高中全程復(fù)習(xí)配套課件復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)歸納法的原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用蘇教數(shù)學(xué)理…………三年1考高考指數(shù):★★內(nèi)容要求ABC簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)√數(shù)學(xué)歸納法的原理√數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用√1.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的概念對(duì)于函數(shù)y=f(φ(x)),令u=φ(x)，若y=f(u)是中間變量u的函數(shù),u=φ(x)是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)y=f(φ(x))是自變量x的__________.(2)形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式一般地，若y=f(u)，u=ax+b,則y′x=___________,即y′x=__________.復(fù)合函數(shù)y′u·u′xy′u·a【即時(shí)應(yīng)用】(1)y=cos(x+φ)(0<φ<π),則y′=________.(2)y=,則y′=_________.(3)y=則y′=_________.【解析】(1)設(shè)u=x+φ,則y′x=y′u·u′x=-sinu·=-sin(x+φ)(2)設(shè)u=x2,則y′x=y′u·u′x=(eu)·2x=2x(3)設(shè)u=2x-1,則y′x=y′u·u′x=答案：(1)-sin(x+φ)(2)2x(3)2.數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)命題的流程圖驗(yàn)證當(dāng)n取__________(例如n0=1,2等)時(shí)結(jié)論正確第一個(gè)值n0假設(shè)_____________________________，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n=_______時(shí)等式成立.(2)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+_______.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(n∈N*),則從k到k+1時(shí)，左邊添加的項(xiàng)是_______.【解析】(1)因?yàn)榧僭O(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k+2.(2)從k邊形到k+1邊形，實(shí)際是多了一個(gè)三角形，故內(nèi)角和比k時(shí)多π,即f(k+1)=f(k)+π.(3)當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=∴左邊添加的項(xiàng)是答案：(1)k+2(2)π(3)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是理解復(fù)合過(guò)程，選定中間變量，弄清是對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)，其一般步驟是：(1)分清復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)分解復(fù)合關(guān)系)；(2)分層求導(dǎo)，弄清每一步中對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)分層求導(dǎo)).即：分解—求導(dǎo).【例1】(2012·南京模擬)已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a＞0)(1)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.【解題指南】(1)利用導(dǎo)數(shù)可求出切線斜率，然后求切線方程.(2)求導(dǎo)數(shù)，列表判斷單調(diào)性及極值.【規(guī)范解答】(1)f(0)=1,f′(x)=+x-af′(0)=0，所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+∞)，令f′(x)=0,得=0.解得:x=0或x=a-1.當(dāng)a＞1時(shí),列表:x(-1,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗極大↘極小↗可知f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,a-1),增區(qū)間是(-1,0)和(a-1,+∞);極大值為f(0)=1，極小值為f(a-1)=當(dāng)0＜a＜1時(shí),列表:可知f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(a-1,0)，增區(qū)間是(-1,a-1)和(0,+∞);極大值為f(a-1)=極小值為f(0)=1;當(dāng)a=1時(shí),f′(x)≥0可知函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值.x(-1,a-1)a-1(a-1,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗極大↘極小↗【反思·感悟】1.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn),因此求解時(shí)務(wù)必檢驗(yàn)f′(x)=0的零點(diǎn)左右兩側(cè)的符號(hào)是否相反.2.對(duì)于由f′(x)=0求得的根不能比較大小時(shí)常采用分類(lèi)討論的思想,注意分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一,且不重不漏.【變式訓(xùn)練】(2011·湖北高考改編)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中，其含量M(單位：太貝克)與時(shí)間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：其中M0為t=0時(shí)銫137的含量，已知t=30時(shí)，銫137的含量的變化率是-10ln2(太貝克/年)，求M(60)的值.【解析】因?yàn)閯tM′(30）=-10ln2，解得M0=600，所以M(t)=那么=600×=150(太貝克).【變式備選】(2012·武昌模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(2x)+x2.(1)若函數(shù)g(x)=f(x)+ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)設(shè)h(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若h(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)m,n且2x0=m+n,證明：函數(shù)h(x)在(x0,h(x0))處的切線不可能平行于x軸.【解析】(1)∵g(x)=ln(2x)+x2+ax,g′(x)(x>0).由已知，得g′(x)≥0對(duì)一切x∈(0,+∞)恒成立.∴2x++a≥0,即a≥-(2x+)對(duì)一切x∈(0,+∞)恒成立.∵-(2x+)≤-2,∴a≥-2.∴a的取值范圍為［-2，+∞).(2)h(x)=2［ln(2x)+x2］-3x2-kx=2ln(2x)-x2-kx.由已知得h(m)=2ln(2m)-m2-km=0,h(n)=2ln(2n)-n2-kn=0.∴2ln=(n2+kn)-(m2+km),即2ln=(n+m)(n-m)+k(n-m).假設(shè)結(jié)論不成立，即h′(x0)=0,則∴k=-2x0.又2x0=m+n,∴2ln=(n+m)(n-m)+(-2x0)(n-m)=(n+m)(n-m)+(-m-n)(n-m)=(n-m).令=t∈(1，+∞)，則有.令∴γ(t)在(1，+∞)上是增函數(shù),∴當(dāng)t>1時(shí)，γ(t)>γ(1)=0,即lnt->0.∴當(dāng)t>1時(shí)，lnt=不可能成立，∴假設(shè)不成立.∴h(x)在(x0,h(x0))處的切線不平行于x軸.

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【方法點(diǎn)睛】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則(1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義，其中兩個(gè)步驟缺一不可，缺第一步，則失去了遞推基礎(chǔ)，缺第二步，則失去了遞推依據(jù).(2)證明等式時(shí)要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，兩邊各有多少項(xiàng)，并注意初始值n0是多少,同時(shí)第二步由n=k到n=k+1時(shí)要充分利用假設(shè)，不利用n=k時(shí)的假設(shè)去證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.【提醒】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.【例2】(2012·煙臺(tái)模擬)是否存在常數(shù)a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解題指南】本題是開(kāi)放式、存在性的問(wèn)題，一般是先假設(shè)存在，利用特值求得a、b、c的值，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明.【規(guī)范解答】假設(shè)存在a、b、c使得所給等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=n4-n2對(duì)一切正整數(shù)n都成立.(1)當(dāng)n=1時(shí)，由以上可知等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=k4-k2,則當(dāng)n=k+1時(shí)，［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)由(1)(2)知，等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.【反思·感悟】1.對(duì)于開(kāi)放式的與n有關(guān)的等式證明問(wèn)題，一般是先假設(shè)結(jié)論成立，利用n的前幾個(gè)取值求參數(shù)，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明.2.在使用數(shù)學(xué)歸納法的第二步進(jìn)行證明時(shí)，事實(shí)上，“歸納假設(shè)”已經(jīng)成了已知條件，“n=k+1時(shí)結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo)，可先用分析法的思路，借助已學(xué)過(guò)的公式、定理或運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形，把待證的目標(biāo)拼湊出歸納假設(shè)的形式，再把運(yùn)用歸納假設(shè)后的式子進(jìn)行變形、證明.【變式訓(xùn)練】已知n∈N*，證明：【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-=，右邊=，等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有:那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

右邊,所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.綜合(1)(2)知對(duì)一切n∈N*，等式都成立.【變式備選】用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的正偶數(shù)n，均有【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊==右邊.∴等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k為正偶數(shù))時(shí)，等式成立,即當(dāng)n=k+2時(shí)，左邊=

右邊.∴n=k+2時(shí)，等式成立.由(1)(2)知等式對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)對(duì)于與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，應(yīng)用其他辦法不容易證時(shí)，可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.【例3】由下列不等式：你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.【解題指南】由已知條件不難猜想到一般不等式，關(guān)鍵是證明，證明時(shí)由n=k到n=k+1時(shí)可采用放縮法.【規(guī)范解答】根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第n個(gè)不等式，即一般不等式為：(n∈N*).用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確，所以由(1)(2)可知對(duì)任意的n∈N*，不等式都成立.【反思·感悟】(1)本例在由n=k到n=k+1這一步變化中，不等式左邊增加了即增加了2k項(xiàng).(2)當(dāng)n=k+1時(shí)的證明中采用了放縮法，即將已知式子分母變大，從而所得結(jié)果變小，順利地與要證的式子接軌從而得以證明，此種方法是證明不等式的常用方法，應(yīng)用時(shí)要注意是放大還是縮小.【變式訓(xùn)練】設(shè)求證：【解題指南】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，嚴(yán)格按照“兩步一結(jié)論”的方法步驟進(jìn)行推理論證.【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，有1＜＜2，故不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以所以當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立.由(1)(2)可知對(duì)n∈N*原不等式都成立.【變式備選】已知數(shù)列{xn}滿足x1=4,(n∈N*).(1)求證：xn＞3；(2)求證：xn+1＜xn；(3)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n=1時(shí)，x1=4＞3.所以結(jié)論成立.②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即xk＞3，則所以xk+1＞3.即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.由①②可知對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn＞3.所以xn+1＜xn.則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n-1.由

歸納—猜想—證明類(lèi)問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】歸納—猜想—證明類(lèi)問(wèn)題的解題步驟(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動(dòng)數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的重要方式.(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.【例4】(2012·南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1.(1)寫(xiě)出a1,a2,a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.【解題指南】(1)利用Sn=a1+a2+…+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，從而猜想an.(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要利用n=k的假設(shè)去推證n=k+1時(shí)成立.【規(guī)范解答】(1)將n=1,2,3分別代入可得(2)①由(1)得n=1時(shí)，命題成立；②假設(shè)n=k(k∈N*，且k≥1)時(shí)，命題成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1