2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策理論應(yīng)用試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述隨機(jī)變量的概念及其分類。舉例說明離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。二、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本。1.寫出樣本均值X?的抽樣分布（即分布的名稱、期望和方差）。2.若n=25，σ=5，當(dāng)μ未知時，要檢驗H?:μ=20vsH?:μ≠20，應(yīng)選擇何種檢驗統(tǒng)計量？請說明理由。三、某工廠生產(chǎn)一批零件，其長度服從正態(tài)分布。為了檢驗這批零件的長度是否合格（合格標(biāo)準(zhǔn)為長度μ=10厘米，標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.1厘米），隨機(jī)抽取了36個零件進(jìn)行測量。1.若已知σ=0.1厘米，請構(gòu)建檢驗假設(shè)H?:μ=10vsH?:μ≠10的拒絕域（顯著性水平α=0.05）。2.假設(shè)測量結(jié)果顯示樣本均值為9.95厘米，請根據(jù)拒絕域判斷是否應(yīng)拒絕原假設(shè)H?？并說明你的理由。四、為了比較兩種不同教學(xué)方法（方法A和方法B）的效果，隨機(jī)選取了60名學(xué)生，其中30名接受方法A教學(xué)，30名接受方法B教學(xué)。一段時間后，對兩組學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一測試，成績?nèi)缦拢悍椒ˋ組：樣本容量n?=30，樣本均值X??=85，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s?=8。方法B組：樣本容量n?=30，樣本均值X??=82，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s?=10。假設(shè)兩組學(xué)生的成績均近似服從正態(tài)分布，且方差相等。1.檢驗兩種教學(xué)方法下的學(xué)生平均成績是否存在顯著差異（顯著性水平α=0.05）。請寫出檢驗統(tǒng)計量的表達(dá)式，并說明選擇該統(tǒng)計量的理由。2.請解釋檢驗結(jié)果的統(tǒng)計意義和實際意義。五、某公司經(jīng)理想要評估兩種廣告策略（策略1和策略2）對產(chǎn)品銷售量的影響。他隨機(jī)選擇了10個地區(qū)，其中5個地區(qū)采用策略1，另外5個地區(qū)采用策略2進(jìn)行廣告宣傳。一個月后，記錄了各地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)（單位：件）。策略1組銷售量：50,55,48,52,56策略2組銷售量：45,47,43,44,46假設(shè)兩組銷售量數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且方差不等。1.在顯著性水平α=0.10下，檢驗兩種廣告策略帶來的平均銷售量是否存在顯著差異。2.請說明進(jìn)行此檢驗時，選擇獨立樣本t檢驗（t-testassumingunequalvariances）的理由。六、假設(shè)一個隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)=0.6?，F(xiàn)進(jìn)行n次獨立重復(fù)試驗。1.若n=10，求事件A恰好發(fā)生6次的概率。2.若要使得事件A至少發(fā)生3次的概率超過0.8，至少需要進(jìn)行多少次試驗？（結(jié)果取整數(shù)）七、某快餐店每天的銷售金額X（單位：元）是一個隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布N(8000,25002)。1.求該快餐店每天銷售金額在7000元至9000元之間的概率。2.求該快餐店每天銷售金額超過9000元的概率。八、某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品，次品率估計為p=0.05。現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗。1.求抽樣檢驗中次品數(shù)不多于3件的概率（用二項分布近似計算）。2.為了以95%的置信水平估計次品率的范圍，請構(gòu)建置信區(qū)間（假設(shè)次品數(shù)X服從二項分布B(n,p)）。九、某醫(yī)生想檢驗一種新藥是否能夠降低患者的血壓。他隨機(jī)選取了15名高血壓患者，服用該藥物一個月后，記錄了他們的血壓變化量（服用前減去服用后，單位：mmHg）。血壓變化量數(shù)據(jù)如下：-10,-8,-12,-15,-6,-9,-5,-11,-14,-7,-10,-8,-9,-13,-7。假設(shè)血壓變化量服從正態(tài)分布。1.求樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.在顯著性水平α=0.05下，檢驗該藥物是否能夠顯著降低患者的血壓（即檢驗血壓變化量的均值是否顯著小于0）。十、決策者面臨一個決策問題，其可能的結(jié)果及對應(yīng)的收益如下表所示（單位：萬元）：|結(jié)果|概率|方案甲|方案乙||:-----------|:---|:-----|:-----||結(jié)果1（好）|0.7|100|80||結(jié)果2（中）|0.2|60|70||結(jié)果3（差）|0.1|20|40|1.分別計算方案甲和方案乙的期望收益。2.決策者應(yīng)選擇哪個方案？請說明理由。3.假設(shè)決策者獲得關(guān)于“結(jié)果1將發(fā)生”的補(bǔ)充信息，請計算在此條件下選擇方案甲的期望收益（后驗期望收益），并說明是否應(yīng)該根據(jù)該信息改變決策。十一、已知某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率p=0.8。射手連續(xù)射擊，直到命中目標(biāo)為止。1.求射擊次數(shù)X的分布列。2.求射擊次數(shù)X的期望值和方差。試卷答案一、隨機(jī)變量是指其取值取決于隨機(jī)試驗結(jié)果的變量。根據(jù)取值的不同，隨機(jī)變量可分為：離散型隨機(jī)變量：其可能取值為有限個或可數(shù)無窮個。例如，拋擲一枚公平硬幣10次，正面朝上的次數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量，其取值范圍為{0,1,2,...,10}。連續(xù)型隨機(jī)變量：其可能取值在某個實數(shù)區(qū)間內(nèi)，且取值連續(xù)。例如，測量某零件的長度X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，其取值可以是某個區(qū)間內(nèi)的任何實數(shù)。二、1.樣本均值X?的抽樣分布為N(μ,σ2/n)。期望E(X?)=μ，方差Var(X?)=σ2/n。2.當(dāng)μ未知且σ未知時，應(yīng)選擇t檢驗統(tǒng)計量。理由：此時需要用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，而t分布是用于當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差為估計的推斷方法。三、1.檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)。拒絕域為|Z|>zα/2。對于α=0.05，z0.025=1.96。拒絕域為Z<-1.96或Z>1.96。即(X?-10)/(0.1/√36)<-1.96或(X?-10)/(0.1/√36)>1.96?；喌肵?<9.824或X?>10.176。2.樣本均值X?=9.95。計算檢驗統(tǒng)計量Z=(9.95-10)/(0.1/√36)=-0.05/0.01667=-3.00。由于Z=-3.00<-1.96，落入拒絕域。因此，應(yīng)拒絕原假設(shè)H?，即認(rèn)為兩種教學(xué)方法下的學(xué)生平均成績存在顯著差異。四、1.檢驗統(tǒng)計量t=(X??-X??)/sqrt[s_p2*(1/n?+1/n?)]，其中s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)。選擇該統(tǒng)計量是因為假設(shè)兩組方差相等（方差齊性），且樣本量相等（n?=n?），此為獨立樣本均值比較（方差已知或未知但假設(shè)相等）的t檢驗公式。2.計算合并方差估計s_p2=[(29*82+29*102)/58]=(1864+2900)/58=4764/58≈82.05。檢驗統(tǒng)計量t=(85-82)/sqrt[82.05*(1/30+1/30)]=3/sqrt(82.05*2/30)=3/sqrt(5.47)≈3/2.34=1.28。查t分布表，df=58，α=0.05的雙尾臨界值約為±2.000。由于|t|=1.28<2.000，未落入拒絕域。統(tǒng)計上沒有足夠的證據(jù)表明兩種教學(xué)方法下的學(xué)生平均成績存在顯著差異。實際意義：根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)，不能認(rèn)為兩種教學(xué)方法在平均成績上有明顯優(yōu)劣之分。五、1.檢驗統(tǒng)計量t=(X??-X??)/sqrt[s_p2*(1/n?+1/n?)]，其中s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)。計算：X??=52.6,X??=45.4,s?2=38.84,s?2=36.8,s_p2=[(4*38.84+4*36.8)/8]=(155.36+147.2)/8=302.56/8=37.82。檢驗統(tǒng)計量t=(52.6-45.4)/sqrt[37.82*(1/5+1/5)]=7.2/sqrt(37.82*0.4)=7.2/sqrt(15.128)≈7.2/3.89≈1.85。查t分布表，df=n?+n?-2=8，α=0.10的雙尾臨界值約為±1.860。由于|t|=1.85<1.860，未落入拒絕域。統(tǒng)計上沒有足夠的證據(jù)表明兩種廣告策略帶來的平均銷售量存在顯著差異。2.選擇獨立樣本t檢驗（t-testassumingunequalvariances）的理由是：該檢驗不依賴于兩組方差的相等性假設(shè)。根據(jù)題目信息“方差不等”，且樣本量n?=n?=5，較小的樣本量意味著對方差的估計不太穩(wěn)定，使用不等方差t檢驗更穩(wěn)健。六、1.事件A恰好發(fā)生6次，是在n=10次獨立重復(fù)試驗中，成功（事件A發(fā)生）恰好發(fā)生了6次。這符合二項分布B(n,p)。概率P(X=6)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=C(10,6)*0.6^6*0.4^4=210*0.046656*0.0256≈0.2508。2.事件A至少發(fā)生3次的概率P(X≥3)=1-P(X<3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]。P(X=0)=C(10,0)*0.6^0*0.4^10=1*1*0.0001048576≈0.0001。P(X=1)=C(10,1)*0.6^1*0.4^9=10*0.6*0.000262144≈0.0016。P(X=2)=C(10,2)*0.6^2*0.4^8=45*0.36*0.00065536≈0.0106。P(X<3)≈0.0001+0.0016+0.0106=0.0123。P(X≥3)=1-0.0123=0.9877。要使P(X≥3)>0.8，即1-[P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=n-k)]>0.8，即P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=n-k)<0.2。通過試算：當(dāng)n=10,p=0.6時：k=0:P(X=0)≈0.0001<0.2k=1:P(X=0)+P(X=1)≈0.0001+0.0016=0.0017<0.2k=2:P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)≈0.0017+0.0106=0.0123<0.2k=3:P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.0123+0.0467=0.0590<0.2k=4:P(X=0)+...+P(X=4)≈0.0590+0.1601=0.2191>0.2因此，需要k≥5。即至少需要進(jìn)行10-k=10-5=5次試驗。七、1.X~N(8000,25002)。概率P(7000≤X≤9000)=P((7000-8000)/2500≤Z≤(9000-8000)/2500)=P(-0.8≤Z≤0.8)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計算器，P(Z≤0.8)≈0.7881，P(Z≤-0.8)≈0.2119。P(7000≤X≤9000)=0.7881-0.2119=0.5762。2.置信水平1-α=95%，α=0.05。雙側(cè)檢驗的臨界值zα/2=z0.025≈1.96。置信區(qū)間為(μ-zα/2*σ,μ+zα/2*σ)=(8000-1.96*2500,8000+1.96*2500)=(8000-4900,8000+4900)=(3100,11900)。八、1.次品數(shù)X~B(100,0.05)。近似使用正態(tài)分布N(np,np(1-p))，即N(100*0.05,100*0.05*0.95)=N(5,4.75)。計算P(X≤3)≈P(X?≤3)=P((X?-5)/sqrt(4.75)≤(3-5)/sqrt(4.75))=P(Z≤-0.77)≈1-P(Z≤0.77)≈1-0.7794=0.2206。2.由于X~B(100,p)，樣本比例p?=X/n是p的無偏估計。p?~N(p,p(1-p)/n)。置信區(qū)間為p?±zα/2*sqrt[p?(1-p?)/n]。由于p是未知參數(shù)，用p?的估計值替換：p?=100*0.05=5/100=0.05。區(qū)間為0.05±1.96*sqrt[0.05*(1-0.05)/100]=0.05±1.96*sqrt[0.0475/100]=0.05±1.96*sqrt(0.000475)≈0.05±1.96*0.0218≈0.05±0.0428。置信區(qū)間為(0.0072,0.0928)。九、1.樣本均值X?=(-10-8-12-15-6-9-5-11-14-7-10-8-9-13-7)/15=-135/15=-9。樣本方差s2=[Σ(x?-X?)2]/(n-1)。Σ(x?-X?)2=(-1)2+(-1)2+(-3)2+(-6)2+(-3)2+(-4)2+(-4)2+(-4)2+(-5)2+(-2)2+(-1)2+(-1)2+(-4)2+(-4)2+(-2)2=1+1+9+36+9+16+16+16+25+4+1+1+16+16+4=168。s2=168/14=12。樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=sqrt(12)≈3.464。2.檢驗統(tǒng)計量t=(X?-μ?)/(s/sqrt(n))=(-9-0)/(3.464/sqrt(15))=-9/(3.464/3.873)=-9/0.894≈-10.06。查t分布表，df=15-1=14，α=0.05的單尾臨界值約為-1.761。由于t=-10.06<-1.761，落入拒絕域。應(yīng)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該藥物能夠顯著降低患者的血壓。十、1.方案甲期望收益E(甲)=0.7*100+0.2*60+0.1*20=70+12+2=84萬元。方案乙期望收益E(乙)=0.7*80+0.2*70+0.1*40=56+14+4=74萬元。2.決策者應(yīng)選擇期望收益較大的方案。因為期望收益代表了長期平均的收益水