幾個(gè)初等函數(shù)的Maclaurin公式

泰勒(Taylor)（英）1685-1731其它應(yīng)用第四節(jié)

Taylor公式Taylor公式的建立1多項(xiàng)式逼近泰勒公式2需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?問題(1)

系數(shù)怎么定?(2)

誤差(如何估計(jì))表達(dá)式是什么?不足1.精確度不高；2.誤差不能定量的估計(jì).希望一次多項(xiàng)式泰勒公式用適當(dāng)?shù)母叽味囗?xiàng)式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L)(xf?3得假設(shè)同理代入中得nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L泰勒公式4稱為f(x)的Taylor多項(xiàng)式來逼近并估計(jì)它的誤差.函數(shù)Taylor多項(xiàng)式.泰勒公式5泰勒(Taylor)中值定理其中余項(xiàng)2.泰勒(Taylor)中值定理多項(xiàng)式

(residual),)1(),()()(0階導(dǎo)數(shù)內(nèi)有在若+?nbaxxf,),(時(shí)則當(dāng)bax?次的一個(gè)可表為nxxxf)()(0-:)(之和與一個(gè)余項(xiàng)xRn泰勒公式6Lagrange型余項(xiàng)帶有Lagrange型余項(xiàng).次近似多項(xiàng)式n7Peano型余項(xiàng)當(dāng)對(duì)余項(xiàng)要求不高時(shí),帶有Peano型余項(xiàng)可用Peano型余項(xiàng)1858-1932)皮亞諾(Peano,G.(意),),(時(shí)若bax?Mxfn<+|)(|)1(8例.按(x-4)的冪展開多項(xiàng)式由泰勒公式得解：設(shè)則9解

10注1.泰勒公式就是Lagrange中值公式.2.在泰勒公式中,這時(shí)的泰勒公式,即按x的冪(在零點(diǎn))展開的Taylor公式稱為:n階Taylor公式麥克勞林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式11麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差估計(jì)式為帶有Lagrange型余項(xiàng)帶有Peano型余項(xiàng)泰勒公式12解代入上公式,得于是有的近似表達(dá)公式三、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式例1麥克勞林公式.麥克勞林(Maclaurin)公式13解例2因?yàn)樗蕴├展?4泰勒多項(xiàng)式逼近6422464224O15泰勒多項(xiàng)式逼近642246O422416類似地,有泰勒公式17常用函數(shù)的Maclaurin公式要熟記!泰勒公式18泰勒公式19例3

解用間接展開的方法較簡便.兩端同乘x,得泰勒公式20在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：1．展開的基點(diǎn)；2．展開的階數(shù)；3．余項(xiàng)的形式．其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式．而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定．總結(jié)：21下面這個(gè)例題是說明如何利用泰勒公式來求極限.例1

求解

因?yàn)?2本題雖然可用洛必達(dá)法