2025年下學期高中數(shù)學文化觀試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學的重要典籍，其“勾股”章中記載：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”若設(shè)水深為(x)尺，根據(jù)題意可列方程為（）A.(x^2+5^2=(x+1)^2)B.(x^2+1^2=(x+5)^2)C.((x-1)^2+5^2=x^2)D.((x-5)^2+1^2=x^2)祖沖之在圓周率計算中提出“割圓術(shù)”，其核心思想是通過圓內(nèi)接正多邊形的面積逼近圓面積.若將圓內(nèi)接正(n)邊形的邊長記為(a_n)，半徑為(R)，則(a_{2n}=\sqrt{2R^2-R\sqrt{4R^2-a_n^2}}).若(R=1)，(a_6=1)，則(a_{12})的值為（）A.(\sqrt{2-\sqrt{3}})B.(\sqrt{2+\sqrt{3}})C.(2-\sqrt{3})D.(2+\sqrt{3})古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中提出“黃金分割”概念：若線段(AB)上一點(C)滿足(\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC})，則稱(C)為黃金分割點.已知某建筑正面寬為(2)米，若窗戶位于黃金分割點處（靠近右側(cè)），則窗戶右邊緣到建筑右側(cè)的距離為（）A.(3-\sqrt{5})B.(\sqrt{5}-1)C.(\frac{\sqrt{5}-1}{2})D.(\frac{3-\sqrt{5}}{2})2025年新高考數(shù)學強調(diào)“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng).某AI學習平臺通過分析學生錯題數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)“函數(shù)單調(diào)性”錯題率與練習次數(shù)(x)滿足關(guān)系(y=\frac{100}{1+e^{0.5x}})（(y)為錯題率，單位：%）.當練習次數(shù)為4時，錯題率約為（）A.12%B.23%C.37%D.50%中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”若設(shè)雉有(x)只，兔有(y)只，則下列方程組正確的是（）A.(\begin{cases}x+y=35\2x+4y=94\end{cases})B.(\begin{cases}x+y=94\2x+4y=35\end{cases})C.(\begin{cases}x+y=35\4x+2y=94\end{cases})D.(\begin{cases}x+y=94\4x+2y=35\end{cases})在概率論發(fā)展史上，法國數(shù)學家帕斯卡與費馬通過書信討論“賭金分配”問題，奠定了概率理論基礎(chǔ).若甲、乙兩人賭技相同，約定先贏3局者得全部賭金.現(xiàn)甲贏2局，乙贏1局，游戲因故終止，則賭金分配比例應(yīng)為（）A.3:1B.2:1C.1:1D.4:1《周髀算經(jīng)》中記載“勾廣三，股修四，徑隅五”，體現(xiàn)了勾股定理的早期應(yīng)用.若某直角三角形的三邊長為正整數(shù)，且斜邊長為25，則其面積為（）A.150B.180C.210D.240現(xiàn)代密碼學中，RSA加密算法基于大數(shù)分解難題.若公鑰為((n,e))，私鑰為((n,d))，滿足(ed\equiv1\mod\phi(n))，其中(\phi(n))為歐拉函數(shù).若(n=65=5\times13)，則(\phi(n)=)（）A.48B.52C.60D.72分形幾何是20世紀數(shù)學的重大發(fā)現(xiàn)，其“科赫雪花”圖形的生成規(guī)則為：從正三角形開始，每次將每條邊三等分，以中間段為邊向外作正三角形，再去掉中間段.若初始正三角形邊長為1，則第3次迭代后圖形的周長為（）A.(\frac{16}{3})B.(\frac{64}{9})C.(\frac{4}{3})D.(\frac{8}{3})中國數(shù)學家華羅庚提出“優(yōu)選法”，其核心是利用黃金分割點快速找到最優(yōu)解.若在區(qū)間([0,10])內(nèi)尋找最佳試驗點，根據(jù)0.618法，第一個試點坐標為（）A.3.82B.6.18C.5.00D.8.09古希臘數(shù)學家阿基米德通過“窮竭法”計算球體積，得到公式(V=\frac{4}{3}\piR^3).若將半徑為(R)的球體熔鑄為底面半徑為(R)的圓柱，則圓柱的高為（）A.(\frac{4}{3}R)B.(\frac{3}{4}R)C.(4R)D.(\frac{R}{4})2025年新課標要求“跨學科融合”，某物理實驗中，單擺周期公式為(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}).若重力加速度(g=9.8,\text{m/s}^2)，周期(T=2,\text{s})，則擺長(l)約為（）A.0.5米B.1.0米C.1.5米D.2.0米二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）秦九韶算法是中國古代求多項式值的高效算法，其原理是將多項式(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0)改寫為(f(x)=(\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots)x+a_0).若(f(x)=2x^4-3x^3+x^2-5x+1)，則(f(2)=)________.《九章算術(shù)》“粟米”章中記載比例換算：“粟率五十，糲米三十.”意為50單位粟可換30單位糲米.若現(xiàn)有粟100斗，可換糲米________斗.笛卡爾坐標系的建立實現(xiàn)了幾何與代數(shù)的融合.若點(A(1,2))在矩陣(\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix})對應(yīng)的變換下得到點(B)，則(B)的坐標為________.數(shù)學史上的“七橋問題”由歐拉解決，開創(chuàng)了圖論研究.若某連通圖有8個頂點，每個頂點度數(shù)均為3，則該圖的邊數(shù)為________.三、解答題（本大題共5小題，共70分）（12分）中國古代天文歷法中，“二十四節(jié)氣”與地球公轉(zhuǎn)位置密切相關(guān).已知春分點地球位于近日點（距離太陽約1.47億km），秋分點位于遠日點（約1.52億km），公轉(zhuǎn)周期約365天.（1）若地球公轉(zhuǎn)軌道近似為橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點，求橢圓的離心率(e)（保留兩位小數(shù)）；（2）根據(jù)開普勒第二定律，地球與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等面積.若春分至秋分約186天，求地球在近日點與遠日點的公轉(zhuǎn)線速度之比(v_{\text{近}}:v_{\text{遠}}).（14分）《九章算術(shù)》“商功”章中記載“芻甍”體積計算：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也；甍，屋蓋也.”其體積公式為(V=\frac{1}{6}(2b+a)hc)，其中(a,b)為上下袤長，(c)為廣，(h)為高.（1）驗證當(a=b)時，公式退化為直棱柱體積公式；（2）現(xiàn)有芻甍下袤(b=4,\text{m})，上袤(a=2,\text{m})，廣(c=3,\text{m})，高(h=2,\text{m})，計算其體積并畫出直觀圖（無需寫作圖步驟）.（14分）現(xiàn)代金融數(shù)學中，復(fù)利計息公式為(A=P(1+\frac{r}{n})^{nt})，其中(P)為本金，(r)為年利率，(n)為年計息次數(shù)，(t)為年數(shù).（1）若(P=10000)元，(r=4%)，(n=12)，計算5年后的本息和(A)（精確到1元）；（2）當(n\to\infty)時，公式逼近連續(xù)復(fù)利(A=Pe^{rt}).若兩種計息方式5年后的本息和相等，求年利率(r)（精確到0.01%）.（15分）數(shù)學文化中的“楊輝三角”（賈憲三角）揭示了二項式系數(shù)的規(guī)律.（1）寫出((a+b)^5)的展開式系數(shù)，并驗證其對稱性；（2）利用楊輝三角求“1+2+3+\dots+n”的求和公式；（3）證明第(n)行（從0開始）所有數(shù)的和為(2^n).（15分）2025年新課標強調(diào)“數(shù)學建模與實際應(yīng)用”，某環(huán)保部門監(jiān)測到某湖泊污染濃度(C(t))（單位：mg/L）隨時間(t)（天）變化的模型為(C(t)=\frac{10}{1+e^{-0.5t}}).（1）求污染濃度的初始值(C(0))及長期穩(wěn)定值；（2）求污染濃度增長最快的時刻(t_0)（精確到0.1天）；（3）若濃度超過8mg/L時啟動應(yīng)急處理，求首次啟動應(yīng)急處理的時間.四、數(shù)學文化探究題（本大題共1小題，共20分）閱讀以下材料，完成探究任務(wù)：材料1：劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，體現(xiàn)了極限思想.材料2：祖暅原理（卡瓦列里原理）：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩平行平面間的幾何體，若被任一平行平面所截的截面積相等，則體積相等.任務(wù)：（1）用劉徽的極限思想推導(dǎo)圓面積公式(S=\piR^2)；（2）利用祖暅原理證明半球體積公式(V=