17.5反證法冀教版（2024）初中數學八年級上冊同步練習

分數：120分考試時間：120分鐘命題人：

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.“在ZL4BC中，ZA和乙8的對邊分別是a和b.若乙4>48,則a〉b”.用反證法證明時，應假設（）

A.a<bB.a&匕C.a=bD.ab

2.用反證法證明命題”如果在鈍角△ABC^AA=乙B,那么〃<45。”時，應先假設（）

A.LA>45°B.5>45°C.Z/1工乙BD.工45°

3.用反證法證明命題”在同一平面內，若直線Q_Lc,b_Lc,貝ija〃b”時，應假設（）

A.Q〃CB.a與b不平行C.b//cD.a1b

4.川反證法證明"三角形中至少有一個角不小于60?！保瑧撓葢卦O這個三角形中（）

A.沒有一個內角小十60°B,每一個內角小于60°

C.至多有一個內角不小于60。D.每一個內角都大于60。

5.用反證法證明命題”在△/I8C中，若48*BC,則乙1*乙C”時，首先應假設（）

A.LA=Z.CB.AB=BCC.乙B=Z.CD.Z.A=乙B

6.用反證法證明”等腰三角形的底角是銳角”，應該假設（）

A.底角是直角B.底角是鈍角C.底角是直角或鈍角D.底角是銳角

7.用反證法證明“一個三角形中至多有一個內角為鈍角”時，應作出的假設是（）

A.一個三角形中有兩個內角為鈍角B.一個三角形中三個內角都是鈍角

C.一個三角形中至少有一個內角為鈍角D.一個三角形中至少有兩個內角為鈍角

8.用反證法證明命題“若Q_LC,blc,則?！╞”時，第一步應假設（）

A.Q不垂直于cB.a平行于匕C.a不平行于bD.匕不垂直于c

9.下列說法正確的是（）

A.等腰三角形的高、中線、角平分線重合

B.”若a>b,則/>必，，的逆命題是真命題

C.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，且這一點到三條邊的距離相等

D.用反證法證明"三角形中必有一個角不大于60?！?，先假設這個三角形中每一個內角都大于60。

10.“趙爽弦圖”是第24屆國際數學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方圖--------2

注入趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）A、/

A.分析法人、Z

B.相似法IZ_____

C.反證法

D.等面積法

11.要判斷命題“若Q>b，則。2〉/”是錯誤的，可以舉一個反例.下列反例中符合要求的是（）

A.a=2,b=-1B.a=-1,b=-2

C.a=2,b=1D.a=-1,/?=0

12.下列命題中真命題是（）

A.用反證法證明命題”在三角形中，至少有一個內角大于或等于60?！睍r候，第一步應假設“三角形中有

一個內角小于60?！?/p>

B.三角形三個內角平分線交點到三角形三邊的距離相等

C.等腰三角形的高線、角平分線、中線重合

D.三角形的外角等于它的兩個內角之和

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.用反證法證明“任意三角形的三個外角中至多有一個直角”時，應假設

14.用反證法證明命題：“如果a,b是整數，且ab能被5整除，那么a,b中至少有一個能被S整除”時，應

假設.

15.牛頓曾說過：“反證法是數學家最精良的武器之一”用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個角

是直角”時，應先假設______.

16.已知在△ABC中，AB=AC,求證：乙8<90。.下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：

①:.41++乙C>180°,這與三角形內角和為180。矛盾.

②因此假設不成立.」?乙8<90。.

③假設在△48。中，Z.B>90°.

④由AB=4C,得48=4。290°,^z.B+ZC>180°.

這四個步驟正確的順序應是.（填序號）

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

用反證法證明：如果在△A8C中，ZC=90°,那么中至少有一個角不大于45".

18.（本小題8分）

已知：直線Qlb,直線c與b相交，月.c與b不垂直.用反證法證明：a與c相交.

19.（本小題8分）

如圖，己知乙氏直線CE交線段DA的延長線于點M,按下列步驟完成證明：CE>CB.

步驟一、

假設CE=CB,則ZB=______(______)

vZ.DAB=乙B,

Z.DAB=

_____//

這與_________矛盾,

即CE不等于CB.

步驟二、（請自己寫出后面的證明過程）

20.（本小題8分）

用兩個三邊分別為a,b,c的直角三角形和?個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形.

（1）求證：a2+b2=c2.

（2）是否存在一個直角三角形，在直角邊a長度不變的基礎上，它的斜邊c與另一條直角邊b都增加相同的長

度，所得三角形仍是一個直角三角形？請說明理由.

21.（本小題8分）

用反證法證明”同旁內角不互補的兩條直線不平行”（填空）

己知：如圖，直線a,b被直線c所截，乙1+42180°.

求證：直線。與

證明：假設所求證的結論不成立，即Q4

則，1+匕2______1800（______）

這與______矛盾，故不成立.

所以

22.（本小題8分）

用反證法證明：在△A8C中，若M,N分別是邊A8,4。上的點，則8N,CM不能互相平分.

已知：在△力8c中，M,N分別是邊48,4C上的點.求證：BN,CM不能互相平分.

23.（本小題8分）

設%b,c是不全相等的任意實數，若％=。2-兒，y=b2-ca,z=c?—ab.求證：x,y,z中至少有一

個大于零.

24.（本小題8分）

如圖，如果直線48,CZ）被直線EF所截，￡尸分別交48,CO于點。，。'，力8〃CD.請用反證法求證：

/FOR=/EO'D.

25.（本小題8分）

用兩個三邊分別為Q，b,c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形.

b

ba

(1)求證：a2+b2=c2.

(2)是否存在一個直角三角形，在直角邊a長度不變的基礎上，它的斜邊c與另一條直角邊b都增加相同的長

度，所得三角形仍是一個直角三角形？請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的是反證法的應用，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經

過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確.

根據反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立解答即可;

【解答】

解：反證法證明，“在中，乙4、對邊是a、b,若乙4>則Q>匕.”，

應假設a<b,

故選：B.

2.【答案】A

【解析】解：用反證法證明命題“如果在鈍角△A8c中乙4=乙5,那么4AV45?！睍r，應先假設乙AN

45，

故選：A.

反證法的第一步是假設原命題的結論不成立，在選項中找出對應的假設即可.

本題主要考查/反證法，熟記反正法的步驟是解題關鍵.

3.【答案】B

H針斤】略

4.【答案】B

【解析】解：設三角形的三個角分別為：Q,b,C.

假設，a<60°,b<60°,c<60°,

則a+b+cV60。+60。+60°,

即，a+匕+c<180。與三角形內的和定理a+b+c=180。矛盾.

所以假設不成立，即三角形中至少有一個角不小于60。.

故選8.

由題意先假設三角形的三個角都小于60。，然后推出不成立.得出選項.

此題考查的知識點是反證法，解答此題的關鍵是由已知三角形中至少有一個角不小于60。假設都小于60。進

行論證.

5.【答案】A

【解析】解：用反證法證明命題“在△48C中，若AB于BC,則乙4H/C”時，首先應假設乙4=/C.

故選:A.

根據反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反而成立解答即可.

本題考查了反證法.

6.【答案】C

【解析】略

7.【答案】D

【解析】解：證明“一個三角形中至多有一個內角為鈍角”，應假設：一個三角形中至少有兩個內角為鈍

角.

故選：0.

8.【答案】C.

【解析】解：用反證法證明命題“若Q_LC,blc,則“那"時，第一步應假設Q不平行于b,

故選：C.

反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，a〃。的反面是a不平行于b.

本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設結論不成立時要注意考慮結論的反

面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

9.【答案】D

【解析】略

10.【答案】D

【解析】解：如圖，

1

4

2X-

由題意得,c2-(b-a)2a/?

整理得。2+/)2=。2,

.??他所用的方法是等面積法,

故選：D.

根據大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個直角三角形的面積，即可證明勾股定理.

本題考查了勾股定理的證明，正確進行計算是解題關鍵.

11.【答案】B

【解析】解：4、且2?>(-1)2,滿足命題，不符合題意；

B.v-l>-2,且(一1)2=1<(-2)2=4,不滿足命題，符合題意；

C.v2>l,且22>了,滿足命題，不符合題意；

D.v-l<0,且(一1)2>。2,不符合題意；

故選:B.

12.【答案】B

【解析】解：根據反證法的概念，三角形三個內角平分線交點的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的

概念逐項判斷如下：

八、用反訐法訐明命撅”在三角形中，至少有一個內角大干或等干60?！睍r候，第一步應假設“三角形的三

個內角都小于60?！?，故人選項是假命題，不符合題意；

8、三角形三個內角平分線交點到三角形三邊的距離相等，故8選項是真命題，符合題意；

C、等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線重合，故C選項是假命題，不符合題意；

。、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，故。選項是假命題，不符合題意：

故選：B.

根據反證法的概念，三角形三個內角平分線交點的性質，等腰二角形的性質，三角形外角的概念逐項判斷

即可.

本題考查了命題，反證法的概念，三角形三個內角平分線交點的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的

概念，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

13.【答案】△ABC的三個外角中至少有兩個直角

【解析】證明：假設A/IBC的三個外角中至少有兩個直角，

則AABC的三個內角中至少有兩個直角，不妨設乙3=乙。=90",

所以180°,

這與三角形內角和等于180。相矛盾，

所以任意三角形的三個外角中至多有一個直角.

故答案為：△4BC的三個外角中至少有兩個直角.

根據反證法的一般步驟、三角形內角和定理解答.

本題考查的是反證法的應用，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經

過推理論證，得出矛盾：③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確.

14.【答案】a,8都不能被5整除

【解^5]略

15.【答案】一個三角形中有兩個角是直角

【解析】解：根據反證法的步驟：第一步是假設結論不成立，應先假設一個三角形中有兩個角是直角，

故答案為：一個三角形中有兩個角是直角.

根據反證法的步驟：第一步是假設結論不成立，反面成立解答即可.

本題主要考查了反證法的應用，解題的關鍵在于能夠熟練掌握反證法的步驟.

16.【答案】③④①②

【解析】解:③假設在中，ZF>90°.

@A]AB=AC,得=之90。即NF+NCN180。.

①+48+4C>180°,這與三角形內角和為180。矛盾.

②因此假設不成立.90。.

故答案為：③④①②.

本題主要考查反證法，掌握反證法的步驟是解題的關鍵.

根據反證法的證明步驟判斷即可.

17.【答案】見解析.

【解析】證明：假設44>45。，LB>45°,

:.Z.A+Z.B>90°.

?.,N4+NB+ZC=180°,

zC<90°,與乙。=90。矛盾，

???假設不成立.

J.如果在A/WC中，ZLC=90n,那么乙4,乙3中至少有個角不大丁45c.

利用三角形的內角和及反證法即可求解.

本題考查了反證法，三角形內角和，解答本題的關鍵是熟練掌握反證法的一般步驟是：①假設命題的結論

不成立；②從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的

結論正確.

18.【答案】已知：直線Q_Lb,直線c與b相交，且c與b不垂直.

求證：a與c相交.

證明：假設a與c不相交，g|Ja//c,

??,alb,a〃c,

???b上c,

這與已知直線c與b不垂直相矛盾，

假設a與c不相交不成立，

???a與c相交.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

19.【答案】步驟一、假設CE=CB,則"="E8（等邊對等隹）

v/.DAB=乙B,

:.Z.DAB=乙CEB

DA//CE,

議與直線CE交ZM的延長線于點M矛盾，

即CE不等于CB.

步驟二、

假設CEVCB,則NBVNCEB,

vZ.DAB=Z.B,

Z.DAB<乙CEB

乙CEB=Z.AEM,

:.Z.DAB<Z.AEM

與￡048=+乙4EM矛盾

即CE不小于CB.

M

【解析】本題考查反證法，平行線的判定與性質，假設CE=CB,得出NB=NCE%再證明得出

DA//CE,這與直線CE交D4的延長線于點M矛盾，即CE不等于C8.假設CEVCB,則zB<得出

乙DAB<Z-AEM,與乙DAB=zM4-々4EM矛盾，口RCE不〃、于C8.

20.【答案】(1)證明：?.?整個圖形的面積=*a+b)?+b),整個圖形的面積=：abx2+gc2,

:.1(a+b)(Q+b)=^abx2+1c2,即(a+b)(a+b)=2ab+c2,

整理，得。2+匕2=。2；

(2)解：不存在.

理由如卜：(反證法)假定存在，且它的斜邊C與另一條直角邊力都增加“(%。0),

則G?+(2?+X)2=(C+X)2,

即a2+b2+2bx+x2=c2+2cx+x2,

???a2+d2=c2,

:.2bx=2cx,

XH0,

???b=c,

這與斜邊大于直角邊矛盾，

.??假設不成立，

故不存在.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

21.【答案】H不平行〃=兩直線平行，同旁內角互補+42,180°a//bQ與b不平行

【解析】已知：如圖，直線a,b被直線c所截，21+42H180。.

求證：直線a與b不平行.

證明:假設a〃從

則/I+42=180。(兩直線平行，同旁內角互補).

這與N1+乙2Hl80。矛盾.，故a〃匕，不成立.

所以a與b不平行.

故答案為：羊，不平行，〃，=，兩直線平行，同旁內角互補；乙1+匕2工180。，a//b,。與b不平行.

直接利用反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛

盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確.

此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的一般步驟是解題關鋌.

22.【答案