2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與輔助技術(shù)數(shù)學(xué)模型試卷一、選擇題（每題5分，共10題，50分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，集合B={x|x2-4x+3>0}，則A∩B=（）A.[1,2]B.(1,2]C.[1,2)D.(1,2)函數(shù)f(x)=log?(x2-4x+5)的定義域是（）A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,1]∪[5,+∞)C.(1,5)D.[1,5]已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，則向量a在向量b上的投影為（）A.11/5B.11√5/5C.10/√5D.10/5在等比數(shù)列{a?}中，a?=2，公比q=3，則a?的值為（）A.54B.81C.162D.243已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，則f'(1)的值為（）A.0B.1C.2D.3直線l?:2x+y-1=0與直線l?:x-y+2=0的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°已知圓C:x2+y2-4x+6y+4=0，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.(2,-3),3B.(-2,3),3C.(2,-3),√13D.(-2,3),√13某射擊運動員射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，則恰有2次命中目標(biāo)的概率為（）A.0.384B.0.488C.0.64D.0.8已知橢圓x2/25+y2/16=1的焦點為F?、F?，點P在橢圓上，且PF?⊥PF?，則△PF?F?的面積為（）A.12B.16C.20D.24某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知總收益R（元）與年產(chǎn)量x（件）的關(guān)系是R(x)=-x2/100+400x，則總利潤最大時的年產(chǎn)量為（）A.10000件B.15000件C.20000件D.25000件二、填空題（每題5分，共5題，25分）已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________。已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，則m=________。已知等差數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=9，則該數(shù)列的前10項和S??=________。某學(xué)校有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取女生________人。函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最大值為________。三、解答題（共5題，75分）（15分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。（15分）已知圓C:x2+y2-4x+6y+4=0，直線l:3x-4y+1=0，求圓C上的點到直線l的距離的最大值和最小值。（15分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要消耗原材料3kg，工時2小時，可獲利50元；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要消耗原材料2kg，工時3小時，可獲利60元?，F(xiàn)工廠有原材料600kg，工時400小時，問如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？最大利潤是多少？（15分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x-1，求a、b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（15分）某地區(qū)為了預(yù)測未來5年的人口數(shù)量，收集了近10年的人口數(shù)據(jù)如下表所示：年份2015201620172018201920202021202220232024人口（萬人）50525456586063666972（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立人口數(shù)量y（萬人）關(guān)于年份x的線性回歸方程；（2）利用所建立的回歸方程預(yù)測2025年和2030年該地區(qū)的人口數(shù)量。四、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題（共2題，50分）（25分）某城市為了緩解交通擁堵問題，計劃在市中心區(qū)域設(shè)置一個共享單車停放點。根據(jù)前期調(diào)研，該區(qū)域每天的共享單車需求量在500-1000輛之間，每輛共享單車每天的運營成本為10元，可產(chǎn)生收益20元。如果投放的共享單車數(shù)量超過需求量，超出部分每輛每天將損失5元；如果投放的共享單車數(shù)量不足需求量，每缺少一輛將損失潛在收益10元。（1）建立投放量與利潤之間的函數(shù)關(guān)系；（2）確定最佳投放量，使每天的利潤最大；（3）如果考慮到周末和節(jié)假日的需求量比平時增加20%，如何調(diào)整投放策略？（25分）某學(xué)校為了改善教學(xué)環(huán)境，計劃在校園內(nèi)修建一個矩形花壇，要求花壇的面積不小于200平方米，周長不超過60米?；▔囊贿吙繅Γ硗馊呌脰艡趪饋?，柵欄的造價為每米100元。（1）設(shè)花壇靠墻一邊的長度為x米，另一邊的長度為y米，寫出x、y滿足的約束條件；（2）建立柵欄總造價C關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系；（3）如何設(shè)計花壇的尺寸，才能使柵欄的總造價最低？最低造價是多少？五、輔助技術(shù)應(yīng)用題（共2題，50分）（25分）某電商平臺為了提高銷售額，計劃利用大數(shù)據(jù)分析用戶的購買行為。平臺收集了1000名用戶的購買記錄，其中有600名用戶購買了商品A，有500名用戶購買了商品B，有300名用戶同時購買了商品A和商品B。（1）利用集合運算計算只購買了商品A的用戶數(shù)量和只購買了商品B的用戶數(shù)量；（2）計算購買了商品A或商品B的用戶占總用戶的比例；（3）如果從購買了商品A的用戶中隨機抽取1名用戶，求該用戶同時購買了商品B的概率。（25分）某氣象站記錄了當(dāng)?shù)亟?0天的日最高氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃），數(shù)據(jù)如下：28,30,32,31,29,27,26,28,30,31,33,32,30,29,28,27,29,30,31,32,33,34,32,31,30,29,28,27,26,25。（1）利用Excel或其他統(tǒng)計軟件繪制該組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2）計算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（3）根據(jù)氣象學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，日最高氣溫超過35℃為高溫天氣，低于5℃為寒冷天氣。利用所給數(shù)據(jù)，預(yù)測未來30天內(nèi)高溫天氣和寒冷天氣的天數(shù)。六、開放創(chuàng)新題（共1題，50分）隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，AI輔助教學(xué)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用越來越廣泛。請結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，設(shè)計一個基于AI技術(shù)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例，要求：（1）明確教學(xué)目標(biāo)和適用對象；（2）設(shè)計具體的教學(xué)流程，包括問題提出、模型建立、求解與驗證等環(huán)節(jié)；（3）說明AI技術(shù)在教學(xué)過程中的具體應(yīng)用方式；（4）分析該案例的教學(xué)效果和可能存在的問題。（注：本試卷滿分300分，考試時間150分鐘，允許使用計算器和數(shù)學(xué)軟件輔助解題）本試卷嚴(yán)格依據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計，全面覆蓋必修課程和選修課程的核心內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)建模和輔助技術(shù)的應(yīng)用。試卷結(jié)構(gòu)分為選擇題、填空題、解答題、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題、輔助技術(shù)應(yīng)用題和開放創(chuàng)新題六個部分，既考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，又注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實際問題解決能力。在內(nèi)容選擇上，試卷涵蓋了函數(shù)、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計與概率等主要數(shù)學(xué)分支，特別強調(diào)數(shù)學(xué)知識與實際問題的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題部分設(shè)計了貼近生活的實際問題，如共享單車投放優(yōu)化、花壇設(shè)計等，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法分析和解決實際問題。輔助技術(shù)應(yīng)用題則結(jié)合大數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計軟件等現(xiàn)代技術(shù)手段，培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)和數(shù)據(jù)處理能力。開放創(chuàng)新題鼓勵學(xué)生發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，探索AI技術(shù)與數(shù)學(xué)教育的融合方式，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)中"與時俱進(jìn)地認(rèn)識'雙基'"的理念。試