專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

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一、單選題

I.（2025?安徽?中考真題）已知二次函數(shù)丁=以2+瓜+《。/0）的圖象如圖所示，則（）

2a+b<0C.2b-c<0D.a-b+c'O

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置、與y軸交點及特殊點的圖數(shù)值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，

逐分析選項.本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)中。（開口方向）、b（對稱

軸與“共同決定）、。（與y軸交點）的意義及特殊點函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：次函數(shù)丁=加+法+。（。/0）圖象中，開口向上,

:.a>0.

對稱軸x=-=>0,又。>0,

2a

.\-Z?>0,即:v0.

拋物線與y軸交點在負(fù)半軸，

c<0.

選項A：。>0,b<0,c<0,

v兩負(fù)一正相乘得正，

:.ubc>0,該選對（錯誤.

選項B：對稱軸x=-=，由圖象知對稱軸x<1,即-二<1,

2a2a

又a>0,兩邊乘2。得一b<2a,/.Za+b〉。，該選項錯誤.

選項C："］工=一1時，y=a-b+c>（）f即4a-4Z?+4c>0：:"ix=2時，y=4ci+2b+c=0,

（4。+2Z>+c）-（4a-4匕+4c）<0

:.2b-c<0,該選項正確.

選項D：當(dāng)x=-l時，y=a-b+c,由圖象知x=-l對應(yīng)的函數(shù)值>0,

:.a-b+c>0,該選項錯誤.

故選C.

2.（2023?安徽?中考真題）下列函數(shù)中，V的值隨x值的增大而減小的是（）

A.y=x2+\B.y=-r+1C.y=2x+lD.y=-2x+l

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.y=x2+\,。>。，對稱軸為直線x=0,

當(dāng)xvO時，），的值隨x值的增大而減小，當(dāng)x>0時，），的值隨x值的增大而增大，故該選項不正確，不符

合地意；

B.y=-x2+\,a<0,對稱軸為直線x=0,

當(dāng)x<0時，）'的值隨X值的增大而增大，當(dāng)x>0時，y的值隨X值的增大而減小，故該選項不正確，不符

合題意；

c.y=2x+\,k>0,y的值隨X值的增大而增大，故該選項不正確，不符合題意；

D.y=-2x+l,k<0,y的值隨工值的增大而減小，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?安徽?中考真題）已知反比例函數(shù)y=K（kwO）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=T+〃的圖象如

圖所示，則函數(shù)y=f-云+&-1的圖象可能為（）

2

【答案】A

【分析】設(shè)A（l,k）,則8（匕1）,k>\,將點8化1）,代入產(chǎn)r+K得出Z=〃—l,代入二次函數(shù)，可得

當(dāng)、=1時，產(chǎn)-1,則），=/一加+2―1,得出對稱軸為直線x=t>i，拋物線對稱軸在丁軸的右側(cè)，且過

定點（L-1）,進(jìn)而即可求解.

設(shè)A(l/),則8化1),根據(jù)圖象可得攵>1,

將點代入k-x+b,

.\[=-k+br

:?k=b-1,

'：k>\,

:?b>2,

22

/.y=xbxik1=X^-bx+^h-\)-\=x-bx+b-2f

對稱軸為直線X=g>l,

當(dāng)x=l時，l-Z?+Z?-2=-l,

???拋物線經(jīng)過點（L-l）,

???他物線對稱軸在x=l的右側(cè)，且過定點（II）,

當(dāng)x=0時，y=4-1=8-2>。，

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，得出k二8-1是解題的關(guān)鍵.

4.（2021.安徽.中考真題）設(shè)拋物線y=/+g+i）x+Q,其中。為實數(shù).

（I）若拋物線經(jīng)過點（一l,m），則巾=：

（2）將拋物線y=/+（a+l）x+Q向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標(biāo)的最大值是.

【答案】02

【分析】（1）直接將點（一1,租）代入計算即可

（2）先根據(jù)平移得出新的拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)得出頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，再通過配方

得出最值

【詳解】解：（1）將（一l,m）代入y=/+（a+i）x+。得：

TH=1-a-l+a=0

故答案為：0

（2）根據(jù)題意可得新的函數(shù)解析式為：y=/+（0+1>+。+2

由拋物線頂點坐標(biāo)（-5竺瀘）

得新拋物線頂點的縱坐標(biāo)為：

4（q+2）-（a+l）2

丁

_一"+2。+7

-4

_-（/-2。+1）+8

「3-1）2+8

???（Q-I）2>0

???當(dāng)斫1時,-Q-1）2+8有最大值為8,

所得拋物線頂點的縱坐標(biāo)的最大值是:=2

4

4

故答案為：2

【點睛】本題考杳將拋物線的頂點坐標(biāo)、將點代入代入函數(shù)解析式、利用配方法求最值是常用的方法

0?00-

一、單選題

I.（2025?安徽池州?二模）已知二次函數(shù)），=加-4"+0中部分工和丁的值如下表所示：

X0.100.110.12().130.14

y-5.6-3.1-1.50.91.8

則方程加_4ar+c=0的一個較大的根的范圍是（）

A.0.11<x<0.12B.0.12<x<0.13

C.3.87<x<3,88D.3.88<x<3.89

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象法確定一元二次方程的近似根等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思

想成為解題的關(guān)鍵.

先求得對稱軸為直線x=2,再根據(jù)表格數(shù)據(jù)得公2_4如+c=O的較小的根的范圍為最后根

據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性即可解答.

【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可得：

■:函數(shù)ar-4ar+c=0的對稱軸為直線x=--=2,

2a

當(dāng)x=0.12時，y=-1.5<0；當(dāng)工=0.13時，y=0,9>0；

**?ax2-4or+c=0的較小的根的范圍為0.12vxv0.13,

/.延2—4。%+。=0的較大的根的范圍是3.87<x<3.88.

故選：C.

2.（2025.安徽淮南?三模）已知二次函數(shù)，，-g2+c與正比例函數(shù)>的圖象如圖所示，則函數(shù)

）,=依2+版+c的圖象大致為（）

【分析?】本題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合，正確讀懂的函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

由已知函數(shù)圖象，判斷出4>0，/2>0,<?<0,即可得函數(shù)+Z?x+c的圖象方向和對稱軸，再求出與

函數(shù)圖象與X軸的交點的橫坐標(biāo)，即叫解得.

【詳解】解：由己知函數(shù)圖象得，?>（）,/?>（）,c<0,

，函數(shù)y=a爐+以+。的圖象開口向上，-3<。，

2a

即其圖象的對稱軸直線1=-二在）'軸的左側(cè).

2a

???二次函數(shù)y=aF+c與止比例函數(shù)y=法的圖象交點的橫坐標(biāo)為/〃，〃，

m

???二次函數(shù)1y=ar+c與正比例函數(shù)y=-/加的圖象交點的橫坐標(biāo)為-，-〃,

，方程ax2+c=-bx的兩根為一加，-〃，

J^y=ax2+bx+c?的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)為一一〃.

故選B.

3.（2022?河南鄭州?一模）如圖，RtABC中，ZB4C=90°.A8=4C=2,點。是射線AB上的動點（點

。不與點A、6重合），點E在線段4C的延長線上，且AD=AE.連接。E、BE,在A6的下方過點。作

平行且等于3￡.設(shè)AO=x.四邊形。產(chǎn)的面積為），，下列圖象能正確反映出y與x函數(shù)關(guān)系的是（）

\E

6

【分析］先證得四邊形。EB廣為平行四邊形，可得S國必形DEBF=2SABED，然后分兩種情況討論：當(dāng)0v<2

時，點。在線段48上；當(dāng)x>2時，點。在A8的延長線上，即可求解.

【詳解】解：DF//BE,DF=BE,

???西邊形OE8r為平行四邊形,

:?S姆邊彤DEBF=2SABED,

當(dāng)0y<2時，點。在線段上，lltWS^EBD=S^ABE-S^ADE,

XVZBAC=90°,

=-ABAE=-ABAD=xSMDE=5AD-AE=—X2,

22t

,?Spg邊形。仍尸=2(x——x2)=-x2+2x,

2

當(dāng)x>2時，點。在4B的延長線二，此時51防力=5.屣一5“跳，

SVE=/X，S.MBE=X，

?,S四邊形

綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系為:

-x2+2A(0<x<2)

X2-2X(X>2)

???在04<2上函數(shù)是一段對稱的開口向下的拋物線，在￡>2上函數(shù)是一段遞增的開口向上的拋物線.

故選：B

【點睛】本題考杳了動點問題函教的圖象，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?安徽蚌埠?三模）如圖，菱形48co中，N84O=120。，A8=2cm,0點從8點出發(fā)，以lcm/s的

速更沿Cf。運動，過。點作尸E/AD,交折線8-A-O于點E，設(shè)P點運動的時間，(s),ABEP的

面積為S(cnf),則S與/的函數(shù)關(guān)系大致為()

【分析】此題考查了二次函數(shù)與面積綜合題，根據(jù)自變量的取值范圍分別求出函數(shù)解析式，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)0<芯1時，=qt2

當(dāng)1</<2時，s=g?t忑=今

當(dāng)2<fK4時，S=i-(4-/)-2+；(/-2)=一412+2+0

4

故選：A.

X7Z

°/pC1PC

5(尸2)

5.(2025?安徽銅陵?三模)已知四邊形A4CO是菱形,點。從A出發(fā)沿邊A->￡)->(7->4運動，點。同時

8

從A出發(fā)沿邊AfBfC運動，兩點相遇時，運動停止（點P的速度大于點。的速度），△AP。的面積y與

點。運動的路程x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示.根據(jù)圖象，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.菱形的邊長是6B.點尸的速度是點。的2倍

C.菱形的高是4D.。=7.5,/?=12

【答案】D

【分析】本題考查實際問題與二次函數(shù)，一次函數(shù)與菱形的綜合問題.

當(dāng)0<x<3時，點Q在AB1：,點P在A。I：；當(dāng)3<x46時，了與工之間是一次困數(shù)的關(guān)系，且）'隨"的

增大而增大，點。在A8上，點P在OC上；當(dāng)6v*Wa時，>與工之間是?次函數(shù)的關(guān)系，且了隨上的增

大而減小，點/>,。都在8C上.分類討論，再結(jié)合函數(shù)圖象，即可解答.

【詳解】解：由題意和圖象可知，當(dāng)0cx<3時，點。在A3上，點尸在A。上，

又?..圖象過點（3,6）,

二?此時點。在A3上，AQ=3,尸與。重合.

.?.菱形的高。"=26x，2=4,

如冬1.故選項C的結(jié)論正確，

.?當(dāng)3cW6時，y與X之間是一次函數(shù)的關(guān)系，且5隨X的增大而增大，

.??點。在人B上，點P在OC上，此時，△APQ的邊AQ的高不變，

如空2.當(dāng)時，》與x之間是一次函數(shù)的關(guān)系，且）'隨x的增大而減小，

.?點、P，。都在6c上，

如圖3.綜上，菱形的邊長為6,點P到達(dá)點。時，點。正好到達(dá)點8,即點，的速度是點Q的2倍,

???選項A,B的結(jié)論正確.

^=1x6x4=12,當(dāng)x時，點兒。相遇，

2

.,."+2<7=6x4,解得a=8,

?二選項D是錯誤的.

故選D.

6.（2025?安徽合肥?三模）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點，若二次函

數(shù)股產(chǎn)7+。（c為常數(shù)）在-2<x<4的圖象上存在兩個二倍點，則。的取值范圍是（）

A.-10<c<-B.-2<c<-

44

C.-4<c<-

4

【答案】D

【分析】本題考杳二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.由點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點在首線y=2x匕

由-2<x<4可得二倍點所在線段AB的端點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段交點求解.

【詳解】解：由題意可得二倍點所在直線為），=2》，

把x=-2代入y=2x得：y=T,

把％=4代入y=2x得：y=8,

可設(shè)點A（-2,T）,8（4,8）,如圖，

聯(lián)立得：2x=%2-x+c，I'Px2-3x+c=0?

???在-2<匯<4的圖象上存在兩個二倍點,

AA=9-4c>0.

?c<2

4

此時直線x=-2和直線x=4與拋物線交點在點A,B卜.方時，拋物線與線段AB有兩個交點,

把工=2代入y=x~xIc得：y=c+6,

10

fi!!x=4代入y=/—x+c得：y=c+12,

c+6>-4

解得：c>T,

c+12>8

-4<c<一.

4

故選：D

7.（2025?安徽銅陵?二模）如圖，在矩形ABC7）中，AB=6cm,AD=12cm,E為矩形AKC。的邊人。上

一點，OE=4cm,點P從點8U；發(fā)沿折線A-E-。運動到點￡）停止，點。從點8出發(fā)沿BC運動到點C

停止，它們的運動速度都是lcm/s,現(xiàn)P,Q兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為x（s）,V8PQ的面積為yen?,

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象、銳角三角函數(shù).先求得跖

的長，再分0工/<10、10WYI2、12Vdi4三種情況，分別求得對應(yīng)的《與，的函數(shù)關(guān)系時,進(jìn)而利用二

次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象特點逐項判斷即可.

【詳解】解：在矩形ABC。中，AB=CD=6cm,AD=\2cm,4OV8C,點打在A。上，且AE=12-4=8cm,

則在直角一ABE中，根據(jù)勾股定理得到BE=ylAB2+AE2=,8?+6?=10cm，

①當(dāng)UW/vlO,即力、尸在線段座上，力、Q在線段8C時，過點〃作出」8c于卜,

:,ZAEB=/PBF,

sin?PBFsin?AEB—則PF=BPsinNPB尸,

BE55

此時，該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線在第一象限的部分；

②當(dāng)104Y12,即點P在線段DE上，點。在線段8c上時，此時y==Jx/x6=3],此時該函

數(shù)到象是直線的一部分；

③當(dāng)12<Y14,即點尸在線段OE上，點。在點C時，VBPQ的面積V創(chuàng)26=36cm2,此時該三角形

面積保持不變；

綜上所述，選項D正確.

故選：D.

8.（2025?安徽合肥?三模）如圖，菱形ABCO中，ZBAD=120°^B=2cm,P點從8點出發(fā),以kvn/s的

速度沿6—C-。運動，過P點作包1工〃），交折線8-4一。于點E,設(shè)尸點運動的時間/（s）,ABEP的

12

【答案】A

【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)，的取值范圍分別求出函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的圖象

求解.

【詳解】解：過A作AHJ.BC于，，

在菱形ABC。中，ZBAD=\20°,AB=2cm,

BC=CD=AB=2cm,ZABC=^）°=ZACD,

AH=>/3cm，

當(dāng)?！创〞r，S*g與為二次函數(shù)，圖象為開口向上的拋物線,

當(dāng)1＜，＜2時，5=；.人也=與,為一次函數(shù)，圖象為線段，呈上升趨勢；

當(dāng)2＜/K4時，如圖2所示：延長EP交8c的延長線于凡

則：CP=（/-2）cm,CF=cm^FP=~~~jcm，

AS=1-（4-r）-2+；（32）=_**+爭+百，

此時S為二次函數(shù)，圖象為開口向下的拋物線，

故選：A.

9.（2025?安徽安慶?一模）如圖，正方形A3CO邊長為6,點E是AB邊的中點，點尸在A。上，且AE=4,

動點尸從點E沿環(huán)、產(chǎn)。運動到點。，過點。作PQL8C于點。，作PRJ_C。于點/?,記點戶運動的路

程為1,四邊形PQCR的面積為了，則）'關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

【分析】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的變化列出函數(shù)解析式.

結(jié)合原圖形上動點在不同的線段上運動得到不同的關(guān)系式,再根據(jù)不同的關(guān)系式得到不同的圖象，最后結(jié)

合所給選項進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：

At_______Fp

如圖，延長線段臚交A8于點G,則PG_LAB

14

GEP^.AEF

GEGPEP

'AE-AT-EF

AE=3AB=3.Af=4，由勾股定理得，

EF=yjAE2+AF2=5

'-G-E-=-G--P=—x

345

34

:.GE=-x,GP=-x

55

34

PQ=GB=^x+3fPR=GR-GP=6--x

???尸(|]+3)(6-￥卜-*2+2]8,(0<X<5),該區(qū)間解析式為二次函數(shù)，圖象為拋物線，開口

向下；

當(dāng)時，y=6x[2-(x-5)]=-6x+42,該區(qū)間解析式為一次函數(shù)，N隨4的增大而減??；

故選：A.

10.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數(shù))，=〃/+2(〃?+1b+3的圖象上有四個點：

A(a,p),B(b,〃),C(c,q),￡>(</,q),其中〃<4,則下列結(jié)激一定不正確的是()

A.若〃?>1,則4+〃+c+d<0B.若〃?>1,則dva<0vc

C.若〃?<一1,則〃+b+c+dvOD.若則

【答案】D

【分析】本題考杳了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸，不等式的性質(zhì)，正確掌握

相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先求出對稱軸，再根據(jù)帆>1或相<-1來判斷出對稱軸在“軸的負(fù)半軸，再結(jié)

合拋物線上對稱的兩點表示出對稱軸，結(jié)合開口方向進(jìn)行分析，即可作答.

【詳解】解：，?,尸后+2(m+l)x+3,

???對稱軸為直線x=_2(帆+1)=士1,

2min

當(dāng)機(jī)>1時，則一“7-1<0,

此時對稱軸在x軸的負(fù)半軸，拋物線的開口方向向上,

???越靠近對稱軸的4所對應(yīng)的函數(shù)值越小，

VA（?,p）,B（b,p）,C（c,q）,D（d,q）,

工點A與點8關(guān)于對稱軸對稱，點C與點。關(guān)于對稱軸對稱,

.a+b八c+d八

..------<0,-------<0,

22

.a+bc+d八

..-----+------<0,

22

UPa+b+c+d<0,故A選項不符合題意;

越靠近對稱軸的x所對應(yīng)的函數(shù)值越小,

d<a<b<c^id<b<a<c^ic<b<a<ds^c<a<b<d,

故B選項不符合題意;

當(dāng)加V-1時,則0v-m-1,

「?上<0,

m

此時對稱軸在x軸的負(fù)半軸，拋物線的開口方向向卜,

???越靠近對稱軸的工所對應(yīng)的函數(shù)值越大,

p）,8（ap）,C（c,q）,D（d,q）,

工點A與點3關(guān)于對稱軸對稱，點C與點。關(guān)于對稱軸對稱,

.a+bc+d_

..-----<0n,-------<0,

22

.a+bc+d八

?------+------<0,

22

即a+Z?+c+dvO,故C選項不符合題意;

,:p<q,越靠近對稱軸的工所對應(yīng)的函數(shù)值越大,

a<d<c<b^i.a<c<d<b^Lb<c<d<a^b<d<c<a,

故D選項符合題意；

故選：D.

II.（2025?安徽合肥?一模）如圖，等邊三角形和正方形的邊長均為。，點從C,D,七在同一直線上，點

C與點。重合.△ABC以每秒1個單位長度的速度沿BE向右勻速運動.當(dāng)點。與點石重合時停止運動.設(shè)

△A8C的運動時間為f秒，△ABC與正方形。EFG重疊部分的面積為S,則下列圖象中，能表示S與，的

函數(shù)關(guān)系的圖象大致是

16

【分析1分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示OWiv2G時重疊的面積，與當(dāng)26W—6時的重疊面

【詳解】:△ABC是邊長為a的等邊三角形,

ABC的高為a-sin60°=—a,

2

當(dāng)點A沿BE運動到GD邊上時，運動了

4

-4

2--

因為以每秒1個單位長度的速度運動,-2

1

故可分兩種情況：

①當(dāng)o?t<5時，

S=y-t-t-tan60°=yt2x7J=-y-t2,為開口向上的二次函數(shù)；

②當(dāng)卷q工。時，

S=SAABC-^-(a-t)(a-1)tan600=^--a--a-—a2+>/3at--12=--12+at--a2,為開口向下的

2222224

二次函數(shù)；

則可判斷C正確.

【點睛】此題主要考查二次函數(shù)應(yīng)用.

12.（2025?安徽合肥?一模）如圖I,在：A8C。中，連接AC,乙4C8=90。，tanZBAC=-,動點M從點

A出發(fā)，沿A4邊勻速運動.運動到點3停止.過點M作MNJ.AC交CO邊于點N,連接AN,CM.設(shè)

AN+CM=y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，函數(shù)圖象最低點坐標(biāo)為（）

A.（2,5）B.（技2石）C.（2,4）D.（65）

【答案】B

【分析】延長。4至4，使A4'=/M，連接AM,連接AC交A8于/W,當(dāng)4、M,C三點共線時，

AM+CM最小，即4N+CM最小，當(dāng)M運動到M'時，AN+CM最小，由圖2得當(dāng)x=O時，），=6,此

時M與A重合，N與。重合，結(jié)合平行四邊形的判定方法及性質(zhì)和勾股定理，即可求解.

【詳解】解：延長OA至A,使/W=D4,連接AM，連接4c交

A'

ZACB=90°,

:.MN〃BC,

川邊形是平行四邊形,

..AD//BC,

AB//CD,

AD=BC,

MN//AD//BC,

???科邊形AMNZ）是平行四邊形,

18

:.MN=AD,

：,M=MN=BC.

???四邊形AA'MN是平行四邊形，

：.AM=ANt

AA//MN,

.?.44'〃AC,

.?."AC=900,

四邊形A4BC是矩形，

A'M'=AM'=CM'」A4,

2

當(dāng)A'、例、C三點共線時，AM十CM最小,

即AN+CM最小，

.?.當(dāng)M運動到AT時，AN+CM最小，

由組2得：當(dāng)x=0時，y=6,

此時“與A重合，N與。重合，

:.AD+AC=6,

BC+AC=6,

VanZBAC=—,

2

HC1

——=—,

AC2

:.AC=2BC,

BC+2BC=6,

:.BC=2,AC=4,

:.AB=ylAC2+BC2

=742+22

=2不，

4AT=CW=石，

當(dāng)％=百時,

y=A'M'+CM'

=26,

?.?函數(shù)圖象最低點坐標(biāo)為（右，26）,

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，線段和最小值的典型問題，平行四邊形的判定及性質(zhì)，矩形的判定

及性質(zhì)，勾股定理，正切函數(shù)等；掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，能熟練利用勾股定

理求解及找到取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?安徽合肥?一模）如圖，在RIA48C中，AC=8C=4,點。、E分別為ACAB的中點，點p從

。點向A點運動，點Q在DE上，且QQ=。。，連接C。，過點Q作Q尸交48于點凡設(shè)點P運動

【分析】過點尸作RV1BC于點N,延長橋交的延長線于點M,利用矩形的判定與性質(zhì)可得

MN=CD=2；設(shè)ME=M/=〃z,利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得加，進(jìn)而求得NF,M/的長，利用

S卬"=5梯形8E8—SC%—SQEF—S8CF求得）'與X之間關(guān)系，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和*的取值范圍解答即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點F作FNLBC于點N,延長N/交OE的延長線于點M,如圖,

A夕點。、上分別為A。，A8的中點，AC=BC=4,

R

N

20

:.DE=-BC=2DE//BC,

2t

FNA.BC,

:.MNLDE,

ZACB=90°,

，四邊形CDMN為矩形，

：.MN=CD=-AC=2.

2

AC=BC=4,ZACB=90°,

AZB=45°.

FNA.BC,

:"NFB=45°,

:"EFM=/NFB=45。.

ZMEF為等腰直角三角形,

:.ME=MF.

設(shè)腔=例尸="7，

由迦意得：PD=x，則AP=2—x,

DQ=DP,

DQ=x,

二.QE=DE-DQ=2-x.

QF1CQ,

:.乙DQC+4MQF=W0,

/DQC+/DCQ=90。,

/.乙DCQ=/MQF.

/CDQ=NQMF=90。,

\..DCQ^MQF,

CDMQ

"~DQ~~MF'

，一2=-w-?+--2----x,

xin

解得：〃?=x,

/.MF=x.

:.FN=MN-MF=2-x.

SCQF=S梯形C0E8-SCDQ~QE尸一BCF，

\y=-(DE+BC)?CD,酉七ODQ?，酉眨EMF-NF

2222

=-x(2+4)x2-x2x--xx(2-x)-—x4(2-x)

2222

=6-.r-.r+—.r2-4+2.r

2

，拋物線的開口方向向上，頂點為（（）,2）

由題意：x的取值范圍為：0WxW2,

???當(dāng)X=o時，y=2,當(dāng)x=2時，y=4,

???y與X的函數(shù)圖象是以點（0,2）和（2,4）為端點的拋物線），=：/+2上的一部分，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了動點問題函數(shù)的圖象，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位

線定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得y與x之間函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?遼寧?中考真題）如圖，NM4N=60。，在射線AM,4V上分別截取AC=A8=6,連接灰?，/MAN

的平分線交4c于點。，點E為線段AB上的動點，作所_L4W交AM于點F,作EG〃AM交射線AO于

點G,過點G作GA/J.AM于點M點E沿A4方向運動，當(dāng)點石與點B重合時停止運動.設(shè)點E運動的

路程為x,四邊形EFHG與VA3c重置部分的面積為S,則能大致反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

22

【分析】分三種情況分別求出S與工的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的類型與其圖象的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：VZAWV=60°,AC=AB=6,

???VA8。是山長為6的正三角形,

???AO平分NM4N,

???NM4D=ZA640=30°,AD±BC,CD=DB=3,

①當(dāng)矩形EFGH全部在VABC之中，即由圖1到圖2,此時0vx?3,

圖1圖2

,：EG!fAC,

???NM4Z)=ZAGE=30o,

???NMM>=NAGE=3(T,

JAE=EG=x,

在Rt_AE/中，ZE4F=60°,

?,?“Er=6——“AE=x——/3x，

22

?$_62

??S=—x；

2

②如圖3時，當(dāng)AE+A/=GE+4b=A/+b=AC,

則x+-x=6,解得x=4,

2

圖3圖4

如圖4,記8C,EG的交點為。，則△EQB是正三角形,

EQ=EB=BQ=6-x,

??.GQ=x-(6-x)=2x-6,而ZPQG=60°,

：,PG=y/3QG=y/3(2x-6),

S=S矩形EFHG-SPQC

~~^X2-^X(2X-6)X>/3(2X-6)

=--X2+12>/3X-18X/3,

2

③如圖6時，x=6,由圖3到圖6,止匕時

圖5圖6

如組5,同理△EK8是正三角形，

:,EK=KB=EB=6-x,FC=AC-AF=6--x,EF=—x,

22

S=5梯形

24

-￡---X

922

苧2+3氐,

因此三段函數(shù)的都是二次函數(shù)關(guān)系，其中第1段是開口向上，第2段、第3段是開口向下的拋物線,

故選：A.

【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，求出各種情況下S與二的函數(shù)關(guān)系式是正確解答的前提，理解各

種函數(shù)所對應(yīng)的圖象的形狀是解決問題的關(guān)鍵.

15.（2025?安徽合肥?一模）如圖，拋物線），=-；/+云+c與4軸交于點4㈠⑼，^（4,0）,與），軸交于

點C,連接8C,若點，為線段上的動點（與8,C不重合），作射線交拋物線于點。，在點的運

動過程黑的最大值為（

)

AP

A.-B.D.不存在

5202

【答案】A

【分析】首先求出拋物線表達(dá)式，連接Q2,得到點。的坐標(biāo)，利用5800=5。8+5。廝-5。8°得出43。。

的面積,證明,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得隼"襄,根據(jù)三角形的面積，可

得。〃=貴，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】解：???拋物線A（T,O）,B（4,O）,可得:

0=一■--/>+6?

2

0=一~-x16+4Z?+c

2

解得：2,

c-1

???拋物線的解析式為：y=-g/+|x+2

令x=o,則y=2,

，點C的坐標(biāo)為(0,2)；

連接如，

設(shè)點。的橫坐標(biāo)為加，

Q("1,——m"+5/71+2),

??—v+q—v

,?"BCQ~(K'QOHQ"OBC

JIJI23八1一

22I22)2

=-nr+4m?

如紹，過點Q作Q〃~L8C于〃，

“c=J42+22=而,AB=5,

滿足AC2+8C2=AB2,

/.Z4CB=9(F,

又??NQ〃C=9()o=ZACB,NAPC=/QPH,

.."PCsZ\QP〃,

.絲=絲=絲

一AP-AC一向

SBCQ=^BCxQH=y/5QH,

.@=窄，

x/5

，絲=軍=2」(一川+4川*2T.

AP加55V)

26

???當(dāng)m=2時，罷存在最大值之.

AP5

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積求法，待定系數(shù)法，

勾投定理，綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題時要注意數(shù)形結(jié)合.

16.（2025?安徽合肥?一模）如圖，已知菱形的邊長為3,點E從點A處出發(fā)，以每秒1個單位長度

的速度，順著菱形的邊順時例運動一周儲_>3-。A）后停止，設(shè)V為點石運動/秒后ZMOE的面

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得AB=BC=CZ）=4）=3,OA=OC,NBAO=NBCO=/DAO=/DCO,

ZAOB=ZCOD=ZAOD=Z.COB=90°,過點七作AC的垂線，垂足為點M，設(shè)

ZBAO=ZLBCO=Z.DAO=ZDCO=a,根據(jù)三角函數(shù)可得AO=ABCOSNR4O=3COSQ=OC,結(jié)合點上走

的路程為L在分別分析0q<3,3<r<6,6</<9,93W12四種情況時，>關(guān)于，的函數(shù)的大致圖象，

即可求解.

【詳解】解：???四邊形A3C。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=3,OA=OC,ZBAO=ZBCO=ZDAO=ZDCO,

ZAOB=NCOD=ZAOD=4coB=90。，

過點E作4c的垂線，垂足為點M,設(shè)/840=NBC0=ND40=NOC0=a,如圖所示:

,/AAOB=Z.COD=AAOD=NCOB=90。，ABAO=NBCO=ZDAO=NDCO=a

AO=ABcosZBAO=3cosa=OC

???點E從點A處出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度,

，點E走的路程為/，

當(dāng)0±<3時，點E在48上運動，AE=t,

EM=AEsina=tsina

OA*EM3cosa?/sincr3cosa?sina

：?y-^,AOE-

222

cosa?sina>0

???當(dāng)04，<3時，y關(guān)J”的函數(shù)的圖象大致為上升的直線;

當(dāng)33<6時，點E在打。上運動，CE=6T,

EM=CEsina=(6-1)sina

OAEM_3costz^6-/)sina_3cosa?sina,+6cosalina

?,y二sA0￡

2222

*.*cosa*sina>0

???當(dāng)3K/<6時，），關(guān)于「的函數(shù)的圖象大致為下降的直線;

同理可得，當(dāng)6KZV9時，y關(guān)于/的函數(shù)的圖象大致為上升的直線；當(dāng)9qW12時，y關(guān)于/的函數(shù)的圖

象大致為下降的直線;

故選：A.

【點睛】本題考杳的是動點圖象問題，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計算、三角函數(shù)，菱形的性質(zhì)，此類問

題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解.

二、填空題

17.（2025?安徽合肥?二模）羽毛球發(fā)球時，球被擊出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分.建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系只力，擊球點〃到球網(wǎng)AA的水平距離緲=L5m.某次發(fā)球后，擊出的羽毛球的飛

28

行高度），（單位：m）與水平距離X（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離

01234

x/m

豎直高度

1.11.61.921.9

y!m

根據(jù)上述信息，回答下列問題:

、J：m

o\15234567^

（i）羽毛球飛行的最大高度為m；

（2）已知球網(wǎng)人“的高度是1.55m,接球一方在球過網(wǎng)后且高度不低于1.6m時，可以采用“平抽”技術(shù)將球

快速擊打過網(wǎng)，若球發(fā)出后水平向前的速度是20m/s,接球者在球過網(wǎng)后可以用“平抽”技術(shù)的時長為

s.（“平抽”技術(shù)：快速平直的回球，球的飛行軌跡低平，速度快.）

【答案】20.175

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟知二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

（I）當(dāng)文=2和當(dāng)x=4時的函數(shù)值相同，則對稱軸為直線x=3,據(jù)此可得答案；

<2）根據(jù)對稱性可得當(dāng)人?-5時的函數(shù)值為1.6,則在羽毛球過網(wǎng)之后到匯-5這個過程都可以“平抽”技術(shù)，

據(jù)比根據(jù)時間等于路程除以速度即可得到答案.

【詳解】解：（1）由題意得，當(dāng)x=2和當(dāng)x=4時的函數(shù)值相同，

，對稱軸為直線x=3,

???拋物線開口向下，

，在對稱軸處函數(shù)有最大值，即此時羽毛球在飛行過程中有最大高度，即2m；

故答案為：2；

（2）???對稱軸為直線x=3,

???當(dāng)x=l和x=5時的函數(shù)值相同，即當(dāng)工=5時的函數(shù)值為1.6,

V1.55<1.6,

???在羽毛球過網(wǎng)之后到x=5這個過程都可以“平抽”技術(shù)，

???接球者在球過網(wǎng)后可以用“平推”技術(shù)的時長為技*=0.175s,

故答案為：0.175.

18,（2025?安徽合肥?一模）已知拋物線y=為與-3（。/0）.

（I）當(dāng)。=1時，拋物線的頂點坐標(biāo)為；

（2）點A（3a,y）,8（〃,%）為拋物線上兩點，若3<〃<4,總有y<必，則”的取值范圍是.

【答案】（IT）0<c"l或心-4

【分析】（1）配方成頂點式求解即可；

（2）首先求出對稱軸為直線“=-率=4,然后分兩種情況討論：當(dāng)。>0時，當(dāng)avO時，然后根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，y=x2-2x-3=（%-1）"-4

工幗物線的頂點坐標(biāo)為（LT）

故答案為：（LY）；

（2）???拋物線），=0￥2-勿2X一3（4=0）

???對稱軸為直線4=-次=4

2a

當(dāng)。>0時，拋物線開口向I:

.?.r>〃時，,，隨工的增大而增大

???點8（”,/）為拋物線上兩點，若3<〃<4,總有y<%，

???3a<3

當(dāng)。<0時，拋物線開口向下

?'xva時，y隨x的增大而增大；時，y隨x的增大而減??；

??,點A（法yj,6（%%）為拋物線上兩點，若3<〃<4,總有））<必，

a-3a>4-a

：.a<-4

綜上所述，。的取值范圍是0<。《1或

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將一般式配方成頂點式，解題的關(guān)健是掌握二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì).

30

19.（2025?安徽合肥?一模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)一半的點，則把該函數(shù)稱為“半

值函數(shù)”，該點稱為“半值點”.例如：“半值函數(shù)"y=》+i,其“半值點”為

Q

（I）函數(shù)的圖象上的“半值點''是.

X

（2）若關(guān)于X的函數(shù)y=++￡的圖象上存在唯一的“半值點”，且當(dāng)-14〃?勺時，〃的最小

值為k,則k的值為.

【答案】（4,2）和（~4,一2）0或檸叵

【分析】本題主要考查二次函數(shù)與反比例的函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

（I）設(shè)函數(shù)y=0的圖象上的“半值點”的坐標(biāo)是則可求出。=±4,然后問題可求解；

Xk2）

（2）由題意易得:x—A++則有〃=（加_",然后可分當(dāng)-1<女<1時，當(dāng)Av—1時，當(dāng)

2>1時，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的最值問題可進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)y=±的圖象上的“半值點”的坐標(biāo)是。，彳，則有：

a仆

a.一=8,

2

解得：±4,

Q

???兩數(shù)y的圖象上的“半值點”的坐標(biāo)是（4,2）和（T-2）,

.1

故答案為（4,2）和（T,-2）；

（2）由題意得：；彳=/+；x+p

整理得：x2+（/w-A:）x+-=0,

2flA

△=（〃?一女）~-4x—=0,即n=^fn-k）~,

此時可看作是〃與m成二次函數(shù)關(guān)系，

即當(dāng)7〃=%時，〃有最小值，

???當(dāng)T<A<1時，則〃的最小值為0,即攵=0,符合題意；

當(dāng)&<-1時，此時〃隨〃，的增大而增大，

.?.當(dāng)m=T時，〃有最小值上即（T-Z）2=A,（此時方程無解）:

當(dāng)Q1時，此