第1頁（共1頁）2025年內(nèi)蒙古包頭一中自主招生數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（每題6分，共60分）1．（6分）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響．下列圖形“劉徽割圓術(shù)”、“楊輝三角”、“趙爽弦圖”、“中國七巧板”中，屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（6分）某組數(shù)據(jù)方差計算公式為：，由公式提供的信息，下列說法錯誤（）A．樣本的容量是3 B．樣本的中位數(shù)是3 C．樣本的眾數(shù)是3 D．樣本的平均數(shù)是33．（6分）如圖，若x為正整數(shù)，則表示﹣（）A．段① B．段② C．段③ D．段④4．（6分）估計的值應(yīng)在（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間5．（6分）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為3，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為15..以此類推，則第10幅圖形中“●”的個數(shù)為（）A．100 B．120 C．220 D．2406．（6分）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，則（sinθ+cosθ）2＝（）A． B． C． D．7．（6分）已知α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的兩根，α＜β，實數(shù)a，b，α（）A．α＜a＜b＜β B．a(chǎn)＜α＜β＜b C．a(chǎn)＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b8．（6分）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）A． B． C． D．9．（6分）如圖入口進(jìn)入，沿框內(nèi)問題的正確判斷方向，最后到達(dá)的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．（6分）如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點M，P為BC邊的中點，連接PM、PN、MN①若∠A＝60°，則BC＝2MN；②若∠A＝45°，則；③若∠ABC＝60°，則△PMN為等邊三角形；④若∠ABC＝45°，則．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空題（每題8分，共40分）11．（8分）x3+6x2+6x+1因式分解后，一個因式為x+1，則另一個因式是．12．（8分）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．13．（8分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB的長為半徑畫弧交DC于點F．以點D為圓心，DA的長為半徑畫弧交DC于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）14．（8分）15只鸚鵡和15只八哥關(guān)在10個籠子里，每個籠子三只鳥，鸚鵡說真話，問“籠子里面有八哥嗎”，有21只鳥回答沒有個．15．（8分）如圖，在正方形ABCD中，M，N分別為CD，且DM＝CN，連接AM，交于點P，Q，R分別為AN，連接PQ，PR，若，則MP的長為．

2025年內(nèi)蒙古包頭一中自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CABCBAACDC一、單項選擇題（每題6分，共60分）1．（6分）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響．下列圖形“劉徽割圓術(shù)”、“楊輝三角”、“趙爽弦圖”、“中國七巧板”中，屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、D中的圖形都不能找到一個點，所以不是中心對稱圖形．選項C中的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合．故選：C．2．（6分）某組數(shù)據(jù)方差計算公式為：，由公式提供的信息，下列說法錯誤（）A．樣本的容量是3 B．樣本的中位數(shù)是3 C．樣本的眾數(shù)是3 D．樣本的平均數(shù)是3【解答】解：由題意知這組數(shù)據(jù)為2、2、3、3、3、3、4，所以樣本容量為7，中位數(shù)為8，平均數(shù)為，故選：A．3．（6分）如圖，若x為正整數(shù)，則表示﹣（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x為正整數(shù)，∴≤＜4故表示﹣的值的點落在②故選：B．4．（6分）估計的值應(yīng)在（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【解答】解：原式＝3﹣4＝，∵62＝36，32＝49，而36＜45＜49，∴6＜＜3，∴5＜﹣1＜7，故選：C．5．（6分）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為3，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為15..以此類推，則第10幅圖形中“●”的個數(shù)為（）A．100 B．120 C．220 D．240【解答】解：由題意可得，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為3＝72﹣1，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為8＝38﹣1，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為15＝72﹣1，……∴第n幅圖中“●”的個數(shù)為（n+4）2﹣1，∴第10幅圖形中“●”的個數(shù)為（10+2）2﹣1＝120，故選：B．6．（6分）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，則（sinθ+cosθ）2＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長是5，小正方形的邊長是4，設(shè)AC＝BD＝a，如圖，△ABD中，由勾股定理得：a2+（5+a）5＝，解得a＝5，∴sinθ＝＝，cosθ＝＝，∴（sinθ+cosθ）7＝＝．故選：A．7．（6分）已知α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的兩根，α＜β，實數(shù)a，b，α（）A．α＜a＜b＜β B．a(chǎn)＜α＜β＜b C．a(chǎn)＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b【解答】解：依題意，畫出函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）的圖象．函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，b（a＜b）．方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0轉(zhuǎn)化為（x﹣a）（x﹣b）＝2，方程的兩根是拋物線y＝（x﹣a）（x﹣b）與直線y＝2的兩個交點．由α＜β，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標(biāo)為α．由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，則有α＜a，y隨x增大而增大．綜上所述，可知α＜a＜b＜β．故選：A．8．（6分）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種，∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為＝，故選：C．9．（6分）如圖入口進(jìn)入，沿框內(nèi)問題的正確判斷方向，最后到達(dá)的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等是假命題，因為如果這兩個三角形一個是銳角三角形，有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形不全等；一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，綜合以上到達(dá)的是丁，故選：D．10．（6分）如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點M，P為BC邊的中點，連接PM、PN、MN①若∠A＝60°，則BC＝2MN；②若∠A＝45°，則；③若∠ABC＝60°，則△PMN為等邊三角形；④若∠ABC＝45°，則．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【解答】解：①：BM⊥AC，且∠A＝60°，則，同理，故，∠A＝∠A，，即BC＝2MN，則①正確；②：BM⊥AC，且∠A＝45°，則，同理，故，∠A＝∠A，，即，則②正確；③：，∠ABC＝60°，則△BPN為等邊三角形，若△PMN為等邊三角形，則∠MCP＝60°，，則△MPC為等邊三角形，當(dāng)∠ACB≠60°時不成立，則③錯誤；④：∠ABC＝45°，則，則④正確；故選：C．二、填空題（每題8分，共40分）11．（8分）x3+6x2+6x+1因式分解后，一個因式為x+1，則另一個因式是x2+5x+1．【解答】解：原式＝x3+x2+2x2+5x+x+3＝x2（x+1）+5x（x+1）+（x+1）＝（x+6）（x2+5x+7），故答案為：x2+5x+8．12．（8分）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為15．【解答】解：，解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x≥，∵不等式組至少有兩個整數(shù)解，∴≤4；關(guān)于y的分式方程兩邊乘以y﹣1，解得：y＝，∵分式方程有正整數(shù)解，∴a取1，3，8，7，9，11∵a≤8，且y≠1，∴a只能取3，4，7，則所有整數(shù)a的和為3+8+7＝15，故答案為：15．13．（8分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB的長為半徑畫弧交DC于點F．以點D為圓心，DA的長為半徑畫弧交DC于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【解答】解：連接AF，如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∠D＝90°，∵BC＝1，AB＝2，∴AF＝3，∴sin∠AFD＝，DF＝＝＝，∴∠AFD＝30°，∵DC∥AB，∴∠AFD＝∠FDB＝30°，∴S陰影＝S△AFD+S扇形ABF﹣S扇形ADE＝+﹣＝+﹣＝，故答案為：．14．（8分）15只鸚鵡和15只八哥關(guān)在10個籠子里，每個籠子三只鳥，鸚鵡說真話，問“籠子里面有八哥嗎”，有21只鳥回答沒有2個．【解答】解：由題意，設(shè)A類籠x個：3只鸚鵡；C類籠z：2只八哥+3只鸚鵡，∴x+y+z+w＝10，且3x+2y+z＝15．又∵21只鳥回答“沒有”，∴分析每類籠的回答：A類籠（8鸚）：說真話（無八哥），3只均答“沒有”；B類籠（1八8鸚）：八哥說假話（答“沒有”），鸚鵡說真話（答“有”）；C類籠（2八1鸚）：4只八哥說假話（答“沒有”），鸚鵡說真話（答“有”）；D類籠（3八）：說假話（有八哥），3只均答“沒有“，∴6x+y+2z+3w＝21．由籠子總數(shù)得w＝10﹣x﹣y﹣z，代入“回答數(shù)”方程：5x+y+2z+3（10﹣x﹣y﹣z）＝21，∴﹣7y﹣z+30＝21，∴2y+z＝9④．將方程④代入“鸚鵡總數(shù)”方程：8x+（2y+z）＝15．∴x＝2．．∴只有鸚鵡的籠子有4個．故答案為：2．15．（8分）如圖，在正方形ABCD中，M，N分別為CD，且DM＝CN，連接AM，交于點P，Q，R分別為AN，連接PQ，PR，若，則MP的長為．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AD