專(zhuān)題02二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

題型1不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

判斷不等式是否成立的常用方法

（1）利用不等式的性質(zhì)驗(yàn)證，應(yīng)用時(shí)注意前提條件；

（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)；

（3）根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

1．（24-25高三上·山東·月考）下列選項(xiàng)說(shuō)法正確的是（）

11

A．若ab,cd，則acbdB．若，則ab

ab

C．若ab，則5a5bD．若ac2bc2，則ab

【答案】D

【解析】對(duì)于A，反例a1b2，c3d5，則ac3bd10，故A錯(cuò)誤；

11

對(duì)于B，反例，即a2,b2，而ab，故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C，若ab，則ab，所以5a5b，故C錯(cuò)誤；

111

對(duì)于，22，，則，所以22，即，故正確故選：

Dacbcc020ac2bc2abD.D.

ccc

2．（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）a,b,cR，bc，下列不等式恒成立的是（）

A．a(chǎn)b2ac2B．a(chǎn)2ca2b

C．a(chǎn)bacD．a(chǎn)2ca2b

【答案】B

【解析】對(duì)于A，若cb0，則b2c2，ab2ac2，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)閎c，故a2ba2c，故B正確；

對(duì)于C、D，若a0，abac0，a2ca2b0，故C、D錯(cuò)誤，故選：B．

3．（24-25高三上·廣東江門(mén)·月考）下列命題為真命題的是（）

aaccc

A．若abc0，則B．若ab0,c0，則

bbcab

ab

C．a(chǎn)b0，則ac2bc2D．若ab，則ab

2

【答案】D

aaca(bc)b(ac)c(ab)aac

【解析】對(duì)于A，由abc0，得0，則，A錯(cuò)誤；

bbcb(bc)b(bc)bbc

11cc

對(duì)于B，由ab0，得，而c0，則，B錯(cuò)誤；

abab

對(duì)于C，當(dāng)c0時(shí)，ac2bc20，C錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于D，由ab，得2aab,ab2b，因此ab，D正確.故選：D

2

4．（24-25高三上·陜西西安·月考）下列命題中，真命題的是（）

11

A．若ab，則B．若ab，則a2abb2

ab

aac

C．若abc0，則D．若0abc，則logalogb

bbccc

【答案】C

1

【解析】對(duì)選A，若a0,b1，滿(mǎn)足ab，此時(shí)無(wú)意義，故A錯(cuò)誤，

a

對(duì)選項(xiàng)B，若a2,b3，滿(mǎn)足ab，不滿(mǎn)足a2b2，故B錯(cuò)誤，

aacabcbaccab

對(duì)選項(xiàng)C，若abc0，0，

bbcbbcbbc

aac

所以，故C正確.

bbc

對(duì)選項(xiàng)D，若0c1，0abc，則logcalogcb.故選：C

題型2利用不等式求代數(shù)式范圍

利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求范圍的整體與已

知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解，具體步驟如下：

已知，，求的取值范圍

M1f1(a,b)N1M2f2(a,b)N2g(a,b)

第一步：設(shè)；

g(a,b)pf1(a,b)qf2(a,b)

第二步：經(jīng)過(guò)恒等變形，求得待定系數(shù)p,q；

第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范圍．

5．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知2a4，1b0，則2ab的取值范圍（）

A．4,9B．4,9C．5,8D．5,8

【答案】B

【解析】因?yàn)?a4，1b0得42a8，0b1，

所以42ab9．故選：B．

6．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知0xy5，2xy3，則z2x3y的取值范圍是（）

92551551595

A．,B．,C．,D．,

22222222

【答案】C

【解析】設(shè)2x3ymxynxy，則有2x3ymnxmny，

1

m

mn22

即，解得，

mn35

n

2

51515

所以由0xy5，2xy3，可得xy0,5xy,

2222

51515

兩同向不等式相加得：5xyxy0，

2222

515

化簡(jiǎn)得2x3y，故選：C.

22

7．（24-25高三上·江蘇南通·月考）若變量x，y滿(mǎn)足約束條件32xy9，6xy9，則zx2y的最

小值為（）

A．7B．6C．5D．4

【答案】B

【解析】設(shè)zx2ym2xynxy，故2mn1且mn2，

所以m1,n1，故zx2y2xyxy，

由于32xy9，6xy9，所以392xyxy96，即6x2y3，

故最小值為6，此時(shí)x4,y5，故選：B.

x2x3

8．（24-25高三上·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足3xy28,49，則的最大值為（）

yy4

A．27B．24C．12D．32

【答案】A

111

【解析】由3xy28，得，

8xy23

x2x4

又49，所以1681，

yy2

11x41x3

所以1681，即227，

8xy2y23y4

x3

所以的最大值為27.故選：A

y4

題型3比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小

1、作差法：

（1）原理：設(shè)a,bR，則ab0ab；ab0ab；ab0ab；

（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。

（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形．

2、作商法：

aaa

（1）原理：設(shè)a0,b0，則1ab；1ab；1ab

bbb

（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。

（3）注意：作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果a,b均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相

反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對(duì)數(shù)恒等變形．

9．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知Mx2x3,Nx2，則M與N大小關(guān)系是（）

A．MNB．MNC．MND．MN

【答案】C

2

【解析】因?yàn)镸Nx2x3x2x22x1x10，所以MN.故選：C.

12

10．（24-25高三上·黑龍江伊春·開(kāi)學(xué)考試）已知a,b，ca2，則（）

2362

A．cabB．bca

C．cbaD．bac

【答案】D

21

【解析】因b,由23310,可得，ba

6231

又0a321，由acaa2a(1a)0可得ac，

故得，bac.故選：D.

11．（2025·云南玉溪·二模）已知x0，x22xyz20，x2yz，則（）

A．yzxB．xyzC．yxzD．zxy

【答案】A

x2z2

【解析】由x0，且x22xyz20可得2xyx2z2，即y，

2x

x2z2x2z22x2z2x2

則yxx，

2x2x2x

x2z2

又x2yz，即x2z，化簡(jiǎn)可得2x3x2zz30，

2x

2

2222z72

即xz2xxzz0，其中2xxzz2xz0，

48

所以xz0，即0xz，所以x2z2，

z2x2

所以yx0，所以yx，

2x

2

x2z2x2z22xzxz

又yzz0，所以yz，

2x2x2x

綜上所述，yzx.故選：A

e20231e20241

12．（2025高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知M，N，則M，N的大小關(guān)系為．

e20241e20251

【答案】MN

2

202320252024

e20231e20241e1e1e1

【解析】法一：MN20242025，

e1e1e20241e20251

2

e2023e20252e2024e2023e1

0，

e20241e20251e20241e20251

MN．

111

ex1ex1111

法二：令fx1，

x1eee

x1x1

e1e1ee1

顯然fx是R上的減函數(shù)，

f2023f2024，即MN．

故答案為：MN

題型4解不含參一元二次不等式

第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：寫(xiě)出相應(yīng)的方程ax2bxc0(a0)，計(jì)算判別式：

①時(shí)，求出兩根、，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；

0x1x2x1x2

b

②0時(shí)，求根xx；

122a

③0時(shí)，方程無(wú)解

第三步：根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集．

13．（24-25高三下·江蘇宿遷·月考）不等式3x27x20的解集為（）

1111

A．,2B．,2,C．,D．2,

3323

【答案】B

【解析】因?yàn)?x27x20，所以3x27x20.

1

所以3x1x20，所以x2或x.

3

1

所以不等式的解集為,2,.故選：B.

3

14．（24-25高三上·寧夏銀川·月考）已知集合Ax∣x24x50,B{x∣0x6}，則AB（）

A．{x∣5x6}B．{x∣1x6}C．{x∣0x1}D．{x∣0x5}

【答案】B

【解析】Axx24x50x1x5，Bx0x6，

ABx1x6.故選：B.

3

15．（2025·湖北武漢·三模）已知集合AxZ，Bxx22x30，則AB（）

x

3333

A．3,1,B．3,1C．3,1,,3D．3,1,,3

2222

【答案】D

33333

【解析】因?yàn)锳xZ,,1,,3,3,,1,,，

x4224

Bxx22x30,13,，

3

所以AB3,1,,3，故選：D.

2

4

16．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知集合Ax1，Bxx23x0，則AB（）

x2

A．xx2或x3B．x2x3

C．x0x2D．xx2或x3

【答案】B

4x2

【解析】在集合A中，因?yàn)?0，所以0，

x2x2

x2x20

則，解得2x2，所以Ax2x2，

x20

因?yàn)锽xx23x0x0x3，故ABx2x3.故選：B．

題型5解含參一元二次不等式

對(duì)求含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，常見(jiàn)的分類(lèi)有：

（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi)；

（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)；

（3）有兩個(gè)根式，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．

17．（24-25高三上·安徽·月考）設(shè)實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足mn0，則關(guān)于x的不等式xmxn0的解集為（）

A．{x∣xn或xm}B．{x∣xm或xn}

C．{x∣nxm}D．{x∣mxn}

【答案】A

【解析】因?yàn)閙n，所以不等式的解集為{x∣xn或xm}.故選：A.

18．（24-25高三上·福建廈門(mén)·月考）（多選）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次不等式axax10

的解集可能為（）

A．B．1C．a(chǎn),1D．,1a,

【答案】ACD

【解析】對(duì)于一元二次不等式axax10，則a0

當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yaxax1開(kāi)口向上，與x軸的交點(diǎn)為a,1，

故不等式的解集為x,1a,；

當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yaxax1開(kāi)口向下，

若a1，不等式解集為；

若1a0，不等式的解集為1,a，

若a1，不等式的解集為a,1，故選：ACD

19．（24-25高三上·甘肅天水·月考）關(guān)于x的不等式x212ax2a0的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是．

13

【答案】1,,2

22

【解析】關(guān)于x的不等式x212ax2a0可化為x1x2a0，

3

當(dāng)2a1時(shí)，解得1x2a，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則32a4，得a2；

2

2

當(dāng)2a1時(shí)，不等式化為x10，此時(shí)無(wú)解；

1

當(dāng)2a1時(shí)，解得2ax1，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則22a1，得1a.

2

13

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,,2.

22

20．（24-25高三上·北京·月考）若不等式ax2bxc0的解集是{x∣2x3}，則不等式cx2bxa0的

解集為．

11

【答案】xx

23

a0

b

【解析】由題意可知，23，b5a，c6a，

a

c

6

a

則cx2bxa06ax25axa0，即6x25x10，

11

即2x13x10，解得：x，

23

11

所以不等式的解集為xx.

23

題型6三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用

1、一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值；

2、給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以代入

根或利用根于系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．

21．（24-25高三上·安徽·月考）關(guān)于x的不等式axb0的解集是xx1，則關(guān)于x的不等式

(axb)(x3)0的解集是（）

A．{xx1或x3}B．x1x3

C．x1x3D．{xx1或x3}

【答案】B

【解析】不等式axb0的解集是xx1，

故a0且ab，則axb0的根為-1，

故(axb)(x3)0的解集為x1x3.故選：B

21

22．（24-25高三下·廣東深圳·月考）若關(guān)于x的不等式ax2a1x20的解集是2,，則a的取值

a

范圍是（）

1111

A．,B．,C．,0D．,00,

2222

【答案】A

21

【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2a1x20的解集是2,，所以可知a0，

a

21

所以原不等式可化為ax2a1x2ax2x0

a

1

顯然2,是方程ax22a1x20的兩根，

a

11

所以只須2，解得a，

a2

1

所以a的取值范圍是,.故選：A

2

3

23．（24-25高三下·江蘇宿遷·月考）已知關(guān)于x的不等式ax2bx10的解集為,m,，其中

m

2

m0，則b的最小值為（）

m

A．4B．22C．2D．1

【答案】C

3

【解析】由題意可知：，m是方程ax2bx10的兩根，且a0，

m

3b

m

ma1m1

則，可得a，b，

3133m

m

ma

2m3

則b2，當(dāng)且僅當(dāng)m3時(shí)取等號(hào)，

m3m

2

所以b的最小值為2.故選：C.

m

24．（24-25高三上·甘肅隴南·期中）若不等式ax2bxc0的解集為x|1x2，那么不等式

ax21bx1c2ax的解集為（）

A．x|2x1B．{x|x2或x1}

C．{x|x0或x3}D．x|0x3

【答案】D

【解析】因?yàn)椴坏仁絘x2bxc0的解集為x|1x2，

1和2是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，且a0，

b

12

a

所以，可得ba,c2a，

c

12

a

則不等式a(x21)b(x1)c2ax化為a(x21)a(x1)2a2ax，

由a0，則可整理得x23x0，解得0x3，

故不等式的解集為{x|0x3}.故選：D.

題型7一元二次不等式恒成立問(wèn)題

1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判別式判斷；

2、一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，一般分離參數(shù)求最值或分類(lèi)討論；

3、一元二次不等式在給定參數(shù)范圍恒成立，可變換主元求解，一般情況，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．

25．（25-26高三上·河北衡水·月考）若存在實(shí)數(shù)x使得kx22x10成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A．,1B．,0C．0,1D．0,1

【答案】A

1

【解析】當(dāng)k0時(shí)，此時(shí)當(dāng)x時(shí)，即滿(mǎn)足kx22x10，故k0符合題意，

2

當(dāng)k0時(shí)，此時(shí)ykx22x1為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，

一定存在實(shí)數(shù)x使得kx22x10成立，故k0符合題意，

當(dāng)k0時(shí)，此時(shí)ykx22x1為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，

要使存在實(shí)數(shù)x使得kx22x10成立，則44k0，解得0k1，

綜上可得k1，故選：A

26．（24-25高三上·山西·月考）若不等式ax1xb0對(duì)任意的xR恒成立，則4ab的最小值為（）

A．22B．4C．5D．42

【答案】B

【解析】當(dāng)a0時(shí)，xb0不可能對(duì)任意的xR恒成立，不滿(mǎn)足要求，

當(dāng)a0時(shí)，yax1xb開(kāi)口向下，不滿(mǎn)足題意，

所以a0，

1

令ax1xb0，得x,xb，

1a2

當(dāng)x1x2時(shí)，不等式ax1xb0對(duì)任意的xR恒成立，

1

所以b，即ab1，且a0,b0，

a

1

所以4ab24ab4，當(dāng)且僅當(dāng)4ab，即a,b2時(shí)，等號(hào)成立，

2

所以4ab的最小值為4.故選：B.

27．（24-25高三下·上?！ぴ驴迹┤舨坏仁絰2ax40對(duì)任意x[1,3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

【答案】5,

【解析】因x2ax40對(duì)任意x[1,3]恒成立，

4

則ax對(duì)任意x[1,3]恒成立，

x

413

因fxx在1,2上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增，且f15，f3，

x3

44

則fxx在[1,3]上的最大值為f15，則ax5，

xxmax

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為5,.

28．（2025·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）若不等式mx22mx42x24x對(duì)任意xR都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是．

【答案】2,2

【解析】原不等式等價(jià)于m2x22m2x40，

當(dāng)m2時(shí)，對(duì)xR，不等式恒成立；

m20

當(dāng)m2時(shí)，則有2，解得：2m2．

Δ4m216m20

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是2,2．

題型8利用基本不等式求最值

法一、直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系．

法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式．

法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況．

類(lèi)型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱(chēng)乘“1”法；

類(lèi)型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)

方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；

方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，

如分母為3a4b與a3b，分子為a2b，

設(shè)a2b3a4ba3b3a43b

1

315

∴，解得：

4322

5

法四、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)?，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問(wèn)題．

法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式

的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值．

12m

29．（2025·遼寧盤(pán)錦·三模）已知正數(shù)m、n滿(mǎn)足4m6n1，則的最小值為（）

mn

A．243B．443C．743D．723

【答案】B

【解析】因?yàn)檎龜?shù)m、n滿(mǎn)足4m6n1，

12m4m6n2m6n2m6n2m

所以442443，

mnmnmnmn

6n2m

mn

331

當(dāng)且僅當(dāng)4m6n1，即m1，n時(shí)等號(hào)成立，

232

m0,n0

12m

故的最小值為443．故選：C.

mn

y

30．（2025·山東·二模）若實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足xyz0，且xyz，則的取值范圍為（）

x2z2

552211

A．,B．,C．,D．1,1

552222

【答案】A

【解析】因?yàn)閤yz,xyz0

所以y(xz)且x(xz)z,

z15zx

故2且x0，所以2,

x22xz

11224

1

故zx，zx

255,

xzxz

yy2(xz)22xz21

()211[0,)

所以22222222zx,

xzxzxzxz5

xz

y55

所以(,),故選：A．

x2z255

11

31．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足abab1，則的最小值為.

ab

【答案】222

b1

【解析】因?yàn)閍0,b0，解得b1，

b1

11b1112b1

所以11，令tb10，

abb1bbb1bb1

11b1t11

11111322222

則2，

abbb1t1t2t3223

t

22

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)t2，此時(shí)b12，a12，

2

11

所以的最小值為222.

ab

14

32．（2025·天津和平·三模）已知實(shí)數(shù)x與y滿(mǎn)足xy0，且1，則2xy的最小值為．

xyxy

13

【答案】23

2

13

【解析】由于xy0，故xy0,xy0，且2xyxyxy，

22

13114

故2xyxyxyxy3xy

222xyxy

13xy4xy13xy4xy13

1313223，

2xyxy2xyxy2

3xy4xy14

當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合1，

xyxyxyxy

543323

故當(dāng)x,y時(shí)等號(hào)取到，

2323

13

故答案為：23

2

題型9基本不等式恒成立問(wèn)題

1、xM，使得f(x)a，等價(jià)于f(x)maxa；

2、xM，使得f(x)a，等價(jià)于f(x)mina；

3、xM，都有f(x)a，等價(jià)于f(x)mina；

4、xM，都有f(x)a，等價(jià)于f(x)maxa．

19

33．（24-25高三上·湖南·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)正數(shù)a，b滿(mǎn)足1，若不等式abx24x18m對(duì)任意實(shí)

ab

數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A．m3B．m3C．m6D．m6

【答案】D

19

【解析】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿(mǎn)足1，

ab

19b9ab9ab9a

則ab(ab)19102，因?yàn)?，

abababab

b9ab9a

所以2236，則ab10616，當(dāng)且僅當(dāng)即a4,b12時(shí)等號(hào)成立.

abab

22

因?yàn)椴坏仁絘bx4x18m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即(ab)minx4x18m恒成立.

22

(ab)min16，所以16x4x18m，即mx4x2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.

令yx24x2(x2)26，

因?yàn)?x2)20，所以y(x2)266，所以m6.故選：D.

2x2x1

34．（24-25高三上·江西上饒·月考）若不等式a在區(qū)間0,1上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

2x1

（）

141

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)1C．a(chǎn)D．a(chǎn)22

232

【答案】A

【解析】令2x1t，因?yàn)閤0,1，則t1,3，

t2t2

所以原不等式等價(jià)于a在t1,3上恒成立；

2t

t2t212

令ftt1，

2t2t

ft在t1,2時(shí)單調(diào)遞減，在t2,3時(shí)單調(diào)遞增，

1

所以當(dāng)t2時(shí)，ft2，

min2

1

若fta在t1,3上恒成立，則fta，所以a2.故選：A

min2

m4a9b

35．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知a0，b0，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大

abab

值為（）

A．64B．25C．13D．12

【答案】B

【解析】a0，b0，則ab0，

m4a9b4a9b

不等式恒成立，即mab恒成立，

ababab

4a9b494a9b4a9b

abab1313225，

abbababa

4a