2025年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁.滿分120分.考試時長120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交

回.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5毫米黑色簽字筆

將答案寫在答題卡上.答案寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.如圖，數(shù)軸上表示一2的點是（）

MNPQ

—J---i---1---i_4---1---￥-

-3-2-10123

AMB.NC.PD.Q

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

A.BmC.D.

3.我國“深藍2號”大型智能深海養(yǎng)密網(wǎng)箱的主體是一個正六棱柱，具示意圖的主視圖是（）

5

A.C.D.

4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計，山東省

2024年全年接待游客超9億人次.數(shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9xl07B.0.9x108C.9xl08D.0.9xlO9

5.已如aaO,則下列運算正確的是（）

A.-2。+3。=5。B.（-2優(yōu)）=4rz6

Ca2一q=aD.a6-i-a2=ay

6.某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動.博物館為同學(xué)們準備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醐鉞”“蛋殼黑陶

杯”“頌篌”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機抽取一個作為紀念品.若抽到每一款的可能性

相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時抽到“亞眺鉞”的概率是（）

12

A.-D.

97

7.明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒

若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個頭，108只手.問哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒

有犬個，夜叉有>個，則根據(jù)條件所列方程組為（

x+3y=36x+3y=36

A.,B.

8x+6y=1086x4-8y=108

J3x+y=363x+y=36

D.,

,8x+6y=1086x+8y=108

8.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序,也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征.下圖是某玉璧的

平面示意圖，由?個正方形的內(nèi)切網(wǎng)和外接圓組成.己知內(nèi)切圓的半徑是2,則圖中陰影部分的面積是

B.2兀C.3兀D.4兀

9.如圖，在平面直角坐標系中，A,C兩點在坐標軸上，四邊形OA3C是面積為4的正方形.若函數(shù)

k

），二一（1>（））的圖象經(jīng)過點“，則滿足yN2的x的取值范圍為（)

A.0<2B.X>2C.0<x<4D.x>4

10.在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度（厘米/天）和光照強度x（勒克斯）之間存

在一定關(guān)系.在低光照強度范圍（200Kx<1000）內(nèi)，y與X近似成一次函數(shù)關(guān)系；在中高光照強度范

圍（工之1000）內(nèi)，>與X近似成二次函數(shù)關(guān)系.其部分圖象如圖所示.根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是

（）

A.當XN1000時，），隨X的增大而減小B.當x=2000時，）有最大值

C.當）后0.6時，x>1000D.當），=0.4時，戈=600

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.

H.寫出使分式丁二有意義的X的一個值.

2x-3

12.在平面直角坐標系中，將點尸（3,4）向下平移2個單位長度，得到的對應(yīng)點P，的坐標是____

13.若關(guān)于x的一元二次方程/+4工-〃7=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

14.取直線），=一”上一點①過點A作x軸的垂線，交了=，于點4（%,%）；②過點A?作y

.X

軸的垂線，交丁=一工于點4（七，%）；如此循環(huán)進行下去.按照上面的操作，若點A的坐標為

則點^2025的坐標是.

15.如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=6,8C=8.點/>為邊AC上異于A的一點，以P4,

心為鄰邊作口P4Q5,則線段PQ的最小值是.

8.02,8.03,8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26.

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)：

7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69,7.75,7.77,7.77,7.81,7.84,7.89,8.01,

8.12,8.13,8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21.

【整理數(shù)據(jù)】

7.00<x<7.307.30<x<7.607.60<x<7.907.90<x<8.208.20<x<8.50

用25773

乙429a2

描述數(shù)據(jù)】

乙基地水體pH值數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖

【分析數(shù)據(jù)】

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

年7.79h7.810.10

乙7.787.77C0.13

根據(jù)以上信息解決下列問題：

（1）補全頻數(shù)分布直方圖；

（2）填空：b=,c=；

（3）請判斷甲、乙哪個基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說明理由;

（4）已知兩基地對水體pH值日變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5?1,分別判斷并說明

該日兩基地的pH值是否符合要求.

20.如圖，在△OAB中，點A在OO上，邊OB交。O于點、C,AO_LO3于點。.AC是/8AO的平

（1）求證：A8為。。的切線；

（2）若。0的半徑為2,ZAOB=45°,求8的長.

21.【問題情境】

2025年5月29日“天問二號”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章.某校航天興趣小組受到

鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3。打印完成，如圖I.

【問題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設(shè)計一個可以得到/的長度的方案，以檢測該

部件中/的長度是否符合要求.

/t面

【方案設(shè)計】

興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法.

測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）.

操作步驟：如圖3,將兩個鋼柱平行放在部件合適位置.，使得鋼柱與部件緊密貼合.示意圖如圖4,

分別與AC,AO相切于點5,D.用游標卡尺測量出CC'的長度

已知ACAD=NCA。=60°,I的長度要求是1.9cm?2.1cm.

（1）求N84O的度數(shù)；

（2）已知鋼柱底面圓半徑為1cm,現(xiàn)測得y=7.52cm.根據(jù)以上信息，通過計算說明該部件/的長度

是否符合要求.（參考數(shù)據(jù)：73^1.73）

【結(jié)果反思】

（3）本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉(zhuǎn)化為可測晟的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果

能，寫出一個；如果不能，說明理由.

22.已知二次函數(shù)）=%（工一。）+（工一。）（工一〃）+工（%—〃），其中。，/?為兩個不相等的實數(shù).

（1）當。=0、〃=3時，求此函數(shù)圖象的對稱軸；

（2）當人=2。時.，若該函數(shù)在時，y隨工的增大而減小；在3<x?4時，隨x的增大而增大,

求〃的取值范圍；

/>\

（3）若點A（a,yJ,B幺廠,為，。優(yōu),2）均在該函數(shù)的圖象匕是否存在常數(shù)加，使得

IZ7

y+〃少2+g=0?若存在，求出加的值：若不存在，說明理由

23.【圖形感知】

（I）求CO的長；

【探究發(fā)現(xiàn)】

老師指導(dǎo)同學(xué)們對圖1所示的紙片進行了折疊探究.

在線段。。上取一點￡,連接班.將四邊形沿跳翻折得到四邊形A3ED，其中A,N分別

是A,D對應(yīng)點.

（2）其中甲、乙兩位同學(xué)的折疊情?況如下：

①甲：點以恰好落在邊3c上，延長AD交C力于點R,如圖2.判斷四邊形。朋中的形狀，并說明理

由；

②乙：點A恰好落在邊5c上，如圖3.求力E的長；

（3）如圖4,連接。。交班:于點P，連接CP.當點￡在線段CO上運動時，線段CP是否存在最小

值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由.

2025年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁.滿分120分.考試時長120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交

回.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5毫米黑色簽字筆

將答案寫在答題卡上.答案寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.如圖，數(shù)軸上表示一2的點是（）

MNPQ

—J---i---1---i_4---1---￥-

-3-2-10123

A.MB./VC.PD.(2

【]A

【解析】

【分析】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上表示數(shù)的位置是解題的關(guān)鍵.

觀察數(shù)軸得到表示-2的點即可.

【詳解】解：如圖，在數(shù)軸上點M、N、P、。中，表示一2的點是

故選：A.

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形乂是中心對稱圖形的是（）

Bm

【解析】

【分析】本題主要考杳了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重:合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠

與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可.

t詳解】解：A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意;

B.是軸對稱圖形,是中心對稱圖形，符合題意;

C.是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形，不符合題意;

D.是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選:B.

3.我國“深藍2號”大型智能深海養(yǎng)殖網(wǎng)箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）

正面

A.B.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考杳了簡單幾何體的三視圖，掌握主視圖是從正面看到的圖形成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形即可解答.

【詳解】解：根據(jù)三視圖的概念，可知該正六棱柱的主視圖為

故選：C.

4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計，山東省

2024年全年接待游客超9億人次.數(shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9xl07B.0.9xlO8C.9xl08D.0.9xlO9

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為4X10〃的形式，其中，7為整數(shù)，正

確確定〃的值是解題的關(guān)鍵.

將“9億”寫成4X10〃其中ISalvlO,〃為整數(shù)的形式即可.

【詳解】解：“9億”=900000000=9x10s.

故選c.

5.已知則下列運算正確的是（）

A.-2a+3a=5aB.（-2/「=4c/6

C.a2—a=aD.*+/=/

【答案】B

【解析】

【分析】本題主:要考查了合并同類項、塞的乘方、同底數(shù)塞除法等知識點，掌握相關(guān)運算法則成為解題的美

鍵.

根據(jù)合并同類項、暴的乘方、同底數(shù)事除法法則逐項判斷即可解答.

【詳解】解：A.一加+3。=。，故該選項錯誤，不符合題意：

B.（―2^3）2=4/,故該選項正確，符合題意；

C.不與。不是同類項，無法合并為。，故該選項錯誤，不符合題意：

D.〃6+/=。4,故該選項錯誤.不符合題意.

故選:B.

6.某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動.博物館為同學(xué)們準備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醐鉞”“蛋殼黑陶

杯”“頌答”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機抽取一個作為紀念品.若抽到每一款的可能性

相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時抽到“亞酰鉞”的概率是（）

112

A.—B.—C.-D.一

9633

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了運用列表法求概率，根據(jù)題意正確列表確定所有等可能結(jié)果數(shù)和符合題意的結(jié)果

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

先用列表法確定所有等可能結(jié)果數(shù)和符合題意的結(jié)果數(shù)，然后用概率公式計算即可.

【詳解】解：設(shè)三款鎮(zhèn)館之寶“亞醮鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌解”分別用A、B、C表示：

根據(jù)題意列表如下：

ABC

AA,AA,BA,C

B8,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

則共有9種等可能結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)同時抽到“亞眺鉞”的結(jié)果數(shù)為1,則甲、乙兩位同學(xué)同時

抽到“亞醮鉞”的概率是工.

9

故選A.

7.明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒

若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個頭，108只手.問哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒

有#個，夜叉有個，則根據(jù)條件所列方程組為（）

x+3y=36fx+3y=36

A.B.

8x+6y=108[6x+8y=108

J3x+y=36（3x+y=36

C[8x+6y=108D，[6x4-8y=108

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程組的應(yīng)用，審清題意、找準等量關(guān)系、列出方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)哪吒有X個，夜叉有V個，然后根據(jù)等量關(guān)系“共有36個頭”和“108只手”列出二元一次方程組即可

解答.

【詳解】解：設(shè)哪吒有x個，夜叉有）'個，

3x+y=36

然后根據(jù)題意可得:

6x+8y=108

故選D.

8.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征.下圖是某玉璧的

平面示意圖，由一個正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成.已知內(nèi)切圓的半徑是2,則圖中陰影部分的面積是

B.2兀C.3兀D.47t

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵.

如圖：連接A3、DC相交于。，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2,AC=BC=4,04=05,再運用勾股

定理可得AB=4拒，則。4=OB=gA8=2及，最后根據(jù)圓的面積公式求解即可.

【詳解】解：如圖：連接A3、。。相交于O,

???正方形的內(nèi)切圓的半徑是2,

:?AC=BC=4,OA=OB,

?**AB=\lAC2+BC2=V42+42=4>/2?OA=OB=-AB=2>/2,

__x'、/

???圖中陰影部分的面積是乃?僅JI『-萬々2=4萬.

故選D.

9.如圖，在平面直角坐標系中，4,C兩點在坐標軸上，四邊形0ABe是面積為4的正方形.若函數(shù)

y=&(x>0)的圖象經(jīng)過點3,則滿足y22的式的取值范圍為(〉

A.0<x<2B.X>2C.0<x<4D.x>4

【答案】A

【解析】

【分析［本題主要考查了正方形的性質(zhì)、坐標與圖形、反比例函數(shù)與不等式等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是

解題的關(guān)鍵.

由題意可設(shè)點8的坐標為。/),易得。=2,即點B的坐標為(2,2),再結(jié)合反比例函數(shù)圖象即可解答.

【詳解】解：???四功形。4AC是面積為4的正方形,設(shè)點B的坐標為(〃.〃).

，/=4,解得：b=2（已舍棄負值）.

???點B的坐標為（2,2）,

???函數(shù)），=§（x>0）的圖象經(jīng)過點0,

???滿足），22的x的取值范圍為0<xW2.

故選A.

10.在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度5（厘米/天）和光照強度r（勒克斯）之間存

在一定關(guān)系.在低光照強度范圍（200WXC1000）內(nèi)，y與X近似成一次函數(shù)關(guān)系；在中高光照強度范

圍（XN1000）內(nèi)，y與X近似成二次函數(shù)關(guān)系.其部分圖象如圖所示.根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是

（）

X

A.當XN1000時，y隨X的增大而減小B.當x=2000時，）'有最大值

C.當），20.6時，XN1000D.當），=0.4時，x=600

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)拋物線可直接判斷A選項；根據(jù)拋物線以及相關(guān)數(shù)據(jù)可得拋物線的對稱軸為x=2000,進而判定B選

項；根據(jù)函數(shù)圖象可判定C選項；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可判定D選項.

【詳解】解：A.當XN1000時，y隨工的增大先增大、后減小，即A選項錯誤，不符合題意；

B.由函數(shù)圖象可知：拋物線的對稱軸為x="wu=2000,即當x=2000時，）有最大值，則B

2

選項正確，符合題意；

C.由函數(shù)圖象可知：當），20.6時，10004x^3000,即C選項錯誤，不符合題意；

D.當），=0.4時，由圖象知，x對應(yīng)的值有兩個，即D選項錯誤，不符合題意.

故選B.

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.

11.寫出使分式一L有意義的/的一個值______.

2x-3

【答案】1（不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)分式有意義的確定X的取值范圍，然后確定X的可能取的值即可.

【詳解】解：???分式丁二有意義，

2x-3

3

，2X-3HO,解得：x。一.

2

???：的取值可以為x=l.

故答案為：1（不唯一）.

1?..在平面直角坐標系中,將點P（3,4）向下平移2個單位長度，得到的對應(yīng)點P，的坐標是.

【答案】（3,2）

【解析】

【分析】本題主要考查了點的平移，掌握平移規(guī)律“左減右加，上加下減”是解題的關(guān)鍵.

直接運用平移規(guī)律“上加下減”即可解答.

【詳解】解：將點P（3,4）向下平移2個單位長度，得到的對應(yīng)點P'的坐標是（3,4-2）,即（3,2）,

故答案為：（3,2）.

13.若關(guān)于x的一元二次方程f+4工-〃2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍是_____.

【答案】m>-A

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時有兩個不相等的實數(shù)根，判別

式等『0時有兩個相等的實數(shù)根，判別式小于0時方程無實數(shù)根.根據(jù)有兩個不相等的實數(shù)根，直接得到

判別式>0,即可求解本題.

【詳解】解：???方程f+4x—有兩個不相等的實數(shù)根，

A=42-4xlx（-/n）>0,

解得：m>-4；

故答案為：m>-4.

14.取直線y=-x上一點A（N，yJ,①過點A作X軸的垂線，交）,=，于點②過點為作y

.1

軸的垂線，交）'=一%于點4（芻,為）；如此循環(huán)進行下去.按照上面的操作，若點A的坐標為（1,一1）,

則點&O25的坐標是______.

【答案】

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)規(guī)律探究；根據(jù)題意可以寫出點&、4、4、4的坐標，從

而可以發(fā)現(xiàn)各點的變化規(guī)律，從而可以寫出點AO25的坐標.

【詳解】解：???點A的坐標為（1,一1）,

點4的橫坐標為1

???點七坐標為（1』）,

???點4的縱坐標為I,

???點4的坐標為（-1,1），

同理點4的橫坐標為一1,

:,點4的坐標為(一1,一1),

點的坐標為(1,—1),

???四個點一個循環(huán)，

,?2025+4=506余1,

???點41)25的坐標與點A相同,是(1,一1),

故答案為：(1,-1).

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、規(guī)律型，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.如圖，在中，ZABC=90°,AB=6,/?C=8.點。為邊AC上異于A的一點，以,

心為鄰邊作口抬。8,則線段P。的最小值是.

【答案】—

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短等知識點，掌握平行四邊形對角線相互平分是解

題的關(guān)鍵.

由勾股定理可得AC=10,設(shè)AB與PQ交于點O,過O作。［1AC于點片，由四邊形作PAQ8是平行四

邊形得04=03=；A3=3、OP=OQ=；PQ,根據(jù)垂線段最短可得當_LACH寸，即p與［重合

時，。匕最??；再運用三角函數(shù)求得。［,進而求得尸。即可解答.

【詳解】解：:?在RtZVIBC中，ZABC-90°,AB-6,BC=8,

???AC=yjAB2+BC2=>/62+8:=10*

如圖，設(shè)A8與PO交于點5過。作AC于點片,

A

：.乙4片0=90。，

???四邊形PAQB是平行四邊形,

：.0A=0B=gAB=3、OP=OQ=-PQ

???當線段PQ長最小，則線段OP的長最小，

由垂線段最短可得：時，即P與耳重合時，。6最小;

...BC

：sinZ.BAP=-L=----，

AOAC

???答=宗，解得：。4=￡

???線段尸。長最小為20<=胃.

故答案為：—.

三、解答題：本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（1）計算：|一；卜囪+?！?；

（1>

（2）先化簡，再求值:-----7+1，其中x=2.

gl）

【答案】⑴2：⑵x2+x-2,4

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式化簡求值.

（1）根據(jù)零指數(shù)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，進行計第即可求解：

（2）先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，然后進行乘法進行化簡，最后將字母的值代入求解.

【詳解】解：（1）-1XV9+7T（）

=1x3+l

3

=1+1

(2)(丁-1)——4-1

\X+1

=(x+l)(l)(W+E

=-),有

=(x+2)(x-l)

=x2+x—2-

當x=2時，原式=2?+2_2=4.

17.在RtaABC中，ZA灰7=90。，ZACB=30%N84C的平分線4。交BC于點。.如圖1.

（1）求/ADC的度數(shù)；

（2）已知AB=3,分別以C,。為圓心，以大于!C。的長為半徑作弧，兩弧相交于點M,N,作直

2

線MN交BC于點、E，交A3的延長線于點F.如圖2,求。尸的長.

【答案】（1）ZADC=120°；

（2）DF=243.

【解析】

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.

（1）由角平分線的定義求得NOA8=!NZMC=30。，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可；

2

（2）由作圖知MN是線段CD的垂直平分線，求得。E=CE=1CO,求得AO=上一二26,

2cos30°

BD=-AD=-CD=DE,再證明△AD8之,據(jù)此求解即可.

22

【小問1詳解】

解：???NABC=90。，ZACB=30°,

???ZE4C=60°,

???A力是N84C的平分線，

:.ADAC=/DAB=-NBAC=30°，

2

:.ZADC=NDAB+ZABC=120°；

【小問2詳解】

解：由作圖知MN是線段CO的垂直平分線，

??.DE=CE=-CD,

2

VZZMC=ZC=30°,

:?AD=CD,

VZABC=90°,ZDAB=30°,

：.AD=----------=25BD=-AD=-CD=DE,

cos30022

■:ZADB=/FDE，ZABD=NFED=90°,

???4ADBQ4FDE，

???DF-AD-20.

18.山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過程中，探索出一條“以儲調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑.某地結(jié)合實際情況，

建立了?座圓柱形蓄水池，通過蓄水發(fā)電實現(xiàn)低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉(zhuǎn)型.

已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米.

（1）請寫出本次注水過程中，落水池的水位高度），（米）與注水時間x（小時）之間的關(guān)系式：

（2）已知蓄水池的底面積為（）.4萬平方米，每立方米的水可供發(fā)電（）.3千瓦時，求注水多長時間可供發(fā)電

4.2萬千瓦時？

【答案】（1）y=6x+5

（2）注水5小時可供發(fā)電4.2萬千瓦時.

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，正確列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)蓄水池的水位高度等于注水時水位每小時升高的高度乘以注水時間與本次注水前蓄水池的水位

高度的和，據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式以及已知條件列關(guān)于x的一元一次方程并求解即可.

【小問I詳解】

解：由題意可得：蓄水池的水位高度y（米）與注水時間工（小時）之間的關(guān)系式y(tǒng)=6x+5.

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，得0.4（6x+5）x0.3=4.2,

解得x=5.

答：注水5小時可供發(fā)電4.2萬千瓦時.

19.在2025年全國科技活動周期間，某?？萍夹〗M對甲、乙兩個水產(chǎn)養(yǎng)殖基地水體的pH值進行了檢測,

并對一天（24小時）內(nèi)每小時的pH值進行了整理、描述及分析.

【收集數(shù)據(jù)】

甲基地水體的pH值數(shù)據(jù):

7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67,7.67,7.67,7.81,7.81,7.88,7.91,8.01,

8.02,8.03,8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26.

乙基地水體pH值數(shù)據(jù):

7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69,7.75,7.77,7.77,7.81,7.84,7.89,8.01,

8.12,8.13,8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21.

【整理數(shù)據(jù)】

7.00<x<7.307.30<x<7.607.60Vx<7.907.90<x<8.208.20<x<8.50

用25773

乙429a2

【描述數(shù)據(jù)】

乙基地水體pH值數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖

【分析數(shù)據(jù)】

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

7.79b7.810.10

乙7.787.77C0.13

根據(jù)以上信息解決下列問題:

（1）補全頻數(shù)分布直方圖;

（2）填空：b=,C

（3）請判斷甲、乙哪個基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說明理由;

（4）已知兩基地對水體pH值的口變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5~1,分別判斷并說明

該口兩基地的pH值是否符合要求.

【答案】（1）見解析（2）7.67；7.79

（3）甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由見詳解：

（4）甲符合要求，乙不符合要求.

【解析】

【分析】本題考查了直方圖與統(tǒng)計表，中位數(shù)及眾數(shù)，方差等知識點.

（1）先求得〃的值，即可補全頻數(shù)分布直方圖；

（2）根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)的定義求解即可；

（3）根據(jù)方差的意義求解即可；

（4）計算pH值最大值與最小值的差即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得。=24-4-2-9-2=7,

補全頻數(shù)分布直方圖如圖；

【小問2詳解】

解：甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)中，7.67出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

則》=7.67；

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)中，由小到大排列中間兩個數(shù)為7.77和7.81：

則c=7.77+7.81：7.7%

2

故答案為：7.67；7.79；

【小問3詳解】

解：???甲的方差為0.10,乙的方差為0.13,0.10<0.13,

???甲基地水體的pH值更穩(wěn)定;

【小問4詳解】

解：甲基地對水體pH值的日變化量：8.26-7.27=0.99,

乙基地對水體pH值的日變化量：8.21-7.11=1.1,

，該日兩基地的pH值中符合要求，乙不符合要求.

20.如圖，在△Q4B中，點A在。O上，邊。8交。。于點C,于點。.AC是/HAD的平

分線.

D]CH

(1)求證：AB為。0的切線；

(2)若OO的半徑為2,ZAOB=45°,求C3的長.

【答案】(1)見解析(2)CB=2及-2.

【解析】

【分析】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等.

(1)利用等邊對等角求得N0AC=N0C4,由角平分線的定義求得ND4C=NZMC,可證明

ABYOA,即可證明A3為。。的切線；

(2)先證明△Q4B等腰三角形，求得OB=6OA=26,據(jù)此求解即可.

【小問1詳解】

證明：???AO_LQB,

???ZDAC+ZAC。=90。，

-OA=OC,

:.^OAC=ZOCA,

???AC是-84。的平分線，

???ADAC=ABAC>

???/BAC+ZOAC=ZZMC+ZOCA=90°，

即AN_LO4且OA為半徑，

???AB為。0的切線；

小問2詳解】

解：???/408=45。，又/W_LQ4,

???△043等腰直角三角形，

?；的半徑為2,

：.OA=2=OC,

：?OB=4iOA=2五，

:,CB=OB—OC=2近一2.

21.【問題情境】

2025年5月29日“天問二號”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章.某校航天興趣小組受到

鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3。打印完成，如圖1.

【問題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設(shè)計一個可以得到/的長度的方案，以檢測該

部件中/的長度是否符合要求.

/E面

【方案設(shè)計】

興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法.

測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）.

操作步驟：如圖3,將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合.示意圖如圖4,O

分別與AC,AO相切于點"，D.用游標卡尺測量出CC的長度兒

已知ZOLD=乙CNU=60°，I的長度要求是1.9cm?2.1cm.

（1）求NB4O的度數(shù)；

（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm,現(xiàn)測得y=7.52cm.根據(jù)以上信息，通過計算說明該部件/的長度

是否符合要求.（參考數(shù)據(jù)：百。1.73）

【結(jié)果反思】

（3）本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉(zhuǎn)化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果

能，寫出一個；如果不能，說明理由.

【答案】（1）NQ43=30。；（2）該部件/的長度符合要求；（3）見解析

【解析】

【分析】本題考查了切線長定理，解直角三角形的應(yīng)用.

（1）根據(jù)切線長定理求解即可；

（2）解直角二:角形求得AB=-^-=再，推出AC=6C+A6=1+石，據(jù)此求解即可;

tan30°

（3）能，將圓柱換成正方體.

【詳解】解：（1）???00分別與AC,A力相切于點8,D,

：?AB=AD，^OAB=￡O\D=-ACAD=30°；

2

（2）???鋼柱的底面圓半徑為1cm,

???BC=OB=1,

???/OAB=30。，NQ8A=90。，

???AC=BC+AB=\+y/3

同理AC'=I+VL

???/=7.52-2（l+G卜2.06,

???1.9<2.06<2.1,

???該部件/的長度符合要求；

（3）能，將圓柱換成正方體.如圖,

設(shè)正方體的棱長為。，用游標卡尺測量出CF的長度.

???BC=BD=a,

???ZC4D=60°,

.BDyf3a

??AB=--------=------，

tan6003

22.已知二次函數(shù)y=x(x-〃)+(x-a)(x-5)+x(x-〃)，其中。，〃為兩個不相等的實數(shù).

(1)當。=0、〃=3時，求此函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)當人=2。時，若該函數(shù)在OWxKl時，y隨x的增大而減??；在3<x?4時，V隨工的增大而增大，

求〃的取值范圍；

/?\

⑶若點A(a,yJ,B，，為，。伍,為)均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)加，使得

乂十/〃必十)’3=。？若存在，求出，〃的值；若不存在，說明理由

【答案】(1)X=\

(2)1<?<3

(3)/?2=4

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、因式分解的應(yīng)用等知識點，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題的

關(guān)鍵.

(1)將。=0、。=3代入y=x(x-n)+(x-a)(x—8)+x(x-Z?)化簡，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解

答；

(2)〃=2。代入)，=乩—。)+(工一司(工一人)+工(工一與化簡可得丁=3/-6依+2〃2,然后根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)即可解答；

(3)先求出X，%，為，然后代入y+，〃%+)'3=0進行求解即可.

【小問1詳解】

解：當4=0、Z?=3時，二次函數(shù)丁=工(工一4)+(工一〃)(工一力)+工(工一/?)可化為：

>,=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x2-6x,

b-6

，此函數(shù)圖象的對稱軸為x=-一=------=1.

2a2x3

【小問2詳解】

解：當〃=勿時，二次函數(shù)y=Mx-〃)+(x-a)(x)+工(工一人)可化為：

}j=x(x-<7)+(x-tz)(x-247)4-x(x-2t7)=3x2-6av+2?2,

???拋物線對稱軸為x=--=--=61,

2a2x3

??,3>0,

???拋物線開口方向向上，

???在OWxWl時，y隨工的增大而減??；

<7>1，

???在3Wx<4時，）'隨x的增大而增大：

<3,

/.\<a<3.

【小問3詳解】

解：???若點A（a,y）,B（皇，％），0（。,%）均在該函數(shù)的圖象上，

/.=々（4-。）+（々一。）（々一8）+々（々一力）=〃2—而,

>,=x(x-t7)+(x-tz)(x-/?)+A(x-/?)=3x2-2(a+/?)x+ab,

a+b、

(

???8=3-2r/+Z?)F,+ab

…中一…