專題六二次函數(shù)與線段的問題一、單選題1．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．2．（2021秋·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．二、填空題3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線分別交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M、N．的值等于______________．4．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過點(diǎn)和，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．5．（2021秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，對稱軸與拋物線交于C，與軸交于點(diǎn)D，圓C的半徑為1.8，G為圓C上一動點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為_________．

三、解答題6．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離為d，則d與n的函數(shù)表達(dá)式為_____；(3)過（其中）且垂直y軸的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)．若對于滿足條件的任意t值，線段的長都不小于2，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍．7．（2023·江蘇徐州·校考一模）如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和的周長的最小值，若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．8．（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)平移拋物線得拋物線，兩拋物線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線和平移后的拋物線分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．①平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；②平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的長；③設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求的最小值．9．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．若點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸，交拋物線于點(diǎn)M．求線段的最大值．10．（2022秋·江蘇南通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．11．（2022·江蘇泰州·?？既＃┮阎獟佄锞€與x軸交于A，B兩點(diǎn)．(1)若拋物線的對稱軸是直線x＝2．①求拋物線的解析式；②對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)B關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)B'恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(2)當(dāng)b≥4，0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y的最大值滿足5≤y≤13，求b的取值范圍．12．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)、兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)為線段AB上一點(diǎn)，，作軸交拋物線于點(diǎn)M，求PM的最大值與最小值．13．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．14．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，已知拋物線y=ax2-4x+c與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．(1)求該拋物線的解析式；(2)分別求出拋物線的對稱軸和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段長度的最大值．16．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①求PE+EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)(1)求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)．(2)求證：∠ACB=90°(3)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．求DE+BF的最大值．18．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C(0，3)，其對稱軸是直線x＝1，點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交BC于點(diǎn)D，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，PE⊥BC，垂足為E，當(dāng)DE＝BD時(shí)，求m的值；(3)如圖2，連接AP，交BC于點(diǎn)H，則的最大值是．19．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上；（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是直線下方的拋物線上的一動點(diǎn)，過作軸的平行線與線段交于點(diǎn)，求線段的最大值．20．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，P為線段上一動點(diǎn)，將射線繞P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與函數(shù)圖像交于點(diǎn)Q．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)P在二次函數(shù)對稱軸上時(shí)，求此時(shí)的長；（3）求線段的最大值；（4）拋物線對稱軸上是否存在D，使P、Q、B、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．專題六二次函數(shù)與線段的問題一、單選題1．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】連接，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H．根據(jù)，可得的最小值為的長，即可解決問題．【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H．由，令，則，解得，，令，解得，，，，，，，當(dāng)為與軸交點(diǎn)時(shí)最小，最小值為的長，Q（0，2）,，，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，則的最小值是．故選D．2．（2021秋·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．二、填空題3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線分別交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M、N．的值等于______________．【答案】【分析】求出的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的解析式，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，對稱軸為直線，∴，設(shè)，∵點(diǎn)P為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，∴，設(shè)直線解析式為，，解得：，∴直線解析式為；∴當(dāng)時(shí)，，∴；同理可得：直線的解析式為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴；∴∴；故答案為：．4．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過點(diǎn)和，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．【答案】【分析】求得拋物線C的解析式，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：設(shè)平移后的解析式為y=-x2+bx+c，∵拋物線C經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（0，3），∴，解得，∴拋物線C的解析式為y=-x2+2x+3，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），∵點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值為故答案為：5．（2021秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，對稱軸與拋物線交于C，與軸交于點(diǎn)D，圓C的半徑為1.8，G為圓C上一動點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為_________．

【答案】【分析】如圖，連接BG．利用三角形的中位線定理證明DP=BG，求出BG的最大值，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接BG．∵AP=PG，AD=DB，∴DP=BG，∴當(dāng)BG的值最大時(shí)，DP的值最大，∵，∴C（5，），B（9，0），∴BC==，當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長線上時(shí)，BG的值最大，最大值=+，∴DP的最大值為，故答案為：．三、解答題6．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離為d，則d與n的函數(shù)表達(dá)式為_____；(3)過（其中）且垂直y軸的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)．若對于滿足條件的任意t值，線段的長都不小于2，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意知，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，由此求得a，b滿足的關(guān)系式；（2）過P作于H，過P作軸交于K，求出二次函數(shù)解析式，證明是等腰直角三角形，得，再求出直線解析式為，設(shè)可得，故，即可得，進(jìn)而可求出d與n的函數(shù)表達(dá)式；（3）由與x軸交于兩點(diǎn)，可得，然后分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況求解．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，∴拋物線對稱軸為直線，∴，整理得：；（2）過P作于H，過P作軸交于K，如圖：∵，∴，將代入得：，解得，∴，令得，∴，由可得，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴．設(shè)直線解析式為，把代入得，，∴，∴直線解析式為．∵為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，∴，在中，令得，∴，∴，∵點(diǎn)P到直線的距離為d，即，∴，∴；故答案為：；（3）∵與x軸交于兩點(diǎn)，∴，解得，∴，由（1）知拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，如圖：∵線段的長不小于2，∴M到直線的距離不小于1，∴在中，當(dāng)時(shí)，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，如圖：∵線段的長不小于2，∴M到直線的距離不小于1，∴在中，當(dāng)時(shí)，，∴，解得；綜上所述，a的取值范圍是或．7．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和的周長的最小值，若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)2或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長有最小值，直線與對稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，又由，可得的周長的最小值為；（3）設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的對角線分三種情況討論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．【詳解】（1）將代入，∴，解得，∴；（2）拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使得的周長最小，理由如下：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵A、B點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴，∴的周長，∴當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，的周長有最小值，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴的周長的最小值為；設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，∴，（3）設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，∴，解得（舍）或，∴；當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，∴，解得（舍）或，∴；當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，∴，解得或，∴或；綜上所述：M點(diǎn)橫坐標(biāo)為2或或．8．（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)平移拋物線得拋物線，兩拋物線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線和平移后的拋物線分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．①平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；②平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的長；③設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求的最小值．【答案】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)①；②的長為；③關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，的最小值是【分析】（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式即可求解；（2）①依題意得出，設(shè)平移后的拋物線為，將點(diǎn)代入解析式即可求解；②根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性得出，，即可求解；③點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由②可得，根據(jù)，得，設(shè)平移后的解析式為，將點(diǎn)代入得，根據(jù)勾股定理得出即關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）解：①∵，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令，∴，∵平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，設(shè)平移后的拋物線為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴拋物線解析式為②∵，對稱軸為直線∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，關(guān)于對稱，則，關(guān)于對稱，則，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)∴∴的長為；③∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由②可得，∵，則解得，∴平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，設(shè)，設(shè)平移后的解析式為，將點(diǎn)代入得，∴即∵∴表達(dá)式為∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即的最小值為．9．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．若點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸，交拋物線于點(diǎn)M．求線段的最大值．【答案】【分析】先利用對稱性得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)交點(diǎn)式，再把把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，則拋物線解析式為，接著利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)，則，所以，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，

∴拋物線解析式為，即，設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴∵∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．10．（2022秋·江蘇南通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）連接BC，BC與直線l的交點(diǎn)即為M．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函數(shù)的解析式為：．（2）解：拋物線的對稱軸為：；點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC，則BC是點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和的最小值，設(shè)直線BC的解析式為：，則：，解得：，∴，設(shè)，代入得：，∴．11．（2022·江蘇泰州·?？既＃┮阎獟佄锞€與x軸交于A，B兩點(diǎn)．(1)若拋物線的對稱軸是直線x＝2．①求拋物線的解析式；②對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)B關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)B'恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．當(dāng)b≥4，0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y的最大值滿足5≤y≤13，求b的取值范圍．【答案】(1)①；②存在，點(diǎn)P（2，）或P（2，）(2)4≤b≤6【分析】（1）①根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求出解析式；②如圖，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)B關(guān)于OP對稱的點(diǎn)B'在對稱軸上，連接OB′、PB，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用勾股定理得到B′（2，），再根據(jù)PB'＝PB，列出方程解答，同理得到點(diǎn)P在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)即可；（2）當(dāng)b≥4時(shí)，確定對稱軸的位置，再結(jié)合開口方向，確定當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)的增減性，從而得到當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取最大值，再根據(jù)函數(shù)值y的最大值滿足5≤y≤13，列出不等式解答即可．【詳解】（1）解：①拋物線的對稱軸為直線，拋物線的對稱軸是直線x＝2，∴，解得b＝4，∴拋物線的解析式為；②存在．理由如下：拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)B關(guān)于OP對稱的點(diǎn)B'在對稱軸上，連結(jié)OB′、PB，則OB'＝OB，PB'＝PB，如圖所示：對于，令y＝0，則，即，解得，∴A（﹣1，0），B（5，0），∴OB'＝OB＝5，∴在Rt中，，，則，∴，設(shè)點(diǎn)P（2，m），由，得，即，解得，∴P（2，），同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，P（2，），綜上所述，點(diǎn)P（2，）或P（2，）；（2）解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)b≥4時(shí)，，∵拋物線開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，取x＝2，y有最大值，即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，∵5≤y≤13，∴5≤2b+1≤13，解得2≤b≤6，又∵b≥4，∴4≤b≤6．12．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)、兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)為線段AB上一點(diǎn)，，作軸交拋物線于點(diǎn)M，求PM的最大值與最小值．【答案】(1)(2)(3)最大值是，最小值是4【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為，然后把點(diǎn)、代入關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）把代入（1）中所求的拋物線的解析式進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）先求出解析式，然后計(jì)算當(dāng)，，，的長度，然后設(shè)，，表示出的值，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)在軸正半軸上，∴設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)、代入中可得：，解得：舍去或，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）把代入中可得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）設(shè)的解析式為：，把點(diǎn)、代入中可得：，解得：，∴的解析式為：，∵點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，軸，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，設(shè)，，∴，當(dāng)時(shí)，的最大值為：，∴的最大值是，最小值是4．13．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；對稱軸為x＝(2)存在，P的坐標(biāo)為（，﹣）【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）連接PB，由拋物線的對稱性得：PA＝PB，可得（1）解：設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∵該拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：解得：

∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∵拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴拋物線的對稱軸為x＝．（2）解：存在，理由如下：連接PB由拋物線的對稱性得：PA＝PB∴△PAC的周長PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC最小，即當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，△PAC的周長最小，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直線BC的解析式為y＝x﹣2．令x＝，則有y＝﹣2＝﹣，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．∴在此拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．14．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，已知拋物線y=ax2-4x+c與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．(1)求該拋物線的解析式；(2)分別求出拋物線的對稱軸和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)x=2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0）；(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）化成頂點(diǎn)式，利用拋物線的對稱性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，的周長最小，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5）代入y=ax2-4x+c得：，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2-4x-5；（2）解：y=x2-4x-5=(x-2)2-9，∴拋物線的對稱軸為x=2，∵點(diǎn)A（-1，0），∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0）；（3）解：存在一點(diǎn)P，使得ABP的周長最?。碛扇缦拢哼B接AB，由于AB為定值，要使ABP的周長最小，只要最??；由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，則，因而BC與對稱軸的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；設(shè)直線BC的解析式為y=kx-5，把C（5，0）代入得：5k-5=0，解得k=1，所以直線BC的解析式為y=x-5；把x=2代入y=x-5中得，y=-3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．15．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段長度的最大值．【答案】(1)，(2)線段長度有最大值為【分析】（1）把拋物線解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法求解出二次函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出直線BD的解析式；（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，則，由此求解即可．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：將B的坐標(biāo)代入得：∴二次函數(shù)的解析式為：即：，∵點(diǎn)D是二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：設(shè)直線的解析式為：將B的坐標(biāo)代入得：∴直線的解析式為：；（2）解：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，線段長度有最大值為．16．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①求PE+EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)①；②-1或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程組求出b、c即可；（2）①利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），從而得出EG，運(yùn)用二次函數(shù)求最值方法即可；②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，直線EG與x軸交于點(diǎn)N．先證明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG?EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；（2）①當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，∵EG⊥AC，∴∠KEG＝∠KGE＝45°，∴EG＝＝EK＝OD，設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，由題意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，當(dāng)m＝﹣時(shí)，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值為；②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，記直線EG與x軸交于點(diǎn)N，∵EK⊥y軸，PD⊥x軸，∠KEG＝45°，∴∠DEG＝∠DNE＝45°，∴DE＝DN．∵∠KGE＝∠ONG＝45°，∴OG＝ON，∵y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∴MF＝1，∵∠KGF＝45°，∴GF＝＝MF＝，∵∠FDG＝45°，∴∠FDN＝∠DEG．又∵∠DGF＝∠EGD，∴△DGF∽△EGD，∴＝，∴DG2＝FG?EG＝×（﹣m）＝﹣2m，在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，在Rt△ODG中，∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，∴5m2+12m+9＝﹣2m，解得m1＝﹣1，m2＝．17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)(1)求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)．(2)求證：∠ACB=90°(3)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．求DE+BF的最大值．【答案】(1)A（-2，0），B（8，0），C（0，4）；(2)見解析(3)DE+BF的最大值是9．【分析】（1）由拋物線y=-x2+x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)，即可求出A，B，C坐標(biāo)；（2）求得△ABC三邊長，用勾股定理逆定理判斷△ABC是直角三角形即可；（3）由B（8，0），C（0，4）可得直線BC解析式為y=-x+4，設(shè)第一象限D(zhuǎn)（m，?m2+m+4），則E（m，-m+4），可得DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）=-（m-2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9．(1)解：y=-x2+x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x1=-2，x2=8，∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）；(2)證明：∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4），∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10，∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80，∴AC2+BC2=100，而AB2=102=100，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°；(3)①設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B（8，0），C（0，4）代入可得：，解得，∴直線BC解析式為y=-x+4，設(shè)第一象限D(zhuǎn)（m，?m2+m+4），則E（m，-m+4），∴DE=（?m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，BF=8-m，∴DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）=-m2+m+8=-（m-2）2+9，∴當(dāng)m=2時(shí)，DE+BF的最大值是9．18．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C(0，3)，其對稱軸是直線x＝1，點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交BC于點(diǎn)D，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，PE⊥BC，垂足為E，當(dāng)DE＝BD時(shí)，求m的值；(3)如圖2，連接AP，交BC于點(diǎn)H，則的最大值是．【答案】(1)(2)m=2(3)【分析】（1）根據(jù)對稱軸是直線x=1，利用二次函數(shù)對稱軸方程可求出b，再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（0，3）可求出c，即可求出二次函數(shù)解析式；（2）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得OB=OC，繼而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的橫坐標(biāo)是m，用含m表示出DE、BD的長，再根據(jù)DE=BD列方程求解；（3）過點(diǎn)A作垂直x軸直線交BC與點(diǎn)G，先直線BC解析式，再求AG，由PQ⊥OB，AG⊥OB，可得PQ∥AG，繼而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)二次函數(shù)求最值求解即可【詳解】（1）將C（0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，∵對稱軸是直線x=1，∴=1，即-=l，解得b=2，∴二次函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3；（2）令解得，∴A(-1，0)，B（3，0），∴OB=3，∵OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，BC=，∵PQ⊥OB，PE⊥BC，∴∠PQB=∠PED=90°，∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，∴BQ=DQ，BD=，DE=，∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)是m，且在拋物線上，∴PQ=，OQ=m，∴BQ=DQ=3-m，BD=，∴PD=PQ-DQ=，DE=，∵DE＝BD，∴，解得：（舍去），∴m=2（3）過點(diǎn)A作x軸的垂線交BC于點(diǎn)G，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入，可得：，解得，∴直線BC的解析式為：y=-x+3，∵A（-1，0），∴G（-1，4），∴AG=4，∴PQ⊥OB，AG⊥OB，∴PQ∥AG，∴△PDH∽△AHG，∴，∴當(dāng)a=時(shí)，有最大值，最大值是．故答案為：19．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上；（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是直線下方的拋物線上的一動點(diǎn)，過作軸的平行線與線段交于點(diǎn)，求線段的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）將點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可確定函