重難點(diǎn)突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

目錄

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題

題型七：三次函數(shù)恒成立問題

'方法技巧總結(jié)

1、基本性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：f（x）=ar3+bx2+cx+d（ab、c、4wR且a。。），其基本性質(zhì)有：

性質(zhì)1：①定義域?yàn)镽.②值域?yàn)镽,函數(shù)在整個(gè)定義域上沒有最大值、最小值.③單調(diào)性和圖像:

性質(zhì)2：三次方程/（幻=0的實(shí)根個(gè)數(shù)

由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三

次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)f(x)=^+bx2+cx+d(a^O)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):/'(x)=3ax'+2bx+c(a/0),

判別式為：△=4從-12a=4廳-3*),設(shè)/'a)=0的兩根為不、與，結(jié)合函數(shù)草圖易得：

(1)若〃2—3〃cW0,則/(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(2)若。2-3a>0,且“0-/(勺)>0,則/。)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若b2-3ac>0,且/(%)?/(巧)=0,則/(刈=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(4)若一一3w>0,且/(±)/(.)<0,則/(刈=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.

說明:(1)(2)/(%)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=/*)與工軸只相交一次，即/(x)在R上為單調(diào)

函數(shù)(或兩極值同號(hào)),所以從-3acW0(或從—3ac>0,且/(大)?/缶)>0)；

(5)/(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線)，=/*)與［軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以

2

b-3ac>0,且/(玉)?f(x2)=0;

(6)八幻=。有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線)，=/(萬與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即/(x)有一個(gè)極大

值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以〃2-3〃。>0且/(與)?/(占)<0.

性質(zhì)3：對(duì)稱性

(1)三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是；,/(-—));

3a3a

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2、常用技巧

(D其導(dǎo)函數(shù)為尸(刈=362+28+。=()對(duì)稱軸為％=—2,所以對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的

3a

對(duì)稱軸，可見，)，=/(x)圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù))，=/'")的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)

也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；

(2)y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若y=/'(A)的圖象關(guān)于點(diǎn)(〃?,〃)對(duì)稱，則y=f\x)圖象關(guān)于直線x=m

對(duì)稱.

(3)若y=f(x)圖象關(guān)「直線x=m對(duì)稱，則y=f'(x)圖象關(guān)「點(diǎn)(〃z,0)對(duì)稱.

(4)已知三次函數(shù)/(x)=a/+法2+cx+d的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為小，若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)％,占，

則有以止幽=一半內(nèi)一七)：="'■)?

X,—ZJ

一必考題型歸納

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

例I.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(式)=/+奴+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-3)C.(T-l)D.(-3,0)

例2.(2023?江蘇揚(yáng)州?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)〃x)=x3

(1)求f(x)的極值;

(2)是否存在實(shí)數(shù)“，使得方程/(力=。恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)”的值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

例3.(2023?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=aF+辰2一3.幅泊￡陽，且

/(-'?)在x=1和X=3處取得極值.

⑴求函數(shù)/(幻的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+，，若g(x)=/*)+r有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

變式1.(2023?天津河西?高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知/(x)=o?+加2-4。，a,beR.

(1)當(dāng)?！?,求y=/(x)的極值；

(2)當(dāng)〃=0,〃=2,設(shè)g(x)=.PTnx+l,求不等式的解集；

(3)當(dāng)。＞0時(shí)，若函數(shù)/(%)恰芍兩個(gè)零點(diǎn)，求，的值.

變式2.(2023?河北保定?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=,d-3/+3x.

(1)求函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)x=0處的切線方程；

(2)若/(人)―-/十，〃在x?0,2］上有解，求的取值范圍；

(2)設(shè)G(x)="i)-g(x).若0<"2,G(x)在［1,3］上的最小值為求G(x)在［1,3］上取得最大值時(shí)，對(duì)

應(yīng)的x值.

例6.(2023?江蘇常州?高三常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)次幻=/-m2一〃2彳十］,其中〃>0.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若曲線)，=/(x)在點(diǎn)(-4/(-〃))處的切線與)，軸的交點(diǎn)為(0,。)，求什1的最小值.

變式5.(2023?廣東珠海?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(力=!{-0?+(/—］卜+人(0bwR),其圖象在

點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為x+y-3=o.

(1)求a,b的值;

(2)求函數(shù)“力的單調(diào)區(qū)間和極值：

⑶求函數(shù)/(力在區(qū)間［-2,5］上的最大值.

變式6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(公=丁-心2_x，〃eR,且/'⑴=0.

(1)求曲線V=fW在點(diǎn)(T,/(-D)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間。引上的最大值.

變式7.(2023?全國(guó)?百三專題練習(xí))已知函數(shù)八幻=/+3板2+"+d在(-8,0)上是增函數(shù)，在Q2)上是減

函數(shù)，且/(X)=。的一個(gè)根為-b

(1)求。的值;

(2)求證：/*)=0還有不同于4的實(shí)根占、與，且占、—b、4成等差數(shù)列:

（3）若函數(shù)/（幻的極大值小于16,求/⑴的取值范圍

變式8.（2023?浙江寧波?高三效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（力=!丁-0?+3+2*+|（其中〃>0）.

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若"X）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)玉，x?求/G）+/*2）的取值范圍.

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題

例7.（2023?陜西商洛?高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)/(切=113-(4〃?—1)/+(15〃/—2〃?-7卜+2在口

3

上是增函數(shù)，則m的取值范圍是（）

A.m<2或m>4B.—4<m<—2C.2<m<4D.2<m<4

例8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）三次函數(shù)/。）=〃浸7在（TO,*o）上是減函數(shù)，則用的取值范圍是（）

A.m<0B.m<\C.tn<0D.m￡1

例9.（2023?江西宜春?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=:/_竽/,g（x）=L-,tlXfm是實(shí)數(shù).

（1）若/（X）在區(qū)間（2,+8）為增函數(shù)，求m的取值范圍：

（2）在（1）的條件下,函數(shù)3）=/QAg（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

變式9.（2023?陜西榆林?高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)/@）="'+區(qū)-3在x=［處取得極值,

且在（0,-3）點(diǎn)處的切線與直線3x+），=0平行.

（1）求/*）的解析式；

（2）若函數(shù)g（x）=/（x）+，小在區(qū)間（I,2）上單調(diào)遞增，求，〃的取值范圍.

變式10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=；1_|2金+4］在［1,2］上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍為

題型四：三次函數(shù)的切線問題

例10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)〕已知函數(shù)/0)=V-x.

(1)求曲線丁二fM在點(diǎn)M(r,/⑺)處的切線方程；

(2)設(shè)常數(shù)。＞0,如果過點(diǎn)PS,㈤可作曲線)，=/(%)的三條切線，求〃?的取值范圍.

例U.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃1)=.--3/十X-1.

(1)求曲線＜=/(力在點(diǎn)尸("⑺)處的切線方程;

(2)設(shè)勿＞1,若過點(diǎn)Q(〃?,〃)可作曲線丁=/(耳的三條切線，證明:一2

例12.(2023?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=gd-ga/+(a_［)x+2(acR),/(幻滿足

/(x)+/(-x)=4,已知點(diǎn)M是曲線y=/(x)上任意一點(diǎn),曲線在M處的切線為/.

(1)求切線/的傾斜角。的取值范圍；

⑵若過點(diǎn)21，可作曲線)，=/*)的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

變式11.(2023?安徽?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)“X)=-!/-/+如+3,在4=0處取得極值.

6

(1)求〃?的值;

(2)若過(2")可作曲線y=〃x)的三條切線，求，的取值范圍.

變式12.（2023?陜西西安?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃力=/―/2爐在點(diǎn)0J⑴）處的切線方程為

3x+y-l=（）.

（1）求實(shí)數(shù)。，〃的值；

（2）若過點(diǎn)（-1,帆）（，〃工7）可作曲線〉=/（6的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

變式13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（耳=：丁+a/+辰+4〃<0）在工=0處取得極值T.

⑴設(shè)點(diǎn)A（-a,/（-〃）），求證：過點(diǎn)A的切線有且只有一條，并求出該切線方程；

⑵若過點(diǎn)（0,0）可作曲線>=〃"）的三條切線，求。的取值范圍；

⑶設(shè)曲線產(chǎn)/（力在點(diǎn)（XJU））、（蒼,/仁））（工產(chǎn)用處的切線都過點(diǎn)（0,0）,證明：/'（$）￡/'（9）.

題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問題

例13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)/'（X）是函數(shù)），=/（用的導(dǎo)函數(shù)，尸（X）是函數(shù)y=f'（x）的

導(dǎo)函數(shù).若方程<"）=。有實(shí)數(shù)解X=/，則稱（如/（.*）））為函數(shù)、=/*）的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函

數(shù)f（x）=ax^+bx2+cx+d（a*0）都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心若函數(shù)

…3c，…/11/2、/3、.（4044}/4045、/、

/（X）=X'—3x~>則/I----+f----+/|----+…+/I----+f----=（）

八U023J[2023）UO23J12023）（2023>l

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

例14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)〕已知函數(shù)），=丁+3/+工的圖象。上存在一定點(diǎn)?滿足：若過點(diǎn)P的直線/

與曲線。交于不同于尸的兩點(diǎn)M（N，X）,N（.G，兄），就恒有凹+為的定值為然，則為的值為.

例⑸（2023?新疆?統(tǒng)考二模）對(duì)于三次函數(shù)/（力=加+區(qū)2+5+44工0）,給出定義：設(shè)/⑴是），=/（可

的導(dǎo)數(shù)，夕⑴是）=/'（"的導(dǎo)數(shù)，若方程。（力=0有實(shí)數(shù)解與，則稱點(diǎn)（如〃/））為曲線y=/（x）的“拐點(diǎn)”,

可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)網(wǎng)力=2「一3寸+?—3,貝焉）+/募］+…+

（些］=

（2023J------------'

變式14.（多選題）（2023?江蘇南京?高三南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）對(duì)于三次函數(shù)

/（x）=加+加+5+d（〃w0）,給出定義：尸（力是函數(shù)y=〃x）的導(dǎo)數(shù),/（%）是函數(shù)廣。）的導(dǎo)數(shù),若

方程廣（力=。有實(shí)數(shù)解而，則稱（事,/伍））為函數(shù)y=/（"的"拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函

數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)〃制二,3_2_12丹一，

則下列說法正確的是（）

A.7"）的極大值為一

0

B./（“有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（；,2）是〃”的對(duì)稱中心

2023]

2024)=4046

變式15.（多選題）（2023?廣東佛山?高三南海中學(xué)?？计谥校┒x：設(shè)尸（"是/"）的導(dǎo)函數(shù)，廣（X）是函

數(shù)廣⑴的導(dǎo)數(shù).若方程廣（司=。有實(shí)數(shù)解/，則稱點(diǎn)（AoJ（x。））為函數(shù)產(chǎn)/（"的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：

任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)''且"拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，已知函數(shù)/（x）=ad+Zu2+g（"工0）

的對(duì)稱中心為（1,1）,則下列說法口正確的有（）

A.?=-,b=-1

3

B.函數(shù)/（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C.過卜|）可以作兩條直線與尸/⑺圖像相切

D.若函數(shù)”X）在區(qū)間（"6J）上有最大值，則0v，43

變式16.（多選題）（2023?安徽阜陽?高三安徽省太和中學(xué)?？几?jìng)賽）定義：設(shè)廣（x）是/"）的導(dǎo)函數(shù)，r（-v）

是函數(shù)廣（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程廣（力=0有實(shí)數(shù)解小，則稱點(diǎn)（%/（%））為函數(shù)y=/（x）的“拐點(diǎn)、'.經(jīng)過探究發(fā)

現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)'且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心.已知函數(shù)

/（幻=&爐+版2+：（"00）的對(duì)稱中心為（1/），則下列說法中正確的有（）

A.a=-b=-1

3f

2、198

+/的值是

B.fioo>Toi)+/fe199.

C.函數(shù)/（“有三個(gè)零點(diǎn)

-1，：）可以作三條直線與y=圖像相切

D.過

JZ

題型六：三次函數(shù)的綜合問題

例16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃工）=丁+加+以-d在（口,（）］上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函

數(shù),且方程/（力=。有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是。，夕，2,則小+42的最小值是（）

A.5B.6C.1D.8

例17.（2023?陜西西安?高三西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（%）=/+加+5+d（aK0）,f〈x）=g（x）,

給出下列四個(gè)結(jié)論，分別是：①a〉0；②/（x）在R上單調(diào)；③/⑴有唯一零點(diǎn);④存在%,使得g（*<0.其

中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一定不可能是（）

A.①B.②C.③D.?

例18.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知/'⑴二丁一6a，+9）-“仄：，a<b<c,J3.f（（i）=f（b）=/（c）=0,現(xiàn)

給出如下結(jié)論：

①f（x）G；②/。注3；③〃0）/⑴<0；

?/（0）/（3）>0；⑤成<4.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是一.

變式17.(2023?黑龍江大慶?高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?已知

9

/(X)=xi--x2+6x-abc,a<b<c,Hf(a)=f(b)=f[c)=0,現(xiàn)給出如下結(jié)論:

①f(0)/⑴X)；②八0)/⑴<0:?/(0)/(2)>0；@/(0)/(2)<0.

其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.②③B.①?C.②④D.①③

變式18.（2023?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)），=/（"的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件

是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)）=/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（〃⑼成中心對(duì)稱圖形

的充要條件是函數(shù)），=/（\+。）-力為奇函數(shù).已知函數(shù)/。）=丁+加+區(qū)+1.

（1）若函數(shù)y=/（x）的對(duì)稱中心為（」2）,求函數(shù)y=〃x）的解析式.

⑵由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元〃（〃6內(nèi)）次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式“X）在復(fù)數(shù)集中可以分解為〃個(gè)一次因式

的乘積.進(jìn)而，一元〃次多項(xiàng)式方程有〃個(gè)好數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程

4/2+々/+《）=（）（q/0），在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為為，4，則方程。2父+?！?。0=?？勺冃螢樯ā芬黄üひ弧?0,

__/、$+”一幺

展開得：西-心（砧）工+研%,=（）則有產(chǎn)生（內(nèi)+”即］“2,

%=%%%_劭

XrlXr2~~

??

類比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

①若4=0,方程=攵在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為儲(chǔ)、X,、與，當(dāng)240,1］時(shí)，求x：+x；+石的最大值；

②若〃=一3,〃=一2,函數(shù)丁=/（工）的零點(diǎn)分別為￥］、巧、/，求4++4的值.

X

百2*3

變式19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=Y+力r+cx+d在（-8,0］上為增函數(shù)，在［0,6］上為減

函數(shù)，且方程〃力=。的三個(gè)根分別為國(guó)，聲.

（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）求片-4x/2+A的取值范圍.

變式20.（2023?費(fèi)州貴陽?高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）給出定義：設(shè)/'（幻是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)，尸（X）

是函數(shù)）,=/'（外的導(dǎo)函數(shù)，若方程/〃（x）=（）有實(shí)數(shù)解%,則稱5））為函數(shù)），=/。）的.“同點(diǎn)”.經(jīng)研究

發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/U）=ax^+bx2+cx+d（"0）都有“固點(diǎn)”,且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)y=fW的圖象的對(duì)稱

中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識(shí)回答下列問題：已知函數(shù)/（幻=V+（3a-3）f+（6a-9/口—5〃（〃eR）.

（1）當(dāng)。二一1時(shí)，試求丁=/（用的對(duì)稱中心.

（2）討論的單調(diào)性;

（3）當(dāng)。=2時(shí)，/（?=，〃有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)|內(nèi)-七|取得最大值時(shí)，求機(jī)的值.

題型七：三次函數(shù)恒成立問題

例19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)/。）的導(dǎo)函數(shù)f（x）=-3V+3且八0）=-1,

g（x）=xInx+—（a>1）.

x

（1）求人工）的極值；

（2）求證:對(duì)任意內(nèi),々c（°，十°°），都有（再）.

例20.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/（"={-3/+。，g（x）=#nx.

⑴求/（"的極值；

⑵對(duì)于V,v2e1,e,都有/（七）之&（占），試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例21.（2023?四川瀘州?高三瀘州老窖天府中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)/"）="'+加-3M?AceR）.

（1）若函數(shù)/（x）在點(diǎn)（IJ⑴）處的切線方程是），+2=0,求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）在（1）的條件下，若對(duì)于區(qū)間［-2,3］上任意兩個(gè)自變量的值為，4,都有|/（內(nèi)）-/（七）歸〃?，求出

實(shí)數(shù)川的取值范圍.

變式21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/"）=一:/+；加+2〃、+3（?！??）,尸（力為函數(shù)f（x）的導(dǎo)

函數(shù)

⑴若入=-1為函數(shù)/