概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章導學第6章

參數(shù)估計2案例導入從本章開始，我們將討論數(shù)理統(tǒng)計的基本問題——統(tǒng)計推斷基本問題參數(shù)估計假設檢驗點估計區(qū)間估計重點介紹兩類：參數(shù)估計和假設檢驗，本章先介紹參數(shù)估計。推斷。我們的任務就是依據(jù)樣本對總體進行各種統(tǒng)計推斷，3什么是參數(shù)估計？

當總體參數(shù)未知時，從總體抽出一個樣本，用某種??例如X~N(,2),??注X——為某品牌手機的待機時間

若未知,通過構造樣本的函數(shù),給出它們,2參數(shù)估計的類型點估計——估計未知參數(shù)的值區(qū)間估計——估計未知參數(shù)的取值范圍方法對這個未知參數(shù)進行估計就是參數(shù)估計.的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計的內容.點估計區(qū)間估計4預備知識置信區(qū)間矩估計概率論——求概率、數(shù)字特征樞軸量評價標準統(tǒng)計概念——統(tǒng)計量及抽樣分布最大似然估計高等數(shù)學——極值問題請進入本章第1講點估計學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）線性代數(shù)（慕課版）第1講二次型及其矩陣表示第6章

二次型01二次型的定義02二次型及其對稱矩陣本講內容8??定義6.1含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次多項式稱為n元二次型.只含有平方項的二次型，即在標準形中，完全平方項的系數(shù)為

1，–1，0，稱為二次型的規(guī)范形.稱為二次型的標準形.即01

二次型的定義01二次型的定義02二次型及其對稱矩陣本講內容10二次型的矩陣表示式二次型的矩陣-實對稱矩陣設二次型則稱實對稱矩陣A的秩為二次型f的秩.02

二次型及其對稱矩陣11??例1解已知對稱矩陣，確定其二次型.02

二次型及其對稱矩陣12??例2解將二次型表示為矩陣形式，寫出其對稱矩陣，并求出二次型的秩.設，其中02

二次型及其對稱矩陣1302

二次型及其對稱矩陣1402

二次型及其對稱矩陣15二次型的秩為4.02

二次型及其對稱矩陣16??例3解已知對稱矩陣

，確定其二次型.02

二次型及其對稱矩陣17??例4解A的秩為2.求二次型的秩.02

二次型及其對稱矩陣18稱為線性變換則變換表示為Y=CX若C可逆，則線性變換為可逆線性變換；若C正交，則稱線性變換為正交線性變換.記02

二次型及其對稱矩陣19??結論二次型經(jīng)可逆線性變換X=CY變成新變元二次型f=YTBY，它的矩陣B=CTAC且作可逆變換X=CY，02

二次型及其對稱矩陣20??例5解證明：矩陣與合同.取矩陣，則，故矩陣與合同.02

二次型及其對稱矩陣學海無涯，祝你成功！線性代數(shù)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講矩估計法第6章

參數(shù)估計

點估計用它估計未知參數(shù)稱為點估計.根據(jù)樣本構造一個統(tǒng)計量稱為的估計量;稱為的估計值.23第一講

矩估計法01矩估計法02典型例題本講內容25用樣本

k

階矩作為總體

k

階矩的估計量,建立含有待用相應的樣本矩去估計總體矩的估計方法稱為矩估計法.理論依據(jù)——大數(shù)定律——生活經(jīng)驗：??例X—某品牌手機的待機時間，欲估計其抽取??替換原理??方法01

矩估計法估參數(shù)的方程,從而解出待估參數(shù)。26解方程組,得m

個統(tǒng)計量：——含未知參數(shù)

1,

2,,

m的方程組未知參數(shù)

1,,

m的矩估計量代入一組樣本值得

m個數(shù):

1,,

m的矩估計值設待估計的參數(shù)為設總體的

k

階矩存在，記為樣本X1,X2,…,Xn的k階矩為??例1解令01

矩估計法27??例2設X的分布列為其中是未知參數(shù).利用總體X的樣本值:3,1,3,的矩估計.0,3,1,2,3,求01

矩估計法01矩估計法02典型例題本講內容29即令設總體X有數(shù)學期望和方差：??例3X1,…,Xn是X的一組樣本,求的矩估計.解02

典型例題30一般,不論總體服從什么分布,若總體期望

與方差

2解得存在,則它們的矩估計量分別為02

典型例題設總體X~U(a,b),a,b未知,求參數(shù)a,b

的矩估由于令??例4解1計量.3102

典型例題解得3202

典型例題33設某種鈦金屬制品的技術指標為X，其概率密度為其中未知參數(shù)，為來自總體X的簡單隨求得矩估計量.由于解得，所以參數(shù)得矩估計量為.令??例5機樣本，解02

典型例題34已知某種金屬板的厚度

X在(a,b)上服從均勻分由于X在(a,b)上服從均勻分布，故則總體的二階矩設抽查了n片金屬板，厚度分別為??例6解，試用矩估計法估計a，b.分布，其中a,b未知，02

典型例題35解此方程組，得到矩估計量為令02

典型例題不同的矩法可得到不同的矩估計，因此矩估計不唯一.36設總體X~U(0,θ)，θ未知，X1,…,Xn是

X的樣本，法1

上題的特例法2法4法3??例7試求

θ

的矩估計量.02

典型例題這一講我們介紹了點估計的第一種方法——矩估計法.缺點是：37矩估計法的優(yōu)點是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.信息.時,矩估計法會失效.當總體類型已知時,沒有充分利用分布提供的一般場合下,矩估計量不具有唯一性.當矩不純在第1講

矩估計法學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）線性代數(shù)（慕課版）第2講二次型的標準形（1）第6章

二次型本講內容01利用正交變換法化二次型為標準形02利用配方法化二次型為標準型41記則變換表示為Y=PX??定義6.2若P為正交矩陣，則線性變換Y=PX稱為正交線性變換.01

利用正交變換法化二次型為標準形42??定理5.4設A為n階實對稱矩陣，則必存在

n階正交矩陣P，使得其中為A的

n個特征值.設

A為

n階實對稱矩陣，則必存在

n階正交矩陣

P，使得.定理5.4推論01

利用正交變換法化二次型為標準形43??定理6.1任給實二次型f=XTAX，總存在正交變換X=PY，使得其中為

f的矩陣

A的特征值.01

利用正交變換法化二次型為標準形44??例1解求正交變換X=PY，把二次型化為標準形.第一步二次型矩陣為A的特征方程為由此得A的特征值為01

利用正交變換法化二次型為標準形45第二步當λ1=1時，由(A–E)X=0得解得當λ3=5時，由(A–5E)X=0得當λ2=2時，由(A–2E)X=0得解得01

利用正交變換法化二次型為標準形46解得第三步將單位化故正交矩陣為第四步于是得正交變換X=PY，其標準形是01

利用正交變換法化二次型為標準形47??例2解對于給定矩陣，解答下列問題（1）求一個正交矩陣

P，使得PTAP為對角矩陣；（2）求一個正交變換

X=PY，將二次型(如下)化為標準形.（1）A得特征方程為01

利用正交變換法化二次型為標準形48當λ1=λ2=0時，解(A–0E)X=0由此得A得特征值為.

當λ3=9時，由(A–9E)X=0解得相互正交得正交化得01

利用正交變換法化二次型為標準形49故正交矩陣為單位化得01

利用正交變換法化二次型為標準形50使得P-1

AP=（2）P?。?）中得到得正交矩陣，令X=PY，則??例3已知二次型(a>0)通過正交變換化為標準形求參數(shù)

a及所用得正交變換矩陣.01

利用正交變換法化二次型為標準形51解二次型

f的矩陣，這時，.特征方程為A的特征值為將λ=1(或λ=5)代入特征方程，得a2?4=0，a=±2.因a>0，故取a=2.01

利用正交變換法化二次型為標準形52當λ1=1時，由(E–A)x=0，即

λ2=2時，由(2E–A)x=0，

λ3=5時，由(5E–A)x=0，解得對應得特征向量01

利用正交變換法化二次型為標準形53將單位化，得故所用得正交變換矩陣為01

利用正交變換法化二次型為標準形54??例4解方程

表示何種二次曲面.因為是一個二次型，其矩陣，由

得原方程可化為

，它表示橢圓柱面.01

利用正交變換法化二次型為標準形學海無涯，祝你成功！線性代數(shù)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第2講最大似然估計法第6章

參數(shù)估計57上一講介紹了矩估計，這一講介紹點估計的另外一種方它首先是由數(shù)學家高斯在1821年提出的，費歇在1922年我們先來看一個實例用的一種參數(shù)估計方法.法——最大似然估計法，它是在總體類型已知條件下使到廣泛應用.從而得并研究了它的一些性質，重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，第2講

最大似然估計法58黑球白球9:1，不知哪種多？有放回抽三次，兩次白球，哪種多？白球多！最大這種選擇一個參數(shù)使得實驗結果具有最大概率的思想就——生活經(jīng)驗：??例一次黑球.??原理一次實驗就出現(xiàn)得事件有較大得概率??方法是最大似然法的基本思想.第2講

最大似然估計法01最大似然估計法02典型例題本講內容60(1)構造似然函數(shù)似然函數(shù)似然函數(shù)設是來自X的樣本,是其中一組樣本值,若總體X屬離散型,其分布律若總體X屬連續(xù)型,其概率密度01

求最大似然估計的一般步驟61(2)求似然函數(shù)的最大值點挑選使達到最大的參數(shù),作為的估計即稱為參數(shù)的最大似然估計值稱為參數(shù)的最大似然估計量一般,可由下式求得似然方程或01

求最大似然估計的一般步驟62未知參數(shù)可以不止一個,如

1,…,

k

似然方程組用上述方法求參數(shù)的最大似然估計值有時行不通，這時設X的密度(或分布律)為則似然函數(shù)為解方程組求得的最大似然估計??注1無駐點不可導??注2要用最大似然原則來求.01

求最大似然估計的一般步驟01最大似然估計法02典型例題本講內容似然函數(shù)的最大似然估計設總體X的概率密度為是總體X的一個簡單樣本，??例1解是未知參數(shù)，的最大似然估計.求解得02

典型例題6465試求參數(shù)p與EX的最大似然估計.故似然函數(shù)為

如何求EX的最大似然估計？設是來自X的一個樣本值，??例2解X的分布律為：解得p的最大似然估計令02

典型例題66最大似然估計不變性

如何求EX

的最大似然估計？P的最大似然估計因為，故EX的最大似然估計為若是的最大似然估計，則也是的最大似然估計試求參數(shù)p與EX的最大似然估計.設是來自X的一個樣本值，??例202

典型例題67設總體X~N(

,

2),x1,x2,…,xn是

X的樣本值，

似然方程組為??例3求

,

2的最大似然估計.解02

典型例題68??例4設某種元件使用壽命

X的概率密度為其中是未知參數(shù).設是樣本觀測值，求的最大似然估計.解似然函數(shù)為取對數(shù)得因為，所以單調增加，而故的最大似然估計為02

典型例題69設某工廠生產(chǎn)的手機屏幕分為不同的等級，其中（1）因為每件產(chǎn)品有兩種可能：要么是一級品，要么??例5（2）接著再抽5件產(chǎn)品都不是一級的概率的最大似然估計.（1）p的最大似然估計；其中有3件為一級品，求：一級品率為p，如果從生產(chǎn)線上抽取了20件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其20件產(chǎn)品中有3件為一級品，相當于樣本觀測值中有3個為1，17個為0，故似然函數(shù)為不是一級品，所以總體X服從（0-1）分布，其分布律為解02

典型例題70取對數(shù)（2）因為一級品率為p，所以再抽5件產(chǎn)品都不是一級品既然20件產(chǎn)品中有3件為一級品，此時得到的p最大似然對p求導數(shù)解得p的最大似然估計為那么的最大似然估計為的概率應該為.估計為.02

典型例題學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第3講點估計的評價標準第6章

參數(shù)估計73在前兩講中我們介紹了兩種點估計法，發(fā)現(xiàn)了點估計的應該選用哪一種估計量?這一講我們介紹常用標準無偏性有效性一致性估計量可能不同，于是提出問題:不唯一性，用何標準來評價一個估計量的好壞?即對于同一個未知參數(shù)，不同的方法得到的第3講

點估計的評價標準01無偏性02有效性03一致性（相和性）本講內容75估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估則稱為的無偏估計.設是未知參數(shù)的估計量，若.真值期望值等于未知參數(shù)的真值.這就導致無偏性這個標準.而它的我們希望估計值在未知參數(shù)真值附近擺動，計值.01

無偏性76是總體X的樣本，證明:不論

X服從什么分布（但期望存在），由于特別地是總體期望E(X)的樣本均值無偏估計量無偏估計量設總體X

的

k

階矩存在，的無偏估計量.是??例1證因而樣本二階矩是總體二階矩的01

無偏性77設總體X的期望與方差存在，X的樣本為

(1)不是D(X)的無偏估計;(2)是D(X)的無偏估計.原樣本方差樣本方差是D(X)的漸進無偏估計??例201

無偏性78??例3設總體X的概率密度為其中是未知參數(shù)，是來自總體X的簡單隨機所以因為樣本，若是的無偏估計，則常數(shù)c=____.事實上，是的無偏估計令可得01

無偏性79??例4已知由第5章性質5.1可知，都是總體方差的估計量，問哪個估計量更好？故樣本方差是的無偏估計所以不是的無偏估計而解01

無偏性本講內容01無偏性02有效性03一致性（相和性）81無偏估計以方差小者為好，這就引進了有效性的概念由于一個參數(shù)往往有不止一個無偏估計，若都是參數(shù)的大小來決定誰更優(yōu).我們可以比較和的無偏估計量，02

有效性82則稱為的最小方差無偏估計.是的任一無偏估計.若設和都是參數(shù)

的則稱較有效.無偏估計量，若有D()<D()02

有效性83都是

的無偏估計量最有效X~N(

,

2

),樣本是推廣??例5是

的無偏估計量當時最有效中02

有效性84問哪一個最優(yōu)？??例6設某種產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為設有的估計量其中為未知參數(shù)，是來自總體的樣本02

有效性85解因為X服從指數(shù)分布，所以又故和為的無偏估計則較為有效.由于02

有效性本講內容01無偏性02有效性03一致性（相和性）即，一致性估計量僅在樣本容量n足夠大時,才顯示其優(yōu)越性.若n

時，依概率收斂于

，

則稱是參數(shù)

的一致(或相合)估計量.設

是總體參數(shù)

的估計量.??定義03

一致性（相和性）87若樣本

k階矩是總體

k

階矩的一致性估計量

由大數(shù)定律可證明矩法得到的估計量一般為一致估計量為方便鑒別有效性，引進定理：關于一致性的常用結論??定理則是的一個相合估計量.設是未知參數(shù)的估計量，03

一致性（相和性）8889??例7由大數(shù)定律可知，當時設是總體X

的樣本均值，則當作為總體期望E(X)的估計量時，是E(X)的相合估計量.所以是E(X)的相合估計量.證03

一致性（相和性）90設總體，其中未知參數(shù)，是X的樣本.證明是的相合估計量.??例8解是的相合估計量.03

一致性（相和性）學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）線性代數(shù)（慕課版）第3講二次型的標準形（2）第6章

二次型本講內容01利用正交變換法化二次型為標準形02利用配方法化二次型為標準型9402

利用配方法化二次型為標準型??例1解設二次型利用配方法將其化為標準形.令，則二次型化為標準形.先按及含有x1的混合項配成完全平方95??例2解利用配方法化二次型為標準型，并求出所用變換矩陣先按及含有x1的混合項配成完全平方再按配成完全平方02

利用配方法化二次型為標準型96得二次型的標準形為令??例3解設二次型利用配方法將其化為標準形.令02

利用配方法化二次型為標準型97則令也即則有02

利用配方法化二次型為標準型98可逆變換：變換矩陣：02

利用配方法化二次型為標準型99??例4解利用配方法化二次型為標準型，令則令則有并求出所用變換矩陣02

利用配方法化二次型為標準型學海無涯，祝你成功！線性代數(shù)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講區(qū)間估計第6章

參數(shù)估計102這個缺陷.區(qū)間估計正好彌補了點估計的圍，使用起來把握不大.參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范但是，點估計值僅僅是未知個估計值去估計未知參數(shù).前面，我們討論了參數(shù)的點估計.它是用樣本算得的一第4講

區(qū)間估計103不同樣本算得的

的估計值不同，因此除了給出

的

的無偏、有效點估計為常數(shù)隨機變量已知X~N(,1),??例使其包含參數(shù)真值的概率達到指定的要求.點估計外，還希望根據(jù)所給的樣本確定一個隨機區(qū)間，第4講

區(qū)間估計01置信區(qū)間定義02求置信區(qū)間的步驟03幾點說明本講內容105滿足若由樣本X1,X2,…Xn確則稱區(qū)間是的置信水平（置信度、置信概率為的置信區(qū)間.定的兩個統(tǒng)計量.設

是一個待估參數(shù)，給定，01

置信區(qū)間定義本講內容01置信區(qū)間定義02求置信區(qū)間的步驟03幾點說明107選的點估計為設

X1,…Xn

是取自

的樣本，求參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間.明確問題：求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個良好估計尋找一個待估參數(shù)估計量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.已知，??例1取解02

求置信區(qū)間的步驟108對給定的置信水平

，查正態(tài)分布表得，使為什么這樣取？個區(qū)間，使得

U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.對于給定的置信水平(大概率)，根據(jù)U的分布，確定一02

求置信區(qū)間的步驟109也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為從中解得從例題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:02

求置信區(qū)間的步驟110則就是的置信度為的置信區(qū)間.求置信區(qū)間的步驟

構造一個僅包含待估未知參數(shù)的樣本函數(shù)

U

，??1.

對給定置信度，構造??2.將作等價變形成??3.并且

U的分布已知（稱這樣的函數(shù)

U為樞軸變量）；02

求置信區(qū)間的步驟本講內容01置信區(qū)間定義02求置信區(qū)間的步驟03幾點說明112長度

盡可能短.要盡可能大.即要求估計盡量可靠.要求以很大的可能被包含在內??1.

估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間??2.03

幾點說明置信度與精度是一對矛盾，當樣本容量固定時，置信度越高，則精度越差.113處理“可靠性與精度關系”的原則:11.求參數(shù)置信區(qū)間22.保證可靠性33.提高精度03

幾點說明114需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也區(qū)間的長度為——達到最短特別說明對同一個參數(shù)，我們可以構造許多置信區(qū)間.不是唯一的.為什么這樣??？為何要??？03

幾點說明115即使在概率密度不對稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習在保證足夠可靠的前提下，盡量使區(qū)間的長度短一些.特別說明慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間.03

幾點說明學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）線性代數(shù)（慕課版）第4講正定二次型第6章

二次型01正定二次型的定義02霍爾維茨定理本講內容119??定理6.2設有二次型，且它的秩為

r，若有兩個實的可逆線性變換X=PY，X=QZ，使二次型化為

則λ1,

λ2,

…,λr和p1,p2,…,pr中正數(shù)的個數(shù)相等，均為m，稱m為二次型的正慣性指數(shù)；負數(shù)的個數(shù)也相等，均為r–m，稱r–m為二次型的負慣性指數(shù)；稱正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)之差為2r–m為符號差.01

正定二次型的定義120??慣性定理任意二次型XTAX

都可通過非退化線性變換化為規(guī)范形其中

p為正慣性指數(shù)，q為負慣性指數(shù)，p+q為二次型的秩且p、q由二次型唯一確定，即規(guī)范形式唯一的.01

正定二次型的定義121??定義6.3實二次型若對任意，恒有則稱二次型是正定二次對應矩陣

A稱為正定矩陣.型，01

正定二次型的定義122正定性判定

實二次型f=XTAX正定的充要條件是的正慣性指數(shù)等于

n.實二次型f=XTAX正定的充要條件f的矩陣A的特征值為正.??定理6.3??結論01

正定二次型的定義123??例1解二次型的正負慣性指數(shù)為1、2，則

.A.a>1B.a<-2C.-2<a<1D.a

=1或a=-2故A的特征值為因為正負慣性指數(shù)為1、2，所以a+2>0，a

–1<0，故–2<a<1.

C01

正定二次型的定義124??例2解判定下列二次型的正定性：（1）由于01

正定二次型的定義125由推論1可知，為正定二次型.（2）二次型的矩陣為得矩陣A的特征值為1，1，5.01

正定二次型的定義126得矩陣A的特征值為因為所以A不是正定矩陣，從而二次型不是正定二次型.由01

正定二次型的定義127??例3解已知A為n階正定矩陣，E為n階單位矩陣，證明設A的特征值為由A為正定矩陣知A+E的特征值為故01

正定二次型的定義128??例4解設矩陣，矩陣B=(kE+A)2，其中k為實數(shù)，E為單位矩陣，并求出k為使得B與相似，求對角矩陣何值時，B為正定矩陣.得01

正定二次型的定義129因A是實對稱矩陣，故即B也是實對稱矩陣.B的特征值為B與相似.當k≠

-2且k

≠0時，B的特征值都大于零，此時B為正定矩陣.01

正定二次型的定義01正定二次型的定義02霍爾維茨定理本講內容131??例5解方程

表示何種二次曲面.因為是一個二次型，其矩陣由

得原方程可化為

，它表示橢圓柱面.02

霍爾維茨定理132??定理6.3??定義6.4位于n階矩陣A的左上角的1，2，…，n階子式稱為矩陣A的1，2，…，n階順序子式.實二次型f=XTAX正定的充要條件是A的各階順序主子式全大于零.霍爾維茨定理02

霍爾維茨定理133??例6解判定下列二次型的正定性：02

霍爾維茨定理134該二次型是正定二次型.顯然該二次型不是正定二次型.02

霍爾維茨定理135??例7解在實數(shù)域上討論函數(shù)的凹凸性并求其極值.設其中由于矩陣A的各階順序主子式分別是02

霍爾維茨定理136所以A是正定矩陣.又因為的赫斯矩陣顯然的各階順序主子式均大于0，所以

為凹函數(shù)。02

霍爾維茨定理137

由得駐點故在取得極小值02

霍爾維茨定理138??例8解已知二次型其中k為參數(shù)，求的矩陣和使用此二次型為正定得k的范圍.由f是正定的充要條件知02

霍爾維茨定理139由A2>0推出由A2>0推出從而k>2或-1<k<0綜上，使A1>0，A2>0，A3>0同時成立的k的范圍是：02

霍爾維茨定理140正定矩陣的性質

(1)若A為正定矩陣,則|A|>0;(2)若A為正定矩陣,則A的主對角線元素(3)若A為正定矩陣,則A-1，kA(k>0為實數(shù))均為正定矩陣;(4)若A為正定矩陣,則A*,Am均為正定矩陣,其中m為正整數(shù);(5)若A,B為n階正定矩陣,則A+B為正定矩陣.02

霍爾維茨定理141??例9解設A，B為n階正定矩陣，證明A+B為正定矩陣.A，B為n階正定階矩陣為實對稱矩陣，即AT=A，BT=B故A+B為實對稱矩陣.對任意n維實向量且故所以f=XT(A+B)X是正定二次型，故A+B是正定矩陣.02

霍爾維茨定理學海無涯，祝你成功！線性代數(shù)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第5講單個正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間第6章

參數(shù)估計01正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間02典型例題本講內容145(1)方差

2

已知，

的置信區(qū)間(2)方差

2

未知，

的置信區(qū)間一個正態(tài)總體X~N(2)

的情形01

正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間146選取樞軸量??推導01

正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間147(3）當

已知時,方差

2的置信區(qū)間取樞軸量得

2的置信度為的置信區(qū)間

01

正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間148選取得

2的置信區(qū)間為

(4）當

未知時,方差

2的置信區(qū)間01

正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間01正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間02典型例題本講內容150某工廠生產(chǎn)一批滾珠,其直徑

X服從正態(tài)分布

(1)若

2=0.06，求

的置信區(qū)間N(2)，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6件，測得直徑為15.1，14.8，15.2，14.9，14.6，15.1

(1)由給定數(shù)據(jù)算得由公式得

的置信區(qū)間為置信度均為0.95??例1(3）求方差

2的置信區(qū)間.(2)若

2未知，求

的置信區(qū)間解02

典型例題151查表

(2)若

2未知,求

的置信區(qū)間由公式得

的置信區(qū)間為02

典型例題152由公式得

2的置信區(qū)間為查表得

(3)求方差

2的置信區(qū)間.02

典型例題153因為

2已知，所以

的置信度為1-

的置信區(qū)間為某工廠生產(chǎn)一種特殊的發(fā)動機套筒，假設套筒直??例2解徑X(mm)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中的置信度為0.95的置信區(qū)間。隨機抽取40件,測得直徑的樣本均值為5.426(mm)，求m

由題意，，查表得將上述數(shù)據(jù)代入公式，則的置信度為0.95的置信區(qū)間為02

典型例題154為估計某種漢堡的脂肪含量，隨機抽取了10個這種漢堡，??例3肪含量

的置信度為0.95的置信區(qū)間。假設該種漢堡的脂肪含量(%)服從正態(tài)分布，求平均脂25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，測得脂肪含量(%)如下：19.5.02

典型例題155因為

2未知，所以

的置信區(qū)間為解由題意n=10，α=0.05，查表得上述數(shù)據(jù)代入公式，則

得置信度為0.95得置信區(qū)間為經(jīng)過計算，樣本均值為，樣本標準差為s=4.134.02

典型例題156由于

未知，則

2的置信度為1-

的置信區(qū)間為進而得到

的置信度為1-

的置信區(qū)間為??例3已知某種銅絲得扯斷力服從正態(tài)分布，從一批銅絲中任意抽取了10根，測得折斷力數(shù)據(jù)如下：（單位：kg）求σ2和σ的置信度為0.9的置信區(qū)間.578，572，570，568，572，570，570，596，584，572解02

典型例題157經(jīng)過計算，樣本方差s2=75.73，由n=10，α=0.1，查表得代入公式即得

2的置信度為0.9的置信區(qū)間為進而得到s的的置信度為0.9的置信區(qū)間為02

典型例題158這一講，我們主要討論了總體分布為正態(tài)的情形.定理，也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限第五講

單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第6講兩個正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間第6章

參數(shù)估計01兩個正態(tài)總體的情形02兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間03*6.2.3單側置信區(qū)間本講內容162設有兩個獨立的正態(tài)總體:它們的樣本均值和方差為估什么？每個總體抽取一組樣本:和01

兩個正態(tài)總體的情形01兩個正態(tài)總體的情形02兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間03*6.2.3單側置信區(qū)間本講內容164(1)已知，

的置信區(qū)間02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間165(2）

未知，的置信區(qū)間02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間16602

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間167*(3)方差比的置信區(qū)間(

1,

2已知)02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間168(4)方差比

的置信區(qū)間（

1,

2未知)02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

某廠利用兩條自動化流水線罐裝辣椒醬.現(xiàn)分別從與已知假設兩條流水線上罐裝的辣椒醬的重量都服從正態(tài)分布，(1)求它們的方差比的置信度為

0.95的置信區(qū)間；(2)若它們的方差相同，，求均值差的置信度為

0.95的置信區(qū)間；??例1兩條流水線上抽取了容量分別為13與17的相互獨立的樣本其均值分別為

1與

2.02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間169由公式得方差比的置信區(qū)間為解(1)02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間170由公式的置信區(qū)間為(2)查表得02

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間17101兩個正態(tài)總體的情形02兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間03*6.2.3單側置信區(qū)間本講內容173的置信區(qū)間雙側置信區(qū)間但在某些實際問題中，例如，對于機器設備零部件來說，置信區(qū)間的概念.這就引出了單側們關心的是甲醛含量均值的“上限”.又如，在購買家具用品時，其中甲醛含量越小越好，我平均壽命越長越好，我們關心的是平均壽命的“下限”；03*6.2.3單側置信區(qū)間174單側置信區(qū)間定義設是一個待估參數(shù)，給定，滿足若存在統(tǒng)計量則稱是

的置信度為

的單側置信區(qū)間.稱為單側置信下限.03*6.2.3單側置信區(qū)間175設是一個待估參數(shù)，給定，則稱是

的置信度為

的單側置信區(qū)間.滿足若存在統(tǒng)計量稱為單側置信上限.03*6.2.3單側置信區(qū)間176求單側置信區(qū)間的方法求參數(shù)

的置信度為的單側置信下限.設X1,…Xn是取自

的樣本，已知，??例2解取03*6.2.3單側置信區(qū)間177其中的換成，就可以得到單側置信上限或下限.

在前面的討論中，我們已經(jīng)給出了正態(tài)總體參數(shù)的雙側置信區(qū)間公式，實際上，只要取相應的上側或下側，將03*6.2.3單側置信區(qū)間方差

2未知，

的雙側置信區(qū)間178求剪力強度平均值的置信度為0.95的單側置信下限.經(jīng)過變換，可得單側置信下限為已知某種建筑材料的剪力強度

X服從正態(tài)分布，對該種材料做了46次剪力測試，測得??例6.20解03*6.2.3單側置信區(qū)間179這一講，我們主要討論了總體分布為正態(tài)的情形.若樣也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計.本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限定理，第六講

兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章小結第6章

參數(shù)估計01知識點歸納02教學要求和學習建議本講內容183參數(shù)估計點估計最大似然估計矩估計單個正態(tài)總體下的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體下的區(qū)間估計區(qū)間估計點估計的評價標準有效性無偏性相合性01

知識點歸納01知識點歸納02教學要求和學習建議本講內容185掌握矩估計法(一階矩、二階矩)和最大似然估計法.??2.了解估計量的無偏性、有效性和相合性(一致性)??3.理解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值??4.理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念.??1.的概念，并會驗證估計量的無偏性.的置信區(qū)間.和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和差比02

教學要求和學習建議186參數(shù)估計點估計最大似然估計矩估計單個正態(tài)總體下的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體下的區(qū)間估計區(qū)間估計點估計的評價標準有效性無偏性相合性考研重點會求參數(shù)的點估計區(qū)間估計會判斷估計量的無偏性記憶為主02

教學要求和學習建議學海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）習題課第6章

參數(shù)估計??例1189解

設總體X的分布律為X123

其中

為未知參數(shù)未知，

是取自X的樣本，

1，2，1是對應的樣本值，求參數(shù)

的矩估計值和最大似然估計值.，

（1）190令

，即

，解方程可得

的矩估計量代入樣本值得

，所以

的矩估計值為

，（2）對于樣本值（1，2，1），似然函數(shù)為：，191??方法歸納對數(shù)似然函數(shù)：.對數(shù)似然方程：

，解得

的最大似然估計值為.本題是離散型總體矩估計和最大似然估計的常見題型，其特點是分布律列表給出，在進行最大似然估計時，然函數(shù)是樣本取得該組樣本觀測值的概率.似??例2192解

設總體分布律為其中

為未知參數(shù).對應的樣本值，求p的矩估計量和最大似然估計量.是取自總體X的一個樣本，是

易知總體均值,令

，可得矩估計量（1）193（2）似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)：，，對數(shù)似然方程：解得

，因此p的最大似然估計量為.194??方法歸納本題是離散型總體矩估計和最大似然估計的常見題型，其特點是分布律用通項公式給出，在進行最大似然估計時，似然函數(shù)為分布律的連乘積.??例3195解設總體為樣本

，

則

的矩估計量.，由于一階矩不含未知參數(shù)

，因此，進一步考慮二階矩.因此196??方法歸納令，有，其中本題為矩估計問題，雖然僅有一個未知參數(shù)，但總體的一階矩不含未知參數(shù)，因此

需要用到二階矩.??例4197解設某原件的使用壽命T的分布函數(shù)為

其中

為未知參數(shù)且大于零.任取n個這種原件做壽命試驗，測得她們的壽命分別為，若m已知，求

的最大似然估計值.T的概率密度為198似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)，對數(shù)似然方程，因此

的最大似然估計值為，199??方法歸納本題是連續(xù)型總體求解最大似然估計的典型題目，但題目沒有直接給出總體的概率密度函數(shù)的形式，需要根據(jù)