高考數(shù)學專項研究：導數(shù)（7）第二章專題探研第三節(jié)拓展結(jié)論一、二階導(一)拐點即為對稱點定義:已知fx,則當f′′x0=0時,推論:若x1+1.(題型一:定義)證明:三次函數(shù)fx解法一(圖像法):f′x=3ax解法二(二階導):f所以fx關(guān)于?【同源練習】①(2013年課標II理數(shù))已知函數(shù)fx=x解:由fx=x3+心為0,0,所以f②(2020年武漢模考)已知直線l與曲線y=x3?6x2法一(標答):易知該函數(shù)的導函數(shù)對稱軸為x即原函數(shù)對稱中心的橫坐標,將其帶入原函數(shù),可得原函數(shù)的對稱中心為2由AB=BC得直線l經(jīng)過2可得1,?12.(類型二:推論)fx=解:二階導知對稱點為3,3,由fm+fn【同源練習】①已知函數(shù)fx=x3?3解:由三次函數(shù)的對稱點可知其對稱點為1,5②gx=的值解:g′′x故(二)凹凸性與琴生不等式（1）關(guān)于凹凸性的判定:若函數(shù)fx在區(qū)間上的二階導數(shù)恒為正,即f若函數(shù)fx在區(qū)間上的二階導數(shù)恒為負,即f凹函數(shù)中,f凸函數(shù)中,f（2）拐點為凹凸性的分界點:已知fx,則當f′′x0=（3）琴生不等式:凸函數(shù)(如單調(diào)遞增的對數(shù)函數(shù)):∩凹函數(shù)(如單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)):∪（4）函數(shù)的增減快慢若f′′x≥若f′′x≤1.在△ABC內(nèi),求sin解:在x∈02.(2015陜西)fx=lnxA.q=r<pB.q解法一:fx=lnx為凸函數(shù),則解法二:∵0<a<bf∵r=13.(2018年全國I理數(shù))求fx解:易知fx在0那么f4.(2006年四川理數(shù))fx=x2解:f′f′′x=由琴生不等式得f5.(2012年福建理數(shù))函數(shù)fx在a,b上有定義,若對任意x1,x2∈a,b,有fx1①fx在1②fx2在1,③若fx在x=2④對任意x1,其中真命題的序號是A.①②B.①③C.②④D.③④解:取函數(shù)fx=x?1但fx=x取fx=?x在1,3上滿足性質(zhì)P,但f故②不成立,排除C.6.已知函數(shù)fx=ex+①△ABC一定是鈍角三角形;②△ABC可能是直角三角形;③△ABC其中,正確的判斷是A.①③B.①④C.②③D.②④解:設(shè)A,B,因fx=e因f′x′=ex+1′=ex>坐標成等差數(shù)列,則y22與ex1+ex3>2,2e(i)直線l在點Px0,y0處與曲線C相切;(ii)曲線C在P點P處“切過”曲線C.下列命題正確的是___(寫出所有正確命題的編號)①直線l:y=0②直線l:x=?1③直線l:y=x④直線l:y=x⑤直線l:y=x解:對于①,y′=3x2,y′x=0=0,所以l:y=0是曲線C:y=x3在點P0y=sinx在點P0,0y′x=0=1cos20=1,在點P0,0處的切線為令?x=x?1x?1≥lnx,可知曲線C:二、交點問題定義:當fx若f′x0>g′若f′x0<g′證明:設(shè)?x=fx?gx,則?′x01.(2011年全國理數(shù))函數(shù)y=11的橫坐標之和等于解:設(shè)y1=11?y所以x=12左邊,y1<y2.(2019年全國I理數(shù))fx=sinx解:設(shè)sin則fx單調(diào)遞減,fxy當0<x<x0時,?x0使得fx在0又f0x∈π2當x∈π,+∞綜上,fx三、介值定理若fx在x1,x2連續(xù),且f1.(2014年廣東文數(shù))已知函數(shù)f(I)求函數(shù)fx(II)當a<0時,試討論是否存在x0解:(I)f′x=x2∴當a≥1時,Δ≤0,∴當a<1時,方程x2當x∈?∞,?1?1當x∈?1?1?a當x∈?1+1?a綜上,a≥1時,fx當a<1時,fxfx的單調(diào)遞減區(qū)間為?(II)f===∴若存在x0∈0必須4x0?∵a<0方程的兩根為:?14∴x0只能是?7+21∴49<21又由?7+21?48a4=∴當a∈?2512,?當a∈?∞,?使fx2.(2011年福建文數(shù))fx=?x+2+xlnx,是否存在實數(shù)m和Mm解:fx當x在區(qū)間1e,ex1111ef?0+f2單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2又2?2e<2據(jù)此可得,若m=1,M=2x∈1e,e曲線y=綜上,當a=1時,存在最小的實數(shù)m=1,最大的實數(shù)線y=t與曲線四、局部保號性定義:fx為a①若x0∈a,b且fx②若fa>0,則存在φ>③若fb>0,則存在φ>定義:fx在x=x0取得極大值,那么在x?φ,x0上單調(diào)遞增,在x0,x0+φfx在x=x0取得極小值,那么在故得出f′x0=0,那么在x?φ,x0上例1:fx=x+1lnx解:∵若f′1<0,則存在φ>故fx在1,φf故a≤2,接下來證明a≤2時,因為f′′x=1x所以f′x>f′所以fx>f1=例2:(2016年山東文數(shù))設(shè)fx(I)令gx=f(II)已知fx在x=1(I)由f′x=ln則當a≤0時,x∈0,+∞當a>0時,x∈0,x∈12a,+∞時,所以當a≤0時,函數(shù)gx當a>0時,函數(shù)gx單調(diào)遞增區(qū)間為0(II)由(I)知,f′①當a≤0時,f′x<當x∈1,+∞時,f′x②當0<a<12時,1可得當x∈0,1時,f′x<在1,12a內(nèi)單調(diào)遞增,所以f③當a=12時,即12a=1時,所以當x∈0,+∞④當a>12時,即0<1當x∈1,+∞時,f′x綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為a>五、微分中值定理(一)羅爾中值定理fx在a,b上連續(xù),在a,bf例:(2018年衡水金卷理數(shù))fx=ex?2a解:g由g0=g1得g則?g′x=0在0,若fx中a∈?∞,則32<a<fx在0,ln2a設(shè)