計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

Ifl題型概覽

題型01計(jì)數(shù)原理

題型02統(tǒng)計(jì)

題型03古典概率

題型04條件概率與全概率

題型05隨機(jī)變量及其分布列

題型06回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

題型01

1.（2025?河南?二模）甲乙丙丁四名同學(xué)去聽同時(shí)舉行的三個(gè)講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中的

一個(gè)講座,則甲二人F好聽的同一講座而丙丁聽的不同講座的情況為（）種

A.6B.10C.18D.36

【答案】C

【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】解：先安排甲乙共有C；,再安排丙丁共有A；,

所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得總共有C；?A；=18（種），

故選:C.

2.（2025?河南?二模）在（2x+/『的展開式中，含丁項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】32

【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再令x的指數(shù)等于5,即可得解.

【詳解】（2》+》2了展開式的通項(xiàng)*=（：：（2%廣（2『=24十％八4,

令A(yù)+4=5,則4=1,

所以含金項(xiàng)的系數(shù)為23（2；=32.

故答案為：32.

3.（2025?河南?二模）在（1-4『的展開式中，x的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

【答案】15

【分析】集合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

1/66

【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得=。：（一1），1令1=i,則廠=2,所以系

數(shù)為C；（-1『=I5,

故答案為：15.

4.（2025?河南?二模）22?2除以5的余數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用二項(xiàng)式定理即可求解.

【詳解】由題意可知，

1092,I011

22”=（485-1）"=CHX485"+C；1X485X（-1）+C21X485X（-1）4-...+C；?X485X（-1）+C；；X（-1）

由此可知2222除以5的余數(shù)，即為C：：x（-l）u=_|除以5的余數(shù)，故所求余數(shù)為4.

故選：D.

5.（2025?河南?二模）（五一白）的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則〃為（）

A.6B.5C.8D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)題意，（五一9）的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"T=32,

所以〃=6.

故選：A

6.（2025?河南?二模）已知（x+2）的二項(xiàng)屐開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為（）

A.24B.18C.12D.6

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意求得〃，然后結(jié)合二項(xiàng)式定理即可求解.

2/66

【詳解】已知G+2）的二項(xiàng)展開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則只能"=2x（3-1）=4,

從而口+1）的展開式為?=C；2'X42&=0J2,3,4,5）,

令4一2廠=0,解得/=2,

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C&2=24.

故選：A.

7.（2025?河南?二模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】60

【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.

的展開式通項(xiàng)為7；.產(chǎn)C"仔）.卜=c：?（一葉26T.s，（左=0,1,2,…,6）,

【詳解】

所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C〉（-1）、22=60.

故答案為：60.

8.（2025?河南信陽?二模）（x-3j，r展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)是（）

B.-90C.-270D.270

【答案】A

【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解可得.

【詳解】（x-3“展開式的通項(xiàng)為加=C"j（-3），）1=0』,2,--,5.

則7；=C；?（-3,v）2=90?/,所以第3項(xiàng)的系數(shù)是90.

故選：A.

9.（2025?河南?二模）x（l-x）4的展開式中V的系數(shù)為（）

A.2B.6C.4D.-4

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)可求得x（l-x），的展開式中.，的系數(shù).

3/66

【詳解】x(l-x)4的展開式中X3的系數(shù)即為(1-X)4的展開式中f的系數(shù)，

又二項(xiàng)式(1-')4的展開式的通項(xiàng)為4“=C；XLx(—X)，=C；(-l)rx\

號Yd可得7>C“—l)2/=6f,

所以(1-x)4的展開式中Y的系數(shù)為6,所以x(l-x)4的展開式中V的系數(shù)6.

故選：B.

10.(2025?河南?二模)二項(xiàng)式卜―專)(〃eN，)的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則

展開式中/的系數(shù)為.

【答案】84

【分析】依題意可得C：=C：,即可求出〃，再由展開式的通項(xiàng)計(jì)算可得.

【詳解】二項(xiàng)式口-怖](子)(0<r<nfireN),

〃61<)展開式的通項(xiàng)為人=€：二產(chǎn)，

依題意C：=C：,所以〃=3+4=7,

所以二項(xiàng)式(x-怖)展開式的通項(xiàng)為&產(chǎn)(3；一(6)=(-2/C；x-^(0<r<7KreN),

令”]=4,解得尸=2,所以心=(一21C3=84x4,

所以展開式中/的系數(shù)為為84.

故答案為：84

11.(2025?河南?二模)某同學(xué)收集了第一屈全國學(xué)生(青年)運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物"壯壯〃和“美美”的卡片

各一張，第19屆亞運(yùn)會(huì)吉祥物"宸宸〃"琮琮"和"蓮蓮”的卡片各一張.現(xiàn)該同學(xué)準(zhǔn)備將這5張卡片貼在

墻二，若將“壯壯”和"美美”的卡片貼在“宸宸"和"蓮蓮"之間，則不同的貼法種數(shù)為.

(用數(shù)字作答)

【答案】20

【分析】按照特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先排"壯壯"、"美美"和"宸宸"、"蓮蓮"，再與"琮琮”進(jìn)行排

列即可.

【詳解】先將"壯壯"和"美美"的卡片貼在"宸宸"和"蓮蓮"之間，有A；A；種貼法，

再貼“琮琮〃，有C；種貼法,

4/66

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的貼法種數(shù)為A；A；C；=2（）種.

故答案為：20.

12.（2025?河南?二模）若（丁-3（qcR）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-4,則。=.

\X）

【答案】1

【分析】法1:根據(jù)二項(xiàng)式定理的定義，寫出展開式通項(xiàng)，利用賦值法，可得答案；法2：根據(jù)多

項(xiàng)式乘法，結(jié)合組合的計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題意，可得答案.

【詳解】法1：因?yàn)椴?一2的展開式的通項(xiàng)7；句=C；（X

令12-4I=0,解得廠=3,所以常數(shù)項(xiàng)為q=（-不然=-4,解得a=l.

法2；（x3的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為從4個(gè)因式-4中1個(gè)取丁,

kX）kx）

其余3個(gè)取一色，即常數(shù)項(xiàng)為C：（-a）3,由C：（-a）'=-4,解得。=1.

X

故答案為：1.

13.（2025?河南開封?二模）將5名學(xué)生分配到3個(gè)社區(qū)當(dāng)志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配1名學(xué)生，則

不同的分配方法種數(shù)是（）

A.24B.50C.72D.150

【答案】D

【分析】考慮分組為1、1、3和1、2、2兩種情況，分別討論即可得到答案.

【詳解】可以分組為1、1、3,或1、2、2兩種情況，

若分組為1、1、3,則有2C；C；=60；

若分組為1、2、2,則有C；C；C；=90：

則不同分法為60+90=150種.

故選：D

14.（2025?河南?二模）把數(shù)字1、2、3分別寫在9張卡片上，其中有4張寫著1,4張寫著2,1張

寫著3,把這9張卡片排成三行三列，每行每列都是三張卡片，則每行和每列的卡片上數(shù)字和為奇

數(shù)的排法的種數(shù)有（）

A.30B.27C.54D.45

5/66

【答案】D

【分析】從寫有數(shù)字3的卡片，開始考慮，分3所在的行要么由2個(gè)1,要么沒有1,有5種排法,

由于3可以放在這9個(gè)位置中的任何一個(gè)位置，因此共有45種排法.

【詳解】每張卡片都有所在的行和列，為了保證每行每列的數(shù)字和為奇數(shù)，

所以每行和每列有3個(gè)奇數(shù)或者1個(gè)奇數(shù)，

首先考慮寫有數(shù)字3的卡片，然后再考慮寫有數(shù)字1的卡片，

3所在的行要么有2個(gè)1,要么沒有1,

當(dāng)3所在的行有兩個(gè)1時(shí)，另外兩個(gè)1必須在同一列，于是有3種排法，

當(dāng)3所在的行沒有1時(shí)，剩下的兩行應(yīng)該是一行3個(gè)1,一行1個(gè)1,

于是有2種排法，所以對于3的每一個(gè)位置有5種排法，

由于3可以放在這9個(gè)位置中的任何一個(gè)位置.，因此共有45種排法.

故選：D

15.（2025?河南?二模）第二十一屆大連國際徒步大會(huì)即將召開，現(xiàn)在要從小張、小趙、小李、小羅、

小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同工作，若小張和小趙只能從

事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，若每個(gè)工作僅需要一人且每人只能從事一項(xiàng)工作，

則不同的選派方案共有種.

【答案】36

【分析】分小張和小趙兩人只有一人入選和兩人都入選兩種情況討論，利用分類加法計(jì)算原理計(jì)算

可得.

【詳解】①小張和小趙兩人只有一人入選，則有C；C；A；=24種選派方法；

②小張和小趙兩人都入選，則有A；A；=12種選派方法；

綜上可得一共有24+12=36種選派方法.

故答案為：36

16.（2025?河南周口?二模）在。-的展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)的和為.

【答案】256

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開式通項(xiàng)確定有理項(xiàng)，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得有理項(xiàng)的系數(shù)的

和.

6/66

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為

__L=c；(-1)rx9-rxr=c；(-1)rX9,r=0,1,2,???,9,

當(dāng)，=0,2,4,6,8時(shí)，展開式為有理項(xiàng)，

所以展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)的和為

C：1l）O+C；（-l『+C；（-l）4+C；（-iy+Ci（-l）*=C；+C；+C；+C；+C；=28=256.

故答案為：256.

17.（2025?河南?二模）二項(xiàng)式定理與組合數(shù)聯(lián)系十分緊密，我們可以借助二項(xiàng)式來研究組合數(shù)中的

某些性質(zhì)，進(jìn)而得到一些結(jié)論，例如，對于〃次二項(xiàng)式（1+》）”=力CR,取x=2,可以得到

/=0

n2024

3"=ZC?.類比此方法，可以求得￡；C案;3刈=（）

202440484048809740488097

A.4+4B.2+2C.42024+44048_JD.2+2-1

【答案】B

【分析】取〃=4049,分別賦值x=3,A=-3,作差后化簡即可得解.

4049

【詳解】由題意可得（1+工）。=XC；（MX，

/=0

20242024

令x=3,得產(chǎn)=￡C+^C髭932川，

/-0，?0

20242024

令3=—3,得_2吶9一乙4049°—7L4049°，

T^o7^0

2024

兩式做差,可得2型溫3?川=4?49+2儂9=2叱+2,

2024

因此，之c混3?川=2的+2，。

r=0

故選:B.

18.（2025?河南?二模）已知4={.xeN|x<12}，B={xcN|x<3},函數(shù)/；：4fN,工（x）的值等于x除

以6得到的余數(shù)，人：N-8.設(shè)/"）=人（/（x）），若存在使得對于任意的都不滿

足產(chǎn)/（x）,則函數(shù)/'（X）的個(gè)數(shù)是（）

A.729B.189C.378D.540

【答案】B

【分析】利用給定定義合理轉(zhuǎn)化問題,再利用組合數(shù)性質(zhì)求解即可.

7/66

【詳解】^={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},^={0,1,2,3},函數(shù)￡與?的關(guān)系如下圖所示:

可以看出，由于函數(shù)工(力的對應(yīng)關(guān)系固定，

J余

0-0

1-1

2-2

3-3

4-4

5-5

6-0

7-1

8-2

9-3

0-4

1-5

/

心)力力(x))

函數(shù)/(%)=力(工(、))的個(gè)數(shù)只取決于N的0,123,4,5到〃的對應(yīng)關(guān)系.

因?yàn)榇嬖趛e8,使得對于任意的xe/1,都不滿足y=/(x),

所以N的012,3,4,5沒有對應(yīng)滿6中的所有元素.

考慮其反面，即對于任意的ye'總存在xc兒使得)，=/(%),

即N的0,1,2,3,4,5對應(yīng)滿了6中的所有元素.

求滿足反面的/("的個(gè)數(shù)的問題等價(jià)于“6名工人到3間工廠應(yīng)聘,

每名工人只去?間工廠，每間工廠至少有?名工人前來應(yīng)聘，求應(yīng)聘情況的總數(shù)”,

一共有+C；C"xA：=540種情況,

即滿足反面的/(%)有540個(gè)，沒有限制條件的/(x)有36=729個(gè),

因此滿足題目條件的/(')有729-540=189個(gè)，故B正確.

故選；B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，然后合理轉(zhuǎn)化為等價(jià)

問題，利用排列組合得到所要求的結(jié)果即可.

19.(2025?河南?二模)為拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，鼓勵(lì)學(xué)生多讀數(shù)學(xué)書，學(xué)校舉辦了“數(shù)學(xué)圖書在哪〃的

抽獎(jiǎng)活動(dòng).如圖，在一個(gè)5x5的方格表中，按如下規(guī)則放置了一些圖書，小方格中的數(shù)字表示與其有

公共頂點(diǎn)的小方格的圖書的總本數(shù)，且有數(shù)字的小方格上沒有圖書，其余方格內(nèi)無限制，且每?個(gè)

方格只能放1本圖書.則所有可能的圖書排列方式總數(shù)為()

8/66

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)字的約束，確定哪些方格可以放置圖書，通過分析每個(gè)數(shù)字的約束，確定可以放置

圖書的方格，并計(jì)算最大可能的圖書數(shù)目，使用排列組合的方法，計(jì)算所有滿足條件的圖書放置方

式的總數(shù).

【詳解】如圖所示，灰色代表圖書位置，此時(shí)有11本圖書，接下來說明不可能有12本圖書，考慮

數(shù)字控制的區(qū)域，假設(shè)有一種方式可以達(dá)到8本圖書，首先左上角區(qū)域只有2本圖書（下圖左），

在大圖中去掉后變成了下圖中間的樣子，并且圖中應(yīng)有6本圖書.類似的，下方數(shù)字2代表周圍單元

格中有2本圖書，再去掉后形如下方右側(cè)圖形，此時(shí)需要填4本圖書，但只剩下三個(gè)空方格，矛盾!

故最多有7本，結(jié)合不受限制的區(qū)域，最多能抽中7+4=11本書.

接下來求所有可能的方法數(shù),

情形一:

9/66

0

2

93

4

2

如圖所示，？處有圖書時(shí)，在左上數(shù)字2的周圍有兩種情形，若數(shù)字3右側(cè)方格無圖書,

則4周圍的圖書排布方式已經(jīng)固定，此時(shí)下方數(shù)字2的排布方式也被固定，

此時(shí)中間數(shù)字3周圍只有兩本圖書，矛盾，，中間數(shù)字3右側(cè)必有圖書.

?3

此時(shí)如上右圖陰影區(qū)域中有且僅有一本圖書，故下方數(shù)字2左側(cè)或右側(cè)有一本圖書.

若下方數(shù)字2左側(cè)有一本圖書，則右側(cè)沒有圖書，此時(shí)4周圍的圖書排布已經(jīng)固定，

則此時(shí)3周圍圖書也已經(jīng)符合題意，只有一種情形.

若下方數(shù)字2右側(cè)有一本圖書，此時(shí)考慮下方數(shù)字2周圍還應(yīng)存在的一本圖書的位置，

若在2右上方，即上左圖中☆位置，則滿足題意，并且此時(shí)3周圍也滿足題意，

4周圍還剩一本圖書，共有兩種選擇，共兩種；

若不在2右上方，則4周圍圖書的排布已經(jīng)符合題意，

3周圍還應(yīng)有一本圖書，共有兩種選擇.

綜上，在情形一中，根據(jù)分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2x(l+2+2)=10種可能.

0

2

情形二:?3

4

2

如圖所示，？處無圖書時(shí)，左上數(shù)字2的圖書排布被固定，與情形一類似討論，可知3右側(cè)必有圖書,

10/66

此時(shí)根據(jù)3周圍應(yīng)還有2本圖書得到下方的2左右兩側(cè)均無圖書（否則下方2周圍圖書數(shù)目大于2）,

故4周圍的圖書排列方式被固定，???3周圍還應(yīng)有.一本圖書，共有兩種選擇，故情形二共有2種可

能.

???共有2"x(2+10)=192種.

故選:B.

題型。2統(tǒng)計(jì)

20.（2025?河南?二模）（多選）某校高三甲、乙兩名同學(xué)6次月考數(shù)學(xué)得分情況記錄如下,

甲：118,120,135,133,147,141：

乙：117,126,119,127,119,129.

則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）

A.甲同學(xué)得分的極差大于乙同學(xué)得分的極差

B.甲同學(xué)得分的中位數(shù)大于乙同學(xué)得分的中位數(shù)

C.甲同學(xué)得分的平均值大于乙同學(xué)的平均值

D.甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)的成績穩(wěn)定

【答案】ABC

【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的極差、巾位數(shù)、平均數(shù)與方差的概念和計(jì)算公式，計(jì)算分析即可判斷

【詳解】對于A,甲同學(xué)得分的極差為147-118=29,乙同學(xué)得分的極差為129-117=12,

甲同學(xué)得分的極差大于乙同學(xué)得分的極差，故A正確；

對于B,甲的數(shù)據(jù)從小到大排列后，處于中間的數(shù)是133,135,所以甲得分的中位數(shù)是134,

同理求得乙得分的中位數(shù)是122.5,因此甲同學(xué)得分的中位數(shù)大于乙同學(xué)得分的中位數(shù)，故B正確;

118+120+135+133+147+141397794

對于C,甲同學(xué)得分的平均值為-----=------

~6~36

]17+126+119+127+119+129737

乙同學(xué)得分的平均值為/

66

故甲同學(xué)得分的平均值大于乙得分的平均值，故C正確:

對于D,分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)得分的方差，方差小的成績更穩(wěn)定.

甲的方差為：5.|,=1(]182+1202+I352+I332+1472+1412)-(^2?109.22,

1737

乙的方差為：4=-(1172+1262+1192+1272+1192+1292)-(^42?21.47,

66

11/66

因?yàn)橐业姆讲钚∮诩椎姆讲?，所以乙的成績比甲的成績穩(wěn)定，故D不正確.

故選:ABC.

21.（2025?河南?二模）（多選）在去年的足球聯(lián)賽上，甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5,方差為1.1：

乙隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1,方差是0.4,下列說法正確的有（）

A.平均來說甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好

B.乙隊(duì)比甲隊(duì)的防守技術(shù)更穩(wěn)定

C.每輪比賽甲隊(duì)的失球數(shù)一定比乙隊(duì)少

D.乙隊(duì)可能有一半的場次不失球

【答案】AB

【分析】根據(jù)比賽平均失球數(shù)及方差分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5；乙隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1,平均來說甲隊(duì)比乙隊(duì)防

守技術(shù)好,A選項(xiàng)正確；

甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)方差為1.1;乙隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)方差是0.4,乙隊(duì)比甲隊(duì)的防守技術(shù)

更穩(wěn)定,B選項(xiàng)正確；

甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5；乙隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1,甲隊(duì)的平均失球數(shù)比乙隊(duì)少，但

是每輪比賽甲隊(duì)的失球數(shù)不一定比乙隊(duì)少,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是L5；乙隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1,平均失球數(shù)是3.6,乙隊(duì)有一半的

場次不失球則每場比賽平均失球數(shù)要小于1.8,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:AB.

22.（2025?河南?二模）（多選）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽

取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情

況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績位于［80,90）內(nèi)的學(xué)生成績方差為12,成績位于［90,100）內(nèi)的同

學(xué)成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：加、■5；;〃、亍、記樣本平

均數(shù)為ty,樣本方差為s2=----卜；+（亍一-----卜;+（歹一切.

12/66

B.估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25

【答案】BCD

【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,列等式求出實(shí)數(shù)。的值，可判斷A

選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用總體平均數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷

D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

貝1］（24+3。+7。+6。+2。）義10=200。=1,解得Q=0.005,A錯(cuò)；

對于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為（2a+3a）xl0=50q=0.25<0.5,

前三個(gè)矩形的面積之和為（2a+3a+7a）xl0=120—0.6>0.5,

設(shè)計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為加，則加?70,80）,

根據(jù)中位數(shù)的定義可得025+（〃?-70）義0.035=0.5,解得〃”77.14,

所以，估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14,B對；

對于C選項(xiàng)，估計(jì)成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為

成。85+2"x95=87.5分,C對；

6a+2a6a+2a

對于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為

：［［2+（87.5一85）］+加+@7.5一95日=30.25,D對.

故選：BCD.

23.（2025?河南?二模）已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：1,5,a,10,11,13,15,21,42,57,

13/66

若這組數(shù)據(jù)的極差是其第30百分位數(shù)的7倍，則。的值為.

【答案】6

【分析】確定極差，求出第30百分位數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合題意列式求解，即得答案.

【詳解】由題意知這組數(shù)據(jù)的極差是57-1=56,

由于10x30%=3,故第30百分位數(shù)為二蛆，

2

_?+10,

故56=7x———,。=6,

2

故答案為：6

24.（2025?河南?二模）為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，

現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1,抽取高中生1200人，其每天睡眠

時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5,則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為（）

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

【答案】B

【分析】利用抽樣中樣本平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式即可算出.

X9+X8=84

【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：j2Oo78OO1200+800（小時(shí)）'

該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：

———x11+（9-8.4>]+%「05+（8-8.4）21=0.94.

1200+800L'J12004800L」

故選：B.

25.（2025?河南?二模）四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)

計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.平均數(shù)為2,方差為2.4

C.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2D.中位數(shù)為3,方差為2.8

【答案】B

【分析】根據(jù)題意舉出特例，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案.

【詳解】對于A,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,1,2,5,6時(shí)，滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為2,可以出

現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故A錯(cuò)誤；

對于B,若平均數(shù)為2,且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差S2>1（6-2）2=3.2>2.4,

則平均數(shù)為2,方差為2.4時(shí)，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故B正確；

對FC,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2,2,3,4,6時(shí)，滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,

14/66

故c錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,2,3,3,6時(shí)，滿足中位數(shù)為3,

平均數(shù)為5=((1+2+3+3+6)=3,

方差為『=![(1-3)2+(2-3>+(3-3>+(3—3>+(6-3>]=2.8,

可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故D錯(cuò)誤；

故選：B.

26.(2025?河南?二模)某新能源汽車制造商為了評估一批新型電池的續(xù)航時(shí)間(單位：小時(shí))，從

這批次電池中隨機(jī)抽取50組進(jìn)行測試，把測得數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間:，，畫

⑵從抽取的50組電池中任取2組，求恰有1組電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的概率：

⑶將樣本分布的頻率視為總體分布的概率，從該批次電池組中仁取2組，設(shè)X為續(xù)航時(shí)間不少于

35小時(shí)的電池組的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴0.04

嗚

⑶分布列見解析,0.6

【分析】(1)根據(jù)頻率之和等于1求解；

(2)根據(jù)超幾何分布求解概率；

(3)利用二項(xiàng)分布求分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)根據(jù)頻率之和等于1可得，

5x(0.014-0.06+0.07+a+0.02)=1,解得a=0.04.

(2)由頻率分布圖可知，電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的頻率等于(0.04+0.02)x5=0.3,

所以電池續(xù)航時(shí)間不少于35小M的電池有50x0.3=15組，

15/66

電池續(xù)航時(shí)間少于35小時(shí)的電池有50x0.7=35組，

所以從抽取的50組電池中任取2組，

C；5ch_35x15_3

恰有1組電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的概率為忑一二50x49

2

3

（3）由（2）知，每次抽到電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的概率等于歷

3

由題可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，所以X~8（2,而）,

所以X所有可能的取值有0,1,2,

所以P（X=0）=C；

所以X的分布列如下,

X012

49429

PTooTooToo

49429

所以X的數(shù)學(xué)期望為￡(X)=0x而+lx而+2x而=0.6.

27.（2025?河南?二模）某報(bào)社發(fā)起“建黨100周年〃主題征文比賽，活動(dòng)中收到了來自社會(huì)各界的大

量文章，報(bào)社從中選取了60篇文章，打算以專欄形式在報(bào)紙上發(fā)表，已知這些文章的作者各不相同,

且年齡都集中在［15,65］內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，作出頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求"?的值；

⑵估計(jì)這60名作者年齡的中位數(shù)：（結(jié)果精確到0.01）

16/66

⑶為了展示不同年齡作者心中的黨的形象，報(bào)社按照各年齡段人數(shù)的比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法

從這60篇文章中抽出20篇文章，并邀請相應(yīng)作者參加座談會(huì)，若從參加座談會(huì)的年齡在［15,35）的

作者中隨機(jī)選出2人作為代表發(fā)言，求這2人中至少有1人的年齡在［15,25）的概率.

【答案】（1）〃?=0.035

（2）42.14

（3）—

10

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1求出機(jī)；

（2）利用百分位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算出中位數(shù)：

（3）利用列舉法求解古典概型的概率.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知10x（0.01+0.015+〃?+0.03+0.01）=l,所以〃?=0.035.

（2）因?yàn)榍皟山M頻率之和為0.1+0.15=0.25,前三組頻率之和為0.25+0.35=0.6,

所以中位數(shù)在［35,45）中，故中位數(shù)的估計(jì)值為35+10x4箸=35+日。42.14.

（3）由題可知抽出的20篇文章的作者中，年齡在［15,25）的有20x0.01x10=2人，記為可、生，

年齡在［25,35）的有20x0.015x10=3人，記為4、瓦、

現(xiàn)從這5個(gè)人中選出2人，所有不同的結(jié)果有10種：

6%、、。力1、ciyby、a2b3、bQ?、%b2b3.

至少有1人的年齡在［15,25）內(nèi)對應(yīng)的不同的結(jié)果有7種：

7

、她、哂、她、a2bl、a2b2、a2b3,所以所求概率P=—.

28.（2025?河南鄭州?二模）某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了10位業(yè)主2月份每戶的天然氣使用量，數(shù)據(jù)如下（單

位：cn?）：18,19,20,20,21,21,22,23,23,24.估計(jì)該小區(qū)業(yè)主月均用氣量的樣本數(shù)據(jù)的

60%分位數(shù)為（）

A.21B.21.5C.22D.22.5

【答案】B

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案.

21+22

【詳解】10x60%=6,則樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為一^—=21.5.

故選:B.

17/66

29.（2025?河南鶴壁?二模）（多選）我國新能源發(fā)展勢頭強(qiáng)勁，產(chǎn)業(yè)前景廣闊，特別是新能源汽車

產(chǎn)銷已經(jīng)連續(xù)8年位居世界第一，如圖，這是某國產(chǎn)新能源汽車公司的100家銷售商在2023年4

月份的銷售數(shù)據(jù)頻率分布直方圖，則（）

A.。的值為0.004

B.估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷量（每組的銷量按中點(diǎn)值計(jì)算）的平均數(shù)為135

C.估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷售量的中位數(shù)為158.3

D.若用分層隨機(jī)抽樣法從這1。。家銷售商中抽取2。家，則應(yīng)從銷屆在［200,3U0］內(nèi)的銷售商

中抽取5家

【答案】AD

【分析】根據(jù)頻率和為1，計(jì)算。的值判斷A；B.根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可判斷B；C.根據(jù)百分位數(shù)公

式計(jì)算可判斷C；計(jì)算銷量在內(nèi)的頻率，再結(jié)合分層抽樣計(jì)算可判斷D.

【詳解】由（0.001+0.002+0.003+2〃+0.006）X50=I,得。=0.004,故A正確；

平均數(shù)約為（0002x25+0.003x75+0.004x!25+0.006xl75+0.004x225+0.001x275）x50=150,

，故B錯(cuò)誤；

設(shè)中位數(shù)為x,易知xe［150,200）,貝ij（0.002+0.003+0.004）x50+（x-150）x0.006=0.5,得x=158；,

故C錯(cuò)誤；

應(yīng)從銷量在［200,300］的銷售商中抽20x（0.004+0.001）x50=5家，故D正確.

故選：AD.

30.（2025?河南周口?二模）（多選）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的公土將｛%｝的前9項(xiàng)按照從小

到大的順序排列組成一組數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是（）

A.該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為外

B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于其平均數(shù)

18/66

C.若去掉出,所得新數(shù)據(jù)的中位數(shù)與原中位數(shù)相等

D.若4=3q(i=l,2,…,9),則々，b2,...?A的方差是％,a2f%的方差的9倍

【答案】BD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解A,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求解BC,

根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】由題意可知故｛/｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

對于A,9x30%=2.7,故數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為從小到大的第三個(gè)數(shù)％,A錯(cuò)誤；

對于B,該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為牝，由于

q+%>2Jq?%=2%,&+4〉A(chǔ),出?&=2牝,ay+a7>04廠%=2%,%+4>74?4=2，，因此

q+%+%+4+%+%+&+%+%>%，故平均數(shù)；h%+%+%丁%>a$，B

正確;

對于c,若去掉死,所得新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為七">而入=%，而原中位數(shù)為外，兩者不相等，

C錯(cuò)誤；

對于D,〃=3qG=1,2,…,9),則4，h2f...?乩的方差是％,右，.?.，%的方差的9倍，D正確.

故選：BD.

31.(2025?河南焦作,二模)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)。，瓦c,d,其中。由這組數(shù)據(jù)得到

的新樣本數(shù)據(jù)為〃一2,h-2,c+2,4+2,則()

A.兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等B.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等

C.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等D.兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等

【答案】BC

【分析】舉反例，如數(shù)據(jù)為5,4,2,1判斷A、C；如數(shù)據(jù)為4,3,2,1判斷D,根據(jù)平均數(shù)的定義判斷B.

【詳解】A.假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為5,4,2,1,則新樣本數(shù)據(jù)為3,2,4,3,兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，錯(cuò)誤；

B.因?yàn)閍-2+b-2+c+2+d+2=〃+/)+c+d,所以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，正確；

C.由A中的數(shù)據(jù)可知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，正確；

D.假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為4,3,2,1,則新樣本數(shù)據(jù)為2,1,4,3,這兩組數(shù)據(jù)一樣，故方差可能相等，錯(cuò)誤.

故選：BC.

19/66

32.（2025?河南?二模）若一組數(shù)據(jù)內(nèi),/，…，/的平均值T=5,方差,*=32,若刪去一個(gè)數(shù)之后，平

均值沒有改變，方差變?yōu)?0,則這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由題意得到刪除的數(shù)為5,再利用方差公式求解.

【詳解】由題意得到刪去個(gè)數(shù)之后，平均值沒有改變，所以刪除的數(shù)為5,

1n

由題意s~=—2（七一5）=32,得力（再-5）2=32〃,

nr-lr=l

二￡（巧-5『-（5-5）2=40,

刪除一個(gè)數(shù)后的方差為:

TL/=1.

得必二40,即〃=5.

w-1

故選：A.

33.（2025?河南?二模）（多選）下列命題為真命題的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)石,々，0七戶5/6的方差為2,則數(shù)據(jù)3%-1,3%-1,3/7,3X4T,3x5-1,3%6-1的

方差為17

B.一組數(shù)據(jù)8,9,10,11,12的第80百分位數(shù)是11.5

C.用決定系數(shù)尺2比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，若R?越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好

D.以模型y=c*去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=lny,求得線性回歸方

程為；=2x+0.4,則&&的值分別是e°4和2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)決定系數(shù)的概念即

可判斷C；根據(jù)非線性回歸方程的求法并結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】對A：若樣本數(shù)據(jù)再,/，…，4的方差為2,則數(shù)據(jù)3x/l,3》2-1,3/T,3&T,3/T,3乙-1的

方差為32x2=18/17,故A錯(cuò)誤；

對B：5x80%=4,則其第80百分位數(shù)是1尹=1L5,故B正確；

對C,根據(jù)決定系數(shù)的含義知及2越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；

對D,以模型y=去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)N=1ny,

20/66

則z=lny=lnc+lne"=lnc+Ax,由題線性回歸方程為；=2x+0.4，則lnc=0.4,%=2,故c,"的值

分別是e°x和2,故D正確.

故選：BCD.

34.(2025?河南?二模)(多選)為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，臉機(jī)抽取了其中60株樹木，測量底

其頻率分布直方圖如圖所示，則()

B.樣本中底部周長不小于110cm的樹木有12株

C.估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹木的底部周長的80%分位數(shù)為115

D.估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹木的底部周長的平均數(shù)為104(每組數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代

表)

【答案】AC

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及平均數(shù)和百分位數(shù)，以及頻數(shù)與頻率的計(jì)算方法，逐項(xiàng)

判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.015+4+0.030+0.020+0.010)x10=1,

解得。=0.025,所以A正確；

對干B中，由頻率分布直方圖，可得不小于110cm的頻數(shù)為(0O20+0.010)XI0=0.3,

所以不小于110cm的樹木有0.3x60=18株，所以B錯(cuò)誤；

對于C中，由頻率分布直方圖得，前三個(gè)矩形的面積為(0.015+0.025+0.030)X10=0.7,

前四個(gè)矩形的面積為(0.015+0.025+0.030+0.020)x10=0.9,

所以80%分位數(shù)位于區(qū)間［U0,120),則110+2^x10=115,所以C正確;

0.020

對于D中，由頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得：

(85x0.015+95x0.025+105x0.030+115x0.020+125x0.010)x10=103.5,所以D錯(cuò)誤；

故選：AC.

21/66

35.（2025?河南?二模）某中學(xué)有初中生600名，高中生200名，為保障學(xué)生的身心健康，學(xué)校舉辦

“校園安全知識”了競賽.現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取初中生〃?名，高中生〃名，

經(jīng)統(tǒng)計(jì)：，〃+〃名學(xué)生的平均成績?yōu)?4分，其中〃?名初中生的平均成績?yōu)?2分，〃名高中生的平均

成績?yōu)閤分，則工=（）

A.74B.76C.78D.80

【答案】D

【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)求出，〃與〃的關(guān)系，再利用平均數(shù)的計(jì)算公式列出關(guān)于x的方程,

進(jìn)而求解x的值.

m_600

7-200,r,口72x3+x_.

【詳解】由題意,可得.=74,解得x=80.

72〃?+nxr?3+1

-------------=74,

m+n

故選：D.

36.（2025?河南?二模）（多選）下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9

B.若0<Q（C）<l,0<P（D）<l,且P（方）=1-P（Q|C）,則C,B相互獨(dú)立

C.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10°2）,0■越大，該物理量在一次測量中在（9.8,10.2）

的概率越大

D.若樣本數(shù)據(jù)七。=1,2,…,5）的平均數(shù)為4,=…,5）的平均數(shù)為22,則樣本數(shù)據(jù)

2XI+1,2X2+1,---,2X5+1,9的方差為20

【答案】BD

【分析1A選項(xiàng)利用上四分位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算；B選項(xiàng)利用對立事件及條件概率公式進(jìn)行檢

驗(yàn)；C選項(xiàng)利用正態(tài)分布中。的意義進(jìn)行解釋：D選項(xiàng)利用方差公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】對于A選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)從小到大排列為3,4,6,7,8,9,10,11,共8個(gè)數(shù)，

則8x75%=6,則上四分位數(shù)為等=9.5,故A錯(cuò)誤：

對于8選項(xiàng)，???P（萬）=1一尸（。|。），.—（。。）=/（。）,

由條件概率公式得尸gr）=,得到P（CD）=P（C）P（D）,

即C,。相互獨(dú)立，故B正確;

22/66

對于C選項(xiàng),9.8=10-0.2,10.2=10+0.2,

由對稱性可知在（9.8,10.2）的概率等于在（10,10.2）的概率的2倍,

當(dāng)。越大，數(shù)據(jù)越離散，其概率越小，故C錯(cuò)誤：

對干D選項(xiàng)，由樣本數(shù)據(jù)公，x2,與，七，豆的平均數(shù)為4,

得4，x2,x3,x4,x5,4的平均數(shù)為4,

由#,X；,xl，彳，x；的平均數(shù)為22,得力力=5x22=110,

5

因此為，X2,不