第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用

［考情分析］1.數(shù)列求和重點考查分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合

問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證

明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.

考點一數(shù)列求和

【核心提煉】

1.裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的

過程中，有的是相鄰項抵消，有的是間隔項抵消.常見的裂項方式有：；^%=患一出)

4層—12^2/?—12n+1/

2.錯位相減法求和，主要用于求｛〃,力〃｝的前〃項和，其中｛“〃｝,｛兒｝分別為等差數(shù)列和等比

數(shù)列.

考向1分組轉(zhuǎn)化法

例1(2022?德州聯(lián)考)已知數(shù)歹1」｛2卬｝是公比為4的等比數(shù)列，且滿足s，田，的成等比數(shù)歹U，

an,〃為奇數(shù),

工為數(shù)列｛九｝的前〃項和，且兒是1和的等差中項，若Cn=\i見佃蛤求數(shù)列｛C〃｝

b?,〃為偶數(shù)，

的前2〃一1項和.

解因為數(shù)列｛2%｝是公比為4的等比數(shù)列，

2/“

所以1丁=4,

所以an+\—an=2,

所以數(shù)列｛斯｝是公差為2的等差數(shù)列,

因為。2，04,成等比數(shù)列,

所以質(zhì)=SS，

所以(41+6)'=31+2)(“1+12),

解得0=6,

所以?！?6+2(〃-1)=2〃+4,

因為S”為數(shù)列S浦的前〃項和，且兒是I和S”的等差中項，

所以S〃+l=2兒，

當“22時，有乂-1+1=2仇T,

兩式相減得bn=2hn-2hn-iy

即bn=2bn-i,

當n=\時，有Si+1="+1=2"，

所以"=1,

所以數(shù)列｛九｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,

所以d=2"」，

n=2k—\,

因為cn=\Z￡N".

b”,n=2k,

所以數(shù)列｛金｝的前2n—1項和為

〃|+匕2+，n+力4+…+。2〃-1

=(0+。3~1-------FgLD+St+hiH------i■岳"-2)

〃(〃―1)2(1—4〃)

=6〃3-2-X44-i^4

2

=2好+4/1+彳(4"—1一1).

考向2裂項相消法

例2(2022.新高考全國1)記工為數(shù)列伍“｝的前〃項和，已知m=l,榭是公差為例等差數(shù)

列.

(1)求｛知｝的通項公式;

(2)證明：—+—H---1--<2.

''a\C12a,,

(1)解方法一因為0—1,所以那一I，

又榭是公差為;的等差數(shù)列，

所以3=1+(〃一1)X

因為當〃22時，a?=Sn-Sn-if

甑［、/&____&____〃+2

打九”一SLS,L13

SLS”T3

所以

S”一〃+2'

整理陪=胃

￡二/S2s3Sn-1Sn45〃+1〃+2〃(〃+1)(〃+2)

所際貸…品汨LTX5X…〃—2n~16

〃(〃+1)(〃+2)

所以S=

n6

又S|=1也滿足上式，

—〃(〃+1)(〃+2)*

所以5?=-----f---

=〃(〃-?〃+%小

則S〃-

所以斯=〃(〃+》〃+2)-依段〃+。

〃(〃+1)、

=2(〃12),

又41=1也滿足上式，

所以D(〃WN“).

方法二因為0=1,所以乎"=1,

41

又｛資｝是公差為;的等差數(shù)列，

所以3=1+(〃一1)X7=^7^,

所以Sn=-~du.

因為當〃22時，

〃+2

%—Sn—Sn—\—30”-3%-1，

〃—1

所以-y-a,L1=~^—an.

所以言“+1

n—1

345

〃

"一

所以-X-X-X

123*

-b-2-

所以詼="〈〃2

又a\=\也滿足上式,

所以”,尸吟1%￡N').

(2)證明因為an=-2-，

〃〃一〃(〃+I)-2(〃〃+1)

所以

2

所吟+9…+3=[(T)+O9+…

)=磊<^=2.

故:----F~<2成立.

ci\。2Cln

考向3錯位相減法

例3(2022?上饒模擬)從①岳一九=18歷，②55=①一2,③log3e+】-1=log3〃”這三個條件中

任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為當,數(shù)列｛〃”｝是正項等比數(shù)列，且2斯=%+1I%_](〃》2),S3=b3

=9,兒=a14,.

(I)求數(shù)列｛詼｝和｛bn｝的通項公式；

⑵若Cn=anbn，求數(shù)列｛金｝的前〃項和Tn.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解⑴選①.

設(shè)數(shù)列｛瓦｝的公比為式9>0),由乩一兒=18方2,得/一片=18,

即日-3)(爐+2q+6)=0,解得9=3.

由2%=%+1+如_](〃22)知數(shù)列(?。秊榈炔顢?shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛小｝的公差為d,由邑=①=9,兒=04,

得3a2=3(m+d)=9,。3=匕?2=9,9夕=3+124,

所以0=/%=1,d=2,

故數(shù)列｛6｝和｛乩｝的通項公式分別為小=2〃-1,九=3"？

選②.

由2%=知+|+m7(〃22)知數(shù)列(如｝為等差數(shù)列，

設(shè)數(shù)列｛的｝的公差為d,數(shù)列｛仇｝的公比為以4>0),

由§3=歷=9,/?4=。14,Ss=b?-2,

得3a2=3(m+d)=9,例=/?/=9,9夕=3+12d,

5〃i+IOd=9q—2,所以〃]=6=1,d=2,q=3,

故數(shù)列｛為｝和｛/,)的通項公式分別為小=2〃-1,6=3門

選③.

設(shè)數(shù)列｛九｝的公比為q(q>0),

由log3MH—1=log協(xié)J,得智'=3,則q=3.

由2%=如+i+a,i(〃22)知數(shù)列(m｝為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

由S3=〃3=9,仇=414,得3。2=3(。1+67)=9,

歷=。|/=9,9夕=3+12d,所以《="=1,d=2,

n]

故數(shù)列｛斯｝和｛瓦｝的通項公式分別為小=2〃-1,bn=3-.

⑵由⑴知c〃=4力“=(2〃-1)X3"一1,

0,2,,-2M_,

所以7]J=lX3+3X3+5X3+-+(2n-3)X3+(2/7-l)X3,①

3〃=1X3l+3X32+5X33+…+(2〃-3)X3”-l+(2〃-l)X3".②

①一②得一25=1+2X(31+32+33+…+3廠】)一(2〃-1)X3"=1+2X^^1~^一(2〃一

l)X3n=-2-(2n-2)X3",

所以1+(〃-1)X3".

規(guī)律方法(I)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或差.

(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項.

⑶用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形；②在寫出“SJ和“qS〃”

的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準確寫出“￡一4￡”的表達式.

跟蹤演練1(1)(2022?湛江模擬)已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且8a3=俏，s+a5=36.

①求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

②設(shè)仇=m“+l)；k+l)，求數(shù)列｛瓦｝的前〃項和力”尹證明；7；；＜1.

解①設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比是小首項是0.

由88=恁，可得夕=2.

由。2+的=36,可得〃同(1+43)=36,

所以。1=2,所以“〃=2".

②因為b=

n(斯+1)(即+1+1)

I1

2//+l-2//t|+l,

21+1-22+1)+(2?+1-2,+11

所以7；=〃i+力2H----卜bn=+…+2"+12,,+'+1

_I1_1_1

—21+1-2""+1=?-2〃”+「

又所以八＜1?

(2)(2022?南通調(diào)研)已知正項等比數(shù)列｛.”｝的前〃項和為S”，滿足。2=2,。“+3Sn+2=an+.Sn.

①求數(shù)列｛%｝的通項公式；

②記〃”=七」，數(shù)列｛仇｝的前〃項和為〃，求使不等式7；《一號2成立的〃的最小值.

解①設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q＞0),

因為42=2,

9

所以。同=2=41=1

—=

由?M+3Sn+2On+1—Slt

=?！?3—〃〃+1=S〃+2-S”

=%+3-4"+1=%+2+%+1

=3-m+2-2a”+1=0

=a〃+i(g2—q—2)=0,

因為斯+i#o,所以'—4—2=0,

因為“>0,所以解得q=2,

?

即0=7=1,

所以數(shù)列伍“｝的通項公式為

%=1義2'門=2'口

②由①可知斯=2"I

r.2"—12〃-1

所6以p/b——'

na”z

所以7；=1+|+/~1----卜："，(*)

，制+奈+各—（**）

由（*）_（**尾7；=］+2X［；+*+*+…+亍*）一矢」

2〃+3

-3-2〃，

所以。尸6—；廠］,

.134〃+7上

代入■—2”中，

2〃+3134〃+7

得62?-i&2-2〃

=2">2=〃>1,

因為〃WN*,所以〃的最小值為2.

考點二數(shù)列的綜合問題

【核心提煉】

數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考命題的一個方向，此類問題突破的關(guān)鍵在于通過函數(shù)

關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項或前〃項和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函教解決

最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明.

例4(1)已知4(0,0),8(5,0),C(l,3),連接△ABC的各邊中點得到△AiSG，連接△4&G

的各邊中點得到△A2B2C2,如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△/IBC,△4SG,

△42&C2,…，則這一系列三角形的面積之和無限趨近于常數(shù)()

A.yB.5C.10D.15

答案C

解析因為SAASC=1X5'3=虧，

An1

△/AIBICI￡\ABCt48=T

所以也皿=1

*^AASC

所以SAABC,S^A禺CJS^A@G，…成等比數(shù)列，其首項為與，公比為，

"所以聿這一系列"三角-形的明面積之和為

無限趨近于10.

(2)在各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝中,0=1,后+|—2小+期,一3屆=0,S〃是數(shù)列｛“〃｝的前〃項和,

若對〃eN,不等式小a—2S〃)W27恒成立，則實數(shù)2的取值范圍為.

答案(一8,17]

解析:晶+1—2。〃+1斯-3舄=0,

??(4"+1++1—3。〃)-0,

?1??4”+1,又(11I*

???數(shù)列｛”“｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，

***4〃=3"1,

-3〃y_i

-

SL1-32_2,

2727

???不等式如a-2S.)W27即AW2S.+亍=3〃+浙一I對〃WN*恒成立，

Cln3

???3"十品》2、j3〃義品=18,

27

當且僅當3"=—,

即〃=2時，儀+品）min=18,

???次17,

???實數(shù)人的取值范圍為（-8,17].

易錯提醒求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題要注意兩點

（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集（或它的有限子集），在求數(shù)列最值或不等關(guān)

系時要特別注意.

（2）解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件.

跟蹤演練2（1）我國占代數(shù)學典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：

“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日

相逢”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對打洞穿墻，大、小鼠第一

天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個問題體現(xiàn)了古代對

數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為1200尺，則需要幾天時間才能打穿（結(jié)果取整數(shù)）（）

A.12B.11C.10D.9

答案B

解析設(shè)大鼠和小鼠每天穿墻尺寸分別構(gòu)成數(shù)列｛為｝,｛九｝,由題意知，它們都是等比數(shù)列，

且0=〃1=1,數(shù)列｛“”）的公比為s=2,數(shù)列｛/?〃｝的公比為佻=；,

|一2"]=2"+1―*,

則（。]+。2+…+斯）+（0+岳+…+兒）=]_2T

1-2

當〃=10時，2"+1一冊=1025—200,

當”=11時，2〃+1一擊=2049—抬1200,

因此需要11天才能打穿.

（2）（2022?青島模擬）在拋物線f=%第一象限內(nèi)一點（?！埃瑸椋┨幍那芯€與x軸交點的橫坐標記

為為+1,其中“￡N?,已知公=32,S”為｛m｝的前〃項和，若加2s“恒成立，則〃？的最小值

為（）

A.16B.32C.64D.128

答案D

解析:y=2F,y1=4x,；?切線的斜率攵=4%,

；?切線方程為y—2a7,=4a/x—alt）,

令），=0,得x=?,即斯+i=￡,

又。2=32,則=64X0,一=5,

a”乙

???｛④｝是以64為首項，3為公比的等比數(shù)列,

則J上紇“X

凱

-5

又。<（￡良，

?—<128.

???〃12&恒成立=62128,即機的最小值為128.

專題強化練

一、選擇題

1.數(shù)列｛3｝滿足24”+[=出+〃〃+2，且M。4040是函數(shù)?r）=W—8x+3的兩個零點,則“2022

的值為（）

A.4B.-4

C.4040D.-404（）

答案A

解析因為出，OI（MO是函數(shù)8x+3的兩個零點，

即。4,3040是方程/一8x+3=0的兩個根，

所以。4+。4040=8.

又2a“+i=a〃+a〃+2,

所以數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，

所以。4+。4040=2。2022=8,

所以02022=4.

2.已知函數(shù)_/U）=L的圖象過點（4,2）,令斯=火〃+；）+加）（〃向N"）,記數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為

S”則S2022等于（）

A.、2022+18.^2023-1

C.V2022-1D.、2023+1

答案B

解析函數(shù)7U）=./的圖象過點（4,2）,

則4a=2,

解得得京

_]___[

/+I)+fin)1+5

=、〃+1—g,

則S2022=(g一1)+(小一心)+…+?2023r2022)=一1+山023.

3.(2022?衡水模擬)已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，若如-2=一小，且《尸1，2=2,則S2O23

等于()

A.0B.IC.2D.3

答案C

解析由%+2——斯，

得%+4=-。"+2=。”，

所以數(shù)列｛斯｝是周期為4的數(shù)列，

所以由0=1,。2=2得。3=—1，。4=-2,

所以。1+42+〃3+。4=0,

所以S2023=(m+a2+43+a4)X505+4i+a2+a3=2.

4.(2022?涪陵模擬)在數(shù)列伍”｝中，斯=(一1)”1(4〃-3),前〃項和為S”則S22一$1為()

A.-85B.85C.-65D.65

答案C

解析由題意得

S22=〃i+々2+03+…+〃2i+々22=(4—3)—(8-3)+(12-3)-…+(84-3)—(88—3)=-44,

Si1=0+42+43+…+〃io+〃i1=(4—3)—(8-3)+(12—3)一…一(40—3)+(44—3)=21,

S22—5||=-44—21=-65.

5.已知”是橢圓*+*=1的右焦點，橢圓上至少有21個不同的點RG=1,2,3,…)，使得

乙JIU

|FPi|,\FP2\,此P3I，…組成公差為或冷0)的等差數(shù)列，財公差d的最大值為()

、2-2〃3「3

A-7B5CWD7

答案C

解析由橢圓的方程和定義知a=5,b=4,c=3,

又???a-cW|f'Pi|Wa+c,

A2C|FP,|C8,

令尸Pil，IFP2I，IFP3I，…組成公差為/上0)等差數(shù)列公

???0=|尸Pi|22,

“Wl。力max=8,

.一一8-2663

,?n~1、〃一1n—1^21—110,

3

/.OvdW而

3

即公差d的最大值為行.

6.(2022?西南四省名校大聯(lián)考)數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S”，且m+3s+…+3"「"產(chǎn)〃?3〃，若

對任意〃￡N*,5〃2(-1)”成恒成立，則實數(shù)2的取值范圍為()

A.[-3,4]B.[-2^2,2啦]

C.[-5,5]D.[-2-72-2,2^2+2]

答案A

解析當〃22時，3〃一%”=m3"一(〃一1)3"」

=⑵?+1)3"),

.??。〃=2〃+1,當〃=1時，0=3符合上式，

〃(3+2〃+1)1,

2

，%=2〃+1,/.Sn=--2-------?+2/?.

當〃為奇數(shù)時，大二一辭=一(〃+2),

令8(〃)=一(〃+2),

當n=l時，g3)max=-3,

%2-3,

當〃為偶數(shù)時，入4=〃+2,

令人(〃)=〃+2,???2WA(2)=4,

???-3W/IW4.

7.如圖,在四邊形ABCD中,E,(〃￡N")為邊BC上的一列點,連接AF“交B。于G?,點G”(〃WN*)

滿足胃石+2(1+%)嬴?=%+1比瓦其中數(shù)列｛〃”｝是首項為1的正項數(shù)列，S”是數(shù)列｛斯｝的前

〃項和，則下列結(jié)論正確的是()

A.內(nèi)=5

B.數(shù)列｛斯+3｝是等比數(shù)列

C.?！?4〃-3

n+,

D.Sn=2~3n

答案B

解析由題意可知

2(1+4；)

GC,

%+1n

因為3,F?,C三點共線,

所以一?2(1+%)

1,

(In-(ln+\

即1+2+2a”=an+\,

即斯+1=3+2。”，

4〃+]+3=2(a“+3),

所以數(shù)列｛%+3｝是以m+3=4為首項，2為公比的等比數(shù)列，

于是m+3=4X2"r=2"+l

所以斯=2.|-3,

所以43=24—3=13,

所以B選項正確，A,C選項不正確；

又§2=0+42=1+5=6,而22+1—3X2=2,

所以D選項不正確.

8.(2022?濰坊檢測)如圖，在邊長為〃的等邊△ABC中，圓口與△A8C相切，圓6與圓Pi

相切且與48,4c相切,…，圓?！?1與圓?！跋嗲星遗cAB,AC相切，依次得到圓小，。4,…,

設(shè)圓5,S，…，?！钡拿娣e之和為X”(〃￡N"),則X”等于()

A各?

B和[1一枷

D.樂de〉--停A+L

答案B

解析等邊三角形內(nèi)心、重心、外心、垂心四心合一,所以圓n的半徑為《X坐

面積為為兀

圓6的半徑為:X*“，

面積為青尹，

圓。3的半徑為G）2x*〃，

面積為令）兀，

以此類推，圓&的面積為出門的心

所以各圓的面積組成的數(shù)列是首項為含兀，公比為4的等比數(shù)列,

=菰｛1-朗

二、填空題

9.在數(shù)列｛%｝中,。1=3,對任意機，〃￡N'，都有而+產(chǎn)即+斯,若ai+e+a3T--卜詼=

135,則攵=.

答案9

解析令加=1,由alfl+n=a,n+小可得，

a〃+]=ai+a”,

所以?！?1—。"=3,

所以｛斯｝是首項為3,公差為3的等差數(shù)列，

4=3+3（〃-1）=3〃,

所以s+az+sT---卜以

k（4i+，〃））（3+3左）

2215），

整理可得3+4—90=0,

解得左=9或4=一10（舍去）.

10.已知數(shù)列｛詼｝滿足小=〃2+而，〃WN",若數(shù)列｛〃“｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則人的取值范圍是

答案（一3,+8）

解析???｛〃“｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

???當時，4〃+]—〃“=（〃+1）2+?〃+1）—〃2一力?=2〃+1+2>0恒成立,

即2>-2〃-1,Vn>l,二（一2〃-l）max=-3,

.*.z>—3.

/,〃為奇數(shù),

11.已知函數(shù)flri)=且4〃=/(〃)+42+1),則。|+。2+。3T---」48=

—“2,〃為偶數(shù),

答案8

解析當〃為奇數(shù)時，〃+1為偶數(shù)，

則斯="—(〃+1)2=-2〃-1,

所以41+43+45+0=—(3+7+11+15)=-36.

當〃為偶數(shù)時，〃+1為奇數(shù)，

則斯=—〃2+(〃+1)2=2〃+1,

則々2+44+46+48=5+9+13+17=44,

所以+。2+。3+…+。8=—36+44=8.

12.(2022?聊城質(zhì)檢)某數(shù)學興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類似的數(shù)陣，將一行數(shù)歹J中相

鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列.加圖，第一

行構(gòu)造數(shù)列1,2；第二行得到數(shù)列1,2,2；第三行得到數(shù)列122,4,2,…，則第5行從左數(shù)起第

6個數(shù)的值為.用A”表示第〃行所有項的乘積,若數(shù)列｛&｝滿足％=log認“，則數(shù)

列｛&｝的通項公式為.

解析根據(jù)題意，第5行的數(shù)列依次為1,224,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2,

從左數(shù)起第6個數(shù)的值為B.

Ai=2',

42=22=*°

A3=25=2",+，

I4I+3+3，+32

A4=2=2°

I+3+3+32+33

^5=24i=20'

1-3—1+3".

故有4=2"30+3、32+33+…卡=2+==F

1+31]+3〃一i

則B〃=log/〃=log222=——

三、解答題

13.(2022?煙臺模擬)已知等差數(shù)列他“｝的前〃項和為S〃，恣