二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)重難點題型

【例1】用配方法將下列函數(shù)化成(x+/?)2+2的形式，并指出拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo).

(1)y=-p+6.r-i7；

(2)y=(2-x)(l+2r).

【解題思路】(1)利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把

一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

(2)化為一般式后，利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式,

把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.

【解答過程】解：(1)>'=-1X2+6X-17=(/-⑵+36)+18-17=-：(x-6)2+1,

*.*67=—2<0>

，開口向下，

對稱軸為直線x=6,頂點坐標(biāo)為(6,1)：

3993

^J\+--J\2285

(2)y=(2-A)(l+2x)=-2?+3/2=-2(x2-Vz+Z8+2=-2(X-4X+

16

??Z=-2<0,

工開口向下，

3325

對稱軸為直線x=Z，頂點坐標(biāo)為(二,―).

48

【變式II】用配方法確定下列函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)，

(1)y=2jr-lZv+3

(2)y=-5X2+80X-319

(3)y=2(x-1)(x-2)

(4)y=3⑵+1)(2-x)

【變式12］用配方法把下列函數(shù)化成)，="(x-/?)2的形式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)、開口方向及對

稱軸.

(1)y=4A2-4.r+l：

(2)y=1T2+2A+2；

(3)y=—#+>/3A--1.

【變式131利用配方法，把下列函數(shù)寫成尸〃(廠〃)2+后的形式，并寫出它們圖象的開口方向、對稱軸

和頂點坐標(biāo).

(1)y=-/+6x+1

(2)y=2x^~3.r+4

(3)y=-f+nx

(4)y=x1+px+q.

【例2】(2020秋?番禺區(qū)校級期中)已知二次函數(shù)y=W?Zr-3,在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的

【解題思路】求出與x軸的交點坐標(biāo)，然后再利用配方法把函數(shù)解析式化為頂點式找出頂點坐標(biāo)與函數(shù)

的對稱軸直線，即可作出大致圖象；

【解答過程】解：當(dāng))，=0時，/-2x-3=0,

解得X\=-\,X2=3,

???與X軸的交點坐標(biāo)是(7,0),(3,0),

又??”=7-2x-3=(x-1)2-4,

???頂點坐標(biāo)是(1,-4),對稱軸是直線x=l,

圖象如圖所示：

【變式21】（2020秋?虹口區(qū)期末）已知二次函數(shù)的解析式為尸32?法.

（1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為,=，，（x+M2+k的形式；

（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系X。）'內(nèi)描點，畫出該函數(shù)的圖象.

???

X…__________-----------—------------

y…???

--------------------—

【變式22】（2020秋?岑溪市期中）已知二次函數(shù)y=?/+4%.

（1）下表是y與人的部分對應(yīng)值，請補充完整；

X???01234

???

y0———0

（2）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出該函數(shù)圖象;

【解題思路】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷。的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤.

【解答過程】解：人、由一次函數(shù)），=公-〃的圖象可得：此時二次函數(shù)），=，“2一。的圖象應(yīng)該開

口向上，圖象的兩交點在坐標(biāo)地上，故A正確；

B、由一次函數(shù)y=or-〃的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)。的圖象應(yīng)該開口向下，圖象的兩

交點不在坐標(biāo)軸上，故區(qū)錯誤；

C、由一次函數(shù)a的圖象可得：a>0,此時二次函數(shù).y=a?-。的圖象應(yīng)該開口向上，圖象的兩

交點不在坐標(biāo)軸上，故C錯誤.

。、由一次函數(shù)y=ar-a的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)丁=/-a的圖象應(yīng)該開口向下，圖象的兩

交點不在坐標(biāo)軸上，故。錯誤；

故選：A.

【變式31】（2020秋?萊州市期末）二次函數(shù)產(chǎn)/+阮+c與一次函數(shù)kat+c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能

是（）

【變式32】（2020?荷澤）一次函數(shù)），="才+〃與二次函數(shù)y=ar2+/*+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能

是（）

Oi

B.

【變式33】（2020春?市中區(qū)校級月考）設(shè)小、〃是常數(shù)，且〃<0,拋物線產(chǎn)如2+依+〃/-6為下圖中

四個圖象之一，則〃?的值為（）

A.6或?1B.3或?2C.3D.-2

【例4】（2020秋?淅川縣期末）將拋物線y=/-4.r+6向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長度

后，得到的拋物線解析式是（）

A.y=（x+1）2+3B.y=（x+1）2+1C.y=（x-5）2+3D.y=（x-5）2+l

【解題思路】根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則解答.

【解答過程】解：將拋物線?4工+6=（工?2）2+2向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長

度后所得新拋物線的表達式為丫=（x-2+3）2+2+1,即y=（x+1）2+3.

故選：A.

【變式41】（2020秋?廣西月考）把拋物線y=-2/+4.1+1平移得到拋物線y=-2（x-3）2+7,是怎樣平

移得到的（）

A.向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度

B.向左平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度

C.向右平移4個單位長度,再向上平移2個單位長度

D.向左平移4個單位長度,再向下平移2個單位長度

【變式42】（2021秋?鄴城縣期末）拋物線y=f+bx+c圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所

得圖象的解析式為），=f-4%+3,則b+c的值為.

【變式43］（2021秋?潮南區(qū)月考）把二次函數(shù)），=。（x-/z）2+4的圖象先向左平移2個單位，再向上平移

4個單位，得到二次函數(shù)尸2（A+1）2-1的圖象.

（1）試確定。、h、女的值;

(2)指出二次函數(shù)y=aGT?)2+&的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

[ft5](2020?瓊海一模)拋物線)，=(%-1)2+3關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式是()

A.y=~(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3

Cy=(x?1)2?3D.y=-(x-I)2-3

【解題思路】拋物線)，=(x-1)2+3的頂點坐標(biāo)為(1,3),關(guān)于x軸對稱的拋物線頂點坐標(biāo)為(1,

-3),且開口向下，將二次項系數(shù)變?yōu)樵瓛佄锞€二次項系數(shù)的相反數(shù)，用頂點式寫出新拋物線的解析式

即可.

【解答過程】解：??}=(x-I)2+3的頂點坐標(biāo)為(1,3),

???關(guān)于4軸對稱的拋物線頂點坐標(biāo)為(1,-3),且開口向二，

???所求拋物線解析式為：y=-(x-1)2-3.

故選：D.

【變式51】(2020春?海淀區(qū)校級期末)將拋物線)，=(x-3)(x-5)先繞原點。旋轉(zhuǎn)180°,再向右平

移2個單位長度，所得拋物線的解析式為()

A.y=-A2-4x-3B.y=-x2-llv-35

C.y=』+12x+35D.y=f+4x+3

【變式52]在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=/+(2"]-1)x+2/〃-4與)，=*-(3/〃+“)x+〃關(guān)于y

軸對稱，則符合條件的小，〃的值為()

A.m=y>n=——B.m=5,n=-6

C.m=-1,〃=6D.m=1,n=-2

【變式53】（2020秋?漢陽區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=/+2x+3繞著它與），軸的交點

旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析式為.

【題型6利用對稱軸、頂點坐標(biāo)公式求值】

【例6】（2020秋?1、南縣校級期末）設(shè)拋物線），=f+8x-々的頂點在x軸上，則攵的值為（）

A.-16B.16C.-8D.8

【解題思路】頂點在x軸上，所以頂點的縱坐標(biāo)是0.

—4/c_82

【解答過程】解?：根據(jù)題意得，：=0,

4x1

解得女=-16.

故選：A.

【變式61】（2020秋?九龍縣期末）若二次函數(shù)），=（〃?+1）/-〃*+〃？-2〃?-3的圖象經(jīng)過原點，則/”的

值必為（）

A.-1或3B.-1C.3D.-3或I

【變式62］（2021?東平縣二模）如果拋物線-6x+c-2的頂點到x軸的距離是3,那么c的值等于（）

A.8B.14C.8或14D.-8或-14

【變式63］（2021秋?如皋市校線月考）已知，拋物線y=?-（w-1）A-w.

（1）若圖象經(jīng)過原點，求〃?的值；

（2）若圖象的對稱軸是），軸，求機的值；

（3）若圖象的頂點在x軸上，求機的值.

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)重難點題型

【答案版】

【知識點1二次函數(shù)的配方法】

y=ax2+b%+c(aN0)

=a(^x2+/4+:)①提取二次項系數(shù)；

=《/+>+需丫-(/)?+；②配方：加上再減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方;

=明+k+喑］③整理：前三項化為平方形式，后兩項合并同類項；

二代罪+若④化簡：去掉中括號.

【題型1二次函數(shù)的配方法】

【例I］用配方法將下列函數(shù)化成)，="(X4-A)2強的形式，并指出拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo).

(1)y=—ix2+6x-17；

(2)y=(2-x)(l+2x).

【解題思路】(1)利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把

一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

(2)化為一般式后，利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式,

把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.

【解答過程】解：(1)>'=-1x2+6.r-17=(x2-lZv+36;+18-17=(x-6)2+l,

Va=-2<0,

，開口向下，

對稱軸為直線x=6,頂點坐標(biāo)為(6,1)；

97

^

-02+285

(2)y=(2-x)(l+2x)=-2?+3%+2=8.

'：a=-2<0,

???開口向下，

2325

對稱軸為直線A*頂點坐標(biāo)為(?

【變式11］用配方法確定卜.列函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo),

(1)y=2r-12v+3

(2)y=-5x2+80x-319

(3)y=2(x-i)(x-2)

(4)y=3⑵+1)(2-x)

【解題思路】(1)、(2)先把二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為1,然后利用完全平方公式進行轉(zhuǎn)化.

(3)先利用多項式乘以多項式的法則將括號內(nèi)的式子展開，然后利用完全平方公式進行解答.

(4)先轉(zhuǎn)化為一般式方程，然后利用配方法進行解答.

【解答過程】解：(1)y=2l-⑵+3=2(.r-6%)+3=2(x-3)2-15：

則該函數(shù)的對稱軸是直線工=3,頂點坐標(biāo)為(3,-15)；

(2)y=-5?+80.v-319=-5(?-16x)-319=-5(x-8)2+l.

則該函數(shù)的對稱軸是直線x=8,頂點坐標(biāo)為(8,1)；

1559

\2

---J--

224X8

559

1-

一8

則該函數(shù)的對稱軸是直線沖不4

(4)y=3(2x+l)(2-x)=3(-2JT+3X+2)=-6(/—尹)+6=-6(x—2+-^.

則該函數(shù)的對■稱軸是直線.1=弓，頂點坐標(biāo)為(三，—)；

448

【變式12］用配方法把下列函數(shù)化成(x-A)2的形式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)、開口方向及對

稱軸.

(1)y=4/-4x+l；

1

(2)y=5r0+Zi+2；

112L

(3)y=—社+?V3x-1.

【解題思路】(1)直接利用配方法得出二次函數(shù)頂點坐標(biāo)和對稱釉即可；

(2)直接利用配方法得出二次函數(shù)頂點坐標(biāo)和對稱軸即可；

(3)直接利用配方法得出二次函數(shù)頂點坐標(biāo)和對稱軸即可.

【解答過程】解：(1)j=4?-4x+l

=4(x2-x4-i)

=4(x-1)2,

函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為：(；，0)、開口方向向上，對稱軸為：

24

1

(2)產(chǎn)今/+02x+2

=2(x2+4x+4)

=(x+2)2,

函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為：(-2,U)、開口方向向上，對稱軸為：4=-2;

(3)y=-1

=-i(A-2-2Hx+3)

=(X-V3)2,

函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為：(V5,o)＞開口方向向下，對稱軸為：

【變式131利用配方法，把下列函數(shù)寫成(A--//)2+&的形式，并寫出它們圖象的開口方向、對稱軸

和頂點坐標(biāo).

(1)y=-/+6.r+l

(2)y=2??3x+4

(3)y=-x^+nx

(4))，=/+〃%+夕.

【解題思路】(1)利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的?半的平方來湊完全平方式，把

一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

(2)利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為

頂點式；

(3)利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為

頂點式；

(4)直接利用配方法加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.

【解答過程】解：(1)y=?『+6%+1=-(/-6x)+1=-(x-3)2+10,

對稱軸x=3,頂點坐標(biāo)為：(3,10),開口向下；

(2)y=2?-3x+4=2(Y-卷)+4=2(x-1)2+等，

3

-323

4頂點坐標(biāo)為：(7至)，開口向上;

（3）y=-X2+ZLV=-（x-分4*

2

對稱軸4=3,頂點坐標(biāo)為：（?，?開口向下；

224

（4）y=x1+i）x+q=（x+§）24-4f?"^-,

對稱軸尸一塔頂點坐標(biāo)為：（々與日），開口向上.

224

【知識點2二次函數(shù)的五點繪圖法】

【題型2二次函數(shù)的五點繪圖法】

【例2】（2020秋?番禺區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y=/-2x-3,在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的

圖象：

【解題思路】求出與x軸的交點坐標(biāo)，然后再利用配方法把函數(shù)解析式化為頂點式找出頂點坐標(biāo)與函數(shù)

的對稱軸直線，即可作出大致圖象；

【解答過程】解：當(dāng)y=0時,?-2x-3=0,

解得M=-1,X2=3,

???與x軸的交點坐標(biāo)是（-1,0）,（3,0）,

又???），=/3=（x-1）2-4,

???頂點坐標(biāo)是（1,-4）,對稱軸是直線x=l,

圖象如圖所示：

【變式21】（2020秋?虹口區(qū)期末）已知二次函數(shù)的解析式為）=32?法.

（1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為,=，，（x+M2+k的形式；

（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系X。）'內(nèi)描點，畫出該函數(shù)的圖象.

???

X…__________-----------—------------

y…???

--------------------—

【解題思路】（1）利用配方法把將二次函數(shù)y=/-4x-1的解析式化為），=〃（x+加）2+4的形式;

（2）根據(jù)對稱軸為入=2,可在對稱軸兩側(cè)取整數(shù)點，描點畫出圖象即可.

【解答過程】解：（1）y=-lx

=1（x2-4x）

=i（x2-4,v+4-4）

乙

=1（x-2）2-2；

（2）列表:

X???01234

y???03-230

~2~2

【變式22】（2020秋?岑溪市期中）已知二次函數(shù)y=?/+4%.

（1）下表是），與x的部分對應(yīng)值，請補充完整；

X01234

???

y0———0

（2）根據(jù)_L表的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出該函數(shù)圖象;

（3）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)時，工的取值范圍.

【解題思路】（1）把x=l,x=2,x=3分別代入函數(shù)解析式，求出），的值即可;

（2）在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點，再順次連接即可；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.

【解答過程】解：（1）;當(dāng)x=l時，y=-1+4X1=3；

當(dāng)x=2時，y=-4+4X2=4；

當(dāng)x=3時，），=-9+4X3=3.

故答案為：3,4,3；

（2）如圖所示;

（3）如圖所示，當(dāng)yVO時，k的取值范圍是xVO或x>4.

【變式23】（2020秋?渾源縣期末）已知二次函數(shù)y=7-4"3.

（1）將二次函數(shù)表達式y(tǒng)=7-4x+3化成y=a（x-h）?+&的形式，并直接寫出其頂點坐標(biāo):

（2）完成下列表格并在如圖所示的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出該函數(shù)的大致圖象；

x…01234

y=j?-4x+3,>?…

（2）計算出根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點連線繪制函數(shù)圖象即可:

【解答過程】解：(1)y=7-4x+3=/-4x+4-1=(x-2)2

所以頂點坐標(biāo)為（2,-1）：

（2）當(dāng)A=0時，y=j?-4x+3=3,

當(dāng)x=1時，），=/-41+3=0,

同理可得：x=2時，），=-1,上=3時，y=0,x=4時，y=3,

故答案為：3,0,-1,0,3；

【知識點3二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】

①二次項系數(shù)總結(jié)起來，。決定了拋物線開口的大小和方向，。的正負決定開口方向，河的大小決定

開口的大小.

③常數(shù)項c：總結(jié)起來，c決定了拋物線與.V軸交點的位置.

【題型3二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】

C.D.

【解題思路】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷。的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤.

【解答過程】解：A、由一次函數(shù)），=公-〃的圖象可得：a>0,此時二次函數(shù)y=a?-4的圖象應(yīng)該開

口向上，圖象的兩交點在坐標(biāo)地上，故A正確；

B、由一次函數(shù)），=辦-〃的圖象可得：。<0,此時二次函數(shù)），=ap-〃的圖象應(yīng)該開口向下，圖象的兩

交點不在坐標(biāo)軸上，故8錯誤；

。、由一次函數(shù)），=◎-”的圖象可得：〃>0,此時二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向上，圖象的兩

交點不在坐標(biāo)軸上，故C錯誤.

D、由一次函數(shù)的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)），=/-。的圖象應(yīng)該開口向下，圖象的兩

交點不在坐標(biāo)軸上，故。錯誤；

故選：A.

【變式31】（2020秋?萊州市期末）二次函數(shù)），=/+云+c與一次函數(shù)尸姓+c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能

是（）

【解題思路】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷。、c的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正

誤.

【解答過程】解：A、由一次函數(shù)y=or+c的圖象可得：。<0,此時二次函數(shù)），=a1+法的圖象應(yīng)該開

口向下，不可能；

B、由一次函數(shù)y=ax+c的圖象可得：a>0,c>0,此時一次函數(shù)juov2+勿:+。的圖象應(yīng)該開口向上，交

于），軸的正半軸同一點，不可能；

C、由一次函數(shù)y=at+c的圖象可得：a>0,c<0,此時二次函數(shù)），=ox2+云+c的圖象應(yīng)該開口向上，交

于y軸的負半軸同一點，有可能.

D、由一次函數(shù),y="x+c的圖象可得：?<0,c<0,此時二次函數(shù)），=o?+/?+c的圖象應(yīng)該開口向下，與

一次函數(shù)的圖象交于），軸同一點，不可能;

故選：c.

【變式32】（2020?洵澤）一次函數(shù)與二次函數(shù)產(chǎn)加+6:+c?在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能

【解題思路】先由二次函數(shù)），=/+法+c?的圖象得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)的圖象相

比較看是否一致.

【解答過程】解：A、由拋物線可知，a>0,b<0,c>0,則ac>0,由直線可知，?c>0,b>0,故本

選項不合題意；

B、由拋物線可知，a>0,方>0,c>0,則ac>0,由直線可知，ac>0,/?>0,故本選項符合題意；

C、由拋物線可知，a<0,b>D,c>0,則〃c、V0,由直線可知，ac<0,8V0,故本選項不合題意；

D、由拋物線可知，a<（）,b<0,c>0,則如VO,由直線可知，ac>（）,b>（）,故本選項不合題意.

故選：B.

【變式33］（2020春?市中區(qū)校級月考）設(shè)加、〃是常數(shù)，且〃V0,拋物線）=〃/+〃氏+〃/-m-6為下圖中

四個圖象之一，則〃?的值為（）

【解題思路】可根據(jù)函數(shù)的對稱軸，以及當(dāng)x=0時，1y的值來確定符合題意的函數(shù)式，進而確定〃?的值.

【解答過程】解：心+用2_rn_6,

?n

?X=-o—,

2m

因為〃VO,所以對稱軸不可能是x=0,所以第一個圖，第二個圖不正確.

三，四兩個圖都過原點，

.\nr-m-6=0>即(m-3)(m+2)=0,

???利=3或-2.

第三個圖中小V0,開口才能向下.

對稱軸為：x=<0,

所以機可以為-2.

第四個圖，機>0,開口才能向下，

x=-另K),而從圖上可看出對稱軸小于0,從而加=3不符合題意.

乙〃I

故選：D.

［【知識點4二次函數(shù)圖象的平移變換】

(1)平移步驟：

(2)平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“力值正右移，負左移；k道正上移，負下移”.概括成八個字“左加右

減，上加下減”.

【題型4二次函數(shù)圖象的平移變換】

【例4】(2020秋?淅川縣期末)將拋物線)，=f-4x+6向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長度

后，得到的拋物線解析式是()

A.>'=(x+I)2+3B.y=(x+l)2+1C.y=(x-5)2+3D.y=(x-5)2+l

【解題思路】根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則解答.

【解答過程】解：將拋物線-?+6=(x-2)2+2向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長

度后所得新拋物線的表達式為>，=(x-2+3)2+2+1,即,，=G+1)2+3.

故選：A.

【變式41】(2020秋?廣西月考)把拋物線y=-2?+以+1平移得到拋物線y=-2(x-3)2+7,是怎樣平

移得到的()

A.向右平移2個單位長度,再向上平移4個單位長度

B.向左平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度

C.向右平移4個單位長度,再向上平移2個單位長度

D.向左平移4個單位長度,再向下平移2個單位長度

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=-2/+4x+l=-2Cr-1)2+3的頂點坐標(biāo)為(1,3),

效物線y=-2(x-3)2+7的頂點坐標(biāo)為(3,7),然后通過點頂點平移的情況來判斷拋物線平移的情

況.

【解答過程】解：拋物線y=-2?+4x+1=-2（x-1）2+3的頂點坐標(biāo)為（1,3）,拋物線），=-2（x

-3）2+7的頂點坐標(biāo)為（3,7）,

???點（1,3）向右平移2個單位，再向上平移4個單位可得到（3,7）,

???將拋物線），=-2?+4.計1向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線產(chǎn)-2（x-3）

2+7.

故選:4.

【變式42】（2021秋?鄴城縣期末）拋物線），=/+Z?x+c圖象向方平移3個單位，再向下平移2個單位，所

得圖象的解析式為），=7-4%+3,則b+c的值為.

【解題思路】根據(jù)圖象平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，可得答案.

【解答過程】解：-4x+3=（A--2）2-1,

所以將該函數(shù)圖象向左平移3個單位，再向上平移2個單位后得到的函數(shù)解析式為：（人-2+3）2-

l+2=/+2x+2,

所以6=2,c=2,

所以b+c=4.

故答案是：4.

【變式43】（2021秋?潮南區(qū)月考）把二次函數(shù)），=。（x-力）2+攵的圖象先向左平移2個單位，再向上平移

4個單位，得到二次函數(shù)），=/（x+1）2-1的圖象.

（1）試確定。、/?、r的值；

（2）指出二次函數(shù)y=a（x-/z）2+&的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

【解題思路】（1）利用逆向思維的方法求解：把二次函數(shù)）=2（X+1）2-1的圖象先向右平移2個單位，

再向下平移4個單位得到二次函數(shù)y=a（x-力）2+&的圖象，然后利用頂點的平移情況確定原二次函數(shù)

解析式，然后寫出4、h、々的值；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】解：（1）二次函數(shù)產(chǎn)*（X+1）2-1的圖象的頂點坐標(biāo)為（-1,-1）,把點（-1,-1）

先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到點的坐標(biāo)為（1,-5）,

所以原二次函數(shù)的解析式為（X-1）2-5,

所以a=I，h=l,k=~5；

(2)二次函數(shù))，="(A--//)2+丸即(%?1)2?5的開口向上，對稱軸為直線x=l,頂點坐標(biāo)為(1,

-5).

【知識點5二次函數(shù)圖象的對稱變換】

(1)關(guān)于八軸對稱

(2)關(guān)于y軸對稱

(3)關(guān)于原點對稱

(4)關(guān)于頂點對稱(即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180。)

【題型5二次函數(shù)圖象的對稱變換】

【例5】(2020?瓊海一模)拋物線y=(x-1)2+3關(guān)于％軸對稱的拋物線的解析式是()

A.y=-(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3

C.y=(x-1)2-3D.y=-(x-I)2-3

【解題思路】拋物線,=(A-I)2+3的頂點坐標(biāo)為(I,3),關(guān)于人軸對稱的拋物線頂點坐標(biāo)為(1,

-3)，且開口向下，將二次項系數(shù)變?yōu)樵瓛佄锞€二次項系數(shù)的相反數(shù)，用頂點式寫出新拋物線的解析式

即可.

【解答過程】解：???)，=(x-1)2+3的頂點坐標(biāo)為(1,3),

???關(guān)于x軸對稱的拋物線頂點坐標(biāo)為(1,-3),且開口向二，

工所求拋物線解析式為：y=-(x-1)2-3.

故選：D.

【變式51】(2020春?海淀區(qū)校級期末)將拋物線丁=(x-3)Q-5)先繞原點。旋轉(zhuǎn)180°,再向右平

移2個單位長度，所得拋物線的解析式為()

A.y=--4x-3B.y=-/-⑵-35

C.>,=X2+12X+35D.、=/+41+3

【解題思路】先求出拋物線的蟀析式，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)

求得平移后拋物線的頂點坐標(biāo)；最后根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的大小和形狀利用頂

點式解析式寫出即可.

【解答過程】解：y=(x-3)(x-5)=(x-4)2-1.此時，該拋物線頂點坐標(biāo)是(4,-1).

將該拋物線繞坐標(biāo)原點。旋轉(zhuǎn)180°后的頂點坐標(biāo)是(-4,1).再向右平移2個單位長度后的頂點坐

標(biāo)是(-2,1).

所以此時拋物線的解析式為：y=-(x+2)2+l=-A2-4X-3.

故選:A.

【變式52］在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=f+（2w-I）x+2m-4與），=*-（3m+“）x+n關(guān)于y

軸對稱，則符合條件的機，〃的值為（）

A518

A.m=y,n=——BD.m=5,n=-6

C.m=-1,n=6D.m=I,n=-2

【解題思路】根據(jù)關(guān)于），軸對稱，小c不變，。變?yōu)橄喾磾?shù)列出方程組，解方程組即可求得.

【解答過程】解：..?拋物線y=f+（2m-1）x+2m-4與-（3m+n）x+〃關(guān)于y軸對稱，

—：=+解之得=l

12nl-4=nIn=-2

:.則符合條件的m,n的值為m=1,n=-2,

故選：D.

【變式53】（2020秋?漢陽區(qū)校級月考）在平面直角坐