試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省寧波市鄞州區(qū)十三校2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．拋物線的頂點(diǎn)在（

）A．軸上 B．軸上 C．原點(diǎn) D．第二象限2．下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、63．已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．3 B．4 C．5 D．64．用如下方式確定甲、乙兩支足球隊(duì)比賽誰先開球，公平的方式有（

）種．A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，中，點(diǎn)D，E分別是邊的靠近A的三等分點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．9 D．86．如圖，有一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶?jī)?nèi)液體已經(jīng)過半，最大深度，則截面圓中弦的長(zhǎng)為（

）A．4cm B． C． D．7．已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．與的值有關(guān)8．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是（）

A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，平分交于點(diǎn)E，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，以BE為邊向上作正方形．在AE上取點(diǎn)H，連結(jié)，以HF為邊作正方形，連結(jié)DN．若點(diǎn)M落在邊上，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．從，，，0，3這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，恰好是無理數(shù)的概率是．12．若（），則的值為．13．如圖，，是半徑為的的兩條弦，，，是直徑，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．14．已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若，則（結(jié)果保留根號(hào)）．15．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．16．如圖，在矩形中，BE平分交于E，連結(jié)，在邊上取一點(diǎn)F使，連結(jié)，交于點(diǎn)G，則的值為．若，則的值為．三、解答題17．已知線段滿足，且．(1)求的值；(2)若線段是線段的比例中項(xiàng)，求的值；18．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式及該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)此函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)，（在的左邊），與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)，，的坐標(biāo)．19．圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫出位似中心點(diǎn)O；(2)求與的相似比；(3)以點(diǎn)O為位似中心，再畫一個(gè)，使它與的相似比等于．20．如圖，已知、分別是四邊形對(duì)邊、上的點(diǎn)，，直線分別交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形．21．如圖，在中，，以為直徑的分別交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的半徑．22．如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道閘示意圖．如圖1，道閘關(guān)閉時(shí)，四邊形是矩形．如圖，在道閘打開的過程中，邊固定，直線，連桿、分別繞點(diǎn)、轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊始終與邊平行，為上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作直線，，垂足分別為，，即四邊形是矩形，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)．(1)證明．(2)若道閘長(zhǎng)米，寬米，點(diǎn)距地面米，米，米，米，求的長(zhǎng)．23．已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．(1)求二次函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知函數(shù)圖象過．①若函數(shù)圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；②求證：當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)最大值與最小值的差為．24．如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為；（2）求的值；（3）將△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如圖2），連接BA′，與CD相交于點(diǎn)P．若CD=，求PC的長(zhǎng)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《浙江省寧波市鄞州區(qū)十三校2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BDDCCCCBDB1．B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)在軸上；故選B．2．D【分析】本題考查比例線段，理解比例線段的概念，注意在線段相乘時(shí)，要讓最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；、，故此選項(xiàng)中四條線段成比例，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．3．D【詳解】設(shè)點(diǎn)與圓心的距離d，已知點(diǎn)P在圓外，則d>r.解：當(dāng)點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)時(shí)，OP>5cm，A、B、C均不符.故選D.“點(diǎn)睛”本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，就是比較點(diǎn)與圓心的距離化為半徑的大小關(guān)系.4．C【分析】本題考查判斷游戲是否公平，解題的關(guān)鍵是看游戲中雙方贏的概率是否相等．根據(jù)題中圖片，逐個(gè)分析即可求解．【詳解】第一個(gè)圖片：箱子里有4個(gè)黑球，4個(gè)白球，任意摸出一個(gè)球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式確定甲、乙兩支足球隊(duì)比賽誰先開球，公平；第二個(gè)圖片：轉(zhuǎn)盤中乙隊(duì)的區(qū)域比甲隊(duì)的區(qū)域大，則轉(zhuǎn)到乙隊(duì)的可能性大，乙隊(duì)獲勝的可能性比甲隊(duì)大，所以用轉(zhuǎn)盤的方式確定甲、乙兩支足球隊(duì)比賽誰先開球，不公平；第三個(gè)圖片：硬幣只有正、反兩面，拋一次硬幣，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用拋硬幣的方式確定甲、乙兩支足球隊(duì)比賽誰先開球，公平；第四個(gè)圖片：1～6中，奇數(shù)有1、3、5，有3個(gè)；偶數(shù)有2、4、6，有3個(gè)；奇數(shù)與偶數(shù)的個(gè)數(shù)相等，則擲出奇數(shù)、偶數(shù)的可能性相同，所以用擲骰子的方式確定甲、乙兩支足球隊(duì)比賽誰先開球，公平；綜上所述，公平的方式有3種；故選C．5．C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)D，E分別是邊的靠近A的三等分點(diǎn)證明即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊的靠近A的三等分點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴．故選C．6．C【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，再由勾股定理得，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：連接，由題意得：，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∴截面圓中弦的長(zhǎng)為．故選：C．7．C【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小，根據(jù)解析式可求出對(duì)稱軸和開口方向，進(jìn)而得到離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，求出三個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離即可得到答案．【詳解】解：由題意得，函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且，∴，故選：C．8．B【分析】由于，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，故A不合題意；當(dāng)時(shí)，，故C不合題意；當(dāng)時(shí)，，故D不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．9．D【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先證明，得到，，然后在中利用勾股定理求出長(zhǎng)，計(jì)算得到長(zhǎng)，然后利用求出，長(zhǎng)，解題即可．【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，∵是矩形，∴，，，∴，又∵平分，∴又∵，∴，∴，，∴，在中，，即，解得：，∴又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，即，解得：，，∴，∴，故選：D．10．B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等，利用二次函數(shù)的最值求解．．過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得，，設(shè)根據(jù)勾股定理用表示，進(jìn)而求得的最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)N作，∵正方形，正方形，正方形，∴，，，∴，∴，，同理可得：，，，∴，設(shè)則，當(dāng)時(shí)，有最小值為．故選：B．11．/0.4【分析】先確定無理數(shù)的個(gè)數(shù)，再除以總個(gè)數(shù)．【詳解】解：，是無理數(shù)，（恰好是無理數(shù)）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式及無理數(shù)，熟練掌握概率公式及無理數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．12．/【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的基本性質(zhì)直接得出答案即可．【詳解】解：∵，∴的值為，故答案為：．13．【分析】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，垂徑定理，勾股定理，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，因而，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，的最小，即的值就是的最小值．【詳解】解：連接，作垂直于于H．∵，，是直徑，，，∴，，四邊形是矩形，∴，，∴，，在中根據(jù)勾股定理得到，即的最小值為．故答案為：．14．【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)的概念．應(yīng)該識(shí)記黃金分割的公式：較長(zhǎng)的線段原線段的．根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知是較長(zhǎng)線段，則，代入數(shù)據(jù)即可得出的長(zhǎng)．【詳解】解：為線段的黃金分割點(diǎn)，，且，．故答案為：．15．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，先證，再由比例計(jì)算可推出結(jié)論，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，∵四邊形為平行四邊形，，∴，，∴，∴，∴，即，∴．故答案為：．16．【分析】題目主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理、三角函數(shù)解三角形，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，再由等腰三角形的判定得出為等腰直角三角形，然后利用余弦函數(shù)求解即可；過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，，設(shè)，設(shè)，則，利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)代入求解確定，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵矩形，∴，∵BE平分交于E，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴；過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∴設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，∴，∴，故答案為：；．17．(1)，，；(2)．【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項(xiàng)的概念是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)，設(shè)，，，再代入等式進(jìn)行計(jì)算即可得；（）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴設(shè)，，，∵，∴，解得：，∴，，；（2）解：∵線段是線段的比例中項(xiàng)，∴，∴，∵，，∴（負(fù)值已舍去）．18．(1)，(2)，，【分析】本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入，求得a、c的值即可求得；（2）令，解方程求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，令，解方程求得C點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：把時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得，∴二次函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：令，則，解得，，∵在的左邊，∴，，令，則，∴．19．(1)作圖見解答過程(2)(3)作圖見解答過程【分析】本題考查位似圖形的意義及作圖能力．畫位似圖形的一般步驟為：（1）確定位似中心；（2）分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．（1）位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線經(jīng)過位似中心，如圖，直線、的交點(diǎn)就是位似中心；（2）與的位似比等于與的比，也等于與在水平線上的投影比，即位似比為；（3）要畫，先確定點(diǎn)的位置，因?yàn)榕c的位似比等于，因此，所以．再過點(diǎn)畫交于，過點(diǎn)畫交于．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；（2）解：與的位似比等于；（3）解：如圖所示，即為所求．20．(1)(2)見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）由平行條件可得，由面積的比等于相似比的平方可求得相似比，從而求得結(jié)果；（2）由平行得，得；再由得，從而得，則，故有，從而得；再由已知即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴；故答案為：；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即；∵，∴四邊形是平行四邊形．21．(1)見解析(2)5【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)和定理進(jìn)行推理與計(jì)算．（1）通過等腰三角形的性質(zhì)得到角相等，進(jìn)而推出同位角相等，證明兩直線平行，再結(jié)合直徑所對(duì)圓周角為直角得出垂直關(guān)系；（2）利用垂徑定理得到，設(shè)的半徑為r，則，再根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】（1）證明：∵，；（2）解：為的直徑，，，，，設(shè)的半徑為r，則，在中，∵，∴，解得，即的半徑為5．22．(1)見解析(2)米【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理．（1）通過證明兩角對(duì)應(yīng)相等來判定三角形相似；（2）先根據(jù)已知條件求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，再利用相似三角形的性質(zhì)求出其他線段長(zhǎng)度，最后通過線段關(guān)系求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，理由如下：，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，；（2）如圖，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，可知米，設(shè)米，米，米，米，，，米，，解得：，米，故的長(zhǎng)為米．23．(1)(2)①；②見解析【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，包括定點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及函數(shù)最值問題．解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用二次函數(shù)的基本公式（如對(duì)稱軸公式、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式），通過分析函數(shù)的特征（如開口方向）以及給定的條件（如函數(shù)過定點(diǎn)、與直線的交點(diǎn)情況、自變量取值范圍）來求解問題，對(duì)于分類討論的情況要全面且準(zhǔn)確分析．（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)．對(duì)于二次函數(shù)，令含變量的項(xiàng)系數(shù)為，即令，此時(shí)，無論、取何值，函數(shù)都過定點(diǎn)．（2）①已知函數(shù)過和，這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以對(duì)稱軸為．又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為．根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式和頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式（這里）列出方程組，求解得到．②先得出函數(shù)圖象頂點(diǎn)為．然后分和兩種情況討論．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，在（）這個(gè)區(qū)間內(nèi)，離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，所以時(shí)取最大值，時(shí)取最小值，二者差值為；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，時(shí)取最大值，時(shí)取最小值，二者差值為．【詳解】（1）解：令，則，∴函數(shù)圖象過定點(diǎn)；（2）解：①∵函數(shù)圖象過，又函數(shù)圖象過，且圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴函數(shù)圖象對(duì)稱軸為直線，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴∴②證明：函數(shù)圖象頂點(diǎn)為，若，當(dāng)時(shí)，取最大值為1，時(shí)，取最小值為，∴．若時(shí)，取最大值為時(shí)，取最小值為1，∴，∴函數(shù)最大值與最小值的差為．24．（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1【分析】（1）在△ABD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如圖1中，作DE∥AB交A