專題10數(shù)列遞推公式歸類

o內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：歸納型

題型二：遞推基礎(chǔ)：累加型

題型三：遞推基礎(chǔ)：累積型

題型四：累加與累積擴(kuò)展型：換元型

題型五：sn型求通項(xiàng)

題型六：待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比型

題型七：等差等比同構(gòu)型

題型八：周期數(shù)列型

題型九：分式倒數(shù)型

題型十：分式換元待定系數(shù)型

題型十一：奇偶分段型

題型十二：“和”定型

題型十三：“隱形和”型

■第二層能力提升練

?第三層高考真題練

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

題型

........01歸納型

□技巧積累與運(yùn)用

小題的數(shù)歸法，大多數(shù)是先通過計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察數(shù)列中的項(xiàng)與系數(shù)，根據(jù)?！芭c項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系,

猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再證明.

1.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳"大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生

原理.該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則該數(shù)列第18項(xiàng)為()

A.200B.162C.144D.128

【答案】B

【詳解】偶數(shù)項(xiàng)分別為2,8,18,32,50,即2x1,2x4,2x9,2x16,2x25,即偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公

式為%"=2/,則數(shù)列的第18項(xiàng)為第9個(gè)偶數(shù)，即6g=02x9=2x92=2x81=162.故選民］

2.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決

眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個(gè)樹形圖，記圖2中

第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為%,白圈的個(gè)數(shù)為a，若?！?144,則4=()

-第1行

-第2行

0-o?<-第3行

圖1

A.34

【答案】D

【分析】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈,

從而可得遞推式，然后由遞推式可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，

所以有%=+履1,bn=a?_j+￡_|,

又因?yàn)?=0,仇=1,

所以。2=1,打=1,%=3,&=2,%=8,=5,

a5=21,2=13,a6=55,b6=34,%=144,b7=89,

故選：D.

3.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)

學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的

項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】由題意可知，去除所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

求解即可.

【詳解】由題意可知：若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4,…，

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，則北=，辿，

可得當(dāng)”=10,所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55,第56項(xiàng)為12,

故選：B.

題型

02遞推基礎(chǔ)：累加法

□技巧積累與運(yùn)用

數(shù)列求通項(xiàng)，可以借助對(duì)“形形色色”的累加法研究學(xué)習(xí)，積累各類通項(xiàng)“變化”規(guī)律。

1."等差”累加法：an+i-an=An+B

n

2.“等比”累加法：an+l-an=t.q

3.“裂項(xiàng)”累加法：a+｝-a—

4.無理根式裂項(xiàng)累加法：a=_^_

〃+1nITI

7幾十1+7幾

1.在數(shù)列｛%,｝中，4=3,a“+i=a“+lg（l+：j,則旬,等于（）

A.4B.3+101g3C.13D.12+21g3

［答案］A

【4析】應(yīng)用累加法結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算求出通項(xiàng)公式.

【詳解】依題意，在數(shù)列｛4｝中，6=3M,M=a“+lg［l+：

iq1

即a用一《=lg-----=lg(w+l)-lgn,

n

所1以q0=q+(%—4)+(%—%)+'+(《0—%)

=3+lg2-lgl+lg3-lg2+..+lglO-lg9=3-lgl+lglO=3+l=4.

故選：A.

「、3111

2.數(shù)列｛〃〃｝滿足%=彳，9。〃+1-1=。；一。〃，〃$N*,則一+—++——的整數(shù)部分是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

,111111cl

【分析】由。用-1=吊-?！?，得到一T---------7=—,再利用累加法得到一+—+-+—=2---------7再

??-14+1-1anqa2a23a24-l

根據(jù)%-%=(%-1)&0,得至Uan+l>an,從而得到a24的范圍求解.

【詳解】解：由?！?1-1=。；一。"，

因?yàn)?-4=(4-1)&0，

所以4+1

11111cl

貝1]m=一+一+…+一=-----------=2----------,

^^23]^^24]^^24]

「3737

乂％=彳，42=7，%=77，

2410

所以。242％3之電2N4>2,

所以

424T

所以1<相<2,

所以根的整數(shù)部分為1,

故選：C

3.數(shù)列｛4｝滿足％=-1,且,則與2等于()

A.19B.20C.21D.22

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，將原式變形可得色言-"=三不=2一二，由累加法分析可得凡?

n+\nn[n+1)nn+\

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝滿足q=T,且。用=(l+1%+2(〃eN*),

nJn'7

即4±1_="+_2_GzeN*),

n+1n川(〃+1)

、

變形可得"a■,-=a=---2--=--2----2-,

乂幾+1nn(n+l)nn+1

則有，%=(%—e)+(餐——)+……++?

nnn-1n-1n-21

2222222

=(--—)+(--——-)+……+(T-T)+(-l)=l—

n—1nn—2n—112n

則%=〃-2(w22),故。22=22-2=20；

故選：B.

題型

……-03遞推基礎(chǔ)：累積法

口技巧積累與運(yùn)用

累積法：

若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：/J=g5)5N2)的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng).

an-\

累積法主要有“分式型”和“指數(shù)型”。

分式型：-^=/(H+1)(?>2)

%/(?)

指數(shù)型：=(n>2)

%

1.若數(shù)列｛氏｝滿足(〃-+(〃22),%=2,則滿足不等式凡<930的最大正整數(shù)〃為()

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【分析】利用累乘法求得4，由此解不等式4<930,求得正確答案.

【詳解】依題意，數(shù)列｛%｝滿足(〃-1)%=5+1)4_1522),%=2,

公唱…，所以…a.c1八345n〃+1

?—-—?rl——=2x—x—x—xx------x------

“1"2〃〃-1123n-2n-1

=n(n+l),4也符合，所以%=〃(幾+1),｛a〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

由4=幾(〃+1)<930,(〃+31)(〃-30)<0,解得一31<〃<30,

所以〃的最大值為29.

故選：B

通2

2.在數(shù)列｛%｝中，??>0,4=1,二2〃,貝?。荨?13=

A.4^14B.15C.A/223D.10

【答案】B

22

1

【分析】依題意對(duì)與土牛=2”化簡，采用累乘法得到琉3,從而得到為3

4+1

a2+片22?+1

【詳解】因?yàn)?2n,所以d+i+q；=2〃(a；+「a：),即(1-2〃”3=(-2〃-1)個(gè)，得當(dāng)=

%an2n-\

222X44x小用X洶X嗎X占，1=225.

所以吭=冬、等X冬X

〃1120111410近《"22322121931

因?yàn)?>0,所以知3=15.

故選：B.

Q?7

3.已知數(shù)列｛%｝滿足彳*=不，q=1,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是()

21

a=a=

A.n~~B.n一(

n(n+V)n(n+V)

_1rn+l

C?a=—D.a=——

nnn2

【答案】A

【分析】利用累乘法計(jì)算可得.

Z7VI

【詳解】解：因?yàn)?=工，

an〃+2

a的_2a_1

所以2n-1n-ln-2^4_32

，

%n+1an-2n%5的4'q3

&a,an-1n-2321

所以出x^nzl_xx—x—x—?=-----x-------xx—x—x—.

aa

n-in-2%a2%n+1n543

2x12

即組=又％=1,所以?！ǘ?/p>

(n+l)n'n(n+l)

故選：A

題型。4

累加與累積擴(kuò)展：換元型

i+-L?+-1

1.己知函數(shù)/(x)=siny,數(shù)列｛。“｝滿足弓=1,且?！?i(〃為正整數(shù)).貝|“出022)=(

nn

D.2

A.-1B.1c

-42

【答案】C

=(1+工1］凡+工進(jìn)行整理，可以求出其通項(xiàng)公式，再代入/(x)=sin?可得答案.

【分析】將加

nn3

1+—1%+一1，:?%+i1

【詳解】由4+1=4+

nnn+1nn(n+1)

%+1I11.4”+1?1-an1

---,..-------1--------+—=...=^+-=2,

n+1nnn+1n+1n+1nn11

a=2n-t：.a=4043,.-./(?22)=sin

n202220一2,

故選：C

2.已知數(shù)列｛%｝滿足q=L""+14A+ineN則〃%的最小值是()

(〃+1)(〃+2)

23

A.-B.一C.1D.2

54

【答案】C

aa.}1111

【分析】本題首先可以根據(jù)4一6丁布一於，然后通過累加法求出

5+1)(〃二+2)、得出。一〃+1

,再然判斷數(shù)列｛也“｝的單調(diào)性即可求出.

【詳解】因?yàn)椤！耙?+i〃￡N"

n{n+1)

11

〃+l〃+2'

當(dāng)，=1時(shí)，上式成立，故，“一黑2n2+2n

nan

3〃+l

2n2+2n

設(shè)〃=

3"+1

川〃_b〃2（"+1）2+2。+1）2"+2"-6"2+10〃+4

向"-3（?+1）+13〃+1一（3〃+4乂3〃+1）

故數(shù)列｛2｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

則當(dāng)”=1時(shí)，/即加，的最小值為1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決數(shù)列問題的常用方法：

（1）根據(jù)定義判斷數(shù)列為等差等比數(shù)列；

[a,,n=l

（2）利用、。求數(shù)列通項(xiàng)；

電-Sc“T，〃N2

（3）對(duì)于?！?=/（〃），利用累加法求通項(xiàng)；

（4）對(duì)于｛%〃｝結(jié)構(gòu)，其中｛%｝是等差數(shù)列，色,｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和.

3.在數(shù)列｛%｝中，4=2,55=?+ln[l+[j，則4=（）

A.1B.2+（〃—l）ln〃C.l+〃+ln〃D.2〃+〃ln〃

【答案】D

【分析】根據(jù)小二2+ln但，利用累加法先求出％=2+ln”，進(jìn)而求得％即可.

〃+1nnn

【詳解】由題意得，9吟=%+ln四，

〃+1nn

,aa,na,a,n-1a,2

貝lj」=d-+ln-----,=—^9+ln-------」="+ln—,

nn—1n—1n—1n—2n—2211

由累加法得，"=?+ln—j+ln=+ln1,

n1n—1n—21

a（nn-\2、

即nn一n二4+l1n--------------,

n\n-1n-21）

貝l]&■=2+In〃，

n

所以%=2〃+〃In〃，

故選：D

題型

——05sn型求通項(xiàng)

□技巧積累與運(yùn)用

IE（n=1）

若在已知數(shù)列中存在：5,=〃凡）或5.=/（〃）的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式電-S“一（心2）,求數(shù)列的

通項(xiàng).一定要檢驗(yàn)n=l是否成立，特別是大題時(shí)。

1.已知S”為數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和，q=1,a“+i+2S“=2〃+1,貝I]$2023=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】C

[S.,H=1

【分析】利用%=°c、。求得狐，進(jìn)而求得邑。23.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，4+251=2+1,因?yàn)?=4=1,所以。2=1.

當(dāng)鹿22時(shí)，由an+l+2Sn=2n+l得+2S〃T=2n-l,

兩式相減可得a〃+i+2%=2,即4+an+x=2.

因?yàn)椤?=1'所以。3=1，。4=1'…,%=1,可得用=。1+%++%="，

所以52023=2023.

故選：C

2.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和記為S“，滿足2〃=JS,+”,則數(shù)列｛%｝的公差為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意求出4,出，然后求解公差即可；

【詳解】因?yàn)?〃=,所以S“=41->,

令〃=1,解得：S]=4=3,

〃=2,解得:S2=a｛+a2=14,

又因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列5,｝,

由止匕解得：(/=a2-=11-3=8,

故選:D

3.已知數(shù)歹！J滿足q+2a。+3%+…+=",設(shè)2=”冊,則數(shù)列—1的前2023項(xiàng)和為()

也%J

2024202340442022

A.----B.----C.----D.----

4047404740454045

【答案】B

【分析】根據(jù)題意先求出見=2,即可求出勿=2〃-1則可寫出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即

?〔她+J

可求出答案.

【詳解】因?yàn)?+2〃2+3〃3+①，

當(dāng)〃=1時(shí)，6=1；

當(dāng)時(shí)，q+2%+3/++（〃-=（〃一I）?（2）,

①-②化簡得見=生_二1，

n

當(dāng)〃=1時(shí)：--=1=1,也滿足?！?啰一-,

1n

1IO______

所以4=^^,bn=nan=2n-l,

2(2“-l2/i+lJ

nt>nbn+1(2/I-1)(2H+1)

所以，—]的前2023項(xiàng)和+++1______iLlfl1—]=些

2x2023-12x2023+lJ2(2x2023+lJ4047

m+iJ21335

故選：B.

題型

06待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比

□技巧積累與運(yùn)用

二階等比構(gòu)造法有兩種方法：

1.形如a角=qa^1+p（4w0，l,，a為常數(shù)），構(gòu)造等比數(shù)列｛a〃+X｝,%=3。特殊情況下,

當(dāng)q為2時(shí)，X=p,

_/n\—+-^―(網(wǎng)w0,〃w1)

2.形如4=?*+以°#°),變形為爐P"~P,新數(shù)列累加法即可

1.已知數(shù)列｛%｝滿足2%+22a2+23%+―+2%“=小2",則｛%｝的通項(xiàng)公式為()

億〃=1n+1

A-an=\..B.a=——

[n+l,n>2n2

f1,^=1

C.%=〃D.a=i

n[n—l,n>2

【答案】B

【分析】由題中等式，可得2Z=〃2—(〃-1)2"T=(〃+1)2"T,再結(jié)合”=1時(shí)4=1,可得a“=*.

【詳解】當(dāng)"=1時(shí)，有2q=12,所以q=1,

當(dāng)〃N2時(shí)，由2%+2?%+2,%+…+2〃二幾,2”,2%+2?%+2,%H卜2"】=(〃—1)?2”],

兩式相減得2%〃=〃?2〃—(M―1)2"]=(〃+1)2力，

nJ-1

此時(shí)，〃“=;一，%=1也滿足，

所以｛見｝的通項(xiàng)公式為4=罟.

故選：B.

2.在數(shù)列｛%｝中，4=1,an=2an_x+1,則。5的值為()

A.30B.31C.32D.33

【答案】B

【分析】由已知條件利用數(shù)列的遞推公式，依次令〃=2,3,4,5,結(jié)合遞推思想能求出結(jié)果.

【詳解】

；在數(shù)列｛4｝中，6=1,an=2a?_1+l,

二.g=2x1+1=3,

〃3—2x3+1=7,

4=2x7+1=15,

%=2x15+1=31.

故選：B.

3.已知數(shù)列｛%｝中，4=l,a“=3a,i+4(“wN*且”22),則數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式?！盀?)

A.3"TB.3K+1-8

C.3"-2D.3"

【答案】C

【分析】由已知得％=7,+芻=3進(jìn)而確定數(shù)列｛為+2｝的通項(xiàng)公式，即可求a”.

an-\+，

CL+2

【詳解】由％=1，?！?3”“_1+4知：4=7且----=3(?>2),

an-\+/

而q+2=3,出+2=9,

回｛%+2｝是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列，即。"=3"-2,

故選：C

題型

-……07等差等比同構(gòu)型

□技巧積累與運(yùn)用

二階f（n）型構(gòu)造法有兩種方法：

L形如*=ta〃+f（n）（#0,l,p，4為常數(shù)），構(gòu)造等比數(shù)列｛%+力/+.0

2.形如a"=pa,T+q"（pqwO）,變形為與=餐+1幺]（網(wǎng)Xo,0N1），新數(shù)列累加法即可

1.前"項(xiàng)和為S”的數(shù)列｛4｝滿足4+i-2aa=1-=2,若S"-2">119,則〃的最小值為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【分析】先判斷｛見-科是等比數(shù)列，求得進(jìn)而求得耳，利用分組求和法求得S,,由此化簡不等式

5?-2">119來求得”的范圍，進(jìn)而求得〃的最小值.

【詳解】因?yàn)榉?「2a“=1-〃，所以a,—（〃+1）=2（4-〃）,

且q-1=1,所以｛%-科是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以%=2"、所以%=2"T+〃，所以5,=上2+?！酪?2"-1+止業(yè)，

1-222

ll…”（1+〃）〃人（\+n\n

所以5“一2"=-1+i——J4-1+-——^—>119,

〃22

解得/+〃_240>0,所以〃>15,所以〃的最小值為16.

故選：B

2.在數(shù)列｛4｝中，4=3,%=24T—〃+2（〃N2,〃￡N+）,若?！?gt;980,則〃的最小值是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造數(shù)列，可得到4-〃=2[a“T-由此證明｛%-〃｝是等比數(shù)列，

求出結(jié)合其單調(diào)性，可求得答案.

【詳解】因?yàn)?=2tz;i_1-n+2（n>2,nGN+）,

所以a"一〃=2[%（心2,〃wN+）.

因?yàn)?。i=3,所以％-1=2,

所以數(shù)列｛%-〃｝是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，

貝—w=2",即a“=2"+〃，

因?yàn)?-a,-=2-1+1>0,所以數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，

因?yàn)榈?521<980,<210=1034>980,

所以滿足4,>980的"的最小值是10,

故選：C

3.等差數(shù)列｛%｝滿足?！?1=34+4〃（相印）,5“為其前〃項(xiàng)和，那么瀟=（）

A.-4028B.-4030C.-4032D.-4034

【答案】C

【分析】

根據(jù)%+i=34+4〃,eN*）求出公差和首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，得到答案.

【詳解】

等差數(shù)列｛%｝滿足??+i=3%+4〃（“eN*）,

分別令〃=1,2得,〃2=3〃I+4①，〃3=3〃2+8②,

②-①可得d=-2③，將③代入①可知為=-3,

通項(xiàng)公式為=-2〃-1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故§2014二2014(4+%014)

=%+%oi4=—4032.故選:C

1007-2x1007

題型

一08周期數(shù)列

.a+2023/*\

1.已知無窮正整數(shù)數(shù)列（｛?！埃凉M足%+2=」七二（〃eN）,則卬的可能值有（）個(gè)

an+l+1

A.2B.4C.6D.9

【答案】C

【分析】變形給定的遞推公式，由〃“+2-%片0,推導(dǎo)出矛盾，從而得%=%，再代入”=1即可分析求解.

%+2023

【詳解】由4+2=得“"+2+an+2,""+i=%+2023,當(dāng)“22時(shí)，?！?1+。”+1■a”=a_+2023,

an+l+1nt

兩式相減得an+2~an+l+?！?1（氏+2-%）=”“一1'即“〃+2-4,+。用（。n+2

于是4+2一4)&+1+1)=4+1—0I，依題意%+i+1〉1,

a—ciQ—Q

若4+2/"有4+2-?！?"M［二，則。＜|%+2-?！?=1向即｛&諭一%1｝是遞減數(shù)

an+\+1an+\+1

列，

由于｛q｝是無窮正整數(shù)數(shù)列，則必存在“2N*,使得1%+2-*=0與&+2-*＞。矛盾，

因此%2-與=0，即4+2=。"，于是數(shù)列｛4｝是周期為2的周期數(shù)列，

4+2023

當(dāng)〃=1時(shí)，由。3=%，得4=〃+]即6%=2023=1x2023=7x17x17,

從而％￡｛1,2023,7,17,119,289｝,所以q的可能值有6個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，結(jié)合已知條

件探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.

（、c111

2.若數(shù)列｛“〃｝滿足q=-3,-------------------=1,則。985=（）

6A+1

1C1

A.2B.—C.-3D.一

23

【答案】C

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系推出數(shù)列的周期性即可.

111l+a

【詳解】因?yàn)?-------------=1,所以。用=^

aaaa

?n+l?n+l1-%

1+1+6

1+Q〃+i1一?！?

an+2

1一1-1+4

11

〃〃+4

a

n+21

所以｛q｝是周期為4的數(shù)列，故。985=。1=

故選：C

an-l+

3

3.已知在數(shù)列｛4｝中，勾=2,an（論2）,則數(shù)列｛%｝的周期為）

1-an-l

3

A.3B.6C.9D.15

【答案】B

【分析】構(gòu)造數(shù)列，通過正切函數(shù)的周期性可得.

【詳解】由4=5>2）聯(lián)想到兩角和的正切公式,

1-an-\

.3

把%換為tan%,則

兀

tana_tana_+tan—

nx3nx6=tan[%_i+.

tanan=----------

1兀

1-tana,l—tanc1nrt—1.,tan—，

"T3o

tan卜_i+《]=tan[a“_2+ex2j,L,tanj=tanj^a?_6+x6

所以tana,=tan[a?_6+7x6=tana?_6,即a“=a

所以數(shù)列｛/｝的周期為6.

故選：B.

題型

09分式倒數(shù)型

□技巧積累與運(yùn)用

P%

形如Q/T+。，可以取倒數(shù)變形為'___!_=幺；

冊an-lP

2%

1.若數(shù)列｛”/滿足遞推關(guān)系式%+1,且〃1=2,則%024=（）

+2

122

A.------B.------D.------

101220232021

【答案】A

111

【分析】利用取倒數(shù)法可得-------=;,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解.

aa

n+1n2

2a1凡+211

【詳解】因?yàn)椤Ｓ?rn7，所以—=u—=》+一，

。"+2an+x2ali2an

11111

所以-------=3，又％=2,所以一=不，

a

n+i%242

故數(shù)列｛'｝是以J為首項(xiàng)，以;為公差的等差數(shù)列，

a.22

111,1,2

則-得%=一,

an222n

71

所以％024=---=-----

-02420241012

故選：A

a\

2.在數(shù)列｛%｝中，已知4=1,%+i=]+%,若％,=],則"工=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】通過取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列｛一｝是等差數(shù)列，求得一=2〃-1,進(jìn)而求出見=二二，解決問題

anan2?-1

即可.

【詳解】由?！?1=總—，％=1，取倒數(shù)得：—=—+2，

1+2?！?+1an

,1,1,

則｛一｝是以一=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

an?1

所以，=1+5T）X2=2W-1,所以見=—_；_；

2n-l

由于仆=2〃!]=3,故〃z=4-

故選：C.

3.已知數(shù)列｛%｝中，％=1且?！?1=§^（"€寸），則如為（）

D.

2

【答案】A

【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到4,得解.

3a,1+311

【詳解】由王向-----得?-----------=---1—

%+3'an+13ana?3

又'=1,數(shù)列J1是以1為首項(xiàng)，（為公差的等差數(shù)列,111/八

——=1+—(〃-1)=-n-+--2

43①33

3*1

?！?---￡N*,「?%2=77，故選：A.

幾+28

題型

10分式換元待定系數(shù)型

□技巧積累與運(yùn)用

形如QP^n-1,可以取倒數(shù)變形為-1=幺」-+_1,再構(gòu)造等比

n~qa^+tanP%p

,.ai

1.已知數(shù)列｛?！埃凉M足弓=1,“用=/力（〃eN*）,則滿足?！啊瓷痰摹ǖ淖钚∪≈禐椋ǎ?/p>

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由題意可得」一+3=2（,+3],即可得數(shù)列I，+31是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可計(jì)

aa

?+i（凡）[?J

算出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再解出不等式即可得解.

【詳解】因?yàn)?所以二一=3+2，所以二一+3=2[工+3],

3%+2a,l+lanan+l｛anJ

又,+3=4,所以數(shù)列+是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

4&J

所以;+3=2向，所以為=焉”.

an2-3

由凡<焉，得玉\<去，即2,"-3>125,解得"6.

因?yàn)椤檎麛?shù)，所以〃的最小值為7.

故選：C.

2.設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為%q=2，4+i=r，若邑期?（匕左+1），則正整數(shù)%的值為（）

2?！ㄊ?/p>

A.2024B.2023C.2022D.2021

【答案】C

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，再由分組求和及放縮法得出S1的范圍即可.

2a,111

【詳解】由％+】=、，兩邊取倒數(shù)可得：一

a

。“+1n+l242

1]（]、1

即----1=-----1，又1=1，

%2“J%

所以-“是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

11=1111=11

Bfr以---1=1H-----U.1---,-,-1----

尸"以a"2'Tan2'T"2+1

故S+—J—j,

”（2。+12'+1

人.，111

令M=---1—--F…H------

2°+1）+12"-1+1

,11151乙1）

由旦心3,^\M>-+-+-++吩=[+][「謬）

由止I〈擊，則〃<*：++*=21-口

11311111

貝-2+再<$"<?-—+—，所以2022+邑024<2022+石+^^<2023，

故S2024c（2022,2023）,則正整數(shù)上的值為2022.

故選：c

r、12a

3.設(shè)數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S,,已知％=j,a“+i=f，若%）24e（%T，Q，則正整數(shù)上的值為（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

【答案】B

【分析】由題設(shè)有——l=w（—-1）,等比數(shù)列定義求通項(xiàng)公式，進(jìn)而有4=1-%—求S”,再由

an+\/42+1

g<亍匕</r及放縮法確定Sw,范圍求參數(shù)值.

【詳解】—=y-+^^---1=^（~1）,又工-1=1,

a

n+\2%2an+l2anax

所以｛工-1｝是首項(xiàng)為1,公比為）的等比數(shù)列，

42

111,1?1

n-1

歷么42"ian2"T“2+l

故S,="一（——+/+,,,+—7-）,令M=-一+/+...+—7—

2°+121+12"-1+12°+121+1