§8.7離心率的范圍問題

【重點解讀】圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的

轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)犍，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔.

題型一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍

例1（1）（2023?德陽模擬）已知R,B為橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，

ZF1PF2=60°,則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為（）

A.25B.1C當D.2

答案C

解析不妨設(shè)|PQ|=m,1PBi=〃（〃?>〃）.

橢圓的長半軸長為〃”雙曲線的實半軸長為S,兩曲線的半焦距均為C,

由橢圓及雙曲線的定義得〃?+〃=2ai,m-n=2ai,于是，〃=ai+〃2,〃=ai—s,

又在△尸尸尸2中，由余弦定理得

"戶+“2—2//Z/JCOS60°=4c2與（0+。2）2+（。］—。2）2-I+。2）（0—〃2）=4（?2,

I1

則司+3尼=4c｛得了+/=%

由基本不等式得坐，當且僅當白=孚，62=乎時，等號成立,

所以橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為坐.

92

（2）（2023?寰陽模擬）已知雙曲線C：出一￡=l（fl>0,比>0）的右焦點為R2#,0）,點A的坐標

為（01），點。為雙曲線左支上的動點，且△從〃產(chǎn)的周長不小于18,則雙曲線C的離心率的

取值范圍為.

答案（1,零］

解析由右焦點為打2加.0）,點A的坐標為（0,1）,可得|AQ=d24+l=5.

因為△人產(chǎn)尸的周長不小于18,所以|以|十|尸F(xiàn)|的最小值不小于13.

設(shè)尸2為雙曲線的左焦點，可得|P/n=l尸Bl+2m

故|以|+|PF|=|%|+|PF2|+2〃，

當A,P,22三點共線時，解|+儼乃|+2。取最小值，最小值為IAF2I+2。，即5+2小

所以5+2〃213,即。24.

因為c=2而，所以/乎?

又e>l,所以e￡（l,2]1

思維升華此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)

于a,b,c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍.

92

跟蹤訓練I（2023?寧波模擬）已知橢圓C：￡+方=13>於0）的左、右焦點分別為Fi（—c,0）,

F2（C,0）,若橢圓。上存在一點M,使得的內(nèi)切圓的半徑為熱則橢圓C的離心率的

取值范圍是（）

34-

O--

A.I55-

-

答案A

解析AMFi&的面積為5嗎BHywl,

因為的內(nèi)切圓半涇為全

所以△MFR的面積可表示為32a+2c）W，

所以拉.|yw|=/3+2c）./

wa+c

解彳子lywl=12-，

因為lyHWb,所以二一《力，

兩邊平方得代上）2W加，

又因為。2=〃2—整理得5c2+2ac—3/W0,

因為《子，不等式兩邊同時除以/,得5/+2e—3W0,解得一"易

又橢圓。的離心率e￡（O,I）,

所以橢圓C的離心率的取值范圍為（0,1.

題型二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍

2

例2⑴（2023?張掖模擬）若橢圓E：記十^^方=1（0<〃[<1）上存在點P,滿足|0。|=皿。為坐標

原點），則橢圓石的離心率的取值范圍為（）

A（0,B-[?

電￥1D惇1）

答案D

解析設(shè)橢圓￡的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為4,〃，C,由題意知4=1"=^1一屆,

c=m,

橢圓E上存在點尸滿足等價于以。為原點，以c為半徑的圓與橢圓有交點，得c2。,

所以c22b2=/—02,解得，2孑，

所以。=注乎.又。＜“＜1,

所以橢圓E的離心率的取值范圍為[當，I).

⑵已知P為橢圓宗+方=13*0)上一點，F(xiàn)i,尸2為橢圓焦點,且|PB|=3儼尸2|，則椎圓離

心率的取值范圍是()

A(0,1B,[g,1)C.(0,；D,1)

答案D

y2

解析由夕為橢圓系+$=13＞比＞0)上一點，

可知|PFi|+|P尸R=2a.

又|PFi|=3|P尸2I，所以IP尸2|=1

又。一cWlPEdWa+c,即a—cW?《a+c.

又Ovevl,所以〈Wevl.

思維升華利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上

的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解.

跟蹤訓練2(1)已知點廠是雙曲線^一$=1("＞0,，》0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點,

過點尸且垂直于工軸的直線與雙曲線交于A,8兩點,若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線

的離心率e的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(2,1+V2)D.(1,1+的

答案B

解析出題意可知|AE1=|BE],即AAB石為等腰三角形，

所以橢圓。的離心率的取值范圍為［乎，1）.

題型三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍

例3（1）設(shè)B，乃分別是橢圓a+方=1（4>〃>0）的左、右焦點，若在直線上存在點P,

使線段PA的中垂線過點出,則橢圓離心率的取值范圍是（）

A（0,陰B（0,里|

C惇1）D惇1）

答案D

解析如圖所示，因為線段PR的中垂線過戶2,

???|尸尸2|=|尸尸2|=2C,

又I。尸2|=,一。,

且IP局eiQFd，

故2c，？—C,即3c22/,故

VJ

又0<*1,所以坐Wzl.

72

（2）（2023?合肥模擬）雙曲線/一方=13>2,力>0）的焦距為2cQ0）,已知點4（40）,B（0,b）,

點Q,0）到直線AB的距離為4,點（一2,0）到直線A8的距離為由，旦4+心2/，則雙曲線

離心率的取值范圍為（）

A.［申,應(yīng)］B［坐,?。?/p>

D.［小,26］

答案B

解析依題意得直線48：升方=1,

即bx+ay-ab=0,又。＞2,

_叱翅_細二紅

所以小一后由一行講'

J-2b-ab\Z?(g+2)

2止^+人7^+廬

在r；JiJb(a-2)僅4+2)2ab、4

所以“+必=樂福+/=7-?鏟，

所以SyjcP—cra>2c2,即25(c?一

即4/-25i+25W0,解得總W/W5,

又e>l,所以e￡［亭，小］.

思維升華利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之

間的關(guān)系.

跟蹤訓練3(2023?長春模擬)橢圓的中心在坐標原點，4,4，Bi，&分別為橢圓的左、右、

上、下頂點，B為其右焦點，直線8尸2與直線交于點P，若N8%2為鈍角，則該橢

圓的離心率的取值范圍為i)

A."1,1)B.&1)

C(2'D(0,

答案A

解析如圖，設(shè)橢圓的標準方程為「+去=13>比>0),

2k

廠32

B?

由題意得A2(4。)，31(0,b),52(0,一力，尸2(c,0),

則瓦?2=伍，b),派1=(一c,b).

因為N3%2為向量京與后濟的夾角，

且/囪雨2為鈍角，

所以京?A^vo,所以/—a”。.

又lr=a2—c2,

所以a2一〃、一/<(),

兩邊同時除以〃得\—e-e2<0,

勰代J-小弋-1+^5

解仔e<丁^或e>----L^，

因為(0,1),所以二1”二3：1.

乙

課時精練

一、單項選擇題

1.已知橢圓a+，=l（Q5>°）的左、右焦點分別為r1，/2，橢圓上存在點A,使得NF|AB

=V則橢圓離心率的取值范圍為（）

A.（0,B.&1）

C.（（）,gD.1）

答案D

解析由題意，設(shè)橢圓上頂點為8,若橢圓上存在點A,使得“4尸2=去則只需NR%器

即可.

當NQ8尸2=冷時，為正三角形，此時。=2°,故當NABB消時，aW2c,即

。。4C，

又Ove<l,故離心率1）.

2.（2023?濰坊模擬）已知產(chǎn)尸2分別為橢圓C=1（。>比>0）的左、右焦點，尸是橢圓C

片+/

上的一點，直線/：x=F—，且PQ_L/,垂足為Q點.若四邊形QPR尸2為平行四邊形,

則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.（^,1）B.（V2—1,1）

C.（（）,^2-1）D.（0,用

答案B

勿2+〃、

解析設(shè)P（M,找），則&—「，嗎），

???四邊形QPFiB為平行四邊形,

.a2+b2、

???|PQI=|FiBI,~-xo=2c,

a2+b22a2—(r—2ac

即即==-2c=---e

2。2—/-2ac

/.-1<--------2-------<1,

解得爽一l<zl.

LL7T

3.（2023?新鄉(xiāng)模擬）雙曲線C＞一方=13＞。，力＞。）的右焦點為B，過尸2且傾斜角為》勺直

線與雙曲線右支交于不同的兩點，則雙曲線離心率的范圍為（）

答案A

解析因為過B的直線/的傾斜角為:，所以直線/的條率k=l,因為直線/與雙曲線右支

交于不同的兩點，如圖所示，由圖象知gvl,

所以注=41+（滬啦,

又e＞I,所以I

）2

4.（2023?武漢模擬）已知圓G：/+），2=/（/*0）與雙曲線Q：方一總=13＞0,方＞。），若在雙

曲線C2上存在一點P,使得過點P所作的圓Ci的兩條切線（切點為4,8）滿足NAP8=W，

則雙曲線C?的離心率的最小值為（）

A.小B/C普D.啦

答案C

解析如圖所示，△POA空|O4|=|OA|=〃，

：./OPB=%

o

又OBLBP,：,\OP\=2b,

又|0P|2a,故

即4(d—a?)》/,即4,2542,

二、多項選擇題

5.（2023?西安模擬）已知橢圓，+W=1（。＞6〃＞0）上一點A，它關(guān)于原點的對稱點為從尸為

橢圓的右焦點，且滿足AFLBF,設(shè)/=0，且。目重，§，則該橢圓的離心率可能是

（）

A.喙B坐C.1D.坐

答案AD

解析由題意，A關(guān)于原點的對稱點為從點尸為橢圓右焦點，設(shè)左焦點為如圖所示，

???四邊形八尸山尸為矩形，

，|48|=|BF|=2c.

*.*ZABF=ai

/.|4Fl=2csina,|8F|=|AFi|=2ctosa,

由橢圓的定義得2a=2csina+2ccosa,

.?_1

..”—/sina+cosa—也mR+W

?k出+§）￡惇,1,.'.e￡［坐坐）.

02

6.已知O為坐標原點，雙曲線C：東一分=13＞0,比＞0）的右焦點為凡/是C的一條漸近

線，以尸為圓心，。為半徑的圓與/交于A,B兩點,則（）

A.過點。且與圓尸相切的直線與雙曲線。沒有公共點

B.雙曲線C的離心率的最大值是，5

C.若臣?而＞0,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（田，同

D.若d二贏，則雙曲線C的離心率為平

答案ACD

解析對于A,因為雙曲線。的漸近線/與圓產(chǎn)交于A,B兩點、,所以過點。且與圓”相

切的直線與雙曲線。沒有公共點（如圖），故選項A正確;

對于B,過點尸作/D_L/,垂足為。，易知伊。|=從因為圓/與直線/相交，所以Xa,又

/=/+〃，所以/<24，即/<2,又e>l,所以雙曲線C的離心率的取值范圍是（1,也），

故選項B錯誤；

—>—>7T

對于C,若切/皮>0,則0<NAM<E，

故0<NAFD<j,故*vcosZAFD<I,

所以乎嚅<1，

即景與i即人V可得衿V2,

所以e￡修，啦），故選項C正確；

對于D,因為5A=壽,所以A為線段08的中點，設(shè)圖>|=%則|。4|=2見\OD\=3m,

在RtZXAF。和RtZX?！?。中，由勾股定理得，

〃+m2=02,

消去m2得c2=9a2—Sb2,

力2+9〃p=d,

即17『=9d,所以6=卑