋子，里面均裝有"個除顏色

外其他無區(qū)別的小球，第左（左=1,2,3,）個袋中有左個紅球，〃_%個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其

中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個球取出后不放回）.則第三次取出白球的概率為.

43.（2025?江西?三模）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)連續(xù)三次正面朝上的情況，則停止投擲，那么投

擲總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

44.（2025?河南許昌?三模）某商場進(jìn)行周年慶大型促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”

的活動，活動期間在商場消費達(dá)到一定金額的人可以參加游戲.游戲規(guī)則如下：在一個盒子里放著6個大

小相同的小正方體，其中有3個A類小正方體，4個面印著奇數(shù)，2個面印著偶數(shù)；有2個3類小正方體,

6個面都印著奇數(shù)；1個C類小正方體，6個面都印著偶數(shù).游戲者蒙著眼睛隨機(jī)從盒子中抽取一個小正方

體并連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結(jié)果，若兩次投擲向上的面都是奇數(shù)，則進(jìn)入最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，

否則游戲結(jié)束，不獲得任何禮券.最終挑戰(zhàn)的環(huán)節(jié)是進(jìn)行第三次投擲，第三次投擲不使用之前抽取的小正

方體，從盒子中剩余的5個小正方體里再次隨機(jī)抽取一個進(jìn)行投鄭，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得300

元禮券，若投擲后向上的面為偶數(shù)，則獲得100元禮券.則第一次投擲后向上的面為奇數(shù)的概率為;

在某位顧客進(jìn)入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，他最終獲得的禮券金額的數(shù)學(xué)期望為.

四、解答題

45.（2025?湖南郴州?三模）某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績的情況，其中有60名學(xué)生的

短跑成績合格.這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時間超過5小時，60名短跑成績合格的學(xué)生中有35

名學(xué)生每周的鍛煉時間超過5小時.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下表格，依據(jù)小概率值"=0.005的/獨立性檢驗，是否可以推斷學(xué)生短跑成績合

格與每周的鍛煉時間超過5小時有關(guān)？

單位：人

短跑成績

每周的鍛煉時間合計

短跑成績合格短跑成績不合格

每周的鍛煉時間超過5小時

每周的鍛煉時間不超過5小時

合計

(2)正確的跑步姿勢和起跑技巧等都可以讓跑步者更好地發(fā)揮自己的能力.現(xiàn)對短跑成績不合格的學(xué)生進(jìn)行

跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時間超過5小時的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率

為：5，每周的鍛煉時間不超過5小時的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為3;用頻率

64

代替概率，從短跑成績不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生(記為甲)進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，求學(xué)生甲參加培

訓(xùn)后短跑成績合格的概率.

2d

參考公式與數(shù)據(jù)：Z=7一0ly，其中"=o+b+c+d.

ya+b)yc+d)ya+c)\b+d)

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

46.(2025?山東煙臺?三模)近年來，新能源汽車因其動力充沛、提速快、用車成本低等特點得到民眾的追

捧.某機(jī)構(gòu)為研究汽油價格x(單位：元/升)與新能源汽車的月銷售量y(單位：萬輛)之間的關(guān)系，收集

整理得到如下數(shù)據(jù)：

X66.577.58

y1.5234.56.8

(1)若用模型y=61nx+。模擬了與y之間關(guān)系，求出回歸方程；

(2)根據(jù)建立的回歸方程，預(yù)測當(dāng)汽油價格上漲至9元/升時，新能源汽車的銷量；

(3)假設(shè)當(dāng)汽油價格為9元/升時，實際銷量超過預(yù)測值的概率為0.6.現(xiàn)進(jìn)行5次獨立觀測，記這5次觀測

中銷量超過預(yù)測值的次數(shù)為九求4的數(shù)學(xué)期望.

55

參考數(shù)據(jù)和公式：ln3。1.1.2(%一元)(%-9)=665,^(x,.-%)2=2.5.

Z=11=1

555

令lnXj=%,=9.7,夕(4一歹)=0.93,Z(“廠萬)=。05.

i=li=li=l

對于一組數(shù)據(jù)G，y)(i=L2,3,???.)，其回歸直線9=%+?的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

,￡(々一丁)5-9)

$=上。-----------，a=y-bx.

i=l

47.(2025?江蘇蘇州?三模)現(xiàn)有甲、乙兩臺機(jī)器生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑X(單位：mm)服從

正態(tài)分布乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑Y(jié)(單位：mm)服從正態(tài)分布N(8,4).

(1)若甲、乙在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.1,02且兩臺機(jī)器工作狀態(tài)相互獨立.設(shè)一天內(nèi)發(fā)生故障的

機(jī)器臺數(shù)為Z,求Z的分布列；

(2)若生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑小于8mm,則每件虧損2元；若內(nèi)徑大于10mm,則每件虧損8元；其余尺寸的零

件，則每件獲利20元.已知每天每臺機(jī)器生產(chǎn)出一千件零件，試比較哪一臺臺機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平

均利潤更大.

參考數(shù)據(jù)：若。~N(〃,cr2),則尸(〃一J<〃+cr)Q0.683,P(〃-2cr<J<〃+2b)=0.955.

Z012

P0.720.260.02

48.(2025?湖北武漢?三模)小華、小明、小紅三人為某比賽制定了如下規(guī)則：先確定挑戰(zhàn)權(quán)，挑戰(zhàn)權(quán)屬于

某人時，該人可挑戰(zhàn)另外兩人.經(jīng)商定，小華首先獲得挑戰(zhàn)權(quán)，他挑戰(zhàn)小明、小紅的概率均為［若他挑戰(zhàn)小

明，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小明，且小明再挑戰(zhàn)小華、小紅的概率分別為3:、；1；若他挑戰(zhàn)小紅，下一次的

44

挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小紅，且小紅再挑戰(zhàn)小華、小明的概率分別為=31

44

(1)經(jīng)過3次挑戰(zhàn)后，小華已使用的挑戰(zhàn)權(quán)次數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)若經(jīng)過〃次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)屬于小華、小明、小紅分別記為事件4,里,C.

(i)證明：P(B?)=P(C?);

(ii)求事件4發(fā)生的概率.

49.(2025?重慶?三模)甲、乙兩位同學(xué)一起玩數(shù)軸游戲，規(guī)則如下:游戲開始時，兩人各自的棋子均在數(shù)軸

零點處，兩人輪流拋一枚骰子(兩人都拋完一次骰子，則稱這輪結(jié)束)，若得到的點數(shù)為1或2,則該同學(xué)的

棋子沿正方向移動兩個單位長度;若得到的點數(shù)為3或4,棋子就沿正方向移動一個單位長度;若得到的點數(shù)

為5或6,棋子保持不動.

(1)若3輪結(jié)束后，求甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字3處的概率；

(2)若甲同學(xué)的棋子向正方向每次移動一個單位長度得5分，每次移動兩個單位長度得10分，不動則不得分，

當(dāng)他完成3輪游戲后，記得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(3)經(jīng)過協(xié)商，甲先拋擲骰子，記第，輪結(jié)束后，甲、乙兩人的棋子所在數(shù)字分別為%和％.兩人約定:在〃輪

游戲后，對任意的14V”,ieN,均有%>%，則認(rèn)為甲獲勝.已知3輪游戲后，甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字4

處，求此時甲獲勝的概率.

50.(2025?湖南長沙?三模)隨著2025年春節(jié)檔電影《哪吒》與《封神榜》的播出，中學(xué)生中掀起了一股

對“中國神話故事”的討論熱潮.某校興趣小組為研究本校不同性別的學(xué)生對“中國神話故事”的喜愛情況，

特進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件A="喜歡中國神話故事"，B=

“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計F(A|B)=|,P(B|A)=|.

(1)現(xiàn)采用分層抽樣從50名女生樣本中選出5人，再從這5人中隨機(jī)選出3人，設(shè)其中喜歡中國神話故

事的學(xué)生人數(shù)為X,求X的概率分布列和期望；

(2)將樣本的頻率視為概率.

(i)求該校任意一名學(xué)生喜歡中國神話故事的概率；

(ii)現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取"名學(xué)生，設(shè)其中喜歡中國神話故事的學(xué)生人數(shù)為乙且當(dāng)7=18時，

P(Y)取得最大值，求從全校學(xué)生中抽取的人數(shù)”.

51.(2025?上海?三模)某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同.甲每道題自己有把握獨立答對

的概率為若甲自己沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團(tuán)尋求幫助，其親友團(tuán)每道題能答對的概

率為P,假設(shè)每道題答對與否互不影響.

(1)當(dāng)p=g時，

3)若甲答對了某道題，求該題是甲自己答對的概率；

(ii)甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

2

⑵乙答對每道題的概率為§(含親友團(tuán))，現(xiàn)甲乙兩人各答兩個問題，若甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的

個數(shù)多的概率不低于1,求甲的親友團(tuán)每道題答對的概率P的最小值.

52.(2025?江西?二模)某公司計劃舉辦周年慶活動，其中設(shè)計了“做游戲贏獎金”環(huán)節(jié)，從所有員工中選取

10名業(yè)績突出的員工參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規(guī)則如下：參與者投擲一枚均勻

的骰子，初始分?jǐn)?shù)為0,每次擲得點數(shù)為偶數(shù)得2分，點數(shù)為奇數(shù)得1分.連續(xù)投擲累計得分達(dá)到9分或10

分時，游戲結(jié)束.

(1)設(shè)員工在游戲過程中累計得〃分的概率為2.

①求《旦,號

②求證數(shù)列陀,-匕-}(24〃49)為等比數(shù)列.

(2)得9分的員工，獲得二等獎，得10分的員工，獲得一等獎，若一等獎的獎金為二等獎的獎金的兩倍，且

該公司計劃作為游戲獎勵的預(yù)算資金不超過1萬元，則一等獎的獎金最多不能超過多少元？(精確到1元)

53.（2025?北京海淀?三模）某AI大模型想象力引擎處理用戶問題分為“深度思考”模式，“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式和“兼

用”模式（即同時使用“深度思考”和“聯(lián)網(wǎng)搜索”）三種模式，用戶可根據(jù)需求在提問時自由選擇.為了調(diào)查

用戶對不同模式的使用頻率和使用大模型研究問題的種類，該公司調(diào)查了不同用戶最近提出的共10000個

問題作為樣本，得到如下表格.

學(xué)習(xí)類問其他類問

問題類別模式生活類問題

題題

深度思考1100600300

聯(lián)網(wǎng)搜索12001500300

兼用150025001000

假設(shè)每個用戶的每個問題的模式選擇與問題類別均相互獨立，用頻率估計概率.

（1）在樣本中隨機(jī)抽取一個問題，求該問題的處理模式是“兼用”模式的概率.

（2）在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取2個，估計生活類問題個數(shù)不超過學(xué)習(xí)類問題個數(shù)的

概率.

（3）不同模式處理問題的時間可以大致分為三組：（0,20],（20,40],（40,+。）（單位：秒）.在網(wǎng)絡(luò)正常的時

候，使用三種模式處理用戶問題所需時間比例統(tǒng)計如下圖所示.假設(shè)小明已經(jīng)使用該AI大模型的同一種模

式解決了兩個問題，其中一個問題的處理時間4e（0,20],另一個問題的處理時間Le（40,+力）.若不考慮其

他因素干擾，判斷小明在解決這兩個問題時最有可能使用的是哪種模式.（結(jié)論不要求證明）

54.（2025?湖南長沙?三模）《最強(qiáng)大腦》“腦王爭霸”是節(jié)目中最激烈的高智商對抗環(huán)節(jié)，通常由往屆擂主與

多名挑戰(zhàn)者進(jìn)行多輪腦力對決.現(xiàn)有一擂主與三名挑戰(zhàn)者甲、乙、丙.

（1）擂主與甲、乙、丙各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨立.已知該擂主與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別

為;求該擂主連勝三局的概率.

（2）若新賽制讓甲和乙進(jìn)行比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒有平局，比賽進(jìn)行到一方比另

一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為乙獲勝的概率為夕，

且每局比賽結(jié)果相互獨立.

(i)若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大值;

8若比賽不限制局?jǐn)?shù)，記“甲贏得比賽”為事件S證明：=

55.(2025?浙江?二模)一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別標(biāo)有點數(shù)1,2,3,4,5,6.現(xiàn)隨機(jī)地將

骰子拋擲次，各次拋擲結(jié)果相互獨立.

(1)當(dāng)〃=3時，求向上的點數(shù)最大是5的概率；

(2)求向上的點數(shù)最大是2的概率；

(3)記隨機(jī)變量X表示向上的點數(shù)最大值，若X的數(shù)學(xué)期望不小于5,求拋擲次數(shù)”的最小值.

56.(2025?浙江?三模)空氣中的塵埃，天上的云朵飄忽隨機(jī)不定、這些動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的研究有著重要的意

義.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點出發(fā)，等可能向四個方向移動，即粒子每秒向左、向右、向上或向下

移動一個單位，如在I秒末，粒子會等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點處.

(1)求粒子在第2秒末移動到點(1,-1)的概率；

(2)記第n秒末粒子回到原點的概率為pn.

(i)已知f(C)2=C求P30以及。2.；

攵=0

(ii)令b“=p］、,記為數(shù)列也｝的前"項和，若對任意實數(shù)A/>0,存在“eN*,使得S.>M,則稱粒子

是常返的.已知屈(3“<加聲］［證明：該粒子是常返的.

專題08概率與統(tǒng)計

?JH_____

.2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國二卷?高考真題）樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【分析】由平均數(shù)的計算公式即可求解.

【詳解】樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為2+8+1；+16+20=3=12.

故選：C.

2.（2025?上海?高考真題）己知事件A、B相互獨立，事件A發(fā)生的概率為尸（A）=g,事件B發(fā)生的概率為

P（B）=；,則事件AcB發(fā)生的概率玳4門8）為（）

A."B.；C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式可求尸（Ac3）.

【詳解】因為A,8相互獨立，故尸（AcB）=尸（A）P（B）=gx1=1,

故選：B.

3.（2025?天津?高考真題）下列說法中錯誤的是（）

A.若X~N（〃Q2）,則P（X4〃—b）=P（XN〃+b）

B.若X:N"）,Y~N（2,*）,則尸（X<1）<P（Y<2）

C.越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)

D.N越接近0,相關(guān)性越弱

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.

【詳解】對于A,根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，尸（XW〃-。）=尸（X2〃+b）,A說法正確；

對于B,根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，P（X<l）=P（y<2）=0.5,B說法錯誤；

對于C和D,相關(guān)系數(shù)上|越接近0,相關(guān)性越弱，越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.

故選:B

二、填空題

（567）

4.（2025?上海?高考真題）已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望仇X]=.

\X_Z?J

【答案】6.3

【分析】根據(jù)分布列結(jié)合期望公式可求期望.

【詳解】由題設(shè)有E[x]=5x0.2+6x0.3+7x0.5=1+1.8+3.5=63.

故答案為：6.3.

5.（2025?天津?高考真題）在（尤-球的展開式中，/項的系數(shù)為.

【答案】-20

【分析】根據(jù)二項式定理相關(guān)知識直接計算即可.

r

【詳解】（龍-以展開式的通項公式為Tr+l=C"6T.（-l）,

當(dāng)r=3時，看=（2*3.（-1）3=一20*3,

即（x-球展開式中X3的系數(shù)為-20.

故答案為：-20

6.（2025?上海?高考真題）在二項式（2x-l）5的展開式中，Y的系數(shù)為.

【答案】80

【分析】利用通項公式求解可得.

（詳解】由通項公式Tr+l=C>25T?產(chǎn)，,（-iy=c；-（-iy.2fT,

令5-r=3,得r=2,

可得/項的系數(shù)為C；?（-Ip-25-2=80.

故答案為：80.

7.（2025?上海?高考真題）4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊列，要求隊列的頭和尾均是

家長，則不同的排列個數(shù)有種.

【答案】288

【分析】先選家長作隊尾和隊首，再排中間四人即可.

【詳解】先選兩位家長排在首尾有片=12種排法；再排對中的四人有P：=24種排法，

故有12*24=288種排法.

故答案為：288

8.（2025?北京?高考真題）已知（l-2x>=旬-2。]》+4a2芯2-8。3丁+16%苫4,貝！|%=；

+a2+a3+a4=.

【答案】115

【分析】利用賦值法可求旬，利用換元法結(jié)合賦值法可求。1+。2+生+%的值.

【詳解】令尤=0,貝！|%=1,

4234

又（1—2x）=a0—2a1x+4a2x—8a3x+16tz4x,

故（1—2x）=4+“］（—2x）+a,（—2x）+6（-2尤）+%（—2x）,

t=-2x,貝!1（1+/）=%+qt+a,廠+//+,

令f=l,貝!14+q+a?+/+%=2a,故q+生+為=15

故答案為：L15.

9.（2025?天津?高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5,

若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4,6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈

的概率為0.6,6圈的概率為0.4.小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達(dá)標(biāo),

則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X,則期望￡（尤）=

【答案】0.63.2

【分析】先根據(jù)全