專題21圓的有關(guān)性質(zhì)（9大考點(diǎn)，精選39題）

考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)1垂徑定理的有關(guān)計(jì)算

考點(diǎn)2垂徑定理的證明

考點(diǎn)3有關(guān)圓的認(rèn)識(shí)的計(jì)算與證明

考點(diǎn)4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

考點(diǎn)5圓周角定理

考點(diǎn)6圓周角定理的計(jì)算與證明

考點(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形

考點(diǎn)8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題

考點(diǎn)9利用隱圓解決最值問題

考點(diǎn)1垂徑定理的有關(guān)計(jì)算

1.（2025?四川涼山?中考真題）下列說法正確的是（）

A.若|a|=\b\,則a=b

B.若am<hm,則Q<b

C.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D.平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的弧

【答案】C

【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)，正方形的判定定理，垂徑定理，互為相反數(shù)的兩

個(gè)數(shù)的絕對(duì)值也相等，據(jù)此可判I析A；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有當(dāng)機(jī)>0時(shí)，原式才正確，據(jù)此可判斷

B：根據(jù)正方形的判定定理可判斷C；根據(jù)垂徑定理可判斷D.

【詳解】解；A、若|a|二|b|,則a=±b,原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、若am<>0）,則a<b,原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原說法正確,符合題意；

D、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

2.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，是。。的弦，半徑0C148于點(diǎn)D.若4B=8,OC=5.則。。的

長(zhǎng)是（）

A.3B.2C.6D.-

2

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟悉掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理得到A0的長(zhǎng)，再由勾股定理解答即可.

【詳解】解：^OCLAB,AB=8,

^AD=-AB=-x8=4,

22

又E04=。。=5,

回在Rt/kOAD中，OD=-A7=位-42=3,

故選：A.

3.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，是0。的弦.半徑。C_h48于點(diǎn)。，且48=8,0C=5.則OC的長(zhǎng)

【答案】2

【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)垂徑定理得到AD=[28=4,在中，由勾股定理求解0。=3,再由CD=0C-。。即可求

解.

【詳解】解：^OCLAB,AB=8,

040=-AB=4,Z.ADO=90。，

2

（30C=5,

WA=5,

團(tuán)在Rt△40。中,OD=y/OA2-AD2=3,

^CD=0C-OD=5-3=2,

故答案為：2.

4.（2025?湖北?中考真題）如圖，0。是AABC的外接圓，Z.BAC=45°.過點(diǎn)。作垂足為E,交AC

于點(diǎn)D,交。。于點(diǎn)F.過點(diǎn)F作0。的切線，交C力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

⑴求證：FD=FG；

（2）若48=12,FG=10,求。0的半徑.

【答案】（1）證明過程見詳解

（2）0。的半徑葭

【分析】（1）根據(jù)垂直，切線的性質(zhì)得到力8||G凡可得△。/G是等腰直角三角形，由此即可求解；

（2）根據(jù)垂徑定理得到力E=BE=6,是等腰直角三角形，由（1）得到雙）=10,則EF=4,如圖

所示，連接。力，設(shè)。E=x,則。/=0E+￡F=%+4=04,由此勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：^DFLAB,GF是。。的切線，即OF_LGF,

團(tuán)4BIIGF,

^BAC=4=45°,

團(tuán)乙FDG=90°-45°=45°,即^DFG是等腰直角三角形，

0FD=尸G；

（2）解：回DF1A8,

團(tuán)4E=BE=-AB=6,

2

國(guó)乙BAC=45°,

12乙IDE=90°-45°=45。，即△ADE是等腰直角三角形,

0F/4=ED=6,

由（1）得FD=FG=10,

0EF=OF-DE=10-6=4,

如圖所示，連接。4設(shè)。E=x，則OF=OE+E尸=%+4=0,4,

(3在Rtzx40E中，OA2=AE2+OE2,

團(tuán)（X+4）2=62+%2,

解得，工一條

故答案為：—2V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了求不規(guī)則圖形面積，矩形的性質(zhì)，圓周箱定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面枳，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（2025?山東東營(yíng)?中考真題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方山》章給出計(jì)算弧

田面積所用公式為：弧田面積=六弦x矢+矢2）,弧田（如圖）是由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦〃

指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)4B,“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心。到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦〃為8,“矢〃為2,

則cos乙OAB的值為.

、、I,?Z

、I/

、、I/

、+'

O

【答案】》0.8

【分析】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn).如圖，作OHJ?48交為8于H,交

圓弧于C,利用垂徑定理和勾股定理構(gòu)建方程組求出。4,0H,利用余弦函數(shù)定義即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作交AB于H,交圓弧于C,

由題意：AB=8,HC=2,

設(shè)0A=x,由0C=x,

團(tuán)。H=x-2,

1AB,。。為半徑，

BH=-AB

0/4/7=2=4,

在RtAOA”中，

由勾股定理得力"2+OH2=OA2,

042+（x—2）2=x2,

解得無=5,

004=5,

0coszO/lF

OA5

故答案為：a

7.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如圖1,月洞門是中國(guó)古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”,

其形制可追溯至漢代，但真正在美學(xué)與功能上成熟于宋代，北宋建筑學(xué)家李誡編撰的《營(yíng)造法式》是中國(guó)

占代最完整的建筑技術(shù)典籍之一.如圖2是古人根據(jù)《營(yíng)造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計(jì)圖，月

洞門呈圓弧形，用力表示，點(diǎn)。是4CB所在圓的圓心，4B是月洞門的橫跨，CQ是月洞門的拱高現(xiàn)在我們

也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計(jì)圖如圖3,已知月洞門的橫跨為力氏拱高的長(zhǎng)度為a.作法如下：

①作線段48的垂直平分線MN,垂足為。：

②在射線DM上截取0C=a；

③連接4C,作線段4c的垂直平分線交CD于點(diǎn)。；

④以點(diǎn)。為圓心，0C的長(zhǎng)為半徑作市力.

則皿力就是所要作的圓弧.

請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計(jì)圖（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一復(fù)雜作圖，熟練掌握尺規(guī)作線段，作垂線的方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題干給定的作圖步驟，結(jié)合尺規(guī)作垂線和作線段的方法作圖即可.

【詳解】解：由題意，作圖如下，即為所求：

考點(diǎn)3有關(guān)圓的認(rèn)識(shí)的計(jì)算與證明

8.（2025?河南?中考真題）如圖，四邊形/BCD是平行四邊形，以8C為直徑的圓交40于?點(diǎn)E.

ED

⑴請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若點(diǎn)E是力。的中點(diǎn)，連接。4CE.求證：四邊形40CE是平行四邊形.

【答案】（1）作圖見詳解

⑵證明過程見詳解

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，尺規(guī)作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵.

（1）運(yùn)用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意得到AEIIOC,AE=\AD,OC=\BC,即4E=0C,由一組對(duì)邊平行

且相等的四邊形是平行四邊形即可求證.

【詳解】（1）解.：如圖所示，

（3BC是百徑，

團(tuán)運(yùn)用尺規(guī)作直徑8c.的垂直平分線角8c.于點(diǎn)0,

（3點(diǎn)。即為所求點(diǎn)的位置；

（2）證明：如圖所示，

團(tuán)四邊形力BCD是平行四邊形,

團(tuán)4。IIBC,AD=BC,

回點(diǎn)0,E分別是BCMD的中點(diǎn)，

團(tuán)4EII0C,AE=^AD,0C=^BC,U\iAE=0C,

團(tuán)四邊形AOCE是平行四邊形.

9.（2025?廣西?中考真題）如圖，已知是。。的直徑，點(diǎn)C,D在。0上，LABC=65°,BC=CD.

D

⑴求證：△80C三△DOC；

⑵求乙力8。的度數(shù).

【答案】⑴詳見解析

(2)40°

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和以及等腰三角形等邊對(duì)等角，熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知條件利用SSS證明全等即可；

(2)根據(jù)。。二0氏求出/COB,再利用全等求出乙。。氏最后利用等邊對(duì)等角即可求.

【詳解】(1)證明：???。。的半徑為?！?,。&。。,0/,

:.0A=OB=OD=OC,

v0C=OC,BC=CO,

???△BOC三ADOC(SSS)；

(2)解：???0C=0B,

:.Z.OCB=Z.ABC=65°,

:.乙COB=180°-65°X2=50°,

BOC三△DOC,

???Z.DOC=乙COB=50°,

:.乙DOB=100°,

?:0D=0B?

是等腰三角形，

考點(diǎn)4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

10.(2025?四川南充?中考真題)如圖，是。。的直徑，4O1AB于點(diǎn)4,。。交。。于點(diǎn)C,HE1。0于點(diǎn)

E，交。。于點(diǎn)小尸為弧BC的中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若CD=4,則PE+PF的最小值是()

【答案】C

【分析】如圖，延長(zhǎng)。。交O。于點(diǎn)M,連接PM,PF,OF,由垂徑定理得"=丁=肝，進(jìn)而得乙4。。=

Z.COF=Z.BOF=60%±BOM=乙4。。=60。=凡點(diǎn)尸關(guān)于力8的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最

短得當(dāng)E,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，尸E+PF最小，最小值為EM的長(zhǎng)，在利用直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)。。交0。于點(diǎn)M,連接PM,PF,OF,

國(guó)4￡_LO0丁點(diǎn)￡,交。。丁點(diǎn)尸，尸為弧8c的中點(diǎn)，

(W=CF=/

團(tuán)4月OC=Z.COF=乙BOF,

^LAOC+Z.COF+乙BOF=180°,

0Z4OC=Z-COF=乙BOF=60°,

0ZROM=LAOC=60°=乙BOF,

回點(diǎn)戶關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M,

團(tuán)PM=PF,

(3PE+PF=PE+PM>EM,

當(dāng)E,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，最小值為EM的長(zhǎng),

團(tuán)2/1。。=60°,AD1AB,

團(tuán)ZD=30°,

團(tuán)OD=20A,

0CD=4,

團(tuán)OD=OC+4=20A=20C,即OC=4,

團(tuán)。C=OA=OB=OM=OF=4,

^AF1OC,^AOC=60°,

SAE=30°,

WE=-0A=2,

2

回PE+P"的最小值￡M=OE+OM=2+4=6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練學(xué)

握弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2025?河北?中考真題）2025年3月是第10個(gè)全國(guó)近視防控宣傳教育月，活動(dòng)主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，

更快降低近視率〃，圖是一幅眼肌運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練圖，其中數(shù)字1-12對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，數(shù)字。對(duì)應(yīng)

圓心.圖中以數(shù)字0-12對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段中，有一條線段的長(zhǎng)與其他的都不相等.若該圓的半徑

為1,則這條線段的長(zhǎng)為____.（參考數(shù)據(jù)：$訪15。=與&sin75o=苧）

44

【分析】如圖所示，設(shè)數(shù)字。記為圓心O,數(shù)字6記為4,數(shù)字7記為8,過點(diǎn)。作。0_L48于點(diǎn)。，首先

得到線段48的長(zhǎng)與其他的都不相等，然后求出，800=75。，解直角三角形求出80=絲色，然后利用三線

4

合一求解即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)數(shù)字。記為圓心。，數(shù)字6記為A,數(shù)字7記為B,過點(diǎn)。作0D1/18于點(diǎn)。

眼肌運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練圖

5

使用方法：以0,1,2,3,…的

順序順著箭頭方向移動(dòng)眼球，移

動(dòng)一圈后再回到原點(diǎn)，反復(fù)進(jìn)行。

由圖可得，線段的長(zhǎng)與其他的都不相等，

團(tuán)其中數(shù)字1-12對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，

13360。+12=30°

團(tuán)相鄰兩個(gè)數(shù)字與圓心。組成的圓心角為30。

^AOB=30°x5=150°

團(tuán)/OA8=Z.OBA=1(180°-LAOB)=15°

團(tuán)OD1AB

0ZROD=75°

0sin/Z?OD=sin75O=—,即??二”

OB41

魴。=立城

4

(3。。=OB,ODLAB

回48=2BD=曳電.

2

回這條線段的長(zhǎng)為勺.

故答案為：誓.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對(duì)等角，三線合一性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識(shí)點(diǎn).

12.(2025?上海?中考真題)如圖,已知4B,CD為?0中的兩弦，聯(lián)結(jié)。力，08交弦CD于點(diǎn)E,F,且CE=DF.

⑴求證：ABWCD；

（2）如果防=的，求證：AB2=BFOB.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦與圓心角之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判

定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）連接0C,。0,由等邊對(duì)等角得到40C。=ZODC,利用SAS證明AOCE三△ODF,得到0E=OF,證

明AOEF-△OAB,得至IJNOEF=^.OAB,貝lj可證明||CD；

（2）連接OD,BD,由腦=",得至=乙BOD,AB=BD,證明△403三△BOD（SAS）,得至1）4。30=

WAB,則可證明=48打。，進(jìn)而證明^OAB-△DBF,推出48?DF=0B?BF；再證明/OFB=乙DBF,

得到8D=Q凡則可證明力加=08?8口

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接。C,0D,

0OC=0D,

回40C。=乙ODC,

在公00F中，

(0C=0D

NO"=乙ODF,

(CE=DF

^OCE三△OOF(SAS),

I30E=OF,

WA=OB,

+=絲，

OAOB

又叵4EOF=4408,

(SAOEFOAB,

0/OEF=Z.OAB,

團(tuán)48||CD；

團(tuán)郎=隴,

團(tuán)ZJ108=Z.BOD,AB=BD,

又肛4=0B=0D,

^AOBBOD(SAS),

回408。=Z.0AB；

由(1)可得AB||CD,

□ZOFF=Z.OBA,

又任乙OFE=乙BFD,

^\Z-0BA=Z.BFD,

(?!△OABs&DBF,

津=竺，

DFBF

^AB-DF=OB?BF；

團(tuán)。/！=OB,

團(tuán)4OA8=ZLOBA,

0ZDF5=乙DBF,

團(tuán)BD=DF,

0DF=AB,

團(tuán)4B2=OB^BF.

考點(diǎn)5圓周角定理

13.（2025?青海?中考直題）如圖.48是。。的直徑，Z.CAB=40°.貝的度數(shù)是（）

cA

A.80°B.50°C.40°D.25。

【答案】B

【分析】本題主要考查了同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握同弧或等弧所

對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.根據(jù)48是。。的直徑得出乙408=90。，即可求解.

【詳解】解：財(cái)8是。。的直徑，

SC8=90°,

^LCAB+=90°,

^Z.CAB=40°,

0ZF=50°,

P1Z4DC=z/?=600.

故選:B.

14.（2025?重慶?中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,。在O0上，4102=100。，NC的度數(shù)是（）

r

【答案】B

【分析】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌握?qǐng)A周角

定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)圓周角定理，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，

二AC=二乙AOB=50°.

2

故選:B.

15.（2025?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，AC,BC為的弦,連接0力,OB,OC.若乙AOB=40°,Z.OCA=30°,

則/8C。的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.50°D,55°

【答案】C.

【分析】該題考杳了圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半得出乙4G5二：乙4。8=20。，即可

求解.

【詳解】解:SOB=40。,40&4=30°,

SC8—乙4OB=20°,

2

(34BC0=LOCA+^ACB=30°+20°=50°,

故選：C.

16.(2025?新疆?中考真題)如圖，CO是。0的直徑，43是弦，AB1CD,^ADC=30°,則NBOC=()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理.

先根據(jù)垂徑定理得到=乙BDC=30°,再根據(jù)圓周角定理即可得到HOC=60°.

【詳解】解：連接8D.

團(tuán)CD是。。的直徑，力B是弦，ABLCD,

^ADC=乙BDC=30°,

0ZFOC=2/.BDC=60°,

故選：C.

17.（2025?山西?中考真題）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C、。是。。上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接40、CD.若

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，連接4?、BC,由48為。。的直徑可得44力=90。，進(jìn)而由和=此得

^CAB=ACBA=45°,再根據(jù)圓周角定理即可求解，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接力。、BC,

（34B為。。的直徑，

0Z4CB=90°,

團(tuán)轉(zhuǎn)=糜，

^Z-CAB=/-CBA=45°,

團(tuán)ND=Z.CBA=45°,

故選:B.

18.（2025?湖北?中考真題）如圖，△力8。內(nèi)接于。0,484。=30。.分別以點(diǎn)力和點(diǎn)8為圓心，大于的長(zhǎng)

為半徑作弧，兩弧交于M,N兩點(diǎn)，作直線MN交力C于點(diǎn)。，連接BO并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)￡,連接。A,OE,

則，AOE的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，等邊對(duì)等角，圓周角定理的應(yīng)用，由MN是48的垂直平分線,

可得〃4=。8,可得/從4。=乙48。=31T,再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：由作圖可得：MN是的垂直平分線，

團(tuán)04=08,而4B4C=30°,

0ZF/1D=￡.ABD=30°,

^AOE=2^ABD=60°,

故選：C

19.（2025?四川瀘州?中考真題）如圖，四邊形;1BCO內(nèi)接于O0,BD為。。的直徑.若AB=AC/ACB=70°,

則4CBD=（）

【答案】B

【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得

ZR4C=40%根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，80c40。，進(jìn)而根據(jù)8。為。。的直徑，得出

△BCD=90。，進(jìn)而得出=50。即可求解.

【詳解】解：團(tuán)48=AC.Z-ACB=70°,

團(tuán)/ABC=Z.ACB=70°,

^/.BAC=180°-2.ABC-/.ACB=40°,

回阮=阮,

?4BDC=Z-BAC=40°,

團(tuán)BD為。。的直徑，

0ZFCD=90°,

團(tuán)乙CBD=90°-（BDC-90°-40°=50°

故選：B.

2U.（2U25?四川自貢?中考真題）PA,P8分別與。。相切于48兩點(diǎn)?點(diǎn)C在。。上，不與點(diǎn)48重合.若

乙P=80。，則乙4cB的度數(shù)為（）

A.50°B.100°C.130°D.50。或130°

【答案】D

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先畫圖，連接。4。氏

求解/力。8=360°-2x90°-80°=100。，再根據(jù)C的位置結(jié)合圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

答案.

【詳解】解：如圖，連接。40B,

（3P人PB分別與0。相切于4B兩點(diǎn),

^PAO=900=乙PBO,

團(tuán)"=80°,

⑦匕AOB=360°-2X90°-80°=100%

0ZC=^AOB=50°,Z-C=180°-50°=130°,

2

故選：D

21.（2025?浙江?中考真題）如圖，矩形4BCD內(nèi)接于O。，E是和上一點(diǎn)，連接EB,EC分別交4D于點(diǎn)心G.若

AF=1,EG=FG=3,則。。的直徑為.

【答案】2，百

【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，矩形的性質(zhì)；

根據(jù)題意證出?E8C,得到竺=竺=竺，設(shè)。G=x,則40=8。=4+無，表示出GC=x+l,DC=

BCECEB

V2r+1,連接力E,在Rt△力EG中，求出力E=J7,在Rt△/1EC和Rt△AOC中，表示出IC=+EC2,

AC=>/AD2+DC2,列式計(jì)算出x=3,再利用勾股定理計(jì)算直徑即可.

【詳解】解：西BCD為矩形,

^AD\\BC,40二90。

0FG||BC,

0AEFG?EBC,

那=里=竺，

BCECEB

設(shè)DG=%,則AO=8C=4+%,

底二」

4+x3+GC

團(tuán)GC=%+1,

在Rt/kGOC中，DC=\/GC2-DG2=V2x+1=AB,

連接力E,

出W為直徑,

SEC=90°,

在Rt△AEG中，AE=y/AG2-EG2=V7,

團(tuán)在Rt^/IEC中，AC=>JAE2+EC2,

在Rt/MDC中，AC=\/AD2+DC2,

mAD2+DC2=AE2+EC2,

^AD=4+x,DC=<2x+1,EC=x+4,AE=^7,

22

(21(4+x)2+(V2x4-1)=(V7)+O+4)2,

團(tuán)解得：%=3,

EMC=y/AE2+EC2=J(e)？+(x+4)2=2V14,

OO的直徑為：2后，

故答案為：2g.

22.(2025?陜西?中考真題)如圖，48為。。的直徑，眈=時(shí),Z-CDB=24°,則z4CD的度數(shù)為

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.先根據(jù)4。為0。的直徑，除=時(shí)，貝IJ/4+/ACD=90。，再根據(jù)RT=用*即/4=/CDR=24。，

代入N4CD=90。一進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：團(tuán)AB為。。的直徑，眈=呢,

團(tuán)481CD,

即44+AACD=90°,

團(tuán)阮=BC,

團(tuán)4A=乙CDB=24°,

貝IJ乙AC0=90°—乙/!=90°-24°=66。,

故答案為：66°.

23.（2025?安徽?中考真題）如圖，AB是O。的弦，P8與。。相切于點(diǎn)B,圓心。在線段P4上.己知"=50°,

則的大小為______

【答案】20

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，連接。8,由切線的性質(zhì)可得NPB。=

90。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得480P的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到答案.

【詳解】解；如圖所示，連接O①

團(tuán)P8與。。相切于點(diǎn)4,

團(tuán)OB1PB,

SB。=90°,

團(tuán)4P=50°,

團(tuán)/BOP=90。-4P=40°,

^Z-PAB="OP=20°,

2

故答案為：20.

24.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，點(diǎn)力，B,C在。。匕乙BAC=50。，則'

【答案】40

【分析】本題考查/圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵.先根據(jù)圓周角定

理可得NBOC=2^.BAC=100%再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)4B,C在。。上，/.BAC=50°,

團(tuán)NUOC=2^.DAC=100°,

團(tuán)08=0C,

1800-ZBOC

E1N08C=Z.OCB==40°,

2

故答案為：40.

25.(2025?江蘇連云港?中考真題)如圖，是。0的內(nèi)接三角形，LBAC=45°.若。0的半徑為2,則

劣孤糜的長(zhǎng)為.

【答案】n

【分析】本題考查了圓周角定理，求弧長(zhǎng)，先根據(jù)圓周角定理得NB0C=90。，再結(jié)合弧長(zhǎng)公式代入數(shù)值計(jì)

算，即可作答.

【詳解】解：連接片。,。。，如圖所示：

^LBAC=45°,灰：=既,

團(tuán)乙BOC=90°,

90OXJTX2

團(tuán)劣弧周＜==7T?

180°

故答案為：TI.

考點(diǎn)611周角定理的計(jì)算與證明

26.(2025?北京?中考真題)如圖，過點(diǎn)。作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,連接。4OB,OP,取。尸的

中點(diǎn)C,連接4c并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)。，連接BD.

(1)求證：Z.ADB=4AOP；

(2)延長(zhǎng)00交08的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡若力P=10,tan4l。/5=：,求OE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；

（2）DE長(zhǎng)為44.

【分析】（1）利用切線長(zhǎng)定理得0P平分乙10B,利用圓周角定理得〃。8=拉力08,等量代換即可證明；

（2）延長(zhǎng)4。交。。于點(diǎn)巴連接。凡利用條件求出線段長(zhǎng)，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形相似，最后根據(jù)

相似求得DE長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：vAP,BP分別切。0于A點(diǎn)，B點(diǎn)、,

:.0P平分-10B,

ALAOP=-/-AOB,

2

又二AS=A8,

???乙ADB=；Z710B,

2

???LADB=Z.AOP.

（2）延長(zhǎng)4。交OO于點(diǎn)八連接DF,則4ADF=90。,

???AP,8P分別切。。于A點(diǎn)，B點(diǎn),

???PA1.0A,

???r為OP的中點(diǎn),

PC=oc,

乂,；AP=10,tanz.AOP=

4P

-0==赤=20,

OP=\/AO2+AP2=V202+102=10V5,

AC=OC=1OP=575.AF=2AO=40.

AC=OC,

:.Z.CAO=Z.AOC?

又；乙PAO=Z.ADF=90°,

:.P一O=一FA,

ADDA

。力=懸x40=16后，CD=DA-AC=11V5,

vLAOP=Z.ADB,Z.ACO=乙ECD,

???△ACOECD,

AO_co

?'ED~CDf

...DE=邛x20=44.

55/5

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長(zhǎng)定理，圓周角定理及推論，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，熟記切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，并且能根據(jù)題意作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

27.(2025?安徽?中考真題)如圖，四邊形/BCD的頂點(diǎn)都在半圓。上，是半圓。的直徑，連接0C,+

2Z.ABC=180°.

C

⑴求證：OCIIADi

(2)若40=2,BC=2V3,求力8的長(zhǎng).

【答案】⑴詳見解析

(2)6

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，熟知圓周角定理和垂徑

定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由圓周角定理可得/AOC=24A8C,則可證明4ZX48+乙40c=180。，據(jù)此可證明。CII,4D.

(2)連接8D,交。C于點(diǎn)￡由題意知，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到乙408=90。，即/IO_L8。，則可

證明OC_LBD,由垂徑定理可得點(diǎn)石為B。的中點(diǎn)，則OE是△ABD的中位線，即可得到OE==1.設(shè)

半圓的半徑為〃則CE=r-l.由勾股定理知N—1=(2K;一(=—1)2,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)證明：0Z/1OC=2Z.ABC,/-DAB+2Z.ABC=180°,

團(tuán)/DAB+Z.AOC=180°,

(HOC||AD.

(2)解：連接BD,交0C于點(diǎn)E.由題意知,

斯B是。0的直徑，

^LADB=90°,即力。180,

回。。||AD,

團(tuán)OC1BD,

團(tuán)點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，

又E0是48的中點(diǎn)，

團(tuán)0E是△4BD的中位線,

團(tuán)。E="D=1.

設(shè)半圓的半徑為八則CE=r—l.

由勾股定理知，0B?-0E2=BEZ=BC?-CE?,

即產(chǎn)_1=（zV3）2-（z-I）2,

解得4=3,r2=-2（舍去）.

團(tuán)4B=2r=6.

考點(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形

28.（2025?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。。，若乙BOD=130°,則“CD的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】此題考查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).根據(jù)圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半求出的

度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及平角的定義即可求出答案.

【詳解】解：團(tuán)乙B。。=130°,

^BAD=-Z-BOD=65°,

2

回四邊形ABCD內(nèi)接于O。，

0/BC。+乙BAD=1800且4BCZ）+Z-ECD=180%

^ECD=4BAD=65°,

故選:C.

29.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于。0,AB=BC,連接BO,若乙ABC=70。，則

乙8DC的度數(shù)為（）

A

A.20°B.35°C.55°D.70°

【答案】C

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì).

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得乙4DC的度數(shù)，由弦相等可得弧相等，從而可得圓周角相等，計(jì)算即可.

【詳解】解：團(tuán)四邊形48C0內(nèi)接于。。，

^Z-ABC+Z-ADC=180°,

SBC=70°,

^ADC=180°-70°=110°,

^AB=BC,

/0x/>

^AB=BC,

0Z/1DC=乙BDC,

⑦乙BDC=110°x1=55°,

故選:C.

30.（2025?四川廣安?中考真題）如圖，四邊形/WC。是。。的內(nèi)接四邊形，^BCD=120°,。。的半徑為6,

則BZ）的長(zhǎng)為.

【答案】6V3

【分析】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，解直角三角形，連接8。并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)E,連接DE,

由圓周角定理得到乙8?！?90。/3￡。=匕4根據(jù)圓內(nèi)角四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)，求出乙人的度數(shù)，再解直角

三角形求出B。的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，Z-BCD=120%

團(tuán)4A=180°-120°=60°,

連接8。并延長(zhǎng)，交。0于點(diǎn)E,連接OE,則：BE為。。的直徑,ABED=Z/1=60°,

to

0ZFDE=90°,

團(tuán)0。的半徑為6,

團(tuán)BE=12,

在Rt△BDE中,BD=BE-sinF=12Xy=66；

故答案為：6V3.

31.（2025?吉林?中考真題）圖①、圖②均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)△4BC內(nèi)接

于任。，且點(diǎn)A,B,C,。均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

圖①圖②

⑴在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)。（點(diǎn)。不與點(diǎn)C重合），畫出乙力。8,使心力=

⑵在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)￡,畫出匕力EC,使44EC+448C=180。.

【答案】（1）見解析（答案不唯一）

⑵見解析（答案不唯一）

【分析】本題主要考杳了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì).

（1）取格點(diǎn)D,連接力。,8。，根據(jù)此=AS得到乙4D8=4AC8；

（2）取格點(diǎn)E,連接AE,CE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到乙4EC+N48c=180。.

【詳解】（1）解:如圖，點(diǎn)NADB即為所求：

圖①

（2）解：如圖，N力EC即為所求:

圖②

32.(2025?江西?中考真題)如圖，點(diǎn)A,B,C在。0上，Z-ACB=35°,以64BC為邊作團(tuán)ABCD.

一;

D

圖1圖2

⑴當(dāng)8。經(jīng)過圓心。時(shí)(如圖1),求乙。的度數(shù)；

(2)當(dāng)AD與0。相切時(shí)(如圖2),若。。的半徑為6,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴55。

⑵森=T

【分析】(1)先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出N84C=90。，再求出乙力8。=90。-35。=55。，再根

據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出乙。=乙ABC=55°；

(2)連接4。、CO,根據(jù)切線性質(zhì)得出4。14。，證明。418C,得出=

說明04垂直平分8C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出48=AC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出乙48c=乙4cB=

35。，根據(jù)圓周角定理得出〃0C=2〃8c=70。，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解:團(tuán)BC經(jīng)過圓心0,

團(tuán)BC為。。的直徑，

3AC=90°,

團(tuán)4ACB=35°,

團(tuán)4ABe=90。-35。=55。，

回四邊形A8CD為平行四邊形，

0ZD=Z.ABC=55°；

(2)解：連接A。、CO,如圖所示：

團(tuán)4D與。。相切，

團(tuán)401AD,

^z.0AD=90°,

(3在團(tuán)48。0中8CII4D,

0ZOEC=WAD=90°,

團(tuán)。A1BC,

回BE=CE,

（30,1垂直平分BC,

回AB=AC,

0Z4BC=Z-ACB=35°,

S。。=2Z,ABC=70°,

e70nx67n

團(tuán)小=-----=—?

日1803

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定

理，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

考點(diǎn)8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題

33.（2025?廣東深圳?中考真題）如圖，以矩形A8C0的8點(diǎn)為圓心，8C的長(zhǎng)為半徑作。8,交48于點(diǎn)F,點(diǎn)

E為40上一點(diǎn)，連接CE,將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EG,點(diǎn)G落在上，且點(diǎn)尸為EG中點(diǎn).若4F=1,

AE=3,則CD的長(zhǎng)為.

【答案】6

【分析】由矩形的性質(zhì)得44=4。=Z-ABC=乙BCD=90。，根據(jù)圓周角定理，可求得NG=*BC=45°,

根據(jù)CE=GE,可推出ZGEC為直角，從點(diǎn)尸為EG中點(diǎn)，可推出9=笑=；,接著再證明△E4FCDE,

EGCE2

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.

【詳解】解：回四邊形48。。是矩形，

0Z/1=Z.D=Z.ABC=乙BCD=90°,

???NG為所所對(duì)的圓周角，相所對(duì)的圓心角為乙48C,

???乙G=-^ABC=45°,

2

???將線段CE繞點(diǎn)磯頓時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EG,

:.CE=GE,

Z.ECG=Z-G=45°,

???乙GEC=180°一4G—乙ECG=180°—45°-45°=90°,

???Z.AEF+乙DEC=LAEF+乙AFE=90°,

???/.DEC=Z.AFE,

又乙D=^A=90°,

（?]△EAFCDE,

喉喑

???點(diǎn)尸為EG中點(diǎn)，

EFEF1

:.—=—=

EGCE2

???AE=3,

4F_1_3

e--———,

CD2CD

???CD=6.

故答案為；6.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角

形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

34.（2025?四川南充?中考真題）如圖，AC為正方形4BCD的對(duì)角線，CE平分ZACB,交AB于點(diǎn)E,把△CBE繞

點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△力延長(zhǎng)CE交4F于點(diǎn)M,連接。M,交4c于點(diǎn)N.給出下列結(jié)論:①CM1.AF：

@CF=AFx③"MO=45。；④翳=企一1.以上結(jié)論正確的是.（填寫序號(hào)）

【答案】①③④

【分析】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，角平分線定義，圓周角定理，勾股定

理解三角形，等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答

的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△CBE三△力可得CE=AF,乙BCE=乙FAB,BE=BF,進(jìn)而由4BEC+乙BCE=乙FAB4-

乙4EM=90。即可判斷①；由CT=BC+8/=4B+B尸>4尸即可判斷②；由4、M、B、C、。在以/1C為

直徑的圓上，可以證明4CMD=45。，即可判定③，設(shè)/W=CD=8C=a,由勾股定理解三角形

可得4N=(V2-l)a,CN=AC-AN=y[2a-[y[2-l)a=a,即可判斷④.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：ACBE"ABF,

^CE=AF,乙BCE=^FAB,BE=BF,

回在正方形4BCD中，

^ABC=90°,AB=BC,

又E4AEM=乙BEC,

團(tuán)ZBEC+乙BCE=乙FAB+Z.AEM=90°,

^AMC=90°,即CM14F,故①結(jié)論正確，

團(tuán)AB+BF>AF,CF=BC+BF=AB+BF,

0CF>AF,故②結(jié)論錯(cuò)誤；

如圖：

團(tuán)在正方形4BCD中，

回"48=LCAD=LACB=45°,

0Z/1MC=Z.ABC=Z.ADC=90°,

EL4、M、B、C、。在以4C為直徑的圓上，

團(tuán)”=m

^CAD=Z.CMD=45°,故結(jié)論③正確；

如圖：過N點(diǎn)作NGJ_4C,交4D于G,

(3CE平分NACB,Z.ACB=45°,

EZ4CM=22.5°,

0AM=AM,

團(tuán)NACM=/.ADM=22.5°,

^CAD=45°,

團(tuán)乙AGN=90°-Z,CAD=45°,UNG=180°-乙CAD-乙ANG-乙ADN=22.5°,

EUCA。=乙AGN=45°,乙GDN=乙DNG=22.5°,

國(guó)AN=NG=GD,

設(shè)40=CD=BC=a,

在Rta/ING中，AN2+NG2=AG2,

^2AN2=(a-AN)2,

^AN=(V2-l)tz,(負(fù)根己舍去)

斯C=y/AD2+CD2=V2a,

=AC-AN=\f2a-(V2-l)a=a,

嘮=空出=(四一1).故結(jié)論④正確；

綜上所述：①③④結(jié)論正確，

故答案為：①③④.

35.(2025?四川達(dá)州?中考真題)綜合與實(shí)踐

問題提出：探究圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常將一個(gè)圖形分割成幾個(gè)圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段

之間的數(shù)量關(guān)系.

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在△A8C中，AC=BC,P是48邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作P01AC于。，PE18C于E,過點(diǎn)A作

于F.連結(jié)CP,由圖形面積分割法得：SM8C=S-PC+；則力F=+.

實(shí)踐應(yīng)用：如圖2,△48C是等邊三角形，4c=3,點(diǎn)G是48邊上一點(diǎn)，連結(jié)CG.將線段CG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得CF,連結(jié)G尸交BC于P,過點(diǎn)P作PD1GC于D,PE1CF于E,當(dāng)4G=1時(shí)，求PC+PE的值.

拓展延伸：如圖3,己知4?是半國(guó)。的直徑，AC,BE是弦，"=BE,P是AB上一點(diǎn),PD1AC,垂足為D,

AB=10.AD=2,BD=4V5?求治2牝+的值.

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：ShAPB,DP,EP；實(shí)踐應(yīng)用：耳：拓展延伸：24

【分析】探究發(fā)現(xiàn)：圖形面積分割法得出SMBC=Sgpc十Supg,根據(jù)AC=BC得出Af=DP+PE；

實(shí)踐應(yīng)用：過點(diǎn)&F分別作A8,CG的垂線，垂足分別為MN,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角

形的性質(zhì)，勾股定理分別求得AM,CG,進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△CGF是等邊三角形，同理求得N尸的長(zhǎng)，

進(jìn)而根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，即可求解；

拓展延伸：延長(zhǎng)AC,BE交于點(diǎn)T,過點(diǎn)P作PS工BE于點(diǎn)S,設(shè)=根據(jù)圓周角定理，得出乙4c8=90。，

在Rt^BC。中，根據(jù)勾股定理，求得％=4,進(jìn)而根據(jù)弧與圓周角的關(guān)系，得出兀4=78,根據(jù)

前面的結(jié)論，即可求解.

【詳解】解：探究發(fā)現(xiàn)：^PDLAC,PEIBC,AF1BC

團(tuán)S&A8c=S^APC+S^APB，

嗎BCxAF=^ACXDP+^BCXPE,

團(tuán)4c=BC,

0/IF=DP+PE；

故答案為：S.APB，DP,PE；.

實(shí)踐應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)C尸分別作的垂線，垂足分別為M,N,

團(tuán)CM1AB,

西M=BM=-,Z.ACM=乙BCM=30°,

2

團(tuán)CM=y/AC2-CM2=卜一針=當(dāng),

^AG=1,則8G=48-4G=3—1=2,

=BG-BM=2--=-,

22

在Rt△CMG中，CG=y/CM2+GM2=J（等j+=夕.

團(tuán)將線段CG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得CF,

回CG=CF/GCF=60°

0ACG/7是等邊三角形，

團(tuán)CN=GN=-CG=—,則NF=癡N=—,

222

團(tuán)由探究發(fā)現(xiàn)可得：PD+PE=FN=尊

拓展延伸：如圖，延長(zhǎng)AC,BE交于點(diǎn)T,過點(diǎn)、P作PS上BE于點(diǎn)S,連接BC,

設(shè)CD=x,

西B是半圓。的直徑，

I2/.ACB=90°,

山1B=10,AD=2,BD=4V5,

在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=102-(2+x)2,

在中，BC2=BD2-CD2=(4V5)2-x2,

2

0(4V5)-x2=102-(2+X)2,

解得：x=4,

^BE=AC=AD+CD=2+4=6,

0/rc=夠

(3AE=BC,

團(tuán)4ABT=4BAT,

團(tuán)「4=TB.

回由探究發(fā)現(xiàn)可得：BC=PD+PS,

因BC=7AB2-AC?=V102-62=8,

回PD+PS=8,

財(cái)C=BE,

=

回S.PAC+S“BExPD+-BExPS

1

=-xAC(PD+PS)

=-2x6x8=24.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，弧與圓周角的關(guān)