/2025屆甘肅省甘南藏族自治州卓尼縣高三高考數(shù)學(xué)模擬試題（一模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若雙曲線義的一條漸近線方程為，則（）A． B． C．4 D．163．已知函數(shù)，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．84．函數(shù)的最小值為（）A．0 B． C． D．5．已知橢圓的左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，下頂點(diǎn)為B，且的面積等于，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．6．如圖，已知是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D滿足，E為的中點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．從1，2，3，…，100中任取不同的兩數(shù)，則該兩數(shù)之和能被3整除的取法種數(shù)為（）A．1650 B．1617 C．1122 D．5288．已知函數(shù)滿足：對(duì)于任意的x，，都有成立，且，則（）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線上C． D．的虛部為210．在正四棱柱中，，E為的中點(diǎn)，則（）A．平面ABEB．平面ACEC．三棱錐的外接球的表面積為D．直線與平面ABE所成的角為11．已知圓，直線，點(diǎn)P在圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與l相交于點(diǎn)N，直線OP上的動(dòng)點(diǎn)M滿足，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡記為曲線，設(shè)為曲線上一點(diǎn)，則（）A．曲線與l有兩個(gè)交點(diǎn) B．的最小值為C．曲線關(guān)于x軸對(duì)稱 D．當(dāng)Q在第二象限時(shí)，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．已知函數(shù)，若與曲線相切，則實(shí)數(shù)．14．已知9名學(xué)生在某次知識(shí)競賽中成績的平均值為80，方差為20，則這9名學(xué)生成績的中位數(shù)的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．某新能源汽車公司對(duì)其銷售的、兩款汽車的售后服務(wù)向消費(fèi)者進(jìn)行滿意度調(diào)查，從購買這兩款汽車的消費(fèi)者中各隨機(jī)抽取了名，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：滿意程度汽車款式合計(jì)款款滿意不滿意合計(jì)(1)補(bǔ)全列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)A、B兩款汽車的售后服務(wù)的滿意度有差異？(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從購買、款汽車的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取人，表示這名消費(fèi)者中對(duì)款汽車的售后服務(wù)持滿意態(tài)度的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，.16．如圖，已知A，B，C是圓錐PO的底面圓周上的三點(diǎn)，且與均為邊長為的等邊三角形．(1)證明：平面平面PBC；(2)求圓錐PO的側(cè)面積；(3)求二面角的余弦值．17．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為，求a的值；(3)若角A的平分線交于點(diǎn)D，且，求的值．18．已知拋物線，過點(diǎn)的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的周長為．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)M為拋物線C上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，且直線OM與直線l的交點(diǎn)D在直線上．（ⅰ）證明：過點(diǎn)M與拋物線C相切的直線平行于直線l；（ⅱ）求面積的取值范圍．19．已知定義在I上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)同時(shí)滿足下列條件的數(shù)列稱為“相關(guān)數(shù)列”：①；②．(1)若，數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，證明：是遞減數(shù)列；(3)若，數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】由，得，由，得，所以集合，所以．故選B.2．【正確答案】D【詳解】的漸近線方程為，又一條漸近線方程為，所以，所以．故選D．3．【正確答案】D【詳解】由，得，整理，可得，解得，或.因?yàn)椋?，則，所以．故選D．4．【正確答案】B【詳解】由題知函數(shù)的最小正周期為．當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以函數(shù)的最小值為．故選B.5．【正確答案】C【詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可知，因?yàn)?，則，兩邊平方得，則，整理可得，所以橢圓C的離心率為．故選C．6．【正確答案】A【詳解】以直線為x軸，線段的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，因?yàn)?，則點(diǎn)D在線段（不含端點(diǎn)）上，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍為.故選A．7．【正確答案】A【詳解】將1，2，3，…，100中的數(shù)按被3除余數(shù)多少分為3類：被3除余的數(shù)組成集合，則中各有33個(gè)數(shù)，中有34個(gè)數(shù)，從中任取兩個(gè)數(shù)，其和可以被3整除，共有種取法：從中取1個(gè)數(shù)，再從中取1個(gè)數(shù)，兩者的和也可被3整除，有種，故符合條件的取法種數(shù)為種．故選A．8．【正確答案】C【詳解】令時(shí)，因?yàn)椋?令，則，所以.令，則，所以，則，所以4為的一個(gè)周期.又，所以由周期性可知，即．當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，所以；當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，故被4除的余數(shù)為1，所以，所以．故選C．9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，設(shè)，由，得，所以，即，解得所以，故A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不在曲線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，所以的虛部為2，故D正確．故選ACD．10．【正確答案】BC【詳解】如圖所示：

對(duì)于A，連接，BD，易證四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，所以，又，因?yàn)?，所以與BE不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，連接OE，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以，又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，故B正確；對(duì)于C，三棱錐的外接球也是四棱錐的外接球，取BE的中點(diǎn)M，易證均為直角三角形，線段BE為三者的公共斜邊，所以，故M為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于D，易知，所以直線與平面ABE所成的角等于直線AC與平面ABE所成的角，分別取的中點(diǎn)F，G，連接EF，BF，CG，，易證平面ABFE，連接AH，所以為直線AC與平面ABE所成的角．在中，，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選BC．11．【正確答案】BCD【詳解】由題意知直線OP的斜率存在，設(shè)直線OP的方程為，則，設(shè)，由題意知，則，所以，設(shè)，則，由得，則又，所以，所以曲線的方程為，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，方程無解，所以曲線與l沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由上可知，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以的最小值為，故B正確；在曲線的方程中將y換為，化簡后與原方程相同，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，故C正確；設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，則的最大值為，故D正確．故選BCD．12．【正確答案】/【詳解】由，得，解得，所以．13．【正確答案】【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，則，所以切線方程為，即，所以，解得.14．【正確答案】84【詳解】設(shè)這9名學(xué)生成績從低到高依次為，即，則9名學(xué)生成績的中位數(shù)為，設(shè)的平均值為m，方差為S，的平均值為n，方差為T，依題意，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，整理得，解得，即當(dāng)，且時(shí)，，此時(shí)n，也就是的最大值為84，則當(dāng)時(shí)，9名學(xué)生成績的中位數(shù)的最大值為84.15．【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析，無差異(2)證明見解析，【詳解】（1）列聯(lián)表為：滿意程度汽車款式合計(jì)款款滿意不滿意合計(jì)零假設(shè)消費(fèi)者對(duì)、款汽車售后服務(wù)的滿意度無差異，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得，，

根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分理由推斷不成立，故消費(fèi)者對(duì)、款汽車的售后服務(wù)的滿意度無差異．（2）從名消費(fèi)者中隨機(jī)抽人，對(duì)款車的售后服務(wù)持滿意態(tài)度的頻率為，所以從購買、款汽車的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取人，則該人對(duì)款汽車的售后服務(wù)持滿意態(tài)度的概率為，

X的可能取值為、、、、，且，，，，，，

所以的分布列為：（或）．16．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切危琌為的外心，所以O(shè)為的中心，

延長AO與BC交于點(diǎn)D，則，連接PD，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面PBC，所以平面平面PAD，即平面平面PBC．（2）設(shè)底面圓的半徑為r，由正弦定理，得，所以，

所以圓錐PO的側(cè)面積為．（3）在中，，所以，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于BC的直線為x軸，以O(shè)D，OP所在直線分別為y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則，所以．

設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量，則令，得，所以

由（1）可知，平面PAO，則x軸垂直平面PAO，取平面PAO的一個(gè)法向量，所以，

由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．17．【正確答案】(1)(2)(3)2【詳解】（1）由正弦定理及，得，因?yàn)?，所以，所以，所以由余弦定理，得．?）由，所以，由的面積為，得，所以．又，所以，故．（3）因?yàn)?，所以，又，所以，所以，由，得，所以，所以?8．【正確答案】(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）因?yàn)檩S，所以直線l的方程為，聯(lián)立方程得，解得或故點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，所以，因?yàn)榈闹荛L為，所以，解得，故C的方程為；（2）（?。┳C明：由題意知直線l不與坐標(biāo)軸垂直，故設(shè)直線l的方程為，所以l與直線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以O(shè)D的方程為，由消去y并化簡，得，易得其兩根分別為，設(shè)，則，即．易知過點(diǎn)M與拋物線C相切的直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，與聯(lián)立消去x并整理，得，，整理得，即，所以，即過點(diǎn)M與拋物線C相切的直線的斜率為，又直線l的斜率也為，且l過C的內(nèi)部一點(diǎn)，所以過點(diǎn)M與拋物線C相切的直線平行于直線l；

（ii），由（i）得消去x，得，設(shè)，則，且，所以，由（i）得，，則M到直線PQ的距離，所以的面積，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故面積的取值范圍為．19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由，得的定義域?yàn)椋?，由?shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，得，且，所以，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，且，因?yàn)閿?shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，所以，則，當(dāng)時(shí)，易證，所以，因?yàn)?，所以，所以，同理可得．要證是遞減數(shù)列，需證，即證，只需證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，故是遞減數(shù)列．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，成立．

當(dāng)時(shí)