2025年下學(xué)期高中混合現(xiàn)實(shí)教育數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）混合現(xiàn)實(shí)（MR）空間幾何實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生通過手勢(shì)交互將一個(gè)棱長為2的正四面體虛擬模型的棱長擴(kuò)大為原來的3倍，則其體積擴(kuò)大的倍數(shù)為（）A.3B.9C.27D.81動(dòng)態(tài)函數(shù)可視化場(chǎng)景中，MR系統(tǒng)生成函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\varphi)$的圖像，當(dāng)學(xué)生拖動(dòng)虛擬滑塊將$\varphi$從0調(diào)整為$\frac{\pi}{2}$時(shí)，圖像的變化方式是（）A.向左平移$\frac{\pi}{4}$個(gè)單位B.向右平移$\frac{\pi}{4}$個(gè)單位C.向左平移$\frac{\pi}{2}$個(gè)單位D.向右平移$\frac{\pi}{2}$個(gè)單位虛擬坐標(biāo)系操作中，點(diǎn)$P(1,2,3)$在空間直角坐標(biāo)系中繞z軸旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)$P'$，則$P'$的坐標(biāo)為（）A.$(-2,1,3)$B.$(2,-1,3)$C.$(-1,-2,3)$D.$(1,-2,3)$概率模擬實(shí)驗(yàn)中，MR系統(tǒng)生成一個(gè)裝有3個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球的虛擬不透明盒子。學(xué)生連續(xù)摸球兩次（不放回），觀察到第一次摸出紅球后，第二次摸出藍(lán)球的概率為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{2}{4}$解析幾何虛擬場(chǎng)景中，雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左焦點(diǎn)為$F$，過$F$的虛擬直線與雙曲線左支交于$A,B$兩點(diǎn)，且$|AB|=6$，若實(shí)軸長為4，則$\triangleABF_2$（$F_2$為右焦點(diǎn)）的周長為（）A.16B.20C.24D.28導(dǎo)數(shù)幾何意義實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生在MR環(huán)境下觀察函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的圖像，虛擬切線經(jīng)過點(diǎn)$(2,2)$，則切線斜率為（）A.3B.6C.9D.12立體幾何動(dòng)態(tài)問題中，一個(gè)虛擬正方體的棱長為4，點(diǎn)$M,N$分別為棱$AB,CC_1$的中點(diǎn)，學(xué)生通過MR手勢(shì)將正方體繞體對(duì)角線$AC_1$旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后$MN$的長度為（）A.$2\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.$2\sqrt{5}$D.$2\sqrt{6}$復(fù)數(shù)幾何意義可視化中，復(fù)數(shù)$z_1=1+i$，$z_2=2-3i$在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為$A,B$，學(xué)生拖動(dòng)點(diǎn)$B$使向量$\overrightarrow{OB}$繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到$\overrightarrow{OB'}$，則$z_1\cdotz_2'$的實(shí)部為（）A.-1B.5C.-5D.1數(shù)列求和模擬中，MR系統(tǒng)生成一個(gè)虛擬階梯，第$n$級(jí)臺(tái)階的高度為$a_n=2n-1$。學(xué)生從第1級(jí)爬到第10級(jí)，總高度為（）A.100B.120C.150D.200統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可視化中，某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）在MR直方圖中顯示：80-100分段頻率為0.3，100-120分段頻率為0.4，120-150分段頻率為0.2，其余為80分以下。則80分以下的學(xué)生人數(shù)為（）A.3B.5C.7D.10空間向量應(yīng)用場(chǎng)景中，虛擬三棱錐$P-ABC$的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為$P(0,0,2)$，$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,0)$，則二面角$P-AB-C$的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{1}{2}$不等式組虛擬邊界中，學(xué)生在MR平面直角坐標(biāo)系中繪制不等式組$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases}$表示的區(qū)域，該區(qū)域的面積為（）A.4B.6C.8D.12二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）三角函數(shù)動(dòng)態(tài)模型中，函數(shù)$f(x)=\cos(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0)$的圖像在MR環(huán)境下顯示最小正周期為$\pi$，則$\omega=$，其圖像向右平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位后的函數(shù)解析式為。立體幾何體積計(jì)算中，一個(gè)虛擬圓錐的底面半徑為3，高為4，學(xué)生通過MR工具將其母線剪開并展成扇形，則扇形的圓心角為______弧度（結(jié)果保留$\pi$）。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在MR坐標(biāo)系中的極值點(diǎn)坐標(biāo)為______，若在區(qū)間$[a,a+2]$上的最大值為2，則$a$的取值范圍是______。解析幾何軌跡問題中，學(xué)生在MR平面內(nèi)拖動(dòng)點(diǎn)$P(x,y)$，使其到定點(diǎn)$F(1,0)$的距離比到定直線$x=-2$的距離小1，則點(diǎn)$P$的軌跡方程為______，該軌跡與直線$y=x+1$的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）混合現(xiàn)實(shí)幾何證明在MR虛擬場(chǎng)景中，已知正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長為2，點(diǎn)$E,F$分別是棱$A_1D_1,CC_1$的中點(diǎn)。（1）用空間向量法證明：$EF\perp$平面$B_1AC$；（2）求三棱錐$E-AB_1C$的體積。（12分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)實(shí)驗(yàn)MR系統(tǒng)生成函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2(a\in\mathbb{R})$的圖像，學(xué)生通過調(diào)整參數(shù)$a$觀察函數(shù)變化。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求$f(x)$在點(diǎn)$(0,f(0))$處的切線方程；（2）若$f(x)$在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍；（3）當(dāng)$a=2$時(shí)，虛擬實(shí)驗(yàn)顯示$f(x)$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1,x_2(x_1<x_2)$，證明：$x_1+x_2<2$。（12分）概率與統(tǒng)計(jì)建模某MR教育平臺(tái)為評(píng)估混合現(xiàn)實(shí)教學(xué)效果，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績對(duì)比實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下表：成績提升幅度[0,10)[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)15353020（1）求這100名學(xué)生成績提升的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值代替）；（2）用分層抽樣從成績提升[20,30)和[30,40]的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)選2人，求至少有1人來自[30,40]的概率。（12分）解析幾何綜合應(yīng)用在MR虛擬坐標(biāo)系中，橢圓$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$E$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）學(xué)生在橢圓上拖動(dòng)點(diǎn)$P$（非頂點(diǎn)），過$P$作橢圓的切線$l$，過原點(diǎn)$O$作$l$的垂線交于點(diǎn)$Q$，求點(diǎn)$Q$的軌跡方程。（12分）數(shù)列與不等式MR系統(tǒng)生成一個(gè)虛擬螺旋線，其第$n$圈的長度為$a_n$，滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n(n+1)}$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=a_n\cdot2^n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（3）證明：對(duì)任意$n\geq2$，$S_n>n\cdot2^{n+1}-6$。（12分）創(chuàng)新題型：混合現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)某高中擬開發(fā)“導(dǎo)數(shù)幾何意義”的MR教學(xué)模塊，請(qǐng)完成以下設(shè)計(jì)：（1）描述一個(gè)虛擬實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，幫助學(xué)生理解“函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率”；（2）設(shè)計(jì)兩個(gè)互動(dòng)環(huán)節(jié)（如參數(shù)調(diào)整、動(dòng)態(tài)觀察等），并說明其教學(xué)目標(biāo)；（3）基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出一個(gè)探究性問題（如“導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系