§8.6雙曲線

分值：90分

K知識過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共30分）

I.已知雙曲線〃/凸的實(shí)軸長為］,則該雙曲線的漸近線方程為（)

D.產(chǎn)土爭

C.y=±V2x

2.（2024?全國甲卷）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（（），4）,（0,4）,點(diǎn)（6,4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離

心率為（）

A.4B.3C.2D.V2

3.（2025?張家口模擬）已知雙曲線C：捺合15>0,〃>0）的?條漸近線的傾斜角為/其焦點(diǎn)到漸近線的距離

為2,則C的方程為（）

AY亡=|B^=1

46124

C.互DX^=1

6463

4.（2024?安陽模擬）已知雙曲線的方程為5〃?3町，2=5（m￡R,〃岸0）,則不因，〃的變化而變化的是（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.漸近線方程

C.焦距D.離心率

22

5.已知點(diǎn)P是雙曲線一5=1右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)A,3分別是圓（x+6產(chǎn)+/4和圓（今產(chǎn)+戶］上的點(diǎn).則伊川伊川

1620

的最小值為（）

A.3B.5C.7D.9

6.（2024?天津河西區(qū)模擬）已知雙曲線C捻各（00,力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過

凡作C的一條漸近線的垂線，垂足為M,且|MF2l=3QM|，則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.V6C.2V2D.3

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.（2024?南通調(diào)研）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為「直線/：x+b=0是C的一條漸近線，P是/上

一點(diǎn)，則（）

A.C的虛軸長為2或

B.C的離心率為連

C.|/2l的最小值為2

D.直線尸尸的斜率不等于當(dāng)

8.已知A為雙曲線C：上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)A化工軸的垂線，垂足為M,點(diǎn)8與點(diǎn)A關(guān)于

169

原點(diǎn)對稱，尸為雙曲線C的左焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若|A同=10,則4AL3F

氏若其FJL8R則△48〃的面積為9

C產(chǎn)>2

\AM

D.HHHM的最小值為8

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2024.新課標(biāo)全國I）設(shè)雙曲線C：i總=13>0,比>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸B，過尸2作平行于y軸的

直線交。于A,B兩點(diǎn),若田用=13,|A8|=10,則C的離心率為.

10.（2024?鄭州模擬）已知雙曲線C：H=l（a>0,0>0）的離心率為VLA,6分別是它的兩條漸近線上的點(diǎn)

（不與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合），點(diǎn)P在雙曲線C上且萬5+赤=2而，AAOB的面積為6,則該雙曲線的實(shí)軸長

為.

四、解答題（共27分）

11.（12分）求適合卜.列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）焦點(diǎn)在x軸上，用26，經(jīng)過點(diǎn)A（5,2）；（5分）

⑵過點(diǎn)P（魚，2）,且與橢圓白［=1有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程.（7分）

94

12.（15分）已知雙曲線C：馬21（g），比>0）的焦距為10,尸為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)尸到漸近線的距離為

4.

（1）求雙曲線C的方程；（7分）

（2）若點(diǎn)A（12,（））,點(diǎn)尸為雙曲線C左支.匕一點(diǎn)，求|?A|+|Ff］的最小值.（8分）

I07能力拓展

13,14,16題每小題5分，15題6分，共21分

13.（2024?天津）已知雙曲線方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,&P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線

P3的斜率為2,△PQB是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

A.土匕=1B.土匕=1C.——=1D.土匕=1

82842848

14.將雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后，能得到反比例函數(shù)的圖象（其漸近線分別為人?軸和），軸），

所以我們也稱反比例函數(shù)）一的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數(shù)”產(chǎn)務(wù)+立也能由雙曲線的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

XX

得到，則此“對勾函數(shù)”所對應(yīng)的雙曲線的實(shí)軸長為（）

A.4V3B.4C.2V7D.2V6

15.（多選）（2024?廣州模擬）雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：《-5=1（歷＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,6，右頂點(diǎn)A到一條漸近線的距離

為2,右支上一動點(diǎn)P處的切線記為，，貝IJ（）

A.雙曲線C的漸近線方程為），二弓（

B.雙曲線C的禹心率為粵

C.當(dāng)PB_Lr軸時(shí)，|PF||二綃

D.過點(diǎn)Q作RKJJ,垂足為K,|。用=2V5

16.（2025?湖北七市州調(diào)研）已知雙曲線。：f-：=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是雙曲線C上在第一

象限內(nèi)的點(diǎn)，直線PA,的傾斜角分別為Q,/，，則tan?-tan/?=；當(dāng)2tan?+tan4取最小

值時(shí)，△PAB的面積為.

答案精析

l.A2.C

3.B［由題意可得%m詈,，

a63

所以a=V3b,

雙曲線的漸近線方程為廣哼，

即壯乃尸0,

|P8|W|P司+-2=|尸產(chǎn)2|+1,

可得|PA||PB|2(|Pri|2)(|P尸2l+D=|PRI|P現(xiàn)3,

可知Fi(6,0),F2(6,0)為雙曲線的焦點(diǎn)，

則儼歷|仍尸2|=2。=8,

可得IPAIIPBI冽PR||PB|3=5,

所以|PA||P用的最小值為5.]

6.B[由題意得R(c,0),由雙曲線的對稱性，設(shè)一條漸近線的方程為bxay=0,

所以IMF4二廠壽?,

y/b2+(-a)2c

由勾股定理得IOM

力|。&|2-|M&|2二Q,

因?yàn)镸Fi垂直于漸近線,

所以cosNMOB=±,

C

因?yàn)閨MBI=3|OM,

所以|加匕尸3。，

而|OBI=c,

在△MOE中，由余弦定理得

Q2+。2—9Q2

8sN"°B二匕笨匕

因?yàn)镹MOFi+NMOF2=7T,

所以貯士絲小旬

2acc

化簡得c2=6a2,所以c=\[6a,

故吟憫

7.AD【雙曲線C：9^=1的漸近線方程為法±2產(chǎn)0,依題意得:專，解得b=電,

對于A,C的虛軸長為2h=2\/2,A正確；

對于B,。的寓心率-也曳=4，B錯誤；

a2

對于C,點(diǎn)F（V6,0）到直線/:x+、2=0的距離為/=醒,

J好+（您尸

即『用的最小值為a，C錯誤；

對于D,直線/：-②=0的斜率為號,而點(diǎn)尸不在/上，點(diǎn)P在/上，則直線心的斜率不等于日，口正

確」

8.ABD[設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,,依題意，四邊形A五BFi為平行四邊形，如圖，

由雙曲線C:-=\知a=4,b=3c=5.

對于A,|A8|=10=|FQ],

則四邊形AFBFi為矩形，AFA.BF,A正確；

對于B,由雙曲線定義得

H*AH|=8,

而尸R[=10,AFLBF,

則|A砰+|AF/=|a/，

即（|小|一|力&|）2+2依曰鶴|二尸/”,

于是HF|HE|二18,因此aAB/的面積sWHF|HFi|=9,B正確；

對于C,在RtZ\A尸M中，

/|4M|2+|FM|2|FM|2

\AF\=二/

IAMZ14Ml2_yj14Ml2，

雙曲線C：K=1的漸近線方程為尸隊(duì)，直線4尸的斜率為黑4，

1694|FJW|4

即喟H，

熱＞河泊，C錯誤；

對于D,HF|HM=8+|4Q||AM28,當(dāng)且僅當(dāng)HF1|二|4M時(shí)取等號，D正確」

畛

解析|FiA|=13,|AF|=||AB|=5,

24

且4用■LQB,

?2

|F1F2|=V|/171|-MF2|2=12.

由雙曲線定義可得

2?=|FIA||AF2|=8,

2C=|F1F2|=12,

化簡得a=4,c=6,

則。的離心率e=-=-.

a2

10.2V6

解析如圖，由e=a=?=Ji+(3)

可得a=b,

故雙曲線C：的漸近線方程為產(chǎn)乜，

由雙曲線的對稱性，

不妨設(shè)A（X|,Xi）,B（X2,X2）,

S^0A+OB=2OP,

則點(diǎn)尸為A3的中點(diǎn)，

貝I（華，號），

將其代入f），2=〃2中，整理得加及=/，

又|。4|=&悶,\OI3\=y/2\x2\,且OAA.OB,

則△408的面積為

|xV2Ln|xV2|x2|=6,

即a2=6,解得a=y/6,

故雙四線的實(shí)軸長為2遍.

11.解⑴因?yàn)椤?石，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為23=lS>0),

將點(diǎn)4(5,2)代入雙曲線的方程得

然a,解得匹16,

因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為《卷=1.

(2)在橢圓[+[=1中，

94

r=V9—4=VS,

所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fi(V5,0),F2(V5,0),

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為H=l(a>0，歷>0),

因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，

所以a2+b2=c2=5,

點(diǎn)P5,2)代入雙曲線方程，

可嗚Qi，

聯(lián)立*。2—卻解得a2=1,

(a2+/=5,b2=4,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?^=I.

12.解(1弓7a=1的漸近線的方程為產(chǎn)±勺，即Z>.r+r<y=0,

由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bxay=0,則點(diǎn)F[c,0)到bxay=0的距離

,\bc\..

心許功二4,

又因?yàn)榻咕?c=10,所以c=5,

所以a2=c2b2=9,

所以雙曲線C的方程為9aL

(2)記雙曲線C的左焦點(diǎn)為Fo,則Fo(5,0),

\PA\+\PF]=\PA\+\PFo\+2a=\PA\+\PF^6,

當(dāng)尸0,p,A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|P尺I最小，且最小值為HR）|=17.

故|PA|+『F1的最小值為17+6=23.

13.C［由題意可知，NQPF2=90。,

又直線的斜率為2,

可得lan/PB”尸解=2,

IP為I

根據(jù)雙曲線定義|PQ||PBI=2a,

得|PK|=4a,\PF2\=2a,

pFpF2

^pF1F2=1l>ll2|=1XX2a=4a,

又SgFiFz=8,所以cr=2,

所以IRB|2二|PQ|2+|PF2|2

=(4a)'+(2a)2=20a2=40.

又IEF2/=4C、2,所以?=10,

又層*d,所以從=8,

所以雙曲線的方程為三4=1」

28

I4.D［“對勾函數(shù)”尸爭號的兩條漸近線分別為尸爭和尸0,夾角為60°,實(shí)軸所在直線是兩條漸近線

夾角的角平分線，所以實(shí)軸所在直線的偵斜角為60。，斜率為百，方程為、-顯x,

V6V6

y=X=―,x=

聯(lián)立V3,b解得2或，所以此“對勾函數(shù)”所對應(yīng)的雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)為（日,

”守+工，3V2

(y=~2~,

3V2\_u/瓜

—bi-y*--3^)2\

所以實(shí)軸長為Jg+亨I+（乎+￥）12憫

15.ACD［對于A,由雙曲線C：三-4=1（》＞0）可知〃=2遍,右頂點(diǎn)A（2遙,0）,

20匕/

其漸近線方程為J=±^=X,右頂點(diǎn)4到一條漸近線的距離為2,

由雙四線的對稱性不妨取漸近線為b.x-2V5y=0,

則萼紋二2,解得〃=V5

Jb2+20

故雙四線C的漸近線方程為

產(chǎn)/二±夕,A正確；

對于B,由于〃=2A/5、b二后,

所以c=J(2VI)2+(遮)2=5,

故雙曲線C的離心率為:二條二B，B錯誤；

對于C,