大一數(shù)分考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x>1\)D.\(x>0\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=\)（）A.\(x^2\)B.\(3x^2\)C.\(3x\)D.\(x^3\)4.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處（）A.一定連續(xù)B.不一定連續(xù)C.一定不連續(xù)D.與連續(xù)性無(wú)關(guān)5.不定積分\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(3x^3+C\)6.定積分\(\int_{0}^{1}xdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.07.函數(shù)\(y=\cosx\)的一個(gè)原函數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)8.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是比\(x\)（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小9.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.410.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增答案：1.B2.B3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的條件是（）A.\(f(x_0)\)有定義B.\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)3.下列求導(dǎo)公式正確的是（）A.\((\sinx)^\prime=\cosx\)B.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)C.\((e^x)^\prime=e^x\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)4.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）5.以下哪些函數(shù)是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)6.關(guān)于極限的運(yùn)算法則，正確的是（）A.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\tox_0}f(x)+\lim_{x\tox_0}g(x)\)B.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]=\lim_{x\tox_0}f(x)-\lim_{x\tox_0}g(x)\)C.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)\cdotg(x)]=\lim_{x\tox_0}f(x)\cdot\lim_{x\tox_0}g(x)\)D.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\tox_0}f(x)}{\lim_{x\tox_0}g(x)}\)（\(\lim_{x\tox_0}g(x)\neq0\)）7.函數(shù)\(f(x)\)的駐點(diǎn)可能是（）A.極值點(diǎn)B.最值點(diǎn)C.不可導(dǎo)點(diǎn)D.拐點(diǎn)8.下列積分計(jì)算正確的是（）A.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}\)C.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)D.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)9.無(wú)窮小量的性質(zhì)有（）A.有限個(gè)無(wú)窮小量的和是無(wú)窮小量B.有限個(gè)無(wú)窮小量的積是無(wú)窮小量C.無(wú)窮小量與有界量的積是無(wú)窮小量D.無(wú)窮小量除以非零無(wú)窮小量的商是110.曲線\(y=f(x)\)的漸近線可能有（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.拋物線漸近線答案：1.ABCD2.ABC3.ABCD4.ABCD5.ABD6.ABCD7.AB8.ABCD9.ABC10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)在\(x=1\)處有定義。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）3.函數(shù)\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.不定積分\(\intf^\prime(x)dx=f(x)\)。（）5.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）6.函數(shù)\(y=x^2+1\)是偶函數(shù)。（）7.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）8.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量互為倒數(shù)。（）9.曲線\(y=\frac{1}{x}\)有水平漸近線\(y=0\)和垂直漸近線\(x=0\)。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處取得極值，則\(f^\prime(x_0)=0\)。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的\(\epsilon-\delta\)定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)\(\epsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足\(0<|x-x_0|<\delta\)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足\(|f(x)-A|<\epsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限，記作\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對(duì)\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\)。3.簡(jiǎn)述不定積分與原函數(shù)的關(guān)系。答案：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(f(x)\)的不定積分\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，\(C\)為任意常數(shù)。即不定積分是原函數(shù)的全體。4.說明函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積的充分條件。答案：若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，或\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性、極值和漸近線。答案：先求定義域\(x\neq\pm1\)。求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)。由\(y^\prime=0\)得\(x=0\)。在\((-\infty,-1)\)和\((0,1)\)上\(y^\prime>0\)遞增；在\((-1,0)\)和\((1,+\infty)\)上\(y^\prime<0\)遞減。\(x=0\)時(shí)取極大值\(y=-1\)。漸近線：水平漸近線\(y=0\)；垂直漸近線\(x=\pm1\)。2.試討論定積分在幾何和物理中的應(yīng)用。答案：幾何上，定積分可求平面圖形面積，如由曲線\(y=f(x)\)與\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)圍成圖形面積\(S=\int_{a}^|f(x)|dx\)。物理中可求變速直線運(yùn)動(dòng)路程，變力做功等，例如變力\(F(x)\)做功\(W=\int_{a}^F(x)dx\)。3.結(jié)合實(shí)例說明無(wú)窮小量在數(shù)學(xué)分析中的作用。答案：例如在極限計(jì)算中，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)是無(wú)窮小量，\(\lim