2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎科學中的抽象代數(shù)理論考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列集合中，不是群的是（）。(A)實數(shù)集R關于加法運算(B)非零實數(shù)集R*關于乘法運算(C)整數(shù)集Z關于乘法運算(D)2x2實矩陣全體關于矩陣加法運算2.設G是群，a,b∈G，若(a^-1*b)^2=e，則下列結論正確的是（）。(A)a=b(B)a*b=e(C)b*a=e(D)(a*b)^2=e3.下列映射中，不是環(huán)同態(tài)的是（）。(A)R->R，f(x)=x^2(B)R[x]->R，f(p(x))=p(1)(C)M_2(R)->R，f(A)=tr(A)(D)R->R，f(x)=-x4.下列環(huán)中，不是整環(huán)的是（）。(A)有理數(shù)域Q(B)整數(shù)環(huán)Z(C)實數(shù)域R(D)2x2整數(shù)矩陣環(huán)M_2(Z)5.下列域擴張中，不是代數(shù)擴張的是（）。(A)Q(√2)/Q(B)Q(√2,√3)/Q(C)Q(p)/Q，p為素數(shù)(D)R/Q二、填空題（每題4分，共20分）1.設G是階為12的循環(huán)群，生成元為a，則a^5的反元是__________。2.設R是環(huán)，a,b∈R，若a|b，則存在c∈R使得__________。3.設F是域，F(xiàn)[x]是F上的多項式環(huán)，p(x)∈F[x]是首項系數(shù)為1的不可約多項式，則F[x]/(p(x))是域當且僅當__________。4.設K/F是域擴張，α∈K，α的次數(shù)為n，則F(α)的基數(shù)為__________。5.設G是有限群，|G|=n，若存在整數(shù)d|n使得G中每個元素的階都整除d，則d=__________。三、計算題（每題8分，共32分）1.設G={a,b,c,d}是群，運算表如下：|*|a|b|c|d||---|---|---|---|---||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|求G的階，判斷G是否為阿貝爾群，并找出G的所有子群。2.設R=Z[x]，S=(2,x)，求R/S的階數(shù)，并描述R/S的元素結構。3.設K=Q(√2)，F(xiàn)=Q，求[K:F]，并找出K的一組基。4.設F=Q(√2)，α=√2，β=√3，求[F(α,β):F]。四、證明題（每題10分，共40分）1.設G是群，a∈G，若a和a的逆元a^-1生成相同的子群，證明a是可換元。2.設R是環(huán)，I和J是R的理想，證明I+J是R的理想，并給出I∩J的描述。3.設F是域，F(xiàn)[x]是F上的多項式環(huán)，p(x),q(x)∈F[x]是首項系數(shù)為1的不可約多項式，證明F[x]/(p(x))與F[x]/(q(x))不同構的充分必要條件是p(x)和q(x)不等價。4.設K/F是域擴張，α∈K，α的次數(shù)為n，證明F(α)中存在n個線性無關的元素。試卷答案一、選擇題1.C2.D3.A4.D5.B二、填空題1.a^72.b=ac3.p(x)是F上的不可約多項式4.|F|*α^(n-1)5.n三、計算題1.解：G的階為4。G是阿貝爾群，因為運算表關于主對角線對稱。G的所有子群為{e},{a,b,c,d},{a,c},{b,d}。思路：通過運算表判斷群的階和是否阿貝爾。利用子群的定義和拉格朗日定理找出所有子群。2.解：R/S的階數(shù)為φ(2)=1，R/S是零環(huán)。思路：利用理想和商環(huán)的定義，將R中的元素按模2(x)分類，得到商環(huán)的結構。3.解：[K:F]=2，一組基為{1,√2}。思路：利用域擴張次數(shù)的定義，判斷擴域的維度，并找出基。4.解：[F(α,β):F]=4。思路：利用擴展次數(shù)的乘法性質，[F(α,β):F]=[F(α,β):F(α)]*[F(α):F]，分別計算每一部分。四、證明題1.證明：設H=<a>=<a^-1>。任取x∈H，則x=a^m或x=(a^-1)^m。若x=a^m，則a*x=a*a^m=a^(m+1)∈H。若x=(a^-1)^m，則a*x=a*(a^-1)^m=(a^-1)^(m-1)∈H。因此a*x∈H，即a和a^-1可換。又H是子群，包含單位元e，a*e=a∈H，故a可換。思路：利用子群的定義和生成元的性質，證明a與子群中任意元素可換，從而證明a是可換元。2.證明：任取r∈I+J，則r=i+j，i∈I，j∈J。對任意x∈R，有x*r=x*(i+j)=(x*i)+(x*j)∈I+J。因此I+J是R的理想。思路：利用理想的定義，證明I+J對環(huán)R的乘法封閉。I∩J是所有同時屬于I和J的元素的集合，是R的子環(huán)。3.證明：必要性：若F[x]/(p(x))?F[x]/(q(x))，則存在滿同態(tài)φ:F[x]/(p(x))->F[x]/(q(x))?？紤]誘導同態(tài)F[x]->F[x]/(q(x))，由于p(x)和q(x)等價，該同態(tài)是滿同態(tài)，且ker為同余類(p(x))，同理ker誘導同態(tài)F[x]->F[x]/(p(x))為同余類(q(x))。由于存在同構，p(x)和q(x)在F[x]中具有相同的ker，故p(x)和q(x)等價。充分性：若p(x)和q(x)不等價，則它們在F[x]中具有不同的ker，誘導同態(tài)F[x]->F[x]/(p(x))和F[x]->F[x]/(q(x))不能同構，故F[x]/(p(x))與F[x]/(q(x))不同構。思路：利用環(huán)同構和理想的關系，以及多項式的等價性進行證明。4.證明：設β_1,β_2,...,β_n是F(α)中任意n個線性無關的元素。假設存在n+1個線性無關的元素β_1,β_2,...,β_n,β_{n+1}。則存在非零系數(shù)c_1,c_2,...,c_{n+1}∈F使得c_1β_1+c_2β_2+...+c_nβ_n+c_{n+1}β_{n+1}=0。由