空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題一

知識(shí)點(diǎn)一求點(diǎn)面距離,面面角的向量求法

典例1、如圖，在長方體AG中，AO=AA=1,4?=2,點(diǎn)E是棱加的中點(diǎn).

(1)證明：DXEA.\D,(2)求點(diǎn)少到平面AC"的距離；(3)求二面角。「EC-。

的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在長方體ABC。-AgCQ中，AD=AAi=4fAB=2f￡、以川分別是8(7、

BB[、A]D

的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；⑵求點(diǎn)C到平面G0￡的距離；

(3)設(shè)〃為邊44上的一點(diǎn)，當(dāng)直線/W與平面AAOA所成角的正切值為無時(shí)，求二面

4

角N-AP-M的余弦值.

典例2、如圖，在四棱錐P-A8C。中，平面48co，四邊形A8C。是矩形，PA=AB=2f

4)=4,E是心的中點(diǎn)，AF±PC,垂足為F.

(1)證明：PD//平面ACE：(2)求點(diǎn)尸到平面叢5的距離；(3)求二面角乂-砂-C

的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，正三棱柱ABC-A由G中，"=44t=2,點(diǎn)〃，石分別為AC,9的中

點(diǎn).

(1)求點(diǎn)名到平面BDE的距離；(2)求二面角D-BE-C^余弦值.

典例3、如圖，在四棱錐P-AACD中，已知PA_L平面A3CQ,且四邊形A3C。為直角梯形,

ZABC=ZBAD=-PA=AI)=2AB=BC=l.

2tf

(1)求點(diǎn)。到平面尸8c的距離；(2)設(shè)Q是線段配上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與OP所成的

角的余弦值為嚕時(shí)，求二面角八CQ-。的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐P-A8c力中，己知底面/WCD為直角梯形，AB//DCtABIAL^

AB=AD=2CD=2f平面面ABC。，PA±PI3,PA=PB.

(1)從下列條件①、條件②中再選擇一個(gè)作為已知條件，求證：EF〃平面P/1B；

條件①：E,尸分別為棱如，的中點(diǎn)；條件②：E,少分別為棱/T,49的中點(diǎn).

(2)若點(diǎn)"在棱外(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)緇為何值時(shí)，直線Q/與平面為〃所成角的

正弦值為由.

典例5、已知四棱錐E-/1BCD中，AB=4CZ)=4,AE=2,CD//ABy人0=2上,ZDAB=45°,

l^ABCDJ.

面力龐，CE=V17.

(1)求證：AELCB(2)求面力應(yīng)與面發(fā)龍所成的銳二面角的余弦值

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐P-48co中，底面ABCD為直角梯形，ABJ.BCfPOl^ABCD,

B0=-0C

3f

AB=2,BC=4五,CD=3.

(1)證明：PALOD-(2)若PO=OC,求二面角0-PQ-C的余弦值.

典例6、如圖，在直三棱柱ABC-48c中，側(cè)面48卅％是正方形，且平面ABC1平面

人叫A.

(1)求證：AB1BC,(2)若直線AC與平面A/C所成的角為9￡、為線段A。的中點(diǎn),

O

求平面AM與平面8CE所成銳二面角的大小.

隨堂練習(xí)：如圖，直三棱柱ABC-44G，ABJBC.

(1)證明：HCA.AH-(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，M=AB=BC=2,求二面角A-AO-C'的

余弦值.

空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題一答案

典例1、答案：⑴證明見解析；(2)；；(3)4.

解：(1)由長方體性質(zhì)知:AEJ?面ADAA,ADu面WA，則AE_LA。，

又AQ=AA=1,則AOAA為正方形，即而RAcAE=A,

面A*,而REu面ARE,/.D.EL\D,

(2)由題設(shè)，D、A=E,D、C=6AC=加,則夜=]

由^D-ACDt=%-A￡C，且E是棱AB的中點(diǎn)，則S“pc=—xlxl=—,即/_八氏=TX^X-=~?

44JJ\J

若￡到平面"A的距離為乙則；1入7：=11可得〃=1；.

32o5

(3)構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,2,0),E(U,0)，A(0,0,l),

??.EC=(-1,1,O),DIE=(1,1?-1),若加=?y,z)是面E。。的法向量,

m?EC=-x+y=0,,

???，令y=i,則〃z=(1,1,2),

in-D1E=x+y-z=O

又〃=(0.0.1)是面￡QC的一個(gè)法向量，

?*(cos<〃?,n>=--------=—=爭則銳二面角，-EC-D的余弦值爭

隨堂練習(xí)：答案：(1)證明見解析；(2)j(3)一旦.

36

解：(1)證明：連接用。，ME,如圖，

因?yàn)?分別是8C、8片的中點(diǎn)，所以ME//8C且何￡=；4C,

又“是A。的中點(diǎn)，所以ND=gA。，

結(jié)合長方體的性質(zhì)可得ME//N。且ME=ND,

所以四邊形MELW為平行四邊形，所以MN//ED,

又MNN平面CJ)￡,EDu平面GOE,所以MN〃平面C")E；

(2)因?yàn)?。=44=4,AB=2fABC?！狝4CQ為長方體，

仄秋川分別是6C、相、4。的中點(diǎn)，

所以GE=dCE、CC=26,CQ=dCD、CC=2后,EDVCD'EC?=2。，

所以為等腰三角形，其底邊上的高為卜爐二^j=30,

所以SaGM=gx2、￡x3夜=6,設(shè)點(diǎn)C到平面CQE的距離為力，則

匕-GOE=5S&C\ED=2介,

111QQ4

又儂”=%""/相<。=^葭2入2乂4=|,所以2〃=，解得〃=§,

所以點(diǎn)C到平面CQE的距離為々4；

(3)連接4N,如圖，

由PA_L平面AAOR可得ZANP即為直線PN與平面4人。〃所成角，

又AN=—AyD=—^AD'+AA^=2>/2,所以AP=AN=1,

224

分別以ZM、DC、。。作為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(4,0,4),P(4,l,0),N(2,0,2),所以卡=(。」1),AN=(—2,0,-2),

設(shè)平面N"的一個(gè)法向量為"?=(x,y,z),

則令z=l則，〃=(T4J,得平面APM的一個(gè)法向量

m-AyN=-2x-2z=O

H=(1,0,0),

/\inn-1y/2

所以cos作〃"麗=7m=

因?yàn)槎娼荖-4P-M為鈍角，所以二面角N-A/-M的余弦值為一立.

典例2、答案：(1)證明見解析；(2)|；(3)1.

解：(1)證明：連接3D交AC于點(diǎn)。，連接。E,易知。為8拉中點(diǎn)，

在△尸80中，0,E分別為8力，尸3中點(diǎn)，???0E為△P8D的一條中位線，/.

OE//PDt

,.?叨仁平面ACE,OEu平面ACE,二平面ACE.

(2)過點(diǎn)尸作尸Q"PB交8c于點(diǎn)Q,則點(diǎn)“到平面幺B的距離，即點(diǎn)。到平面小A

的距離，

:A4J?平面A3CD,BCcz^^ABCD,：.PAlBCt

又3C_LA8,PArAB=A,以u平面以8,ABu平面叢8,

???AC工平面批8,則點(diǎn)尸到平面小8的距離即為月。的長度,

在RtZ\PAC中，PA=2,AC=VFa=26，故RC=54+20=26,

又ARC，故網(wǎng)—，則入號(hào)落甯萼,

???PF=ylPA2-AF1=j4--=—.IBPF1,

V93f~B。C_~~PC_~z三j6_~6

1i2?

ABQ=-BC=-x4=-f即點(diǎn)尸到平面RIB的距離為丸

663J

(3)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由(2)可得A(o,0,0),￡(1,0,1),尸6，：1)，C(2,4,0),

uiw/125、?,(s105A

AE=(1,0,1),AF=,CE=(-1,-4J),CF=一~—,

\m-AE=x+z=0

設(shè)平面A"的一個(gè)法向量為加=(x,y,z),則4,125八，則可取

\m-AFc=-x+—y+-z=0

I333

/??=(1,2,-1),

n-CE=-a-4b+c=0

設(shè)平面CM的一個(gè)法向量為"=(〃也c),貝J510.5八，則可取

nCF=——a---b+—c=0

333

.?.8$（〃7"?=輸=0,J二面角A-E尸-C的正弦值為1.

隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）

4

解：（1）取A￡的中點(diǎn)。，連結(jié)。R,則。平面ABC,

AA3c是等邊三角形，..BD±ACf

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)A,DB,。。所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系。-“z,

則。(0,0,0),B(0,0、0),E(l,0,1),四(o,G，2),C,(-l,o,2),

.??08=(0,",0),DE=(1,0,I),BB,=((］,0,2),

—F-T-,「In-DB=0??v3y.=0

設(shè)平面用宏的法向量為〃=(%,y，Z),貝IJ即'

fvDE=0。］+馬=0

令4=1可得〃=(-1,0,I),

???點(diǎn)用到平面BDE的距離為普L=與=五,

|〃|叵

(2)BE=(l,-V3,1),EC,'=(-2,0,1),

設(shè)平面啊的法向量為〃7=(々，乃，馬),則［嚼=何即卜;-島2+［。,

X

，"EG=0［-22+z2=0

tnn11

令可得"?=(1,73,2),—<〃?，〃>=麗=醞弟="

二二面角O-BE-￡的余弦值為二

4

典例3、答案：⑴乎；(2)-冬

JJ

解：⑴^BCD=^CX^=1,由于04_L平面人8cZ),

從而必即為三棱錐P-BCD的高，故j尸|SmexPA.

JJ

設(shè)點(diǎn)。到平面P8C的距離為〃.

由小，平面A8CD得1_L8C,又由于8C_LA月，故8。工平面E48,所以8C_L?8.

由于一=々+22=也，所以S、8c=；BCxPB=半.故

乙乙

VD_BCP==ABCPx//=冬.

因?yàn)椋?m=%.砂，所以力=孚.

(2)以卜法力〃，力/｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-Q，Z,則各點(diǎn)的坐

標(biāo)為8(1,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),F(0,0,2).

設(shè)AQ=2?P(0<2<1),因?yàn)榧?(T0,2j,所以RQ=(-2,0,22),

由C5=(0,T,0),得CQ=C8+8Q=(-ZT,2/l),

又。P=(0「2,2),=.

即時(shí)，.又因?yàn)槌?+2?=后,所以8Q=1_8p=Z^.CB=(0,-I,0),

PC=(l/,-2),

設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為m=(x,乂z),則m-PC=0，，n(3=0,

即｛n得：y=。，令z=i,則x=2.

所以m=(2,0,1)是平面PCB的一個(gè)法向量.

又CQ9+4Q=(—ZT,22)=(V—0)CP=(-1J,O),

設(shè)平面。CQ的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則〃?CQ=o,〃.cr>=o,

—2x—5v+4z=0

即—+v=0'取I，則y=4,Z=7,所以〃=(4,4,7)是平面OCQ的一

個(gè)法向量.

從而cos你加麗=彳，

由圖知二面角為鈍角故二面角的余弦值為-立.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）—PM=^\

IL）L

解：若選條件①，取/〃的中點(diǎn)為G,連接尾，GF,則￡G〃PA,GF〃AB,

因?yàn)槭疓a平面以A,FG（Z平面以A,Blu平面以兒/Wu平面%A,

所以EG〃平面心B,2〃平面*w,

因?yàn)槠逩「GF=G,所以平面￡FG〃平面抬8,

乂因?yàn)椤闒u平面七FG,所以Eb〃平面用R

若選條件②，取8c的中點(diǎn)為G,連接￡G,GF,則EG〃即，GF//ABf

因?yàn)镋Ga平面以8,PGa平面以8,RAu平面以3,48u平面以8,

因?yàn)镋UCG尸=G,所以平面石尸G〃平面分〃，

又因?yàn)镸u平面月防，所以所〃平面必笈

取力夕中點(diǎn)為。，連接如，C0,因?yàn)槭珹=陽，所以尸OJ.A5,

又因?yàn)镻Ou平面月仍，平面處A_L平面力，平面PAAc平面43C￡)=A8

所以PO1平面ABCD,

又因?yàn)锳3=2,PA=PB,PALPB,所以尸0=1,

又因?yàn)锳8〃CO,AB=2CD=2f。為力夕中點(diǎn)，所以C0〃49,CD=AO,

又因?yàn)樗运倪呅涡　?。為矩形，所以?_LOC,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8為*軸正方向，0。為了軸正方向，0P為z軸正方向建立空

間

直角坐標(biāo)系如圖，則A(-1,0,0),尸(0,0,1),。(-1,2,0),C(0,2,0),所以尸力=(-1,2,-1),

又因?yàn)榧釉谖鹕?，所以存在加?,1］,使PM=/IPQ,所以PM=(T,2Z-孫

又因?yàn)槭?0,0,1),所以時(shí)(T,24,T+1),所以CM=(-42"2,l-/l),

又因?yàn)椤?(1,0,1),AD=(0,2,0),

設(shè)平面為〃的法向量〃=?y,z),則［:十:。,所以產(chǎn)。，取X=1,則z=-l.所以

=0

〃=(1,0,-1).

設(shè)直線CV與平面為〃所成角為。，

則sine…依.小冷=一,H+°+4T-二2

人J\/|GW|,|W|二荷+(2”2)，(1-q3

故12萬一202+7=0,所以4=:或義=[,乂因?yàn)樗粤x=!，即黑="

2o2ID2

典例4、答案：(1)證明見解析(2)1

解：(1)證明：連接W).因?yàn)樗倪呅蜛BCQ是菱形，所以八CM3.

又平面A8O),所以AC_LE8.

因?yàn)锽DcBE=B,所以AC_L平面3DE.又FD〃EB,所以平面3OE就是平面

BDFE,

因?yàn)闅vu平面8DFE,所以AC_LEF.

(2)設(shè)AC,3。相交于點(diǎn)0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

。4,。8所在直線分別為必y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)FD=AB=4EB=2,

則4"(),0),3((),1,0),C(一向),0),E(0,p(0,—1,2)

設(shè)平面A￡尸的法向量為”=(x,y,z),AE=-73,1,1J,AF=(->/3,-l,2),

\L)

m-AE=-VJx+y+—z=0「,、

則'2,取z=4后，可得根=(5,3百,46).

m-AF--y+2z=0

取8。的中點(diǎn)G連接。G.易證平面8CE_L平面ABC。,

因?yàn)椤?CO是正三角形，所以O(shè)G_L8C,

從而DGJ_平面BCE,即DG是平面BCE的一個(gè)法向量.

因?yàn)?。?,TO）,G一與30,所以DG=-乎‘看。

m-DG2x/3_1

所以cos《〃,OG）二

/n||DG|~10x73~5

所以平面AE/與平面BCE所成銳二面角的余弦值為1.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）返.

31

解：（1）取8c中點(diǎn)。，連接OA,OD,

因?yàn)?8C是以8c為斜邊的等腰直角三角形，所以O(shè)AL8C.

因?yàn)椤?CO是等邊三角形，所以81BC.

04（10。=。，6Mu平面AOD,OOu平面4。/）,所以3cl平面4%>.

因?yàn)锳Ou平面4。/）,故3C_LAO.

（2）在△AOD中，AO-1,OD=6AD=近，由余弦定理可得，

cos/AOO=-巫，故ZAO。=1500.

2

如圖，以。4,0,及過。點(diǎn)垂直于平面/WC的方向?yàn)椋ァ獄軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系。-冷之，

可得。一1s.當(dāng)所以8。二一%一1，與,CB=（0,2,0）,A8=（-l,l,0），

-5+y=0

nAB=O

設(shè)〃=（3,y,Z］）為平面ABD的一個(gè)法向量,則）

n-BD=0

令x=G，可得〃=（G,百,5）.

設(shè)〃?=（毛,％，Z2）為平面3c。的一個(gè)法向量,

m-CB=0令&=G,可得常=（G,o,3）.

則+3=。

”AQ=O

/\3+0+153回

所rVh以lcos(w,m)=-f=~f==——,

'/V3Ixx/1231

故平面A8O與平面8。夾角的余弦值為嚕.

ZA

典例5、答案：（1）證明見解析（2）這

42

解：（1）證明：過。作CG_L/W交/仍于G,連接AC,

???面ABC。工面//陽且為交線，CGu平面A3CQ,:?CG工面4%

又AEu平面4BE,ACG1AE,

2

,:EC=EA+AD+DC,，EC=（EA+AD+DC）~f

即EC1=EA1+AD2+DC2+2EA^AD+"j+2AD-DC,

gpi7=4+8+l+2E4（4D+OC）+2-2>/2cos450,EAAC=0,即AC_LAE,

?.?ACcCG=C,AC,CGu平面ABC。，"面ABCD,

又C8u平面AB處AELCB；

（2）過〃作QO_L"交力8于〃，：.OD//CGf；.DO上面

由（1）得AE_LAB,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AE，0B,。。分別為尢y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

由八。=2及，ZZMB=45°,得AO=2,20=2,DO=2,

：.A（0,-2,0）,3（020）,D（0,0,2）,C（0,l,2）,E（2.-2,0）,

???AE=（2,0,0）,AD=（0,2,2）,BC=（0,-l,2）,BE=（2,-4,0）,

設(shè)面/①；面比？的法向量分別為“=（小）"）,%=（占,必*2），

fAE?4=（）（2x,=0,,.、

Jmc，即J.C，令乂=1，則〃1=。，1，-1，

[ADn,=0[2y+2Z1=0

BEn,=0,f-y,+2z,=0,,

Z即1-Aaf令Z2=l，則上=（4,2,1）,

BCn,=0[2x2-4y2=0

/\n.-n-,2-1x/42

??.c°Ww>麗二;or石，

???面力朦與面8龍所成的銳二面角的余弦值為叵.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）及

6

解：（1）證明：:8。=；。。，5c=4及，:.B0=6.,0C=3上，又A8=2,8=3,

，塔二￡1=0，且四邊形ABCD為直角梯形，A8_Z8C,則ZABC=ZBCD=90°,

:.AABO^/XOCD,ZAOB+NDOC=90°,AAO±ODf

又丁P01平面ABC。，OOu平面ABC。，APOA.OD,

又,.?POnAO=O,PO,AOu平面AOP,，OD_L平面AOP,

???B4u平面生W,：.OD±PA.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。。，OAfOP分別為*,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

PO=OCt則戶（0,0,3夜），#36,0,0）,0（2>/3,-^,0）.

易知平面PO。的法向量為〃=（0,1,。）.

設(shè)平面PCD的法向量為機(jī)=（a,b,c）,

m-PC=0

???PC=（2區(qū)-瓜-36）,PD=（3>/3,0,-3x/2）,由，有

tn-PD=0

2島一向-3岳=0

3島-3怎=0

令a=,從而c=>/^,b=-\,/.=^>/2,—1,5/3j.

設(shè)二面角。一如一。的平面角為凡則8S”舄=7^島=*'

即二面角。-/力-C的余弦值為好.

6