重難點05導數(shù)中的切線問題全歸納(舉一反三專項訓練)

【全國通用】

題型歸納

【題型1求在曲線上一點處的切線方程】.........................................................2

【題型2求過一點的切線方程】................................................................3

【題型3與切線有關(guān)的參數(shù)問題】..............................................................3

【題型4利用切線求距離的最值問題】...........................................................4

【題型5切線的條數(shù)問題】.....................................................................4

【題型6兩條切線平行、垂直問題】............................................................5

【題型7公切線問題】.........................................................................5

【題型8與切線有關(guān)的新定義問題】............................................................6

命題規(guī)律

1、導數(shù)中的切線問題

導數(shù)中的切線問題是高考的重點內(nèi)容，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，一般以選擇題、

填空題的形式考察求曲線的切線方程，公切線問題等，試題難度屬中低檔，導數(shù)的切線問題也可能會作為

解答題中的條件或一小問進行考查，復習是要加強此方面的訓練.

方;描巧

知識點1曲線的切線方程及其解題策略

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

⑴求出函數(shù)y=/(x)在廣尤o處的導數(shù)，即曲線產(chǎn)/)在點(xo於?()))處切線的斜率；

(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=yoWo)(^o).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

⑴設出切點坐標T(xo衣砌(不出現(xiàn)州)；

(2)利用切點坐標寫出切線方程：y=J(xo)+f(xo)(.x-xo)；

(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.

知識點2與切線有關(guān)的參數(shù)問題

1.與切線有關(guān)的參數(shù)問題的解題策略：

(1)處理與切線方有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù):

①切點處的導數(shù)是切線的斜率;

②切點在切線上，故滿足切線方程；

③切點在曲線上，故滿足曲線方程.

(2)利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.

知識點3切線的條數(shù)問題

1.切線的條數(shù)問題的解題思路

(1)已知/U),過點(°力)可作曲線的切線條數(shù)問題

第一步：設切點Po(xo,yo)；

第二步：計算切線斜率W(xo);

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：j-jo=f(xo)(x-xo).

第四步：將(。力)代入切線方程，得：b-y0=f(x?)(a-x?),整理成關(guān)于尤。的方程；

第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的的方程就有幾個實數(shù)解.

(2)“過點型”切線條數(shù)判斷：

①有幾個切點橫坐標，就有幾條切線；

②切線條數(shù)判斷，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點橫坐標的新的函數(shù)零點個數(shù)判斷.

2.切線條數(shù)的求參問題

已知切線條數(shù)求參數(shù)，其實就是轉(zhuǎn)換成切線方程根的個數(shù)問題求參數(shù).

知識點4公切線問題及其解題策略

1.公切線問題的解題思路

求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把

兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切

可用判別式法.

2.公切線問題的求解步驟：

(1)設兩切點，求出兩切點對應的斜率所、無，且所“2；

(2)根據(jù)兩條曲線在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上,列出有關(guān)切點橫坐標的方程

組；

(3)解方程組，進行求解，得出結(jié)論.

舉一反三

【題型1求在曲線上一點處的切線方程】

【例1】(2025?福建福州?模擬預測)曲線f(x)=爐+3支在點(-1)(-1))處的切線方程為()

A.y+4=0B.2%—y—2=0C.6x—y=0D.6%—y4-2=0

【變式1-1](2025?青海海東?三模)曲線％=e'在點(e,l)處的切線方程為()

A.x—y=0B.x—ey=0C.x—y+1—e=0D.ex—y=0

【變式1-2](2025?新疆喀什?模擬預測)曲線f(x)=手在點(TT,0)處的切線方程為()

A.x+iry—JT=0B.x—iry—n=0

C.%—ny+n=0D.it%—y—n=0

【變式1-3](2025?廣東湛江?二模)已知函數(shù)/(久)=ex+2%,則曲線y=f(x)在點(0)(0))處的切線方程為

A.y=2%+1B.y=3x+1C.y=2xD.y=3x

【題型2求過一點的切線方程】

[例2](2025?江西景德鎮(zhèn)?一模)過點4(0,1)且與曲線/(久)=x3+2x-1相切的直線方程是()

A.y=5%+1B.y=2%+1

C.y=x+1D.y=-2x+1

【變式2-1](2025?新疆?二模)過點(1,4)且與曲線/(%)=/+%+2相切的直線方程為()

A.4%—y=0B.7%—4y+9=0

C.4x—y=0或7%—4y+9=0D.4x—y=0或4%—7y+24=0

【變式2-2](2025?貴州?二模)已知函數(shù)/(%)=(%+a)e%的圖象在點(1,/(1))處的切線斜率為3e.

⑴求a的值；

(2)求/O)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求曲線y=/O)過原點的切線方程.

【變式2-3](2025?湖北?模擬預測)己知函數(shù)y=/(x)=eax+i,xeR.

(1)若a=I，求過原點且與y=/(x)相切的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)>2x+e對所有久￡(0,+8)成立，求a的取值范圍.

【題型3與切線有關(guān)的參數(shù)問題】

【例3】(2025?河南?模擬預測)己知曲線/0)=(x+fc)ln(x+k)的一條切線的方程為y=x,則實數(shù)k=(

A.0B.1C.-1D.e

【變式3-1](2025?河南許昌?三模)若直線y=x+a與曲線y=ln(x+6)相切，貝防―a的值為()

35

A.1B.-C.2D.-

22

【變式3-2](2025?陜西安康?模擬預測)已知曲線f(x)=In%+%2-ax(%>§與傾斜角為45。且橫截距為a

的直線/相切，則。=()

A.1B.2C.3D.4

【變式3-3](2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預測)已知函數(shù)一。)2(%-2a),若曲線y=/(%)在點(2見0)

處的切線方程為y=%+租，則m的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【題型4利用切線求距離的最值問題】

【例4】(2025?河南駐馬店?模擬預測)已知點P為曲線y=%+￡上的動點，則點P到直線x+y=0的距離的

最小值為()

A.3V2B.6C.—D.9

2

【變式4-1](2025?江蘇南京?二模)已知y=(%—。尸+(%ln]-a+3)2(acR),則y的最小值為()

A.2B.1C.—D.-

22

【變式4-2](24-25高二下?山東棗莊?階段練習)點P是曲線y=/—lnx上任意一點，則點P到直線y=%—4

的距離的最小值是()

A.1B.V2C.2D.2V2

【變式4-3](24-25高二下?山東?階段練習)已知函數(shù)y=?的圖象與函數(shù)y=ln(2x)的圖象關(guān)于某一條直線

Z對稱，若P,Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為()

A.等B.萼c.①詈D.V2(l-ln2)

【題型5切線的條數(shù)問題】

【例5】(24-25高三上?河北承德?開學考試)過點(2,0)可作曲線f(x)=/一3乂-2的切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

【變式5-1](2025?山東?模擬預測)若過點(1,爪)可以作y=(x+l)e，的三條切線，則實數(shù)小的取值范圍是

()

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

【變式5-2](2025?河南?模擬預測)過原點且與曲線丫=松也久相切的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【變式5-3](2024.內(nèi)蒙古.三模)若過點(a,2)可以作曲線y=lnx的兩條切線，貝必的取值范圍為()

A.(-co,e2)B.(-oo,ln2)

C.(0,e2)D.(0,ln2)

【題型6兩條切線平行、垂直問題】

【例6】(2025?山東荷澤?一模)曲線y=|ln(x+l)l在401，%)，8(%2，%)兩點處的切線互相垂直，則言+己的

值為()

A.-1B.0C.1D.e

【變式6-1](2025?全國?模擬預測)已知函數(shù)/'(久)=(%+a)?+Inx的圖象上存在不同的兩點4B,使得曲線

丫=/(久)在點43處的切線都與直線刀+2)/=0垂直，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-co,1-V2)B.(1-V2,0)C.(-oo,1+V2)D.(0,1+V2)

【變式6-2](2025?四川涼山?一模)函數(shù)〃久)=|%2+alnx在區(qū)間(1,2)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，

貝Ua的取值范圍為()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)

【變式6-3](2025?河北邢臺?二模)已知函數(shù)/■(>)=/+21n久的圖像在B(%2，/(X2))兩個不同

點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

1010

A./+上=2B./+冷=目C.血血=2D.x1x2=—

【題型7公切線問題】

【例7】(2025?河南南陽?三模)已知函數(shù)/(%)=2ae%與g(%)=Inx+1存在公切線，則實數(shù)a的最小值為()

1111

A.—B.—C.—D.一

e2e4e6e

【變式7-11(2025?寧夏石嘴山?三模)已知函數(shù)/(%)=ax2+l(a>0),^(%)=In%,若曲線y=/(%)與y=g(x)

有兩條公切線，貝的取值范圍是()

A-(。，點)B.(點/C,點+劃D.擊+8)

【變式7-2](2025?河北秦皇島?模擬預測)設a豐0,若曲線/(x)=aln(x-1)在點(2/(2))處的切線也是曲

線g(x)=的切線，典|a=.

【變式7-3](2025?河北?模擬預測)若函數(shù)/(久)=e*T與g(x)=_|x2+2x+a的圖象有兩條公切線，則實

數(shù)a的取值范圍是.

【題型8與切線有關(guān)的新定義問題】

【例8】（2025?湖北黃岡?三模）在平面直角坐標系中，當P（x,y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為

P*（舄^，晨前｝當尸是原點時，定義尸的“伴隨點”為它自身.平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的

1+1%>0

12,二一八（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的伴隨曲

—xz+1,%<0

16

線長為（）

A.1.5B.-C.2D.-

23

【變式8-1]（24-25高二下?遼寧?期中）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法，若

定義GN）是函數(shù)零點近似解的初始值，過點娛（取"（久Q）的切線為y=/'（沖）0—4）+/QQ，切線與

久軸交點的橫坐標以+1,即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點的

近似解，設函數(shù)=/—2,滿足質(zhì)=2,應用上述方法，則上=（）

【變式8-2]（2024?湖北黃岡.二模）第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳閉幕.

會展展出了國產(chǎn)全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)代產(chǎn)品

外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：y=/（為上的曲線段

AB,其弧長為As,當動點從力沿曲線段4B運動到B點時，4點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線片，記這兩

條切線之間的夾角為A8（它等于"的傾斜角與丁的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的

彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義左=|詈|為曲線段48的平均曲率;

顯然當8越接近4即As越小，K就越能精確刻畫曲線C在點4處的彎曲程度，因此定義K=lim用|=

△STOIASIZ,2、區(qū)

（若極限存在）為曲線C在點4處的曲率.（其中y',y"分別表示y=/Q）在點4處的一階、二階導數(shù)）

(1)已知拋物線/=2py(p>0)的焦點到準線的距離為3,則在該拋物線上點(3,y)處的曲率是多少？

(2)若函數(shù)g(x)=不等式g(V—)W9(2-cossO對于xeR恒成立，求3的取值范圍；

(3)若動點4的切線沿曲線/(X)=2/-8運動至點B(j,f(今))處的切線，點B的切線與x軸的交點為

Qn+i，0)(n6N*).若%]=4,bn=xn-2,*是數(shù)列｛g｝的前幾項和，證明分<3.

【變式8-3】(2024.河南新鄉(xiāng).二模)定義：若函數(shù)f(x)圖象上恰好存在相異的兩點P,Q滿足曲線y=/(久)在

P和Q處的切線重合，則稱P,Q為曲線y=f(x)的“雙重切點”，直線PQ為曲線y=/(久)的“雙重切線”.

(1)直線y=2久是否為曲線〃久)=K3+1的“雙重切線，，，請說明理由；

(2)已知函數(shù)g(x)=卜"一】無-°，求曲線y=g。)的“雙重切線”的方程；

IIn%,%>0,

(3)已知函數(shù)九(%)=sin%,直線PQ為曲線y=h(%)的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值為七，

七，…，kn,若k]>k：2>&(i=3,4,5,…,九)，證明：答〈竽.

K-28

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?四川成都?一模)函數(shù)/&>x+siiw的圖象在點處的切線方程為()

A.x+y-7i-l=0B.x+j；-l=0C.x-y+l=0D.x-y=0

2.（2025?甘肅白銀?二模）已知函數(shù)於0=111（無-1）+1在點（2,1）處的切線方程為（）

A.x+y+l=0B.x-j^Fl=0C.x-y-l=0D.x+y-l=0

3.（2025?海南僧州?模擬預測）若直線歹=依是函數(shù)y=xlnx+l的圖象的一條切線，則實數(shù)上的值為（）

A.1B.-1C.eD.-

e

4.（2025?湖南?三模）若直線產(chǎn)區(qū)+1（左為常數(shù)）是曲線產(chǎn)hw+1和曲線產(chǎn)ae1+l的公切線，則實數(shù)a的值為

（）

A.-B.口C.1D.e

eez

5.（2025?河北?模擬預測）已知函數(shù)/643.+1,貝曠6）的圖象在點（1」）處的切線方程是（）

A.4x+y-5=0B.4x-y-3=0

C.2x+y-3=0D.2x-y-l=0

6.（2025?江蘇蘇州?模擬預測）已知函數(shù)/&>墨，曲線了手和在點（1次1））處的切線與直線2x-y=0平行，則

實數(shù)a的值為（）

A.B.】C.|D.1

7.（2025?湖南長沙?模擬預測）若曲線y=e>+加與y=ln&+〃;+l有公共的切線，貝必加的最大值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

8.（2025?湖南郴州?三模）已知函數(shù)危）=%2+2。13,若函數(shù)Ax）在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條斜率之積為-4的

切線，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-2,0）D.（-3,-2）

二、多選題

9.（2025?遼寧沈陽?模擬預測）若兩曲線j，=x2-l與尸alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值可能是（）

A.1B.eC.e2