勾股定理（知識梳理+30個高頻易錯考點）

口稅考點分類目錄指引_________________________________________________________

考點講練1：用勾股定理解三角形...........................................................4

考點講練2：已知兩點坐標求兩點距離.......................................................5

考點講練3：勾股樹（數(shù)）問題..............................................................6

考點講練4：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積.............................................7

考點講練5:勾股定理與網(wǎng)格問題...........................................................7

考點講練6：勾股定理與折疊問題...........................................................8

考點講練7：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）...........................................9

考點講練8：利用勾股定理證明線段平方關(guān)系.................................................9

考點講練9：勾股定理的證明方法..........................................................11

考點講練10：以弦圖為背景的t-算題.......................................................12

考點講練11：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題.................................................13

考點講練12：勾股定理與無理數(shù)...........................................................14

考點講練13：判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形.................................................14

考點講練14：圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點.........................................15

考點講練15：在網(wǎng)格中判斷直角三角形.....................................................16

考點講練16：利用勾股定理的逆定理求解...................................................16

考點講練17：勾股定理逆定理的實際應(yīng)用...................................................17

考點講練18：勾股定理逆定理的拓展問題...................................................18

考點講練19：求梯子滑落高度［勾股定理的應(yīng)用）...........................................19

考點講練20：求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）...............................................20

考點講練21：求小鳥飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）............................................21

考點講練22：求大樹折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）.......................................22

考點講練23：解決水杯中筷子問題（勾股定理的應(yīng)用）.......................................23

考點講練24：解決航海問題（勾股定理的應(yīng)用）.............................................23

考點講練25：求河寬（勾股定理的應(yīng)用）...................................................25

考點講練26：求臺階上地毯長度（勾股定理的應(yīng)用）.........................................26

考點講練27：判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）.........................................27

考點講練28：判斷是否受臺風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）.......................................28

考點講練29：選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）....................................29

考點講練30：求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）...............................................30

nm知識梳理技巧點撥

知識點重點歸納常見易錯點

1.文字語言:

直角三角形兩直角邊。、b的平方和等于斜邊c的平方.

2.圖形語言:

注意：勾股定理的使用條

件一一必須是直角三角

形，其他三角形是不能使

勾股定理

用的!

并且要確定好哪條邊是斜

3.符號語言:邊

在中，NC=90°

a2+62=c2

方法1：方法2：勾股定理的驗證方法采用

ab拼圖的方式，基本思想都

是利用兩種不同的方式表

示同一圖形的面積，建立

勾股定理

等式，化簡之后得到

驗證方法3：方法4:Q2+/=C2

b

應(yīng)用1:求解三角形中未知邊長;

應(yīng)用2：網(wǎng)格中繪制無理數(shù)長度線段;

常見應(yīng)用應(yīng)用3：數(shù)軸上繪制無理數(shù)的點;

應(yīng)用4：解決實際問題中的長度問題;

應(yīng)用5：求解一些最值問題;

應(yīng)用6：求解一些立體幾何中的長度問題；

1.文字語言：我們習(xí)慣是用％6表示直

如果三角形的三邊長久&C,滿足〃2+/=。2,那么這個角邊，c表示孤邊，但真正

三角形是直角三角形.到習(xí)題或考試中不一

2口.圖形語言：定表示直角邊，C不一定表

示斜邊

勾股定理

例如：（a+b）（a—b）=c2

逆定理

b此時化簡后為：

a2-b2=c2

3.符號語言：即/+°2=Q2

在中，若三邊長Q*,C滿足：

所以。表示斜邊

a2+b'2=c2

.?.△4BC是直角三角形，且c對的角為直角。

C/勾股定理、222

勾股定理7a、-----------"a24-62=c2

//、勾股逆定理

與逆定理正確理解二者的關(guān)系

AN-----------

關(guān)系b__直角三角形的性質(zhì)、一

圓、____________________________1s

直角三角形的判定

1.概念：注意：a,6,。要成為勾

能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正圭數(shù)稱為勾股股數(shù)必須滿足兩個條件：

數(shù)，即中，a,b,c為正整數(shù)時，稱。，b,C條件1：滿足/+〃=/；

為一組勾股數(shù)；條件2：a,b,c必須是

勾股數(shù)2.常用勾股數(shù):如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等正整數(shù)；

3.用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：這里最易被忽略的是條件

n2-{,2n,n~+1（”之2,〃為正整數(shù)）；2,千萬要注意！

22

2n+\f2n+2n92n+2n+\（〃為正整數(shù)）

222

m-n92mnfm+?（〃】＞〃，/〃，〃為正整數(shù)）.

勾股定理1.將實際問題抽象出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；關(guān)鍵在找到直角三角形，

解決問題2.確定所求線段所在的直角三角形；設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗浚硎?/p>

(2)請問點。滿足什么條件時，AC+EC的值最小，并求出最小值:

【任務(wù)二】

由、GE+J(x—3)2+4=J(x-0)2+1+J(x—3)2+22可得代數(shù)式的幾何意義;如圖②，建立平面直

角坐標系，點P(x,0)是x軸上一點，則J(x—0)2+1可以看成點。與點A(0,l)的距離,J(x—3)2+22可以看

成點〃與點B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最

小值.

(3)求代數(shù)式J(x+1)2+9+一x)2+1的最小值.

圖①圖②

4.(24-25九年級上?河南鄭州?期中)如圖，從點M(0,3)發(fā)出一束光，經(jīng)x軸反射，過點N(6,5),則這束

光從點M到點N所經(jīng)過的路徑的長為()

A.8B.9C.10D.12.5

考點講練3:勾股樹（數(shù)）問題

5.（24-25八年級上-陜西榆林-階段練習(xí)）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.V3,"V5B.4,5,6

C.0.6,0.8,1D.9,12,15

6.（24-25八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）小明在探究勾股數(shù)的規(guī)律時關(guān)注到這樣一組勾股數(shù)：3、4、5：5、

12、13：7、24、25…他發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)數(shù)都是由一個大于1的奇數(shù)和兩個連續(xù)的止整數(shù)組成.

⑴小明根據(jù)他的發(fā)現(xiàn)寫出了這樣一組數(shù)：9、40、41,這是一組勾股數(shù)嗎，請給出證明.

（2）為了進一步探究這組勾股數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，小明設(shè)這樣的勾股數(shù)為/〃、小n+1（/〃為大于1的奇數(shù)，且

m<n）,他猜想是否可以用/〃表示出〃.若可以，請幫小明完成他的猜想，若不可以，請說明理由.

⑶當(dāng)奇數(shù)m=17時，請直接寫出這組勾股數(shù).

考點講練4：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

7.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，以內(nèi)△ABC的三力為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜

邊AB=3,求圖中陰影部分的面積.

A

8.（24-25八年級上?廣東深圳?期中）如圖，在Rt△ABC中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側(cè)作

正方形，面積分別記為SI，S2,S3,若S3+S2—S]=20,則圖中陰影部分的面積為

考點講練5:勾股定理與網(wǎng)格問題

9.（24-25八年級上?吉林長春?期中）圖①、圖②均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,

其頂點稱為格點，4ABC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保

留作圖痕跡.

(2)在圖①中，在AC上確定一點〃連接BD,使S4ABD=S^BCD；

⑶在圖②中，在△ABC內(nèi)確定一點反連接AE、BE、CE,?SAABE：SABCE：SAACE=1:1:2.

10.(24-25八年級上?江西撫州?期中)如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂

點叫做格點，△ABC的頂點在格點上.請用無刻度直尺按要求作圖：

（2）在圖2中，找一格點〃使ADJ.AC且AD=AC.

考點講練6:勾股定理與折疊問題

11.（24-25八年級下?北京?期中）如圖,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=4,D是AC的中點,E

是BC上一點，連接BD、DE.將ACDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE的長是（）

12.（24-25八年級上?江西撫州?期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,AD=4,將此長方形沿EF折

疊，使點〃與點笈重合，則AE的長度為.

考點講練7:利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

13.（24-25八年級上?陜西西安?期中）愛知中學(xué)體育組為方便學(xué)生使用體育器材，豐富課余生活，增強

身體素質(zhì)，計劃要在道路m上建立一個體育器材放置點E,同時向C,D兩棟教學(xué)樓提供器材.已知：D到道

路m的距離DA=20m,C到道路m的距離CB=10m,A,B兩地距離AB=50m.現(xiàn)要求放置點E到C、D兩棟

教學(xué)樓距離相等.

D

iC

（1）請利用圓規(guī)與直尺在直線m上作出點E（不寫作法，保留作圖痕跡）:

（2）計算器材放置點E到A處的距離.

14.（24-25八年級上?四川雅安?期中）如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,zBAC=90°,點D、E為BC上兩

點，DAE=45。，點F為△ABC外一點，且FBIBC,FA1AE,則下列結(jié)論：①CE=BF；?BD2+CE2=D

2222

E；@CE+BE=2EF；④S^ADE=%D?EF,其中正確的是()

A.??@B.①②③④

C.???D.①②④

考點講練8：利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

15.（24-25七年級上?山東煙臺?期末）【問題提出】

如圖1,在Rt/iABC中，AB=AC,D為BC邊上一點（不與點B,（:重合），以AD為直角邊在AD右側(cè)做等腰直

角CADE,連接EC.

(1)4ECD的度數(shù)為；

(2)線段BC,DC,EC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出并說明理由；

【類比探究】

如圖2,若點D在BC邊的延長線上，其他條件不變，

(3)試探究線段BD,DC,DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理日.

圖1圖2

16.(24-25八年級上?上海松江?期末)已知：在ABC中，zACB=90°,CA=CB.點D、E在線段AB

上.

cc

(1)如圖1,如果CD=CE,求證：AD=BE.

(2)如圖2,如果々DCE=45。，求證：DE2=AD2+BE2.

考點講練9:勾股定理的證明方法

17.（24-25八年級上?河南南陽?階段練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，宛宛同學(xué)把四個全等的直角三角形

和一個小正方形拼成了一個大正方形，如圖所示.設(shè)直角三角形較長的直角邊長為b,較短的直角邊長為a,

大正方形邊長為c.請你寫HM,b,c之間的關(guān)系式是.（化到最簡）

18.（24-25八年級上?福建泉州?期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著無窮魅力.它是用代數(shù)思想

解決幾何問題的最重要工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人著迷.我

國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”（也稱“趙爽弦圖”）就巧妙地利用面積法證明了勾股

定理.

圖3

(1)如圖1,用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為4b,斜邊長為c.

①請寫出勾股定理的表達式：.

②如圖2,正方形邊長為c,請你在圖2中，將圖1的四個三角形拼成一個能證明勾股定理的圖形.

(2)如圖3,將兩個全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，使點反反。在同一直線上，三角形的短直

角邊記為a,長直角邊記為4斜邊記為a請連結(jié)AD,試通過各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗證勾股定

理.

考點講練10：以弦圖為背景的計算題

19.(24-25八年級下-天津河北?期中)如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一

個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是12,大正方形的面積是169,則小正方形

的面積是________

20.（24-25八年級上?河南鄭州?期中）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的

大正方形.趙爽利用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗明勾股定理，為中國

古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)?、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范.

圖1圖2

（1）如圖1,是小琪制作的一個“趙爽弦圖”紙板.

①設(shè)AH=a,BH=b,AB=c,請你利用圖1驗證：a2+b2=c2；

②若大正方形ABCD的邊長為13,小正方形EFGH的邊長為7,求直角三角形兩直角邊之和為多少？

（3）如圖2,小昊把四個全等的直角三角板緊密地拼接在一起，已知外圍輪廓（實線）的周長為48,OB=6,

求這個圖案的面積.

考點講練11:用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

21.（24-25八年級上?河南鄭州?期末）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是

一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a,b（a<b）,斜邊長為c.

G

C

圖①圖②

（D請利用圖①證明:a2+b2=c2；

（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重置地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH,若該圖形的周

長為80,OB=5,求該圖形的面枳.

22.（24-25八年級上?四川成都?期末）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾,

另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年一公元295年）將勾股形分割成一

個正方形和兩對全等的直角二角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定埋.如便2所示的長

方形，是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6,CD=2,則長方形的面積為

圖2

考點講練12:勾股定理與無理數(shù)

23.（22-23八年級上?江蘇淮安?階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是.

r-------、

2；\、'

iiiI\41■\i*A*i?、

-4-3-2-101234

24.（24-25八年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的4x4正方形網(wǎng)格中，畫出三個同時滿足

以下三個條件的三角形.

①所畫三角形的頂點都在格點上的直角三角形；

②所畫三角形的三邊長度至少有兩邊長度是無理數(shù);

③所畫的三個直角三角形互不全等.

考點講練13:判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

25.（24-25八年級上?寧夏中衛(wèi),期中）如圖，在△ABC中，CA:CB:AB=3:4:5,它的周長為36cm.點2

從點/1出發(fā)沿AC邊向點C以每秒1cm的速度移動，點。從點a出發(fā)沿CB邊向點8以每秒2cm的速度移動.

B

Q

c

⑴ZiABC是直角三角形嗎？請說明理山.

(2)如果點八。同時出發(fā)，那么經(jīng)過3秒，CQ=_cm,CP=_cm,則AQCP的面積為多少?

26.(24-25八年級上?重慶?期中)如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,BC=10cm,D是邊AB上一點,

且CD=8cm,BD=6cm.

(1)求AD的長；

⑵求△ABC中BC邊上的高.

考點講練14：圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點

27.(20-21八年級上?浙江?期末)如圖，4BOC=60。，點A是BO延長線上的一點，OA=10cm,動點P

從點A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度移動，動點Q從點。出發(fā)沿OC以lcm/s的速度移動，如果點P,Q同時出發(fā),

用t（s）表示移動的時間，當(dāng)｛=S時，APOQ是等腰三角形；當(dāng)1=S時，APOQ是直角

三角形.

28.（20-21八年級上?陜西榆林?階段練習(xí)）下列敘述中，正確的是（）

A.直角三角形中，兩條邊的平方和等于第三邊的平方

B.如果一個三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形

C.△ABC中，ZA,NB,NC的對邊分別為a,b,c,若a2+b2=c?,則/A=90°

D.△ABC中，ZA,ZB,N。的對邊分別為a,b,c,若NB=90°,則c2-a2=b2

考點講練15:在網(wǎng)格中判斷直角三角形

29.（2025?山東濱州?模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則NPAB+4PBA=（點A,B,P

是網(wǎng)格線交點），請只用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出解決該題的關(guān)鍵思路的連線.

AB

30.（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）如圖所示，在每個邊k都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點力、

B、〃均為網(wǎng)格的格點.

(1)線段AB的長度等于__________；

(2)以點從B、尸為頂點的4ABP面積為__________；

(3)僅用無刻度直尺在線段AB上作一個點0,使得點0滿足NPQA=45。.

考點講練16:利用勾股定理的逆定理求解

31.如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量NA=90。，AB=3m,

BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金購買草皮？

32.(24-25八年級上?福建漳州?期中)已知：四邊形ABCD中，4A=90。，AB=3,AD=4,BC12,

CD=13：

c

AB

⑴求BD的長:

（2）求四邊形ABCD的面積.

考點講練17:勾股定理逆定理的實際應(yīng)用

33.（24-25八年級上-廣西百色?期末）綜合與實踐：

在綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過去某超市實地考察調(diào)研，發(fā)現(xiàn)超市購物車的結(jié)構(gòu)蘊含著許多數(shù)學(xué)知

識，并對購物車的支架等進行測量，如圖1是某超市購物車，圖2是超市購物車的側(cè)面示意性.測得支架

AC=80cm,BC=60cm,兩輪輪軸的距離AB=100cm（購物立車輪半徑忽略不計），DG,EH均與地面平

行.

請按要求完成下列任務(wù)：

AB

⑴判斷支架AC與BC的位置關(guān)系，并說明理由：

（2）如圖2,作圖提示：過點F作FN1AB交AB的延長線于N,延長DG交FN于M,請按作圖提示添加輔助線,

若FG的長度為80cm,2EHG=60。，求購物車把手F到AB的距離.（結(jié)果精確到1cm,V2?1.414,百”

1.732）

34.（24-25八年級上?吉林長春?期末）圖①是某品牌嬰兒車，圖②是其部分結(jié)構(gòu)示意圖.根據(jù)安全標準

需滿足AB_LBC,己知AB=60cm,BC=45cm,AC=75cm,請通過計算說明該車是否符合安全標準.

A

C

圖①圖②

考點講練18：勾股定理逆定理的拓展問題

35.（22-23八年級上?貴州?期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一條河流，為方便運輸貨物，現(xiàn)要從公路

AB上的〃處建一座橋梁到達C處，已知點。與公路上的停靠站力的直線距離為9km,與公路上另一?？空綛

的直線距離為12km,公路49的長度為15km,且CD1AB.

ADB

（1）求證：AC1BC；

⑵求修建的橋梁CD的長.

36.（20-21九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a,b,c是一個三角形的三條邊的長，且

a是最長邊，我們可以利用a,b,c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若a2=b2+c2,

則該三角形是直角三角形：②若a2>b2+c2,則該三角形是鈍角三角形；③若a2Vb2+c2,則該三角形是

銳角三角形.例如：若一個三角形的三邊長分別是4,5,6,則最長邊是6,62=36<42+52,故由③可

知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：

（1）若一個三角形的三邊長分別是7,8,9,則該三角形是三角形.

（2）若一個三角形的三邊長分別是5,12,X.且這個三角形是直角三角形，求X2的值.

（3）當(dāng)a=2,b=4時，判斷△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c?的取值范圍.

考點講練19:求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）

37.（24-25八年級卜?吉林長春?階段練習(xí)）“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鶯”，某校八年級（1）班的

小明學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE（如圖1）,進行了如下操作：

①牽線放風(fēng)箏的小明手抓線的地方與地面的距離AB為1.5米；

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線CB的長為17米；

③測得小明手抓線的地方與風(fēng)箏的水平距離BD的長為8米.

圖1圖2

（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；

（2）如圖2,小明想讓風(fēng)箏沿CD方向下降9米到點"處，則他應(yīng)該往回收線多少米?

38.（24-25八年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩

子另一端向右走，繩端從。移動到其同時小船從力移動到8且繩長始終保持不變.

⑴根據(jù)題意可知：AC______BC+CE（填“>”、“<"、"="）.

⑵若CF=5米，AF=12米，AB=9米，求小男孩需向右移動的距離.（結(jié)果保留根號）

考點講練20:求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

39.（23-24八年級上?廣東深圳-階段練習(xí)）學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿AB

的高度，得到如下信息：

①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；

②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另?端的手到地面的距離CD為3米，到旗桿的距離CE為米（如圖

2）.

根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度.

40.（24-25八年級上-陜西銅川?期中）如圖，同學(xué)們想測量旗桿的高度（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的

繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知.小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這

個問題的方案如下：

小明：①測量出繩子垂直落地后近剩余1米，如圖1:

②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部的距離AC=4米，如圖2.

小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點D處（BD=BC）,作DF垂直AC于點F,

DF=EC.

（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度BC；

⑵在（1）的條件下，已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿的距離DE=4.5米，求此時繩結(jié)到地血的高度DF.

考點講練21:求小鳥飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）

41.（24-25八年級上?江蘇宿遷?期末）如圖所示，有兩根直桿隔河相對，一桿高30m,另一桿高20m,

兩桿相距50m.現(xiàn)兩桿上各有一只魚鷹，他們同時看到兩桿之間的河面上￡處浮起一條小魚，于是以同樣

的速度同時飛下來奪魚，結(jié)果兩只魚鷹同時叼住小魚.則兩桿底部距小魚￡處的距離各是多少？

42.（24-25八年級上?四川?期中）如圖，學(xué)校操場上有兩棵樹AB和CD（都與水平地面AC垂直），大樹AB

高8米，樹梢〃到樹AB的水平距離DE（DElAB）的長度為8米，小樹CD高2米，一只小鳥從樹梢〃飛到樹

梢8,則它至少要飛行的長度為（）

A.8米B.10米C.12米D.16米

考點講練22：求大樹折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

43.（24-25八年級上?吉林長春,階段練習(xí)）如圖所示，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面6m

處折斷，樹尖夕恰好碰到地面，經(jīng)測量AB=8m,則未折斷前這棵樹高為m.

C

44.（24-25八年級上?河南南陽?期末）如圖，一根直立的旅桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B

著地目圖旗桿底部A的距禽為4m.

c

⑴求旗桿在距地面多高處折斷；

⑵工人在修瑪?shù)倪^程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點c的卜?方1.25m的點P處，有一明顯裂痕，若卜.次大風(fēng)將旗桿從點p處

吹斷，在距離旗桿底部5米處是否有被砸傷的風(fēng)險？

考點講練23:解決水杯中筷子問題（勾股定理的應(yīng)用）

45.（24-25八年級上-吉林長春?階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池

方一丈，葭（jia）生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深兒何？"（丈、尺是長度單位，1丈10

尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為1。尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB,它高出水面1

尺（即BC=1尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達池邊的水面D處.問水的深度

是多少？則水深DE為尺.

46.（24-25八年級上?廣東茂名?階段練習(xí)）如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為12cm,

高5cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為力，則S的取值范圍是（）

h

A

A.h<19cmB.h>13cm

C.11cm<h<19cmD.13cm<h<19cm

考點講練24：解決航海問題（勾股定理的應(yīng)用）

47.（24-25八年級上?四川宜賓?期末）在海平面上有兒B,C三個標記點，。為燈塔，港口力在燈塔。

的北偏西55。方向上，港口力與燈塔C的距離是40海里；港口￡在燈塔C的南偏西35。方向上，港口8與燈

塔。的距離是30海里，一艘貨船將從月港口沿直線向港口8運輸貨物，貨船的航行速度為10海里/小時.

⑴貨船從港口力航行到港口夕需要多少時間;

⑵為了保障航行的安全，。處燈塔將向航船發(fā)送安全信號，信號有效覆蓋半徑為25海里，這艘貨船在由港

口,4向港口8運輸貨物過程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信號時間不低于1小時才符合航行

安全標準.請問這艘貨船在本次運輸中是否符合航行安全標準，并說明理由？

48.（24-25八年級上?四川達州?期末）如圖，在海平面上有A,B,C三個標記點，其中A在C的北偏西52。

方向匕與C的距漓是40海里，B在C的南偏西38。方向上，與C的距離是30海里.

A

N

\/S

B

⑴求點A與點B之間的距離；

（2）若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處

航行，輪船航行的速度為每小時20海里.輪船在駛向A處的過程中，有多少小時可以接收到信號？

考點講練25:求河寬（勾股定理的應(yīng)用）

49.（24-25八年級下?內(nèi)蒙古烏蘭察布-期中）宜角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為

a、b,斜邊長為c,則a?+b2=c2.

圖2

(1)圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式.利用以上所得的

直角三角形的三邊關(guān)系進行解答;

(2)如圖2,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊G河邊原有兩個取水點力、B,其中AB=AC,由于某種

原因，由。到力的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點〃(/1、4在一條直

線上)，并新修一條路CH,且CH1AB.測得CH=6千米，HB=4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？

(3)在第(2)問中若ABHAC時，CH1AB,AC=8,BC=10,AB=12,設(shè)AH=x,求才的值.

50.(23-24八年級上-全國?單元測試)著名的“趙爽弦圖”如圖1所示，若其中四個全等的直角三角形

中，較短的直角邊為a,較長的直角邊為〃，斜邊為。，則大正方形的面積可以表示為c2,也可以表示為4x

lab+(b-a)2,由此推導(dǎo)出勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊為a,b,斜邊為c,則a2+b2=c2.

圖1圖2圖3

⑴圖2為美國第2()任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖2推導(dǎo)勾股定理.

(2)如圖3,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點4B,其中AB=AC,由于某種

原因，由。到力的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點〃(4//,占在同一

條直線上)，并新修一條路CH,且CH1AB.測得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求新路CH比原路CA短多少

千米.

(3)在第(2)問中，若ABwAC,CH1AB,AC=4千米，BC=5千米，AB=6千米，求AH的長.

考點講練26:求臺階上地毯長度(勾股定理的應(yīng)用)

51.(24-25八年級上?江西吉安?期末)某賓館裝修，需在一段樓梯臺階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺階完

全蓋住.樓梯臺階剖面圖如圖，已知乙C=90。，AC=3m,AB=5m.

4

CB

（1）求a'的長;

⑵若已知樓梯寬2.8m,需要購買m2的地毯才能鋪滿所有臺階.

52.（24-25七年級上?山東東營?期中）如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5,3和1,力和

6是這個臺階的兩個相對的端點，點力上有一只螞蟻，想到點8去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點

夕的最短路程長是多少？

考點講練27:判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）

53.（24-25八年級上?河南鄭州-階段練習(xí)）如圖所示，A點裝有一車速檢測儀，它到公路邊的距離AN