專題4.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

三（題型目錄

題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率

題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算

題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）

題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題

題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題

題型七已知切線（斜率）求參數(shù)

題型八兩切線的平行、垂直問題

題型九公切線問題

才典例集練

題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率

例1.（北京市第十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試題）下圖是函數(shù)

y=/（x）的圖象，函數(shù)/（“在區(qū)間［T［］，［1,3］上的平均變化率分別為犯，加2,則叫，叫

D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)平均變化率定義直接計(jì)算即可.

2-114-2

【詳解】由題可知，=.,.=~>-=h

1一（一1）z3-1

所以叫V嗎.

故選：B

例2.(福建省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)優(yōu)生“筑夢”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)某鐵球在0C時(shí)，半

徑為1dm.當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會發(fā)生變化，且當(dāng)溫

度為時(shí)鐵球的半徑為(l+s)dm,其中。為常數(shù)，則在/=0時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變

化率為()

4

A.0B.叫C.-iuiD.4jta

3

【答案】D

47r,1

【分析】根據(jù)題意，由球的體積公式可得v=］(i+〃y,求導(dǎo)即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，當(dāng)溫度為fC時(shí)，鐵球的半徑為(l+")dm,

其體積V=與(l+m)3,求導(dǎo)可得■號x3a(l+a￡)2=4w(l+af)2,

當(dāng)f=0時(shí)，7=4必，所以在f=()時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為4磔.

故選:D

舉一反三

練習(xí)1.(2023春?江西?高二校聯(lián)考期中)某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程)，

與時(shí)間/的函數(shù)圖象如圖.記該車在時(shí)間段在川，上山］，匕，小上的平均速度的大

D.%

【答案】C

【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點(diǎn)求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過兩點(diǎn)所對應(yīng)直線的斜

率，結(jié)合圖形即可求解..

【詳解】由題意知,汽車在時(shí)間也㈤局出］息，。］，植，3的平均速度大小分別為不三?，

設(shè)路程)，與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為=/(/),

則i。,即為經(jīng)過點(diǎn)苗,/&)),WJW))的直線的斜率勺，

d‘2一1

同理互為經(jīng)過點(diǎn)W，/(幻),(小八4))的直線的斜率A，

v3為經(jīng)過點(diǎn)&，/6）），&，/&））的直線的斜率占，

E為經(jīng)過點(diǎn)a,/&））,&，/&））的直線的斜率燈,如圖,

練習(xí)2.（2023春?貴州?高三校聯(lián)考期中）函數(shù)/（力=源+1在區(qū)間［1,5］上的平均變化率為

（）

A.2B.6C.12D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，結(jié)合函數(shù)/（力的解析式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，可得函數(shù)/（6=2/+1在區(qū)間［1,5］的平均變化率為：

/（5）-/（1）_（2X52+1）-（2X12+I）_

-----------------------------------------------------------------1Z.

5-14

故選：C.

練習(xí)3.（2023春?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)笫一中學(xué)?？计谥校狎娴捏w溫與陽光照射的

關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系式：/。）=送170+15,其中7（/）為蜥蜴的體溫（單位：°C）,l為太

陽落山后的時(shí)間（單位：min）.

（1）求V（10）,并解釋其實(shí)際意義；

⑵蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-ioc/min時(shí)的時(shí)刻/是多少（精確到0.01）?

【答案】（DrOOjn-V，實(shí)際意義見解析；

（2）5.95min.

【分析】（I）求出了（，）的導(dǎo)數(shù)，代入x=10可求r（10）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋其實(shí)際意

義；

（2）求解了'⑺=T即可.

7,小-1207仆門\-1208

【詳解】⑴/⑺;而廣則丁（⑼二e二一后

Q

表示太陽落山后lOmin.蜥蜴的體溫下降的速度為-2℃/min.

,-120

(2)令「")=(-5'=7’解得，=2而一5a2x5.477一5。5.95,

故蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-l℃/min時(shí)的時(shí)刻是5.95min.

練習(xí)4.（2023春?內(nèi)蒙占呼倫貝爾?高一校考開學(xué)考試）如圖，從上端口往一高為”的水缸

勻速注入水，水注滿所用時(shí)間為力若當(dāng)水深為〃時(shí)，水注入所用時(shí)間為3則函數(shù)〃=/"）的

【分析】將容器看做?個(gè)球體，根據(jù)一的實(shí)際意義求解.

【詳解】將容器看做一個(gè)球體，在剛開始注水時(shí)，由于球體的截面枳較小，對于相同的4時(shí)

間，

高度M的變化較大，即當(dāng)較大，即函數(shù)萬。）的導(dǎo)數(shù)值較大，到水注入球體的一半

時(shí)，由F球體的截面積較大，力。）的變化率較小，接近于球體的頂端時(shí)，//（0的變化率又

較大；

故選：D.

練習(xí)5.（2023春?浙江杭州?高三杭州四中?？计谥校┤粜∏蜃杂陕潴w的運(yùn)動方程為

5（/）=1^2（g為常數(shù)），該小球在/=1到1=3的平均速度為】在1=2的瞬時(shí)速度為與，

則G和％的大小關(guān)系為G叱（填或"="）

【答案】=

【分析】根據(jù)給定條件，利用平均速度和瞬時(shí)速度的意義，求出3和匕即可作答.

【詳解】小球自由落體的運(yùn)動方程為S（/）=；g，2,求導(dǎo)得$（）二/,

1手」[2

則小球在/=1到/=3的平均速度-5（3）-5（1）28%一5g

v=--------------=------------=--------=29

3-12

在f=2的瞬時(shí)速度v2=s<2）=2g,

所以v=%.

故答案為：=

題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算

例3.（江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知/'（1）=3,

則（三㈤二/⑴,=（）

刈->°M

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義式以及極限的性質(zhì)可求答案.

【詳解】"0+3”⑴川而川+3”?⑴

ATTOAtAv->03Ax

故選：D.

例4.若/（X）在/處可導(dǎo)，則r（不）可以等于（）.

Am"工）一/（/一刈B/ixn+Av）-/（^-21v）

z-*°&丫&T°

At

clim.1+2）—/（$_&）D.1加/&+8）/"。一2最）

A.0AV,goM

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對各選項(xiàng)逐一分析計(jì)算并判斷得出結(jié)果.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義廣（*=0/（"°+.卜”劉）,

/（%）一/（為一人）—⑼

對于A,/‘（%）感BA滿足;

七一（七一曲）心-M)Ar

/(X)+Ax)-/(Xo-Ax)_Hm+")一/(/一八')

對于B,小。）=㈣

(斗)-Ar)Ar-M)2Ax

小。戶蛔小L"B不滿足;

/(G+2Ay)-〃Xo-Ar)〃$+2加:)-/(/-3

對于C,小。）=馳=lim

Ai-?O

+2Ax)-(x0-Ar)3Ar

r(/)f四〃Xo+2Ax)-/(%-Ax),C不滿足;

Ar

/(%+Ar)_/(為_2At)=Hm7(%+a)一■/'(%-2M

對于D,/(^)=nm

(七+?)-(/-2?)A—。3Ar

〃…>/(x°3,口不滿足.

//(x)=-lim

Jv073&10Ax

故選:A.

舉一反三

練習(xí)6.(2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)='+l,則

x

1.m/(l-3Ar)-/(l)=()

A—o入y

A.3B.—C.-D.0

33

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解.

【詳解】因?yàn)閘im~~~-，(~~-—311tn――~~~~~，=一3/'(1)，

心->o?Ar->o-3Ar

因?yàn)?'0)二—二，所以八1)=一1，所以一3八1)=3,

x~

故選:A.

練習(xí)7.(2023春?四川達(dá)州?高三?？计谥?已知函數(shù)/(x)=lnx,則lim"V)/⑶

z2x-2

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義及求導(dǎo)公式求出答案.

【詳解】由題意知/'("=‘，lim""一''?)=］即/僅+加卜/⑶=尸⑵」.

v7

-x-2x-2…Ar2

故答案為：\

練習(xí)8.(2023高三課時(shí)練習(xí))如圖，函數(shù))，=/(另的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是丁=-％+8,

則出3、(53)一"5—')=()

AKTOAt

y

【答案】D

【分析】依題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線方程得到/'(5)=-1,利用導(dǎo)數(shù)的概念解出即可.

【詳解】依題意可知切點(diǎn)?(5,3),

?.?函數(shù)丁=/(力的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是y=r+8,

???廣⑸一匕即啊/(5+詞-45)―

"5+Ar)-45-At)"5+Ai)-45-Ar)

lim=2lim

Z>0Ax2At

/(5+^)-/(5-Av)〃5+At)-〃5)_]

Xvlim=lim

Av-?02AtAt

,所“5+四一"5…)=2lim絲上匕竺2勺)

Ar->0ZA?-?02AX

BPlim/(^Ar)-/(5-Av)=_2

Ar_*OA1V

故選：D.

練習(xí)9.(2023春?山東商涔高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(i)在尸-1處可導(dǎo)，且附-1)=-3,

/(-1+Ar)

則lim)

3Av

A.-3B.-IC.1D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得/'(-1)=哂］(止生務(wù)止?)=-3,再根據(jù)極限的性質(zhì)計(jì)

算可得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/⑺在戶-1處可導(dǎo)，且費(fèi)-1)=3

所以/'(—l)=lim

Av

\_

所以limx(—3)=1.

13A.V31叫M,3

故選：C

練習(xí)10.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：］而-2&+2-sin（2x）

()

A.0B.cos2xC.2coso:D.2cos2x

【答案】D

【分析】變換得到lim包迎*包儂=2(sin2x)',計(jì)算得到答案.

2。h

【詳解】設(shè)/(x)=sin(2x)

貝Ihm------------------------=hm-------」=f(x)=(sin2x)=2cos2x.

故選：D.

題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

例5.（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）函

數(shù)/（x）=2'+s欣的導(dǎo)函數(shù)為（）

A.尸(x)=2'-cosxB./X.v)=2vln2-cosA-

C.f\x）=21+cosxD.f'（x）=2'ln2+co&r

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解作答.

【詳解】函數(shù)/（X）=2'+sinx,求導(dǎo)得/（r）=2'In2+cosx.

故選：D

例6.（黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）求下列已

知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

⑴/(另=3'/

5

⑵/(x)=(-x+5)^

(3)/(x)=cos2x-sin2x

In(3A)

⑷/'")=

2x+l

【答案】(l)3'ln3+2x

5-

(2)--(-x+5)3

(3)-2sin2.r

2A+1-2xln(3x)

x(2x+\)2

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可逐一求解.

【詳解】(1)/(x)=3Tln3+2x

(2)(力=|(-+5戶(r+5y=—|(r+5)：

(3)/*(x)=2cosx(cosA)-2sin.v(sinx)=-2sinxcosx-2sinxcosx=-2sin2x

(4)“；(2x+l)-21n(3x)_2x+1-2.vln(3x)

f(%)―(2X+1)2-x(2x+l)2-

舉一反三

練習(xí)11.（2023春?江西?高三校聯(lián)考期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

COSX

⑴y=-

sinx-cosx

⑵

1

【答案】⑴一7…。s/f

⑵(4/+V，1

【分析】（1）利用商的求導(dǎo)法則可得答案;

（2）利用積的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得答案.

,-sinx(sinx-cosx)-(cosx+sinx)cos.v

【詳解】⑴y=一(若岸——sinx-cosx)'

(2)/=e2?+,+x(2.r2+1/c2?+,=(4x2+l)e2?+,

練習(xí)12.（2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的

是（）

A.(cosx)=sinxB.(2')=2X

11

C.(log")D.

xln3

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式判斷各項(xiàng)正誤即可.

1

【詳解】由(cosx)'=-sin》，(2、j=2"n2，(log34

看（J"x

所以A、B、D錯，C對.

故選：C

練習(xí)13.（2023春?貴州遵義?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ln（2x）+r⑴，則/（；）=

【答案】1

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，即M得/'⑴=1,于是力「得函數(shù)解析式，從而口「求解的值.

【詳解】已知函數(shù)〃x）=in（2x）+r（i）,貝ijr"）=；x2=,，所以r0）=i

則/（x）=ln（2.r）+l,故/性）=In1+1=1.

故答案為：1.

練習(xí)14.（2023春?黑龍江哈爾濱?高三哈九中?？计谥校ǘ噙x）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯誤的是（）

A.=1+金B(yǎng).［（%+3）［=3（%+3-

X）X

C.（3'）=31iu-D.（x&sx）=-2xsiiu-

【答案】ACD

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對于A,（x+3'=卜與，故A錯誤，

IX;X

對于B,［（%+3）3］'=3a+3）2,故B正確，

對于C,（3"）=3"In3,故C錯誤，

對于D,（/cosx）=2xcosx-4?sinx，故D錯誤，

故選：ACD

練習(xí)15.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)），=lnx的導(dǎo)函數(shù)的定義域

為?

【答案】（0，*）

【分析】確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)定義域得到答案.

【詳解】y=lnx,函數(shù)定義域?yàn)椋?,+司，/=-,導(dǎo)函數(shù)需滿足XW0,

X

綜上所述：導(dǎo)函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）.

故答案為：（。,+8）.

題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）

例7.（山東省河澤市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）正弦曲線尸si中+總在

點(diǎn)（S'留處的切線斜率是（）

A.--B.JC.—且D.—

2222

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率.

【詳解】對函數(shù)y=sin［+3）求導(dǎo)得y'=cos1+3），

所以，正弦曲線'二4］|\+3］在點(diǎn)處的切線斜率是2=以^（!+!］="

V6；^62J16612

故選：B.

例8.（江蘇省無錫市四校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（%）與

g（x）的部分圖象如圖所示，則（）

B.o<r(-i)<^(-i)

C.八-1)<0</(-1)D.r(3)>g'(3)

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接判斷.

【詳解】由圖可知,/（X）與g（力在區(qū)間［-1,3］上單調(diào)遞增，所以g'（-l）＞0,r（-l）＞0.

在區(qū)間［1,3］上,g（力的圖象比“X）的圖象更陡峭,衣以r（T）〈g'（-i）,r⑶＜g'（3）.

故選：B.

舉一反三

練習(xí)16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，/'（K）是函數(shù)/（X）的

導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）

A.2/(3)</(5)-/(3)<2/(5)B.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

C.〃5)寸⑶<2〃3)<2/(5)D.2r(3)<2./⑸</(5)-〃3)

【答案】A

【分析】由），=/（"圖象的變化趨勢，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有廣⑶＜"5/一?3）＜/數(shù)）,

5—3

即可得結(jié)果.

【詳解】由圖知：,（3）＜￡-（（3）55）,即2/'（3）〈/⑸-/（3）＜2八5）.

5—3

故選：A.

練習(xí)17.（2023春“1|東淄博?高三沂源縣第一中學(xué)?？计谥校┤糁本€），=心+〃與曲線

y=hix+L相切，則攵的取值范圍是（)

x

（J-]1

A.B.[4,+oo）C.[<同D.二，+8

4

【答案】A

【分析[根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即可求解.

1、411

詳解

2-,4-4-

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，

4

故選：A

練習(xí)18.（2023春?江西?高三校聯(lián)考期中）己知函數(shù)/（同的導(dǎo)函數(shù)為/'（八），/（*）的圖象如

圖所示，則（）

y

A.B.r（w）＞r（不）＞r6）

c./'（&）＞/'（毛）＞/'（%）D./'（內(nèi)）＞/'（玉）＞/'（毛）

【答案】B

【分析】根據(jù)己知條件作出切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率的定義即可求解.

【詳解】依次作出函數(shù)〃”在公私七處的切線，如圖所示

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，/'（9）＞/'（玉）＞0＞/'（內(nèi)）.

故選：B.

練習(xí)19.（2。23秋.江蘇鹽城侑三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)P是曲線廣島上

一動點(diǎn),夕為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則々的取道范圍是（）

【答案】A

【分析】求出函數(shù)尸仃的導(dǎo)數(shù)，利川均值不等式求出切線斜率的取值范圍即可計(jì)算作

答.

【詳解】函數(shù)尸號的定義域是R,求導(dǎo)得：函數(shù)六篇'而

[4?

則曲線在點(diǎn)P（/,No）acR）處的切線的斜率一（ez+1）2

當(dāng)且僅當(dāng)3=」，即e'=l4-ef

，=0時(shí)取“=”，而>0,

e?+1）2

兀

于是得0＜tanaW1,又0《。＜兀，因此，。＜。4一，

4

所以a的取值范圍是（。，；.

故選：A

練習(xí)20.（2023春?四川德陽?高三德陽五中?？茧A段練習(xí)）若曲線/（x）=lnx+：在工=1處

的切線的傾斜角為。，則7-*2",二（）

5cos~a-sirra

A.!B.-C.—D.—

2442

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出tana=-l,然后利用二倍角公式及弦切互化計(jì)算即可.

91o_9

【詳解】因?yàn)?（x）=lnx+g所以廣（"=!—彳=r,,所以攵=.。=/（）=一1,

X.\X.X

2sinacosa

一…sinla2sinacosac22tana1

所以----；------；—=------------；—=----Jr"n，"_；—=---------=—

'5cos2a-sin2a5cos2a-sin2a5cos2?-sin2a5-tan2a2'

cos2a

故選：D

題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題

例9.（遼寧省錦州市遼西育明高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）曲線

y=在點(diǎn)x=4處的切線方程為（）

A.x-2y=0B.x-4y+4=0C.2x-y-6=0D.x-4y+12=0

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后由點(diǎn)斜式求出切線方程即可.

【詳解】），=?,y=裊,曲線），=正在點(diǎn)（42）處的切線方程為

）一2三*」4）,

即x-4y+4=0.

故選：B.

例10.（四川省成都市蓉城高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年而三下期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知

/（x）=xlnx,則曲線），=〃x）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程為（）

A.x-y-1=0B.x-y-2=0

C.x+y-1=0D.x+y-2=0

【答案】A

【分析】求導(dǎo)，得到廣⑴即切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程.

【詳解】?.?ra)=lnx+l..?/⑴=1,即切線的斜率為1，又/(1)=(),切線方程為

3，.-0=1(%-1),即x-y-]=O.

故選：A

舉一反三

練習(xí)21.(2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)已知/(x)=lnx,則

曲線y=/(x)在點(diǎn)(eJ(e)1處的切線方程為()

A.y=-xB.y=x

e

C.y=x+lD.y=-x--

ee

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何含義求出切線的斜率及切點(diǎn)，寫出切線方程.

【詳解】已知/(x)=lnx,=L'??/'(e)=』=3

xe

又/(e)=l,???切線過(e,l),

???所求切線為y-l='(x-e),即

ee

故選：A.

練習(xí)22.(2023春?江蘇無錫?高三江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)

/(x)=lnx+x7'(l),則f(x)在(1J⑴)處的切線方程為.

【答案】二T

【分析】直接求導(dǎo)得/'("=—+2/(1口，代入x=l則可解出r(1)=一1,則得到函數(shù)方程，

則求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線方程.

【詳解】f'(x)=：+2/⑴”，令*=1,尸(1)=1+2,⑴，解得了'⑴=一1,

則/(力=1117,則則〃力在(1J(D)處的切線方程為=即

故答案為：y=-x.

練習(xí)23.(2023?陜西榆林統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=/一b"(〃￡陰，若/(x)的圖象

在4=0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,則。=()

A.；B.2C.±2D.土)

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積

列式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?'(x)=2x+w,所以r(0)=〃.

因?yàn)椤?)=-1，所以的圖象在x=0處的切線方程為y=a?l.

因?yàn)榍芯€與坐標(biāo)軸能圍成三角形，所以。工0，

令x=0,得了=-1,令y=o,得x=J,

所以撲1|.卜,所以…今

故選：D

練習(xí)24.(2023?江西上饒校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃6=犬-211在點(diǎn)(1J(1))處的切

線方程為.

【答案】＞?=1

【分析】根據(jù)/(*)求出切點(diǎn)的坐標(biāo),由f(x)得出/(*)在該點(diǎn)處切線的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式即

可寫出切線方程.

【詳解】由/(幻得/(l)=r-2lnl=l,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

ra)=2x，,ra/w=2xi--=o,

A1

所以/*)在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為0,

所以/⑶在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-l=0x(x-l),即y=l,

故答案為：y=L

練習(xí)25.(2023.浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=cosx-sinx的圖象在點(diǎn)仁處的

切線方程為.

【答案】x+y+l-^=0

【分析】求出/fg]、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.

【詳解】因?yàn)?(x)=cosx-sinx,則r(x)=-sinx-cosx,所以，/圖=一匕/圖―,

所以，函數(shù)/(x)=8sx-sinx的圖象在點(diǎn)(],/*(]))處的切線方程為丁+1=-。-]].

7T

故答案為：x+y+l——=0.

題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題

例11.（天津市南開大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三卜學(xué)期階段檢測數(shù)學(xué)試題）曲線

X

過點(diǎn)AQ0）的切線方程為.

【答案】4x+y-4=0

（?）

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為工,一（不。0），表示出切線方程，由切線過點(diǎn)A（l,0）,代

Ixo7

入求出/，再代入即可.

【詳解】因?yàn)閥=L所以：/=-4，設(shè)切點(diǎn)為（凡一］（"0）,則力『1=一4?，

A

XXyxnJo

所以切線方程為）=一!（47。），又切線過點(diǎn)41,0），

耳）“0

所以°一;二一3（1一%），解得用=:，

所以切線方程為）」2=-41-9即4x+y-4=0.

故答案為：4.r+y-4=0

例12.已知經(jīng)過點(diǎn)（-2,2）的兩條直線卜6均與曲線丁二丁+，〃相切，若直線4的方程為J=2,

則，〃的值為,直線A的方程為

【答案】227x-y+56=0

【分析】本題是求過一點(diǎn)的切線方程問題，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函

數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，從而列出方程，進(jìn)而可求解.

【詳解】設(shè)直線與曲線了=丁+機(jī)相切于點(diǎn)（%.%）.

即3號安

因?yàn)椋?=3月,又由題意得切線的斜率太=）（小

由直線4：y=2的斜率為0,得3片=石+：；2的一個(gè)解為得

,0+/

所以，〃的值為2,故3x：=—J解得另一個(gè)解為為=-3,

$+2

則此時(shí)為=-25,〃=27,故直線〃的方程為y+25=27(x+3),即27x-)，+56=0.

故答案為：2：27A-y+56=0.

舉一反三

練習(xí)26.（2023?全國?模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線），=（x+2）e'的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

【答案】-1+6或-1-#

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（%,打），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將（0,0）代入，即可求得

本題答案.

【詳解】由y=（x+2）e'可得y'=（x+3）e',設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（玉,為），

所以切線斜率k=（為+3）螃，又因?yàn)?=（小+2）e",

則切線方程為）」K+2）e"=（毛+3）e*>（x-x0）,

把（0,0）代入并整理可得*+2/-2=0,解得%=T+后或飛=T-".

故答案為：-1+或-1-V5

練習(xí)27.（2023春?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知曲線/（x）=2x'-3x,

過點(diǎn)（0。）作曲線的切線，則切線方程.

【答案】>'=-3A-

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（%,2￡-3X。），求出切線方程，代入點(diǎn)（0,0）求出國，從而可得切線

方程

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（玉,24-3M），

由"x）=2f—3x,得門與）=6片一3,

所以曲線/（力在點(diǎn)（%,2E-3.%）處的切線方程為）-（2￡-3天）=（6￡-3）（工-小）.

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)。0）,所以一2片+3/=（6*一3）（一?。獾?％=（）.

所以切線方程為y=-3x.

故答案為:y=-3x.

練習(xí)28.（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測）過％軸上?點(diǎn)P（/,0）作曲線c：），=（x+3）e'的切

線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)/的一個(gè)可能值為.

【答案】-4.-5,-6,只需寫出一個(gè)答案即可

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（%,（/+3）八），利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，代入一點(diǎn)P90）,關(guān)于小的方程

沒有實(shí)數(shù)解，由判別式解不等式求整數(shù)，的值.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為&,（與+3）e。），因?yàn)椋?=（x+4）e，，所以切線方程為

）T%+3）e"=（飛+4）叫了-%）.

因?yàn)榍芯€/經(jīng)過點(diǎn)P,所以一（七+3）*=5+4）十。-七），

由題意關(guān)于,%的方程%-〃-3）七-4-3=0沒有實(shí)數(shù)解，

則△=?—3月+4（4/+3）<0,解得一7</<—3.

因?yàn)?，為整?shù)，所以,的取值可能是-6,-5,-4.

故答案為：-4,-5,-6,只需寫出一個(gè)答案即可

練習(xí)29.（2023春?江西?高三校聯(lián)考期中）（多選）過點(diǎn)P（l,2）且與曲線y=〃x）=2爐相切

的直線的方程為（）

A.6x+y-8=0B.6x-y-4=0C.3x-2v+1=0D.3x+2y-7=0

【答案】BC

【分析】設(shè)過點(diǎn)P（l,2）的切線與曲線y=4x）相切廣點(diǎn)A（%,2￡）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求

出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)尸（1,2）求出.%,即可得解.

【詳解】設(shè)過點(diǎn)夕（1,2）的切線與曲線y=相切于點(diǎn)4（工。,2片），

因?yàn)?'（X）=6.V,則曲線），="力在點(diǎn)A處的切線斜率為6x；,

所以切線方程為）」2￡=6片（x-%,

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)網(wǎng)1,2）,所以2-2%=6片（1一天），解得％=1或%=—；,

故切線方程為6x_y_4=0或3x_2），+l=0.

故選：BC.

—,x>0

練習(xí)30.（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，過點(diǎn)。（0,0）作曲線

--2>X<0

X

的切線，則切線的條數(shù)為.

【答案】1

【分析】分x>0與x<0兩種情況，設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，將0（0,0）代入，求出相應(yīng)答

案.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，/（/）=提，設(shè)切點(diǎn)為卜0，*],%>0,

其中廣（力=士與二a，

故過o（o,o）的切線方程為），-==巴生?（47。），

當(dāng)…時(shí)'小）=-7'設(shè)切點(diǎn)為卜，-記

故過。（0.0）的切線方程為），+二=，".（〃:2）,

nrtn

將。（0,0）代入，可得；:e“'?（〃；-2）,解得〃?=3＞。，不合要求，舍去;

m'm'

故答案為：I

題型七已知切線（斜率）求參數(shù)

例13.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線/（x）=，￡+sinx在點(diǎn)（0J（0））處的切線與直線

2x+y-4=。平行，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】-3

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)列式得/（0）=。+1,即可實(shí)數(shù)"的值.

【詳解】因?yàn)閒（x）=ae”+sinK,所以/'（x）=ae'+8sx,

則r（0）=a+l,則。+1=-2,解得。=—3.

故答案為：-3.

例14.（2023?重慶?統(tǒng)考三模）已知直線y=如一。與曲線），二%+且相切，則實(shí)數(shù)a=（）

3

2

【答案】C

y0=axQ-a

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得〈%=%+￡■，求解即可.

【詳解】由丁=彳+且且x不為0,得m=1一彳

y0=axn-a

設(shè)切點(diǎn)為（玉）,No），則，）'o=%）+*■

所以島一-1可得廝=一2,.\.

故選：C

舉一反三

練習(xí)31.（2023春?四川成都?高三樹德中學(xué)校考階段練工）已知曲線/（”=V-x+3在點(diǎn)P

處的切線與直線x+2y-1=0垂直，則尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【答案】±1

【分析】由題設(shè)知〃處的切線斜率為2,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求「點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【詳解】由題設(shè)在尸處的切線斜率為2,而小―,

所以/'（巧，）=3/一1=2,則3焉=3,即辱=±1.

故答案為：±1

練習(xí)32.（2023春?安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）若曲線），=/+公+8在點(diǎn)（0,

力）處的切線方程為工+丁+2=0,則（）

A.a=\,b=2B.a=\,b=—2

C.a=~\,b=2D.?=—1,〃=-2

【答案】D

【分析】由y'=2x+a可知切線的斜率為k=。，所以切線方程為y-b=〃（x-0）,又切線方

程為x+y+2=0,比較系數(shù)可得小人的值.

【詳解】因?yàn)閥'=2x+a,切點(diǎn)為（02），

所以切線的斜率為&=川內(nèi)）=〃，則切線方程為y-方=ar,^y=ax+b,

乂切線方程為X+F+2=0,即y=-x-2,

所以a=—1,/?=—2.

故選：D

練習(xí)33.（2023?廣西南寧南寧三中?？家荒＃┮阎本€）是曲線〃x）=lnx+a的切線，

則。二（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)/(幻的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=lnx-a,求導(dǎo)得/，*)=：,令直線與曲線/(x)=lnx+。相切的切

點(diǎn)為(用』n%o+〃)，

于是'=1且ln.%+a=%,所以〃=%=1.

玉)

故選：B

練習(xí)34.(2023春?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谥?(多選)已知點(diǎn)P(l,〃)不在函數(shù)/(可二，

的圖象上，且過點(diǎn)P能作兩條直線與/(.'?)的圖象相切，則〃的取值可以是()

A.^/2B.—C.0D.—1

2

【答案】AB

【分析】由題意切點(diǎn)為(公，%)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得求出切線方程，代入點(diǎn)P(l,〃)，

可得a=e“(2-x0),構(gòu)造函數(shù)g*)=c'(2-x),將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解?.

【詳解】由題意知r(x)=e',過點(diǎn)尸作直線與/(刈的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為(％,先)，

則切線斜率為e"，則切線方程為,，-尤=c"(x-x°),

將點(diǎn)P(l,a)代入，即。一泮=小(1一/)，即。=9>(2-%)，

令g(x)=ev(2-x),則gr(x)=er(l-x),

當(dāng)x<l時(shí)，g'@)>。，g(x)在(f/)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<0,g(x)在(I,”)上單調(diào)遞減，

故ga)max=g(D=e,

當(dāng)xv2時(shí)g(x)>0；當(dāng)x>2時(shí)g*)<0；g⑵=0,

作出g(x)的大致圖象如圖：

由點(diǎn)P(l,a)不在函數(shù)/(x)=e'的圖象上，且過點(diǎn)戶能作兩條直線與/")的圖象相切,

可知awe,且。=已"(2-4)有兩個(gè)解，

即ga)=e*(2-x)的圖象和有2個(gè)交點(diǎn)，故Ovave,

則a的取值可以為女,5.

故選：AB.

練習(xí)35.（2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/。）=丁-依+1,過點(diǎn)尸（2,0）存在3條

直線與曲線），=/（力相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】/（|9、

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（即〃），利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出過P（2,0）的切線方程，進(jìn)而有

2a=-2m3+6m2+1有三個(gè)不同加值，即丁=2“與g（〃?）=-2m3+6m2+1有三個(gè)不同交點(diǎn),導(dǎo)

數(shù)研究<式，〃）的極值，即可求參數(shù)范圍.

【詳解】由八%）=3/_〃，設(shè)切點(diǎn)為（，〃,〃），則切線斜率為八加）=3渥-a,

所以，過P（2,0）的切線方程為），=（3加—a）（x—2）,

2

,..[n=（3/n-a）｛