2025年下學(xué)期初中社區(qū)教育數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）下列各數(shù)中，最小的是（）A.-3B.-1C.0D.2下列計(jì)算正確的是（）A.a2+a3=a?B.(a2)3=a?C.a?÷a2=a3D.a2·a3=a?如圖，直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）A.40°B.50°C.130°D.150°下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形已知反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3），則k的值為（）A.6B.-6C.3/2D.-3/2某校九年級（1）班50名學(xué)生的視力情況如下表所示：視力4.6以下4.64.74.84.95.05.0以上人數(shù)3451012106則這50名學(xué)生視力的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.4.9，4.8B.4.9，4.9C.5.0，4.8D.5.0，4.97.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥18.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與斜邊AB相切，則r的值為（）A.2B.2.4C.3D.49.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b>0，c<0C.a<0，b<0，c>0D.a<0，b>0，c>010.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF=1，P是BC上一動點(diǎn)，當(dāng)△PEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的位置在（）A.B點(diǎn)處B.BC的中點(diǎn)處C.距離B點(diǎn)2個(gè)單位處D.距離B點(diǎn)3個(gè)單位處二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）分解因式：x3-4x=______．若點(diǎn)P（a，2）與點(diǎn)Q（3，b）關(guān)于x軸對稱，則a+b=______．一個(gè)扇形的圓心角為60°，半徑為6cm，則這個(gè)扇形的面積為______cm2．（結(jié)果保留π）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，則EC=______．若關(guān)于x的分式方程2/(x-3)+x+m/(3-x)=2有增根，則m的值為______．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），B（0，2），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．三、解答題（本大題共8小題，共72分）（8分）計(jì)算：（-1）2?2?+√12-4sin60°+（π-3.14）?．（8分）先化簡，再求值：（x-1-3/(x+1)）÷(x2+4x+4)/(x+1)，其中x=2．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF．求證：BE=DF．（8分）某校為了解學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從全校1500名學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個(gè)等級，繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校有1500名學(xué)生，估計(jì)該校對“防溺水”安全知識掌握情況為“優(yōu)秀”的學(xué)生有多少名？（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A．（1）求證：BD是圓O的切線；（2）若AD=2，AE=4，求BC的長．（10分）某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)值如下表所示：銷售單價(jià)x（元）405060銷售量y（件）302010（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店每天銷售這種商品的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且在第四象限，當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線上一動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（12分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作△ADE，使AD=AE，∠DAE=α，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，①求證：CE⊥BC；②若BD=2，DC=4，求AD的長；（3）在（2）的條件下，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AB邊上，此時(shí)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為E′，連接CE′，請直接寫出CE′的長．參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題3分，共30分）A2.D3.C4.C5.A6.B7.A8.B9.D10.C二、填空題（每小題3分，共18分）x(x+2)(x-2)12.113.6π14.1.515.-116.(√5+1，0)三、解答題（共72分）解：原式=-1+2√3-4×(√3/2)+1…………4分=-1+2√3-2√3+1…………6分=0…………8分解：原式=[(x-1)(x+1)-3]/(x+1)÷(x+2)2/(x+1)…………2分=(x2-1-3)/(x+1)×(x+1)/(x+2)2…………4分=(x2-4)/(x+2)2…………5分=(x+2)(x-2)/(x+2)2…………6分=(x-2)/(x+2)…………7分當(dāng)x=2時(shí)，原式=(2-2)/(2+2)=0…………8分證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C…………3分∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)…………6分∴BE=DF…………8分解：（1）本次調(diào)查共抽取學(xué)生：24÷40%=60（名）…………2分（2）C等級人數(shù)：60-18-24-6=12（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖略…………5分（3）估計(jì)該校對“防溺水”安全知識掌握情況為“優(yōu)秀”的學(xué)生有：1500×(18/60)=450（名）…………8分（1）證明：連接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO…………1分∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°∵∠CBD=∠A，∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=90°∴OD⊥BD…………3分∵OD是圓O的半徑，∴BD是圓O的切線…………4分（2）解：連接DE，∵AE是圓O的直徑，∴∠ADE=90°…………5分∵∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB…………6分∴AD/AC=AE/AB∵AD=2，AE=4，∴AB=2AO=AE=4，∴2/AC=4/AB，即2/AC=4/AB，∵AB2=AC2+BC2，設(shè)AC=x，則AB=2x，∴(2x)2=x2+BC2，∵△ADE∽△ACB，∴AD/AC=AE/AB=DE/BC=2/x=4/(2x)=1/x，∴DE=BC/x，在Rt△ADE中，DE=√(AE2-AD2)=√(16-4)=√12=2√3，∴2√3=BC/x，∴BC=2√3x，代入(2x)2=x2+(2√3x)2，4x2=x2+12x2，4x2=13x2，此方程無解，說明前面設(shè)AB=2AO=AE=4錯(cuò)誤，正確解法：∵AE是直徑，AE=4，∴半徑OA=OD=OE=2，設(shè)AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得a2+b2=c2，由△ADE∽△ACB得AD/AC=AE/AB，即2/a=4/c，∴c=2a，由射影定理得BC2=BD·BA，AC2=AD·AB，AC2=AD·AB，即a2=2c，∵c=2a，∴a2=2×2a=4a，∴a=4，∴c=2a=8，∴b=√(c2-a2)=√(64-16)=√48=4√3，即BC=4√3…………8分（注：原解答過程有誤，修正后BC=4√3）解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將（40，30），（50，20）代入得：{40k+b=3050k+b=20解得：{k=-1b=70∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+70…………4分（2）w=(x-30)y=(x-30)(-x+70)=-x2+100x-2100…………6分w=-x2+100x-2100=-(x-50)2+400…………8分∵a=-1<0，∴當(dāng)x=50時(shí)，w有最大值，最大值為400元…………10分解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)，將C（0，3）代入得：3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1，∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3…………3分（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入得：{3k+b=0b=3解得：{k=-1b=3∴直線BC的解析式為y=-x+3…………4分設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），則點(diǎn)P到直線BC的距離d=|m+(-m2+2m+3)-3|/√(1+1)=|-m2+3m|/√2=|m2-3m|/√2…………6分∵點(diǎn)P在第四象限，∴0<m<3，-m2+2m+3<0，∴m2-3m<0，∴d=(-m2+3m)/√2=-(m2-3m)/√2=-(m-1.5)2+2.25)/√2，∴當(dāng)m=1.5時(shí)，d有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.5，-1.52+2×1.5+3）=（1.5，3.75）…………7分（3）存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-n2+2n+3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，0），①當(dāng)AC為邊時(shí)，若AC∥MN，AC=MN，∵A（-1，0），C（0，3），∴AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-0.5，1.5），MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（(n+t)/2，(-n2+2n+3)/2），∴(n+t)/2=-0.5，(-n2+2n+3)/2=1.5，解得：n=0或n=2，當(dāng)n=0時(shí)，t=-1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0）（與點(diǎn)A重合，舍去），當(dāng)n=2時(shí)，t=-3，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0）；若AM∥CN，AM=CN，同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）（與點(diǎn)B重合，舍去）；②當(dāng)AC為對角線時(shí)，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-0.5，1.5），MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（(n+t)/2，(-n2+2n+3)/2），∴(n+t)/2=-0.5，(-n2+2n+3)/2=1.5，解得：n=0或n=2，當(dāng)n=0時(shí)，t=-1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0）（與點(diǎn)A重合，舍去），當(dāng)n=2時(shí)，t=-3，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0）；綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0）或（1，0）…………10分（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)…………3分（2）①證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵AD=AE，∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△A