微重點(diǎn)8數(shù)列的遞推關(guān)系

數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可

直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)歹J,再

利用公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用.

考點(diǎn)一構(gòu)造輔助數(shù)列

例1(1)已知數(shù)列｛痣｝滿足0=1,3%+|=2知斯+i(〃￡N")，則下列結(jié)論不正確的是()

A.eq為等比數(shù)列

B.B”｝的通項(xiàng)公式為-

C.｛%｝為遞增數(shù)列

D.eq的前〃項(xiàng)和T?=3"-n-1

答案C

解析因?yàn)?3dn+12aM〃+],

兩邊同除以a,tClnI1,

I3

可得一一=3十2,

a,計(jì)1On

所以士+1=30+)

又;+1=2WO,

所以｛2+1｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故A正確；

所以7+1=2X3"),即x?-]T?

所以｛斯｝為遞減數(shù)列，故B正確，C不正確；

所以十=2X3"＞一1,｛曰的前〃項(xiàng)和為

7'?=(2X30-l)+(2X3,-l)4--+(2X3fl-,-l)

=2X(30+3l-|--+3,,_,)-n

I-3”

=2義丁彳一〃=3"一〃一1,故D正確.

I-3

(2)(2022?呂梁模擬)已知S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，且8=1,a“+i+斯=3義2〃，則Soo等于()

A.2,(x)-3B.2KX,-2

C.2⑼-3D.2,0|-2

答案D

解析由小“+?！?3><2"得,

小+i—2'm=一（斯—2"）.

又0-21=—1,

所以｛斯一2"｝是首項(xiàng)為一1,公比為一1的等比數(shù)列，所以小一2〃=(一1)。

即知=2葉(一1廠,

所以5100=2'+22+-+299+2,00+(-1)+(-1)2+???+(-1)"+(-I)100

=2Gp+o=2ioi_2

規(guī)律方法(1)若數(shù)列｛?。凉M足小+i=〃a“+q(〃W0,l,9W0),構(gòu)造a〃+i+7=p(a〃+2).

(2)若數(shù)列｛斯｝滿足4“+]=/w〃+y(〃)(pW0/)，構(gòu)造a“+i+g(〃+l)=p[a〃+g(〃)].

跟蹤演練1(1)在數(shù)列｛〃”｝中,m=3,〃+2(八22,〃eN),若3>980,則打的最

小值是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析因?yàn)樗?2斯-1-〃+2(〃22,〃EN"),

所以an—n=2\an-\~(n~l)l(n^2,〃￡N").

因?yàn)?=3,所以切一1=2,

所以數(shù)列｛/一〃)是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則如一”=2〃，即仇=2"+〃，

rt_,

因?yàn)閍n—an-\=2+1>0,

所以數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，

因?yàn)榈?521<980,.0=1034>980,

所以滿足斯>980的n的最小值是10.

(2)(2022?重慶質(zhì)檢)已知數(shù)列｛斯｝滿足6=0,。*+1=。2〃+：，〈⑵+2=。2”+1一占(〃￡1<),則數(shù)

歹打如)的第2022項(xiàng)為()

A.cqB.cqC.cqD.cq

答案C

解析a2n\2=ain\I\.

=儂+（一即道N*），

所以S022—?2020+J0I0-]011，

11

。2020=。2018升I（X）91010'

44=。2+1~y

累加得

+，，，+

?2o22=^+(i-5+54Toio-ToTT)

_^ioip

=o"+I1ion=ioir

考點(diǎn)二利用斯與s”的關(guān)系

例2已知5〃是數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和，?i=3,且當(dāng)〃22時(shí)，S”，等，S〃T成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

9?9

(2)設(shè)數(shù)列｛九｝滿足兒=1一煮若歷歷…也產(chǎn)珠，求正整數(shù)〃的值.

t<nI/O

解(1)方法一由題意知當(dāng)時(shí)，

S“+S〃-尸〃斯，

；?S”+S”-i=〃(S”一

*JE/X〃+1

整理得S”=―;S”T,

n-1

+412433

〃

〃

1^〃z-/-

￡?XxXX--

-42-3-42T2

z〃

-*1-〃

3

經(jīng)檢臉，5i=3也符合S”=/(〃2+〃).

???當(dāng)〃三2時(shí)，un=Sn-Sn-i

33

=5(1+〃)一5〔(〃-1)2+(〃-1)]=3〃.

乙乙

=

〃1=3也滿足alt3n,

，數(shù)列｛融｝的通項(xiàng)公式為斯=3〃.

方法二由題意知當(dāng)〃22時(shí)，S“+S〃T=〃m,

*,?當(dāng)〃23時(shí)，S〃-1+S”-2=(〃-1)4LI,

兩式相減得〃“+〃”_[=〃〃”—(n—I)〃“_I(〃23),

即(〃一1)斯=〃。"-1,

.a?a-\

,?〃-n〃-釁3)，

，當(dāng)〃23時(shí)，佛為常數(shù)列，

又由S?+Si=2a2得02=6,

同理可得s=9,

（2）（2022?濟(jì)寧模擬）己知正項(xiàng)數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”，若2斯S〃=l+屈，兒=log2弋，數(shù)列

｛5｝的前〃項(xiàng)和為Tn，則滿足7；^3的〃的最小正整數(shù)的值為.

答案10

解析因?yàn)??！?"=1+晶，。戶0,當(dāng)〃=1時(shí)，2als1=1+。?,解得Si=l,

當(dāng)〃22時(shí)，a“=Sn-SnT，即2（S〃一Si）S〃=l+（S〃-Si）2,

整理得求一S1|=1,所以數(shù)列（S3是首項(xiàng)為儀=1,公差為1的等差數(shù)列，

所以忌=l+（〃-l）Xl=〃，又正項(xiàng)數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S”所以S“=5，

由。23,即二一1+1082（〃+1）（〃+2）］23,化簡整理得后+3〃-12620,

當(dāng)〃=9時(shí)，92+3X9—126=—18<0,當(dāng)八=10時(shí)，102+3X10—126=4>0,

所以滿足的〃的最小正整數(shù)的值為10.

專題強(qiáng)化練

1.（2022?哈爾濱模擬）已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為10,且2如+1+如=3,則滿足不等式|斯一1|〈春

的〃的最小正整數(shù)的值為（）

A.9B.1（）C.IID.12

答案D

31

-

解析由2a〃+i+a”=3,2?小

所以數(shù)列｛冊一1｝是以9為首項(xiàng)，一3為公比的等比數(shù)列,

所以斯一1=9X（—所以|斯一1|〈春，即為9x（一/卜<春,

即9乂(;｝一七*，即2"r>1125,〃￡N",所以〃212.

2.已知數(shù)列｛〃”｝滿足〃%+1=(〃+1)斯+2(〃￡柏，且0=1,則42023等于()

A.6065B.6067

C.4044D.4043

答案B

解析因?yàn)椤?1=(〃+1)斯+2,

gr［、］+1_&J2

所以〃+|一〃+〃(〃+1)，

即署.華=2(1系)

即“”=3〃-2,當(dāng)〃=1時(shí)也成立，

則。2023=6067.

3.（2022.焦作模擬）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和*=（一1）%+/（〃￡N‘），則Sioo等于（）

A.—yrooB.0C.eqD.eq

答案B

解析由題意知S］（＞2=aio2+亦L

所以5102-^102=5101—yi02?

.I

XSioi=—〃ioi十^TUT,

所以。101=初夜，

故Sioo=Sioi—0oi=O.

4.（2022?衡陽模擬）已知數(shù)列｛〃”｝滿足〃尸號2斯+L?0+I=1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

II

A.。2=勺

B.數(shù)列上士|為等差數(shù)列

c.小的最小值為:

D.斯的最大值為3

答案C

解析由2斯+1—?浦”+1=1,

得知+|=士?

所以11_?一一]_2_I___J_=1L

a”+i—1an—\I]an—\an—\an—\'a\—\2'

2—a”

故數(shù)列為以學(xué)為首項(xiàng)，―1為公差的等差數(shù)列，則一4=￥+(〃一”(一i)=?一〃,

I?！?乙斯—1z2

故詼=l+yj?—,。2=募，數(shù)列｛斯｝的最小值為47=-1,最大值為46=3.

~2~n

5.(2022?洛陽模擬)若數(shù)列｛4｝和｛仇｝滿足m=2,2=0,2al+i=3a〃+兒+2%”+1=4〃+3”,一2,

貝0。2023+5023=.

答案22023

解析因?yàn)?a”+i=3?！?兒+2,2b”+i=a”+3b”-2,

所以2a?4-14-2bn+!=3a?4-4-2+r/n4-3h?—2=4(?,f4-h?),即an+1+bll+)=1(cin+bn),

又0+濟(jì)=2,

所以｛斯+6｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

所以an+bn=2t

所以C12023+bl023=22023.

6.(2022?河南省重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知數(shù)列｛3｝中，斯：”=士,則滿足〃”＞焉;的

a〃〃十幺?！?]n~r11vuv

n的最大值為.

答案5

解析根據(jù)題意，

(〃+1)斯—2(〃+l)a”+]=a〃+2a〃+i,

?！?1〃

化簡得

瓦-=2(〃+2)，

所以京n—1

=2(〃+1)，

an-\n-2

?！?2-2〃

7=2X3("N2)，

運(yùn)用累乘法計(jì)算得

aHn—1n—2〃-32、，1

a\2(〃+1)2〃202-1)2X42X3

=2〃-2.〃(〃+1)522),

且?i=4?

所以""=2"?/2(〃+1)‘〃22,ai=W符合該式，

當(dāng)“”>1(；()0時(shí),2"團(tuán)(〃+1)<1000,

當(dāng)〃=5時(shí)，2"?小〃十1)=950<1000,

當(dāng)〃=6時(shí)，2"(〃+1)=2688>1000,

所以滿足條件的〃的最大值為5.

7.(2022?邯鄲模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足桂科

⑴證明：數(shù)歹膽辿為等比數(shù)歹小

un

(2)己知bn=an(an+l1),求數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S”.

⑴證明