市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期階段檢測

數(shù)學(xué)試卷（2025.9）

（滿分150分，時(shí)間100分鐘）

一,選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列圖形一定是相似圖形的是（）

A兩個(gè)正方形B.兩個(gè)等腰三角形C.兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)矩形

2.在V/WC中，點(diǎn)O,E分別在線段A&AC上，下列比例式中不能判斷。E〃區(qū)C的是（）

ADDB「ABACADDE

B.-----=------C.-----=------D.-----=------

AEECDBECABBC

3.如圖，梯形ABC。中，AB//CD,AC,交于。，下列等式正確的是（)

AD已SACCD_CDq

-AAO。DODO

A=D,=

S弘OBABS&AOBABOB'△BOCOC

4.下列五幅圖均是由邊長為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下

列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的AABC相似的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，DEHBC,EF//A6,貝IJ卜列式子中成立是（）

ADBFABDEEFACADBF

A.-----=------D_______C.-----=------D.-----=------

DBECBC~ACABCEDBFC

6.如圖，銳角VA8C中，A8>AC>8C,現(xiàn)想在邊AB上找一點(diǎn)D,在邊AC上找一點(diǎn)E,使得ZADE與/C相等，以下

是甲，乙兩位同學(xué)的作法：（甲）分別過點(diǎn)B,C作AC,A8的垂線，垂足分別是E,。，則。，E即所求，（乙）取AC中點(diǎn)

F，作D卜1AC,交AB于點(diǎn)。，取A8中點(diǎn)〃，作E”_LAB,交AC于點(diǎn)E,則。，E即所求.對(duì)于甲，乙兩位同學(xué)的作

法，下列判斷正確的是（）

A.甲正確乙錯(cuò)誤B.甲錯(cuò)誤乙正確C.甲，乙皆正確D.甲，乙皆錯(cuò)誤

二,填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7已知線段a=5cm,b=20mm,則a:b=.

8.線段A8是線段MN,C。的比例中項(xiàng)，且43=3cm,MV=4cm,則。。長為.

9.某班同學(xué)要測量學(xué)校升國旗的旗桿高度,在同一時(shí)刻,量得某同學(xué)的身高是L5米,影長是I米，且旗桿的影長為8米,則旗

桿的高度是米.

10.如圖，AE=5,AC=8,A3=10,當(dāng)33=時(shí)，DE//BC.

AP7

11.如圖，HO〃跖〃3C,蕓=：,OF=4,則OC=cm.

EB3

12.V4BC中，點(diǎn)O,E在AB,AC上，AD=2BD,AE=2EC,若BC=6,則DE=.

13.RtAABC,ZACB=90°,A8=6,G為重心，則CG=.

14.如圖，。在VA5C的邊8c上，30=10,CD=5,AC=5,AO=6,則VA8C的面積為

15.線段48=8,C為A8的黃金分割點(diǎn)，且ACvBC,則AC=.

16.如圖，在VA8c中，點(diǎn)分別在邊行氏4c上，且=如果4力=4,B力=4石=6,那么AC長

A

a

B上--------------、C

17.P是VABC一邊上的一點(diǎn)（P不與A,比C重合），過點(diǎn)P的一條直線截VA/C,如果截得的三角形與VA3c相似,我們

稱這條直線為過點(diǎn)。的VABC的“相似線”.RtAABC中，NC=90°,ZA=30°,當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P的

VABC的“相似線”最多幾條？.

18.如圖，已知菱形A8CO的邊長為2,ND45=60。，E為AB的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，那么AF的長等于.

三,解答題（本大題共7題，滿分78分）

x-322

19.解方程:

x—2x~—3x+2x—1

20.在RtZVlBC中，ZBAC=90°,4。是斜邊8。上的高.

（2）若A6=3,8C=5,求BD的長.

ACi

21.如圖，已知平行四邊形48C。中，E為4D的中點(diǎn)，A/：4/=2:5,求好的值.

GC

22.如圖,在4ABC中，點(diǎn)P,D分別在邊BC,AC上,PA1AB,垂足為點(diǎn)A,DP±BC,垂足為點(diǎn)P.—.

（2）如果AB=3,DC=2,求AP的長.

23.如圖所示,在矩形ABC。中，￡為邊CO上一點(diǎn)，且AE_L8O.

市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期階段檢測

數(shù)學(xué)試卷（2025.9）

（滿分150分，時(shí)間100分鐘）

一,選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列圖形一定是相似圖形的是（）

A.兩個(gè)正方形B.兩個(gè)等腰三角形C.兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)矩形

【答案】A

【分析】本題主要考查了相似圖形的判斷，準(zhǔn)確結(jié)合所給圖形的性質(zhì)判斷是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圖形的特征逐一判斷即可.

【詳解】兩個(gè)正方形一定是相似圖形，故選項(xiàng)A符合題意.

兩個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角不一定相同，所以不一定相似,故選項(xiàng)B不符合題意.

兩個(gè)直角三角形中兩個(gè)銳角的角度不一定相同,所以不一定相似,故選項(xiàng)C不符合題意.

兩個(gè)矩形的鄰邊之比不一定相等,所以不一定相彳以,故選項(xiàng)D不符合題意.

故選：A.

2.在VABC中，點(diǎn)。，E分別在線段AB,AC上，下列比例式中不能判斷。石〃的是（）

ADAEADDBABACnADDE

A.-----=------B.-----=------C.-----=------D.-----=------

ABACAEECDBECABBC

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握兩組對(duì)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.

AHAp

【詳解】解：A.V—=—,ZA=ZA.

ABAC

AADES&ABC.

：?ZADE=ZB.

???。石||8C,故A不符合題意.

ADDB

B..-----=------.

AEEC

ADAEADAE

/.——=——,即UII——=——.

DBECABAC

又???NA=NA.

AADES^ABC.

；?ZADE=ZB.

.??。石||"C,故B不符合題意.

AC

C?-----=------.

DBEC

.ABAC

''~AD~~AE'

又???NA=ZA.

*,?△ADEs^ABC.

，ZADE=ZB.

??.OE||5C,故c不符合題意.

Anr）p

D.F二不二不等得到△AOEs/BC,故D符合題意.

ABBC

故選D.

3.如圖，梯形ABC。中，AB//CD,AC,8。交于。，下列等式正確的是（）

q

AS/XACW_A。J△CODCD義A。/）DODDO

B.C.

.。一茄S2BOC

ABSABOROBOC

【答案】C

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì),三角形的面積公式,關(guān)鍵在于求出△48Os^C”>,推出相似比逐一判斷即

可.

【詳解】解：???A8〃C。.

???ZCDO=ZOBAfZDCO=ZOAB,54CD=5ABCD.

:.&ABOS&DQ.

*ODOCCD

''~OB~~OA~~AB

.S")])二°D=CD工ADS^COD(CDYS.A。/,二S途叱-S二]

SJOBOBABABS^AOB〔AB,^^BOA°880c^^BDC^DOC

正確選項(xiàng)為C.

故答案為：C

4.下列五幅圖均是由邊長為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下

列右邊四幅圖中的三角形,與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來,利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似,分別計(jì)算各邊的長度即可解題.

【詳解】解：根據(jù)題意得：AC=A/12+12=V2,BC=>J^+22=2V2,AB=A/12+32=V10.

靖+對(duì)二.2.

???該三角形為直角三角形,且兩直角邊的比為生=2.

AC

第I個(gè)圖形中，有兩邊為2,4,且為直角三角三角形,則兩直角邊的比為2,故第1個(gè)圖形中三角形與△A8C相似.

第2個(gè)圖形中,三邊長分別為也”=5Vl2+22=>/5>彳/=加.

???同+商=（阿.

則該三角形是直角三角形,兩直角邊的比為1,故第2個(gè)圖形中三角形不與△ABC相似.

第3個(gè)圖形中,三邊長分別為JF+2?=6,5+2?=屈,V12+32=V1O.

.?,（可+嚴(yán)/？嚴(yán)；

則該三角形不是直角三角形,故第3個(gè)圖形中三角形不與△ABC相似.

第4個(gè)圖形中，三邊長分別為廬于=6,依S=2后，j4?+32=5.

?.?心丁+（26『=52.

則該三角形是直角三角形,兩直角邊的比為2,故第4個(gè)圖形中三角形與△48c相似.

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)

算二角形的二邊長是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，DE//BC,瓦7M&則下列式子中成立的是（）

ADBFcABDEC里=/ADBF

A.------=------B.------=-------D.------=-------

DBECBCACABCEDBFC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】???DE〃BC

,AD_AE

~DB~~EC

?.?EF//AB

?_B_F___A_E_

'~FC~~EC

AD_BF

一麗-7E

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系.

6.如圖,銳角NABC中，A8〉A(chǔ)C>3C,現(xiàn)想在邊AB上找一點(diǎn)。，在邊AC上找一點(diǎn)E，使得NADE與NC相等，以下

是甲，乙兩位同學(xué)的作法：（甲）分別過點(diǎn)8,C作AC,A3的垂線，垂足分別是E,。，則。，E即所求，（乙）取AC中點(diǎn)

口，作。尸工AC,交AB于點(diǎn)。，取八笈中點(diǎn)”，作￡7/_LAB,交4c于點(diǎn)E,則。，E即所求.對(duì)于甲，乙兩位同學(xué)的作

法，下列判斷正確的是（）

A.甲正確乙錯(cuò)誤B.甲錯(cuò)誤乙正魂C.甲，乙皆正確D.甲，乙皆錯(cuò)誤

【答案】C

【分析】根據(jù)甲乙兩人作圖的作法即可證出結(jié)論.

【詳解】甲：如圖，???CO_LA8,8E_LAC.

???/BDC=/BEC=90。.

???3,D,E,C四點(diǎn)共圓.

???ZADE=ZACB.

???甲正確.

乙：如圖，???取AC中點(diǎn)尸，作。尸14。，交于點(diǎn)。，取AB中點(diǎn)”，作交4c于點(diǎn)E

??.AD=DC,AE=EB.

.?.NA=ZACD,ZA=NABE.

???ZA=ZACD=ZABE.

??.B,D,E,C四點(diǎn)共圓.

???ZADE=ZACB.

???乙正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì),基本作圖，四點(diǎn)共圓，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解

題意是解題的關(guān)鍵.

二，填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.已知線段。=5cm,〃=20mm，則。：6=.

【答案】5:2

【分析】本題考查比例線段，先統(tǒng)一單位然后求比值即可.

【詳解】解：b=20mm=2cm.

:,a:b=5;2.

故答案為：5:2.

8.線段AB是線段MN,CO的比例中項(xiàng)，且A3=3cm,MN=4cm,則CD長為.

9

【答案】-cm

4

【分析】本題考杳了比例中項(xiàng)的概念,根據(jù)兩條線段的比例中項(xiàng)的平方是兩條線段的乘積,列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???線段AB是線段MN,CQ的比例中項(xiàng).

???AB1=MNCD.

.e4正329

MN44

9

故答案：-cm.

4

9.某班同學(xué)要測量學(xué)校升國旗的旗桿高度，在同一時(shí)亥％量得某同學(xué)的身高是1.5米,影長是1米，且旗桿的影長為8米，則旗

桿的高度是米.

【答案】12.

【分析】在同一時(shí)刻,物體的實(shí)際高度和影長成比例,據(jù)此列方程即可解答.

【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x,則

x1.5

—=I

81

解得x=12.

故答案為12.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長成正比是解題關(guān)鍵.

1().如圖，4&=5,AC=X,A4=IO,當(dāng)60=時(shí)，DE〃BC.

A

【答案】￡

4

【分析】本題考查平行線截線段對(duì)應(yīng)成比例,根據(jù)平行線截線段對(duì)應(yīng)成比例求解即可得到答案.

【詳解】解：?.?。石〃8c.

ADAEAD5

???——=——，即ljn——=-.

ABAC108

25

解得：AD=—.

4

2515

???BD=AB-AD=10一一.

44

故答案為：—.

4

AF7

11.如閽，4?！ā晔?。，蕓=；,D產(chǎn)=4,則。。二cm.

EB3

【分析】本題考杳平行線分線段成比例，根據(jù)平行線段成比例定理列出比例式,再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】-AD\\EF\\BC.

空=空，即"二

BECF3CF

解得：CF=6.

???DC=DF+FC=4+6=10.

故答案為：10.

12.VA3c中，點(diǎn)。，￡在A8,AC上，AD=2BD,AE=2EC,若3c=6,則DE=.

【答案】4

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到=AE:AC=2:3,根據(jù)相似三角形的判定定理得到

△ABCS&4QE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到答案.

【詳解】解：如圖.

A

AD=2BD,AE=2CE.

???AD:AB=2:3,AE:AC=2:3.

AD:AB—AE:AC=2:3.

又N4=NA.

△ADE^^^ABC.

:.DE:BC=2:3.

2

DE=—x6=4.

3

故答案為：4.

13.RtAABC,ZACB=90°,A8=6,G為重心，則CG=.

【答案】2

【分析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之

比為2:1.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CO,根據(jù)重心的性質(zhì)求出CG

的長即可.

【詳解】解：如圖，???G為aABC的重心.

???C。是△48。的中線，CG=2DG.

vZACB=90°,AB=6.

:.CD=-AB=3.

2

:.CG=2.

故答案為：2.

如圖，。在的邊上，則的面積為

14.VA8C8cBD=\0,CD=5,AC=5,AD=6fVA8C

【答案】36

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，如圖，過。作CQ，A。于。，過A作A”_LBC于”，先求解

CQ=4,再利用等面積法求解AH=m,再進(jìn)一步可得答案.

【詳解】解：如圖，過Ct作于。，過A作AH_L3c于〃.

VCD=5,AC=5,AD=6.

???AQ=DQ=3

Ce=V5*2-32=4.

：.-CDAH=-ADCQ=-x6x4.

222

.…24

..AH=—.

5

i74

；?SAA8c=：x(10+5)xw=36.

42)

故答案為：3G

15.線段A5=8,C為4B的黃金分割點(diǎn)，且ACvBC?，則4C=.

【答案】12-4石

【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長線段和較短線段,若較長線段與較短線段的比等于整個(gè)線段

與較長線段的比，即較長線段是整個(gè)線段的叵」倍，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn).根據(jù)黃金分割的定義得到

2

8C=叵4AB=4后一4,再求出AC的長即可.

2

【詳解】解：如圖.

ACB

線段48=8,。為43的黃金分割點(diǎn)且AC<8C.

.BC

??'?

AB2

.??BC=^^~AB=^^~x8=4下—4.

22

??.AC="-8。=8-(4逐-4)=12-4忖

故答案為：12-46.

16.如圖，在VABC中，點(diǎn)分別在邊工8,AC上，且NAED=NA3C,如果4)=4,BO=Af=6,那么AC的長

A

a

BN---------------^c

202

【答案】—^6-

33

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???NAED=NA5C,NA=NA.

???AAEDs^ABC.

ADAE46

/.=—,即HII，=----.

ACABAC4+6

小C"型.

3

故答案：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.P是VABC一邊上的一點(diǎn)（P不與4,B,C重合），過點(diǎn)P的一條直線截VABC,如果截得的三角形與VABC相似,我們

稱這條直線為過點(diǎn)P的VABC的“相似線”.以△A8C中，NC=90°,ZA=3O°,當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P的

VA8C的“相似線”最多幾條？.

【答案】3%

【分析】根據(jù)三角形相似的判定,結(jié)合定義解答即可.

本題考查了三角形相似的判定,熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作反〃8C交A8于點(diǎn)E則△APESA4CB,符合題意.

過點(diǎn)P作用〃AB交8C于點(diǎn)F,則△PCfsX限:B,符合題意.

過點(diǎn)尸作PG_LA3于點(diǎn)G,ZA=ZA,NAG片NAC8,則△46戶。以4。3,符合題意.

共有3條.

故答案為：3條.

18.如圖，已知菱形A3CO的邊長為2,ZDAB=6O°,￡為A3的中點(diǎn)，產(chǎn)為CE的中點(diǎn)，那么"的長等于

AEB

【答案】巫##,曬

22

【分析】連接斯并延長交。C于點(diǎn)。，證明四邊形ACGK是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)2044=6（『，得出DEIA3,AE=\,

DE=yjAD2-AE2=G，進(jìn)而得出四邊形DEBG是矩形，即可求得F^=—,ffiAAFB中，勾股定理即可求解?

【詳解】解：如圖所示，連接的并延長交。。于點(diǎn)G,連接EG,GB,DB.

DGC

AEB

???菱形ABC。的邊長為2,ZDAB=60°.

???和△BC。是等邊三角形.

???AB=BC=CD=AD=2.

?：F為CE中點(diǎn)，菱形A8CO.

:?CG〃EB、CF=EF.

???ZCGF=/EBF,ZCGF=ZEBF.

???ACGF當(dāng)AEBF.

??CG—EB.

???四邊形8CGE是平行四邊形.

又?:E是AB的中點(diǎn).

：.CG=-CD=\=EB=-AB,CG//EB.

22

???四邊形DEBG是平行四邊形.

???BF=-BG.

2

又?：E是AB的中點(diǎn).

:?DEJ.AB.

???四邊形。EBG是矩形.

???AE=1,DE=\lAD2-AE2=5/鉆b=90。.

???BF=-BG=-43.

22

在/XAEB中，AF=\IAB2+FB2=J22+

故答案為：叵

2

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理,熟練掌握以上知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

三,解答題（本大題共7題，滿分78分）

r-322

19.解方程：---=--

x—2廠—3x+2x—1

【答案】x=5

【分析】本題考杳分式方程的解法，涉及區(qū)式分解,分式方程的求解步驟（去分母化為整式方程，求解整式方程,檢驗(yàn)）等知識(shí)

點(diǎn).解題關(guān)犍是通過因式分解找到最簡公分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，易錯(cuò)點(diǎn)是忘記檢驗(yàn),容易把使分母為零的增

根當(dāng)成有效解.

要解這個(gè)分式方程,首先對(duì)分母進(jìn)行因式分解,確定最簡公分母為（x-l）（x-2）.然后方程兩邊同乘最簡公分母,把分式方程

化為整式方程.接著求解整式方程,最后對(duì)得到的解進(jìn)行檢驗(yàn),舍去使原分式方程分母為零的增根,從而得到原方程的有效

解.

x—32_2

【詳解】解:

x-2(x—1)(x—2)x—1

方程兩邊同乘（工一。"一2）.

（x-3）（x-l）-2=2（x-2）

/一4x+3—2=2x—4

x2-6x+5=0

（x-l）（x-5）=0

解得x=1或x=5.

檢驗(yàn)：

當(dāng)x=l時(shí)，（工一。（工一2）=0,分式無意義,舍去.

當(dāng)x=5時(shí)，（工一1）（工一2）工0,分式有意義.

所以,原方程的解為x=5.

20.在Rtz^/WC中，ABAC=90°,A。是斜邊3c上的高.

（1）證明：△ABDs^CBA.

（2）若A4=3,〃C=5,求的長.

9

【答案】（I）見解析（2）BD=-

【分析】本題考杳相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)證明N8D4=N84C,結(jié)合ZB=N」B即可得證.

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

證明：〈AD是斜邊8c上的高.

:.ZBDA=90°.

???ZBAC=90°.

???NBDA=NBAC.

,:ZB=4.

???AABDs4cBA.

【小問2詳解】

解：,?,△ABOSZ\CB4.

.BDAB

??瓦一麗.

???A8=3,BC=5.

.BD3

??---=—?

35

9

:.BD=~.

5

AG

21.如圖，已知平行四邊形ABC。中，E為A。的中點(diǎn)，Ab:8/=2:5,求出的值.

GC

【答案】XG:GC=2:9

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).首先延長莊交C。的延長線于點(diǎn)兒由四邊形ABC。

是平行四邊形，易證得AAEFS^DEH,AAFGSACHG,又由E為AO的中點(diǎn)，A/：8b=2:5,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊

成比例，即可求得答案.

【詳解】延長FE交C。的延長線于點(diǎn)

BpA

???四邊形4BCO是平行四邊形.

???AB\\CD,AB=CD.

???ZBAE=ZADH,ZAFE=NH.

:,AAEFS.DEH.

同理可得△ARJs^CHG.

???AE:DE=DH:AF.

???E為八。的中點(diǎn).

:.DH=AF.

???△AFG^ACHG.

???AG:GC=AF:CH.

VAF:BF=2:5.

???AF:AB=2:7.

???AF:CH=2:9.

???AG:GC=2:9.

APBP

22.如圖,在aABC中，點(diǎn)P.D分別在邊BC,AC上,PA±AB,垂足為點(diǎn)A,DP±BC,垂足為點(diǎn)P,——二——

p

(2)如果AB=3,DC=2,求AP的長.

【答案】(1)見解析，(2)V3

【分析】(1)通過證明為△ABPsRt^PCD,可得/B=NC,/APB;NCDP,由外角性質(zhì)可得結(jié)論.

APAn

(2)通過證明△APCs^ADP,可得一二——，即可求解.

ACAP

【詳解】證明：(1)VPA1AB.DP1BC.

ZBAB=ZDPC=900.

??AP一BP

?~PD~~CD

.APPD

ARtAABP^RtAPCD.

Z.ZB=ZC,ZAPB=ZCDP.

*/ZDPB=ZC+ZCDP=ZAPB+ZAPD.

AZAPD=ZC.

(2)VZB=ZC.

???AB=AC=3,且CD=2.

???AD=1.

VZAPD=ZC,ZCAP=ZPAD.

/.△APC-AADP.

.AP_AD

^~AC~~AP'

???AP2=1x3=3

???AP=3

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

23.如圖所示,在矩形A8CO中，E為邊CD上一點(diǎn)，且

F

（1）求證：AD2=DEDC.

（2）/為線段AE延長線上一點(diǎn)，且滿足所=c尸=18。，求證：CE=AD.

2

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（I）由矩形性質(zhì)得到NB4O=90。，ZADE=90°,AB=DC,由角的互余得到從而確定

△ADES/AD利用相似三角形性質(zhì)得到=DEDC.

（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件,利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到OA=OD=EF=CF,ZODA=^OAD,

ZFEC=ZFCE,進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得至IJ.

【小問1詳解】

證明：在矩形A8CD中，NBAD=90°,ZADE=90°,AB=DC.

ZABD+ZADB=9(r.

AEA.BD.

ZDAE+ZADB=90°.

ZABD=ZDAE.

ZBAP=ZADE=90°.

△ADESABAD.

ADDE,

-=-,^nAnD=DE.BA.

AB=DC.

AD?=DEDC.

【小問2詳解】

證明：連接AC交30于點(diǎn)O,如圖所示:

DC

在矩形ABC。中，ZADE=90°,則ND4E+ZAED=90°.

vAE1.BD.

???ZZME+ZADB=90°.

:.ZADB=ZAED.

?//FEC=ZAED.

：.ZAIX）=ZFEC.

在矩形ABC。中，OA=OD=-BD.

2

?/EF=CF=-BD.

2

：.OA=OD=EF=CF.

ZADO=ZOAD,ZFEC=ZFCE.

???ZADO=ZFEC.

:.ZADO=ZOAD=ZFEC=ZFCE.

在V0D4和△EEC中.

NOOA=/FEC

<Z0AD=4FCE

OD=FE

.\A（9ZM^ra：C（AAS）.

:.CE=AD.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)等

知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵.

24.如圖,函數(shù)>="（1>0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)人，8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,2）.過點(diǎn)人作4。||），軸，AC=1（點(diǎn)。位于點(diǎn)A的下

X

方），過點(diǎn)。作CD〃x軸,與函數(shù)y=K（x>0）的圖像交于點(diǎn)”過點(diǎn)8作跳;_LC￡>于點(diǎn)E,連接OC,O。.

X

（2）延長交AO于點(diǎn)尸，當(dāng)AC=28E時(shí)，求M的長.

（3）連接。4,取。4中點(diǎn)Q,以線段OQ為較長直角邊作RtZXOPQ，使△OPQ與dCO相似,求出P點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）1（2）,

6

（\3）_/3n

（3）或不7

（22）（22）

【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）先求出反比例函數(shù)解析式，然后求山點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求出三角形的面積.

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出直線A。的解析式,即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo),進(jìn)而求解.

（3）先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),過點(diǎn)。作MNJ_Q4交x軸于點(diǎn)N,交y軸于點(diǎn)M,可得點(diǎn)P在MN上且點(diǎn)、P為0M或ON的中點(diǎn),

利用中點(diǎn)坐標(biāo)解題即可.

【小問1詳解】

L

解：y=一的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2,2）

二.％=2x2=4.

軸，AC=\.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2J）.

???coII尤軸，點(diǎn)。在函數(shù)圖象上

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,1）.

：.CD=2

【小問2詳解】

vAC=2BE.

/.BE=-.

2

???BE±CD.

13

點(diǎn)3的縱坐標(biāo)=2--二一

22

4

由反比例函數(shù)y=-.

x

點(diǎn)8的橫坐標(biāo)工=4+—=一.

23

設(shè)直線AO的解析式為y=〃優(yōu)+〃，代入(2,2)和(4,1)得:

k」

2k+b=2

2.

h=3

1.

??y=—A+3.

2

w8L185

當(dāng)x=一時(shí)，y=—x—+3o=—.

3233

【小問3詳解】

過點(diǎn)。作MVJ_OA交x軸于點(diǎn)N,交y軸于點(diǎn)M.

???點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1,1）,且ZAOM=ZNOM=45。.

***OQ=OM=ON=Vl2+12=V2?

即OM=ON=J（可+（可=2.

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,0）.

線段OQ為較長直角邊作RtZ\OPQ,使△OPQ與△46相似.

OJACJ

oy-ciJ-2

???點(diǎn)P在MN上且點(diǎn)P為OM或ON的中點(diǎn).

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為

25.如圖，在直角梯形ABC