高中數(shù)學考前回歸知識必備

1集合與常用邏輯用語

力={)元素特點：互異性、無序性、確定性。

概

念

一組對象的全體.

子集

集力的子集有2"個，真子集有2〃I個，非⑦二4

合空真子集有2”-2個

關真子

集

相等A二8,3二A=A=B

交集AAB={工|工且【提醒】：數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、

集補運算的有力工具.

礙

合運

在具體計算時不要忘了集合本身和

與算

并集AUB={x\A,WtrS空集以兩種特殊情況，補集思想常運用

常

于解決否定型或正面較復雜有關問題。

用碼

邏

輯

補集Cl;A=且x￡A}

用

語概念能夠判斷真假的語句。

_

_原命題:

原命題

_互逆逆命

_

_若〃，則夕題若

_若P則/q則p

_逆命題:

_互否

_

_若外則.

_

命四種互互

為逆

邏題

否否

命題否命題:

輯

用若一p,則一q

語

逆否命互逆否命題

逆否命題:逆

題若一q則-i

若f，則—p若一q則一〃P

充分條〃一*q，〃是夕的充分條若命題〃對應集合A,命題q對應集合

充件

件B,則p-q等價于A二3,〃=g等

要

價于A=8。

必要條。—q,q是p的必要條

條件件

件

充要條p=q,p,q互為充要條

件件

全稱量V,含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱

詞命題。

存在量3，含存在量詞的命題叫特稱命題，或否定為仝稱

詞命題。

量

詞非命-P和p為一真一假兩個互為對立的命題。類比集合的補

題

全稱量▼，含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱命題。

量詞

詞

存在量3，含存在量詞的命題叫特稱命題，其否定為全稱命題。

詞

2復數(shù)與統(tǒng)計與統(tǒng)計案例概率

規(guī)定：產(chǎn)二1.實數(shù)可以與它進行四則運算，并且運算時原有的加

虛數(shù)單位

、乘運算律仍成立。產(chǎn)二1,產(chǎn)“二。產(chǎn)+2=_1,產(chǎn)+3=_j(A￡Z)。

復概

數(shù)形如。+力?(〃,〃￡!<)的數(shù)叫做復數(shù)，。叫做復數(shù)的實部，人叫做復數(shù)

念復數(shù)

的的虛部。bHU時叫虛數(shù)、〃=0,〃H0時叫純虛數(shù)。

概

念復數(shù)相等a+bi=c+di(a,b,c,dGR)=a=c,b=d

和

運共挽復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)。BPz=a+bi,^Az=abi.

算

加減法(a+bi)±(c+di)=(〃土c)+(b±d)i,(a,b,c、dGR)。

運

算乘法(a+bi)(c+di)=(aLbd)+(bc+ad)i,(a,b,c,dGR)

ac+bdbeda

除法

(a+bi):(c+di)=-_,+-i(c+di/O,a,b,c,dGR)

c~2+-n~c~2+-/Pr

幾復數(shù)Z=bi—一二一一復平面內(nèi)的點“么加向量OZ

何

意向星OZ的模叫做復數(shù)的模?閆二心+產(chǎn)

義

*1.運算律:(l)d.中二(2)(/)"=*；⑶/一4第=Zi"V*(m,

〃￡N).【提示】注意復數(shù)、向量、導數(shù)、三角等運算率的適用范圍.

復

數(shù)*2.模的性質(zhì)；⑴二1：⑵■卜啰；⑶-二z".

運--Z2\Z2l

算

*3.重要結(jié)論：ZI.Z2=|zf=甘；(1±Z)2=±2z；,

-4-/1i性質(zhì)：T=4；產(chǎn)”=i,產(chǎn)=t,y+3=_j,泮=1.

l-i

【拓展】：①=10(①-0(①?+①+1)=(戶①=1瞄』—士洛二

簡

單從總體中逐個抽取且不放回抽取樣本的方法。

抽

樣

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體

等

屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣概

率

,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方

抽

法稱為分層隨機抽桂，每一個子總體稱為層.樣

。

隨1.利用分層隨機抽樣要注意按比例抽取，若各層應抽取的個體數(shù)不都

機是整數(shù)，可以進行一定的技術處理，比如將結(jié)果取成整數(shù)等.

抽

樣

2.在分層隨機抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的

個體差分別為M和M抽取的樣本量分別為陽和〃，第1層和第2層

的樣本平均數(shù)分別為x,y,樣本平均數(shù)為京，則

分

層—M-.N-tn-.n—

抽

樣

(1)常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等.

(2)作頻率分布直方圖的步驟

①求極差;

②決定組距與組數(shù);

③將教據(jù)分組；

統(tǒng)

計④列頻率分布表；

圖

⑤畫頻率分布直方圖.

表

百一般地，一組數(shù)據(jù)的笫〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少

分

樣有P%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100—P）%的數(shù)據(jù)大于或等于這

位

本個值.

數(shù)

估

計

總

一

,眾一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)量箜的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)）.

體

數(shù)

中位從小到大排序后，中間的數(shù)或者中間兩數(shù)的平均數(shù)。

數(shù)

—1

平均歷,巷,…,修的平均數(shù)是K=-（X?&.???.辦

數(shù)n

方M/2,…，%的平均數(shù)為X，d=E（再一式）2,標準差S

差

[11>1

n—

巧用三個有關的結(jié)論

⑴若xi,X2,,,,,X”的平均數(shù)為1,那么〃m+a,"g+。，mx>,-\-a

的平均數(shù)為6十〃：

（2〕數(shù)據(jù)Xi,及，…，扁與數(shù)據(jù)Xi'=Xl+a,X2'=X2+a,xn'=居+。

的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；

⑶若汨，照，…，x的方差為P那么ati+〃，orz+b,…，的

方差為啟4

（1）一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為力,匕，…，為，總體平

總軟正數(shù)為y,則總體方差舉=（士"；一了）321加權(quán)式：如果總體的N個變量

體

樣

<「

二

本X值中，不同的值共有個，不妨記為八丫…，上其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為

I?AWN）2,

Z

方

#/=1,2,k）,則總體方差為9=3/0，一了「

差

和“廣1

總

體

樣

1〃

二

本X

J

7

標

準

差

樣

本

點

和

有①樣本點：隨機試驗巴的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點,常用G表

限

示.全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用。表示.

樣

本

空②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有〃個可能結(jié)果"I，…，①”，則稱樣本空間

間。;{.，/2,…，斷}為有限樣本空間.

如果隨機事件A在〃次試驗中發(fā)生了〃7次，蘭試驗的次數(shù)〃很大時，我們可以將發(fā)生

定

的頻率工作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即〃（d）、'”

概義

率nn

事

互

斥

件

事事件A和事件8在任何一次實驗中不會同時發(fā)生

件

關

系

對立

事件A和事件8,在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生。

類比集合關系

O

基本

性0<P(A)<1,尸(⑦)=0,P(Q)=lo

性

質(zhì)￥

事件4A互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)o

古特征基本事件發(fā)生等可能性和基本事件的個數(shù)有限性

典

概

型計算

〃基本事件的個數(shù)、〃2事件A所包含的基本事件個數(shù)。

n

3平面向量

重

平向量既有大小乂有方向的量，表示向量的有向線段的長度叫做該向量的模。

要

面

概

向

念

量0向量長度為0,方向任意的向量?！?與任一非零向量共線】

平行向量方向相同或者相反的兩個非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。

向量的模

高中數(shù)學新教材考前回歸知識必備全案

兩點間的距若4（幣,凹）,8（4,%），則1(4f)'+6cJ

離AB\=\

起點放在一點的兩向量所成的角，范圍是［O,"］。a,b的夾角記為＜a,b＞。

■v--av-avw-tv-aw■■?■

向量夾角

〈〃力）銳角CZn.b＞0,aJ）不同向：（a⑸為宜角Ca.b=0；儲力）鈍角Oa。＜0,a力不反

向.向量的夾角帶有方向性：向量是有方向的，向量間的夾角表示兩個向量正方向的夾角

―?

設”，〃是兩個非零向量，它們的夾角是仇e與b是方向相同的單位向量，AB

?—＞■?

投影向量a，CD=b,過的起點4和終點A,分別作CO所在直線的垂線，垂足分別為4

Bi,得至以山『我們稱上述變換為向量。向向量力投影,4囪叫做向量a在向量

b上的投影向量.記為|a|cosJe.

-tb-TTT-?

基本定理伙,62不共線，存在唯一"的實數(shù)對（A,p）,使〃=人ci+\lei。若白,°2為軸

上

?

的單位正交向量，（入P）就是向量。的坐標。

一般表示坐標表示

■*■

共線條件0M乃-?科=0

aiib（bW0共線=存在唯實數(shù)人，a=Xb

垂直條件

a_Lb^crb=0o再M+和2=°。

設AB=a,BC=b,那么向量AC叫府a(chǎn)與b的和，

即a+》=A8+BC=AC：向量力唯勺三多形法則可推廣至

加法多個向量相加：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR

法則，但這時必須“首尾相連”。a+b=(x)+跖,凹+%)

運O

算

算

律交換律a+b=b+a,結(jié)合律(。+0)+c=a+(/?+c)

減用“三角形法則”：lStAB=a,AC=b,那么。一人

法一一

法

則

=AB-AC=CA,由減向量的終點指向被減向量的終點a—b=(X)-r,y,-}\

運2

o注意：此處減向量與被減向量的起點相同。)

算

為向量，入＞0與。方向相同，

概

-1-■

念

入。=（入x,入y）

數(shù)

入＜0與〃方向相反，入a=|Z||tz|o

乘

運

算11111

與數(shù)乘運算有同樣的坐

分配律人(|J。)=(Ap)?,(入+(J)。=入a+口。，

算標

律

表示。

分配律入(a+b)-Xa+入〃

概■■,■

aba,b>

念cos<

1ab=中2+y%。

數(shù)

量

主

積2

要era舊=一，/*F=f+/

運

性a

質(zhì)

算

算

律ab-ba>分配律(a+b)+'=-卅什力c,(Xa)4=-卅6H~3^-b)0

向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于?個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以

算一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個

律向量，切記兩向量不能相除(相約3七)aS?c)W(Q?b)c

句

量幾何表示用帶箭頭的有向線段表示，記8,注意起點在前，終點在后;

為法

麥

符號表示法用一個小寫的英文字母來表示，如,〃，等;

云ac

、

萬

去在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與X軸、)，軸方向相同的兩個單位向量i,/為基底，則平面

內(nèi)

坐標表示法

的任一向量a可表示為a=xi+vj=(r,y),稱(x,、)為向量a的坐標，a=(v,y)叫做向量4

的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相冏。

三角形的五個“心”

重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一

點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.

4不等式

a>b,b>c—a>c兩個實數(shù)的順序關

系：a>b，二1

_

a>b,c>O>ac>be；a〉b,c<0—ac<beah>0a<b

；a>b,c>d-a+c>b+d

<=>?/?<0

a>b>0,c>d>O->ac>bd11

取倒數(shù)法則ab>0,a>/>co-<-

a>b>0,nWN,n>\—^cf>If；:a>\bab

①x,y>0.由x+y^2~xy?若積封=P（定值），則當x=y時和x+y有最小值2.、p;

②x,y>0,由x+2xy,若和x+y=5（定值），則當X=y是積盯有最大值!

最s2.【推廣】：已知x,y￡R,則有（x+y）2=（xy）2+2xy.

值

定（1）若枳孫是定值，則當|xy|最大時，|x+y|最大；當|x）”最小時，|x+y|最小.

理

（2）若和|x+y|是定值,則當|xy|最大時,|町|最小;當|xy|最小時,|孫|最大

平方平均》算術平均》幾何平均》調(diào)和平均（而捻產(chǎn)士2）20心立R,當且僅當a=〃取“=-）

______22

基

均

本二-二迫近.心百竺，產(chǎn)至（當?shù)﹥H當a=方時取='）

值

不

不

等

式

等2ab

式

紅乜土…土32（正數(shù)m=G=…=G時取等）算術平均2幾何平均

n

重

2+加N2|朝（a,b￡R,當且僅當a=b時取到“二”）

要

不3222

a3+63云a~b+ab~tcr+ly+c3abe=（a+b+c）（a+b+cabacbc）

等

—a'+Z/+c323abe（〃+b+c>o等式即可成立，a=8=。或^+b+c=o時取等）；

式

(

b

e

為

正

如

柯

設。也GR（i=1.2..〃）,則（a/1+外/+―I”也尹&4----1-什興圻+桓H—+優(yōu)）

西

不等號成立當且僅當々%時成立.（約定q=0時，々=0）

等也怎。?

式

水a(chǎn)>b>0,a>m>0,則。？<匕<此理.【說明】：“<"+，〃(a>b>0,/?z>0).

的ainaa+ntaa+m

濃

度

③已知。x1)y￡R*,若av+力y=1，則有：II,L11'如ar>LcL7

“1?/i'-+-=(iu+by)(-+-)=?+b++—^?++2.w*=(.,?+.*

y

的xyxyxy

④1”WR一若則有：工+)，=(*+))("+?=""21=(鼻+

代換

不產(chǎn)yxy

5函數(shù)、基本初等函數(shù)I的概念、圖像與性質(zhì)

函函數(shù)用f(x)來表示；即X按照對應法則f對應的函數(shù)值為f(x).函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。

數(shù)

定義域A：X取值范圍組成集合。值域B：y取值范圍組成集合。對應法則f：y與X對應關系，

的

函

如：函數(shù)圖像與x軸的垂線至多有一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任苣個.

概

數(shù)

概

念

念

及

其(1)具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考查有兩種形式：使函數(shù)解析式有意義(如:分母工0;

表偶次根式被開方數(shù)非負；零指數(shù)基底數(shù)豐0；實際問題有意義：對數(shù)真數(shù)>0,底數(shù)>0且H1：如Igx<1

一的解集：

小

定

0<A<I0：y=lnx單調(diào)增區(qū)間(0,+8)：如：不等式］g|*<1的解集________{A}\<X<lKr#0)

義

域(2)復合函數(shù)定義域求法：只要對應法則相同，括號里整體的取值范圍就完全相同。若/U)的定義域為口,例

題,其復合函數(shù);［g(x)］的定義域可由不等式a<g(x)<b解出:若Jg(x)］的定義域為①,求/⑺的定

型義域，相當于時，求/=g(x)的值域：如若函數(shù)+1)的定義域為|2,1),則定義域為一(

答：［1,5］)

數(shù)軸.上的?段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間農(nóng)示，區(qū)間分為開區(qū)間和閉區(qū)間，開區(qū)間用小括號表示，是大于

或小于的意思：閉區(qū)間用中括號表示，是大于等于或小于等于的意思；

區(qū)

間(1)區(qū)間是集合的另類表示方式，區(qū)間就是集合，具有集合的一般性質(zhì)。

(2)它是無限集，連續(xù)的實數(shù)。31<%<2或.『4)表示成(1,2〉U{4},不能寫成(1.2)g=4。

如果/(r)=/(x)，則J(X)為偶函數(shù)；如果J(—X)=-/W，則JW為奇函數(shù)。

這兩個式子有意義的前提條件是：定義域關于原點對稱。確定奇偶性方法有定義法、圖像法等;

(1)若判斷較為復雜解析式函數(shù)的奇偶性，應先化簡再判斷，如判斷函數(shù)八幻=里二工奇偶性一偶函

定義If212

奇數(shù)

偶

性(2)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性：偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反單調(diào)性：

(3)若/(幻是偶函數(shù),那么〃幻=/(—.r)=/(|.r|)；定義域含零的奇函數(shù)必過原點(/(0)=0)；

定義法判斷：⑴定義域是關丁原點對稱的：(2)II算加)士/(—.1)-0或"'1-±1(/X\)/0)

判斷：若函數(shù)f(x)=(〃為常數(shù))在定義域上為奇函數(shù)，則Q±1

I?Ai

(1).利用公式：f(x)=f(x),f(x)=f(x),計算或求解析式；(2).利用復合函數(shù)奇偶性結(jié)論:F(x)=f(x)g(x)

,田，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇：F(x)=f(x)+g(x),當f(x)為奇，g(x)為偶時，代入x得：

利用F(x)=f(x)+g(x),兩式相加可以消去f(x),兩式相減可以消去g(x),從而解抉問題；(4)奇偶函數(shù)圖像的對

性稱性

質(zhì)-

對定義域內(nèi)任意X,存在非零常數(shù)T,/(1+71=/(??),丁為共幻

周

期周期⑴若,v=/Cr)對R時/(A+a)=/(A—a)恒成立，則/(X)的周期為2|

性司；

⑵若)，=/(.t)是偶兩數(shù)，其圖像又關于直線犬=。對?稱，則用目的周期為2|。|；

(3)/(A+a)=-f(X)?f(x+a)=—?或/(x+a)/(x)=a或/(*+a)+/(x)=Rr為2Ia|;

/<xl

定義定義域內(nèi)一區(qū)間/,X]yX2/,X,<工2,增修<必一/(陽)</。2)；減K<占一/(內(nèi))</(占)

定義法、導數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等(提混：求單調(diào)區(qū)間時注意定義域)

求

單導數(shù)法：i求定義域：H求/㈤；iiif。)>0的解構(gòu)成增區(qū)問：注意：區(qū)間表示。如：函數(shù)、._樨,(-，+

2x)

調(diào)

區(qū)

的單調(diào)遞增區(qū)間是——?((1,2))；函數(shù)、，『一!單調(diào)增區(qū)間是一.((一oo,0)和(0,+8)j

單間

調(diào)X

性

定義法、導數(shù)法。判斷單調(diào)性：小題首選復合函數(shù)法，其次求導數(shù)：大題首選求導數(shù)，其次用定義。

證明

(1)定義法：i取值M<x2ii作差變形判斷了區(qū))一/(/)符號;

(2)導數(shù)法：i求f(X)：ii判斷/(x)符號：

(1).求值域：利用單調(diào)性畫出圖像趨勢，定區(qū)間，斷。

(2).比較函數(shù)值的大小：畫圖看(3)解不等式：增.>x2-*/(.<,)>f(x2)或/XM)>f(x2)一匹>4

：減為>再—/?)</(再)或〃M)>/(占)一七<5(4).求系數(shù)：利用常規(guī)函數(shù)單調(diào)性結(jié)論,根據(jù)單

利用調(diào)性求系數(shù)。則a范圍是a>l或0〈av；;

已知/G)=log".電>0,aHl)為R上增，則/Xx—1)<0的實數(shù)X的取值范圍。(0,1)1/1,2)

由“同增異減”判定:①分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)〃=以外與外函數(shù))，=/(“).②分別研究內(nèi)、外函

V

合

函在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)性.已知復合

數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求字母范圍：i分解出內(nèi)外層函數(shù)：ii研究內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性的關系：市兼顧函數(shù)的定

義域；

6函數(shù)、基本初等函數(shù)I的圖像與性質(zhì)

①確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式：二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：/(x)=ad-b.r+c3H0)

:頂點式：f(x)-a(x—h)2+k(at0)；零點式：f(x)=a(x—xJCr—x,)(?W0).

求待定系

函數(shù)②根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

數(shù)

解法基本③解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

步

析

式如一元二次不等式/*)<L1解集是(1,2),可設________/,(A-)x+l=a(x+1)(x2)

驟

的

常

若/(1-1)=/+!，則函數(shù)人1-1)=_____(答：Y一21+3)

用配湊法

方JTU

法

函數(shù)y=/(x)關于函數(shù)y=h1+1圖形關于直線y=x對稱，則/U)=_

坐標轉(zhuǎn)

函數(shù),,=/()與__________的圖像關于原點成中心對稱；)，=—A—X)

移x

對已知等式進行賦值，從而得到關于凡6及另外一個函數(shù)的方程組：

函數(shù)八r)是一個偶函數(shù).8(r).是一個奇函數(shù),且小)+或丫)=1.則f⑴等于-----1:

方程的“Lr-1

思

想若函數(shù)/(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足/(幻一g(.r)=F,則有/(尤)=-----，-：

4

稱

心對

成中

原點

關于

圖像

X）的

f—

與產(chǎn)