第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年上海大學(xué)附屬嘉定高級(jí)中學(xué)高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a>0，則“a>3”是“aa>a3A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知α：2x+log2x≤2，β：x≤m，若α是β的充分條件，則實(shí)數(shù)A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥13.設(shè)a1、b1、c1、a2、b2、c2都是非零實(shí)數(shù)，方程a1x2+b1x+cA.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件4.已知函數(shù)f(x)=|3x?1|，若關(guān)于的x的方程|f(x)?a|+|f(x)?a?1|=1有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[?1,0] B.[?13,?19)二、填空題：本題共12小題，共60分。5.方程組x+2y=5x?y=2的解為______．6.命題“若a>b，則1a<1b”是______命題7.不等式x+5x2+2x+38.關(guān)于x的方程2x=39.函數(shù)f(x)=log2(10.x為實(shí)數(shù)，且不等式|x?5|+|x?3|<m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．11.若命題“對(duì)任意的x∈R，都有ax2+x?1<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a12.已知正實(shí)數(shù)a、b滿足1a+2b=113.已知常數(shù)a>0且a≠1，假設(shè)無論a取何值，函數(shù)y=2+loga(x+3)14.設(shè)x∈R，求方程|x?2|+|2x?3|=|3x?5|的解集______．15.若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之差等于a4，則實(shí)數(shù)16.已知函數(shù)f(x)=(x?a)2,x≤04x+1x+3a,x>0，若三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知集合A={x|2x?1x+2<1}，集合B={x||x?a|<2}．

(1)若a=2，求A，B及A∩B；

(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分條件，求實(shí)數(shù)18.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)．

(1)若f(2)=4，求方程f(x)?f(?x)=2的解；

(2)已知0<a<1，若關(guān)于x的不等式[f(mx)]2≥f(19.(本小題14分)

已知f(x)=log3(a+x)+log3(6?x)．

(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)若a>?3且20.(本小題14分)

已知某氣墊船的最大船速是48海里/時(shí)，船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用和船速的平方成正比．當(dāng)船速為30海里/時(shí)時(shí)，船每小時(shí)的燃料費(fèi)用為600元，而其余費(fèi)用(無論船速多少)都是每小時(shí)864元．船從甲地行駛到乙地，甲乙兩地相距100海里．

(1)試把船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用P(單位：元)表示成船速v(單位：海里/時(shí))的函數(shù)；

(2)試把船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用y(單位：元)表示成船速v(單位：海里/時(shí))的函數(shù)；

(3)當(dāng)船速為多少時(shí)，船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用最少．21.(本小題14分)

給定正整數(shù)n≥3，設(shè)集合A={a1,a2,…,an}.若對(duì)任意i，j∈{1,2,…,n}，ai+aj，ai?aj兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱集合A具有性質(zhì)P．

(Ⅰ)分別判斷集合{1,2,3}與{?1,0,1,2}是否具有性質(zhì)P；

(Ⅱ)若集合A={1,a,b}具有性質(zhì)P，求a+b的值；答案解析1.【答案】A

【解析】解：若a>3，則函數(shù)y=ax在R上為遞增函數(shù)，可得aa>a3，充分性成立；

反之，若aa>a3，則不一定有a>3成立，

比如a=12時(shí)，(12)12=12.【答案】D

【解析】解：設(shè)f(x)=2x+log2x，可知f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)f(1)=21+log21=2，解不等式2x+log2x≤2，可得0<x≤1，

因?yàn)棣潦铅碌某浞謼l件，

所以{x|0<x≤1}?{x|x≤m}3.【答案】A

【解析】解：由a1、b1、c1、a2、b2、c2都是非零實(shí)數(shù)，a1a2=b1b2=c1c2=k≠0

可得，

方程a1x2+b1x+c14.【答案】B

【解析】解：若關(guān)于的x的方程|f(x)?a|+|f(x)?a?1|=1有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，

則必有f(x)≥a且f(x)≤a+1同時(shí)成立，即f(x)圖象夾在y=a和y=a+1之間，

易知f(0)=0,f(?1)=23,f(1)=2,f(?2)=89，函數(shù)f(x)的圖象大致如圖，

結(jié)合圖形可知，a≤f(x)≤a+1的整數(shù)解只有兩個(gè)，

則其中一個(gè)為x=0，另一個(gè)為x=?1，所以a≤0，且23≤a+1<89，

解得a∈[?13,?195.【答案】x=3y=1【解析】解：x+2y=5①x?y=2②，

①?②得3y=3，解得y=1，

代入①，解得x=3，

所以方程組x+2y=5x?y=2的解為x=3y=1．

故答案為：x=3y=1．6.【答案】假

【解析】解：取a=2，b=?1，1a<1b顯然不成立．

故答案為：假．7.【答案】[?2,1]

【解析】解：不等式x+5x2+2x+3≥1，可化為?x2?x+2x2+2x+3≥0，即(x?1)(x+2)x2+2x+3≤0，

∵y=x2+2x+3=(x+1)28.【答案】x=log【解析】解：因?yàn)?x=3log35，

所以2x=5，

所以x=log259.【答案】(?∞,?1)∪(1,+∞)

【解析】解：要是原式有意義，則x2?1>0，則x>1或x<?1，

即函數(shù)的定義域?yàn)??∞,?1)∪(1,+∞)，

故答案為：(?∞,?1)∪(1,+∞)

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解即可．10.【答案】(2,+∞)

【解析】解：利用三角不等式，有|x?5|+|x?3|≥|x?5?x+3|=2，當(dāng)3≤x≤5時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)閨x?5|+|x?3|<m有解，只需m>2即可，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,+∞)．

故答案為：(2,+∞)．

求出|x?5|+|x?3|的最小值，只需m大于最小值即可滿足題意．

本題考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】{a|a≥?1【解析】解：對(duì)任意的x∈R，都有ax2+x?1<0為假命題，

則存在x∈R，ax2+x?1≥0為真命題，即ax2+x?1≥0有解，

當(dāng)a=0時(shí)，x?1≥0有解，符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，顯然符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，Δ=1+4a≥0，解得，?14≤a<0，

綜上，a的范圍為{a|a≥?14}.12.【答案】8

【解析】解：∵a>0，b>0，且1a+2b=1，

∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2ba?4ab13.【答案】(?2,2)

【解析】解：由于函數(shù)y=2+loga(x+3)，常數(shù)a>0且a≠1，

故loga1=0，因此令x+3=1，則x=?2，

故經(jīng)過的定點(diǎn)為(?2,2)．

故答案為：(?2,2)．

14.【答案】(?∞,3【解析】解：當(dāng)x≤32時(shí)，則方程為2?x+3?2x=5?3x，解得x≤32；

當(dāng)32<x<53時(shí)，則方程為2?x+2x?3=5?3x，解得x=32，舍去；

當(dāng)53≤x<2時(shí)，則方程為2?x+2x?3=3x?5，解得x=2，舍去；

當(dāng)x≥2時(shí)，則方程為x?2+2x?3=3x?5，解得x≥2．15.【答案】34或5【解析】解：當(dāng)a>1時(shí)，可得a2?a=a4，解得a=54，

當(dāng)0<a<1時(shí)，a?a2=a4，解得a=16.【答案】[0,4]

【解析】解：因f(x)=4x+1x+3a在(0,12)上單調(diào)遞減，在(12,+∞)上單調(diào)遞增，

所以為使f(0)是f(x)的最小值，則需f(12)≥f(0)，即2+2+3a≥a2，得?1≤a≤4，

若0≤a≤4，則f(x)=(x?a)2在(?∞,0)上單調(diào)遞減，此時(shí)f(0)是最小值，

符合題意；

若?1≤a<0，則f(x)=(x?a)2在(?∞,a)上單調(diào)遞減，在(a,0)上單調(diào)遞增，

此時(shí)f(0)不是最小值，不符合題意；

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,4]．

故答案為：17.【答案】A={x|?2<x<3}，B={x|0<x<4}，A∩B={x|0<x<3}；

[0,1]

【解析】(1)由2x?1x+2<1，可得2x?1x+2?1<0，也即x?3x+2<0，

解得?2<x<3，

即A={x|2x?1x+2<1}={x|?2<x<3}；

將a=2代入可得B={x||x?2|<2}={x|0<x<4}，

因此A∩B={x|0<x<3}；

(2)由B={x||x?a|<2}可得B={x|a?2<x<a+2}，

若“x∈B”是“x∈A”的充分條件，可得B?A，

因此a?2≥?2a+2≤3，解得0≤a≤1．

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,1]．

(1)解分式不等式可求得集合A，將a=2代入解絕對(duì)值不等式可得集合B，由交集運(yùn)算可求出A∩B18.【答案】x=log2(1+2)【解析】解：(1)f(2)=4，即a2=4，解得a=2，于是f(x)=2x，

方程f(x)?f(?x)=2，即為2x?2?x=2，

令t=2x>0，則有t?1t=2，即t2?2t?1=0，

求得t=1±2(舍負(fù))，

所以方程的解為x=log2(1+2)；

(2)由已知[f(mx)]2≥f(x2+1)?f(x+3)，得(amx)2≥ax2+1?ax+3，19.【答案】a=6；

當(dāng)?3<a<0，不等式f(x)<f(6?x)的解集為(?a,3)；

當(dāng)a>0，不等式f(x)<f(6?x)的解集為(3,6)

【解析】(1)存在，證明如下：

由x+a>0，6?x>0，則x>?a且x<6，

欲使y=f(x)是偶函數(shù)，則?a=?6，解得a=6，

此時(shí)定義域?yàn)??6,6)，f(x)=log3(6+x)+log3(6?x)，

則f(?x)=log3(6?x)+log3(6+x)=f(x)，

故當(dāng)a=6時(shí)，函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)；

(2)因?yàn)閒(6?x)=log3(a+6?x)+log3x，

則x+a>0，6?x>0，a+6?x>0，x>0①，

因f(x)<f(6?x)，則log3(a+x)+log3(6?x)<log3(a+6?x)+log3x，

即log3[(a+x)(6?x)]<log3[(a+6?x)x]，

則(a+x)(6?x)<(a+6?x)x，即2ax>6a②，

若?3<a<0，則不等式②得x<3，不等式組①得?a<x<a+6，

故?a<x<3；

若a>0，則不等式②得x>3，不等式組①得0<x<6，故3<x<6；

綜上，當(dāng)20.【答案】解：(1)由題意可得，每小時(shí)的燃料費(fèi)用設(shè)為p=kv2，代入v=30，p=600，解得k=23，

故p=23v2

(0<v≤48)．

(2)從甲地到乙地的運(yùn)輸總費(fèi)用：y=pt+864t=23v2?100v+864?100v=【解析】(1)由題意可得，每小時(shí)的燃料費(fèi)用設(shè)為p=kv2，代入v=30，p=600，解得k=23，即可求解．

(2)總費(fèi)用包含燃料費(fèi)和其余費(fèi)用，先求出每小時(shí)的燃料費(fèi)和其余費(fèi)用，再乘以從甲地到乙地的時(shí)間t=100v，可得到y(tǒng)關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式．

21.【答案】解：(Ⅰ)集合{1,2,3}中的3+3=6?{1,2,3}，3?3=0?{1,2,3}，

所以集合{1,2,3}不具有性質(zhì)P，

集合{?1,0,1,2}中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合{?1,0,1,2}，所以集合{?1,0,1,2}具有性質(zhì)P；

(Ⅱ)若集合A={1,a,b}具有性質(zhì)P，記m=max{1,a,b}，則m≥1，

令ai=aj=m，則2m?{1,a,b}，從而必有0∈{1,a,b}，

不妨設(shè)a=0，則A={1,0,b}，b≠0且b≠1，

令ai=1，aj=b，則{1+b,1?b}∩{1,0,b}≠?，且{1+b,b?1}∩{1,0,b}≠?，b≠0且b≠1，

以下分類討論：

①當(dāng)1+b∈{1,0,b}時(shí)，若1+b=0?b=?1，此時(shí)，A={1,0,?1}滿足性質(zhì)P；

若1+b=1?b=0，舍；若1+b=b，無解；

②當(dāng)1+b?{1,0,b}時(shí)，則{1?b,b?1}?{1,0,b}，注意b≠0且b≠1，可知b無解；

經(jīng)檢驗(yàn)A={1,0,?1}符合題意，

綜上a+b=?1；

(Ⅲ)首先容易知道集合B中有0，有