初中數(shù)學(xué)函數(shù)專(zhuān)題練習(xí)題集引言函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，貫穿代數(shù)、幾何等多領(lǐng)域，是后續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。本練習(xí)題集圍繞一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)三大核心類(lèi)型，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)梳理與分層練習(xí)題（基礎(chǔ)鞏固、能力提升、思維拓展），幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及應(yīng)用，提升分析與解決問(wèn)題的能力。一、一次函數(shù)專(zhuān)題（一）知識(shí)點(diǎn)梳理一次函數(shù)的一般形式為$\boldsymbol{y=kx+b}$（$k$、$b$為常數(shù)，且$k\neq0$）。圖像：一條直線(xiàn)，兩點(diǎn)法（通常取與x軸、y軸的交點(diǎn)$(0,b)$和$(-\frac{k},0)$）可快速繪制。性質(zhì)：當(dāng)$k>0$時(shí)，$y$隨$x$的增大而增大；當(dāng)$k<0$時(shí)，$y$隨$x$的增大而減小。$b$決定直線(xiàn)與$y$軸的交點(diǎn)：$b>0$時(shí)交正半軸，$b=0$時(shí)過(guò)原點(diǎn)（此時(shí)為正比例函數(shù)$y=kx$），$b<0$時(shí)交負(fù)半軸。待定系數(shù)法：已知函數(shù)圖像上兩點(diǎn)坐標(biāo)（或兩組$x$、$y$對(duì)應(yīng)值），代入解析式列方程（組）求解$k$、$b$。（二）分層練習(xí)題1.基礎(chǔ)鞏固題（1）若函數(shù)$y=(m-2)x+1$是一次函數(shù)，求$m$的取值范圍。（2）已知一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)$(1,3)$和$(0,1)$，求其解析式。（3）判斷函數(shù)$y=-3x+2$的圖像經(jīng)過(guò)哪些象限，并說(shuō)明理由。2.能力提升題（4）某快遞公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：首重（1千克內(nèi)）10元，續(xù)重每千克2元（不足1千克按1千克算）。設(shè)寄件重量為$x$千克（$x\geq1$），運(yùn)費(fèi)為$y$元，求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出圖像（簡(jiǎn)要描述）。（5）已知一次函數(shù)$y=kx+b$與$y=2x$平行，且過(guò)點(diǎn)$(1,-1)$，求其解析式并求當(dāng)$x=-2$時(shí)的函數(shù)值。3.思維拓展題（6）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)$y=kx+3$的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且$\triangleAOB$的面積為6，求$k$的值。（三）解析與思路（1）思路：一次函數(shù)要求$k\neq0$，即$m-2\neq0$，故$m\neq2$。（2）解析：設(shè)解析式為$y=kx+b$，代入$(0,1)$得$b=1$；再代入$(1,3)$得$k+1=3\impliesk=2$，故解析式為$y=2x+1$。（3）解析：$k=-3<0$，$b=2>0$，故圖像過(guò)一、二、四象限（$k$負(fù)→從左到右下降，$b$正→交y軸正半軸）。（4）解析：$x\geq1$時(shí)，續(xù)重為$(x-1)$千克（向上取整），故$y=10+2(x-1)=2x+8$（$x\geq1$，圖像為射線(xiàn)，起點(diǎn)$(1,10)$，斜率為2）。（5）解析：兩直線(xiàn)平行則$k$相等，故$k=2$；代入$(1,-1)$得$2+b=-1\impliesb=-3$，解析式為$y=2x-3$；當(dāng)$x=-2$時(shí)，$y=2\times(-2)-3=-7$。（6）解析：B點(diǎn)坐標(biāo)為$(0,3)$，故$OB=3$；設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為$(a,0)$，則$\triangleAOB$面積為$\frac{1}{2}\times|a|\times3=6\implies|a|=4$，即$a=4$或$a=-4$。當(dāng)$a=4$時(shí)，代入$y=kx+3$得$4k+3=0\impliesk=-\frac{3}{4}$；當(dāng)$a=-4$時(shí)，$-4k+3=0\impliesk=\frac{3}{4}$。故$k=\pm\frac{3}{4}$。二、反比例函數(shù)專(zhuān)題（一）知識(shí)點(diǎn)梳理反比例函數(shù)的一般形式為$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}$（$k$為常數(shù)，且$k\neq0$），也可表示為$y=kx^{-1}$或$xy=k$。圖像：雙曲線(xiàn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，兩支分別位于一、三象限（$k>0$）或二、四象限（$k<0$）。性質(zhì)：當(dāng)$k>0$時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而減?。划?dāng)$k<0$時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而增大（注意：“每個(gè)象限內(nèi)”是關(guān)鍵，不能直接說(shuō)“在全體實(shí)數(shù)內(nèi)”）。圖像無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永不相交。（二）分層練習(xí)題1.基礎(chǔ)鞏固題（1）若函數(shù)$y=\frac{3-m}{x}$是反比例函數(shù)，求$m$的取值范圍。（2）已知反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)$(2,-3)$，求其解析式及$k$的值。（3）判斷反比例函數(shù)$y=\frac{-5}{x}$的圖像所在象限，并說(shuō)明$y$隨$x$的變化規(guī)律。2.能力提升題（4）已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖像過(guò)點(diǎn)$A(3,2)$，且與直線(xiàn)$y=-x+5$交于點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。（5）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖像上有一點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，若$\triangleOPM$的面積為4，求$k$的值。3.思維拓展題（6）已知點(diǎn)$A(a,y_1)$、$B(b,y_2)$在反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖像上，且$a<b<0$，比較$y_1$與$y_2$的大小，并說(shuō)明理由。（三）解析與思路（1）思路：反比例函數(shù)要求$k\neq0$，即$3-m\neq0$，故$m\neq3$。（2）解析：代入$(2,-3)$得$-3=\frac{k}{2}\impliesk=-6$，解析式為$y=\frac{-6}{x}$。（3）解析：$k=-5<0$，故圖像在二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而增大（如第二象限x負(fù)，x增大時(shí)，y從負(fù)無(wú)窮增大到正無(wú)窮；第四象限x正，x增大時(shí)，y從正無(wú)窮減小到0？不，實(shí)際計(jì)算：x=-5時(shí)y=1，x=-1時(shí)y=5，確實(shí)增大；x=1時(shí)y=-5，x=5時(shí)y=-1，也增大）。（4）解析：先求反比例函數(shù)解析式，代入$A(3,2)$得$k=3\times2=6$，故$y=\frac{6}{x}$。聯(lián)立$\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=-x+5\end{cases}$，消去y得$\frac{6}{x}=-x+5\impliesx^2-5x+6=0\implies(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。當(dāng)$x=2$時(shí)，$y=3$；當(dāng)$x=3$時(shí)，$y=2$（即點(diǎn)A），故點(diǎn)B坐標(biāo)為$(2,3)$。（5）解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為$(x,y)$，則$OM=|x|$，$PM=|y|$，$\triangleOPM$面積為$\frac{1}{2}\times|x|\times|y|=4$，即$|xy|=8$。又因$y=\frac{k}{x}\impliesxy=k$，故$|k|=8\impliesk=\pm8$。（6）解析：反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$中，$k=6>0$，故在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小。因$a<b<0$，即A、B都在第三象限（x負(fù)，y負(fù)），且x增大（從a到b，a、b為負(fù)，b比a大即更靠近0），故y隨x的增大而減小，因此$y_1>y_2$（如a=-3，b=-2，y1=6/(-3)=-2，y2=6/(-2)=-3，-2>-3）。三、二次函數(shù)專(zhuān)題（一）知識(shí)點(diǎn)梳理二次函數(shù)的一般形式為$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$a\neq0$），常用形式還有：頂點(diǎn)式：$y=a(x-h)^2+k$（頂點(diǎn)為$(h,k)$，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)$x=h$）。交點(diǎn)式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1$、$x_2$為圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)$x=\frac{x_1+x_2}{2}$）。圖像與性質(zhì)：圖像為拋物線(xiàn)，開(kāi)口方向由$a$決定：$a>0$時(shí)向上，$a<0$時(shí)向下。對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn)$x=-\frac{2a}$；頂點(diǎn)坐標(biāo)：$\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$（或由頂點(diǎn)式直接得）。增減性：以對(duì)稱(chēng)軸為界，開(kāi)口向上時(shí)，左側(cè)（$x<-\frac{2a}$）$y$隨$x$增大而減小，右側(cè)（$x>-\frac{2a}$）$y$隨$x$增大而增大；開(kāi)口向下時(shí)相反。最值：頂點(diǎn)為最值點(diǎn)，開(kāi)口向上時(shí)最小值為$\frac{4ac-b^2}{4a}$，開(kāi)口向下時(shí)最大值為$\frac{4ac-b^2}{4a}$。（二）分層練習(xí)題1.基礎(chǔ)鞏固題（1）若函數(shù)$y=(m-1)x^{m^2+1}+3x-1$是二次函數(shù)，求$m$的值。（2）已知二次函數(shù)$y=x^2-2x-3$，求其對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。（3）將二次函數(shù)$y=2x^2+4x-1$化為頂點(diǎn)式，并說(shuō)明開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)。2.能力提升題（4）某商品的利潤(rùn)函數(shù)為$y=-x^2+20x-75$（$x$為售價(jià)，單位：元；$y$為利潤(rùn)，單位：元），求利潤(rùn)的最大值及對(duì)應(yīng)的售價(jià)。（5）已知二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$，求其解析式（用交點(diǎn)式）。3.思維拓展題（6）已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A(1,0)$、$B(3,0)$，且與y軸交于點(diǎn)$C(0,3)$，若點(diǎn)P在該函數(shù)圖像上，且$S_{\triangleABP}=6$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。（三）解析與思路（1）思路：二次函數(shù)要求最高次為2且二次項(xiàng)系數(shù)≠0，故$m^2+1=2$且$m-1\neq0$。解得$m^2=1\impliesm=\pm1$，又$m-1\neq0\impliesm\neq1$，故$m=-1$。（2）解析：對(duì)稱(chēng)軸公式$x=-\frac{2a}=-\frac{-2}{2\times1}=1$；頂點(diǎn)縱坐標(biāo)$y=1^2-2\times1-3=-4$，故頂點(diǎn)$(1,-4)$；令$y=0$，解方程$x^2-2x-3=0\implies(x-3)(x+1)=0$，得交點(diǎn)$(3,0)$和$(-1,0)$。（3）解析：配方法：$y=2x^2+4x-1=2(x^2+2x)-1=2(x^2+2x+1-1)-1=2(x+1)^2-2-1=2(x+1)^2-3$。故頂點(diǎn)式為$y=2(x+1)^2-3$，$a=2>0$，開(kāi)口向上，頂點(diǎn)$(-1,-3)$。（4）解析：利潤(rùn)函數(shù)為二次函數(shù)，$a=-1<0$，開(kāi)口向下，最大值在頂點(diǎn)處。對(duì)稱(chēng)軸$x=-\frac{20}{2\times(-1)}=10$，代入得$y=-10^2+20\times10-75=-100+200-75=25$。故最大利潤(rùn)為25元，對(duì)應(yīng)售價(jià)10元。（5）解析：因過(guò)$(1,0)$、$(3,0)$，故交點(diǎn)式為$y=a(x-1)(x-3)$。代入$(0,3)$得$3=a(0-1)(0-3)\implies3=3a\impliesa=1$，故解析式為$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。（6）解析：先求函數(shù)解析式，因過(guò)$A(1,0)$、$B(3,0)$，設(shè)交點(diǎn)式$y=a(x-1)(x-3)$，代入$C(0,3)$得$3=a(-1)(-3)\implies3a=3\impliesa=1$，故解析式為$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。$AB$的長(zhǎng)度為$3-1