專題11函數(shù)中的同構(gòu)問題

一、考情分析

近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將不

同的式子通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方

法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問題中，

或利用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此力法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.

二、解題秘籍

(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問題大多屬于指對跨階問題，比如

e'+x與x+lnx屬于“跨階函數(shù)"，而e'+lnx屬于“跳階函數(shù)”，對于指對跳階的函數(shù)問題，直接求解，一般

是通過隱零點代換來簡化，并且有很大局限性，有些題若采用指對跨階函數(shù)進行同構(gòu)，可將跳階函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問題，從而使計算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：==

f(x)=X+f(x)=X+\nX,/(x)=eA-x+a,f(x)=\nx-x+ci等，在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、

不等式證明、雙變量問題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)等問題中常通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)求解.

利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見的湊形技巧，如：x=e,n\x=Ine\xel=e^,n\-=er-|nv等.

x

【例1】(2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期考試)已知函數(shù)/(x)=lnx-or-：

⑴當(dāng)。=2,求/(x)的極值；

⑵若恒成立，求〃的取值范圍.

【解析】(I)當(dāng)c/=2時/(x)=lnx-2x—xe(0,-Ko),

X

則f，(x)」_2+[=H…1=二(f2x+l),

v7xx2x2

所以在(0,1)上第x)>0,/(力單調(diào)遞增,在。,y)上r(x)〈0,/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)工=1時/(X)取得極大值，/(1)=0-2-1=-3,故/(X)的極大值為-3,無極小值.

(2)由/(x)Wy3,可得Inx-好」則ln」4所e,g|Jlnx--<lnettK.

xxxea,

令g(x)=lnx」，貝iJg(x)Wg(e4),

X

因為g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以則以

X

令人(力=卓，則/?力=呼￡,

在(o,e)上”(力>0,〃(%)單調(diào)遞增,在(e,+00)上〃'(x)<0,/心)單調(diào)遞減，即力(%)皿=〃(e)=L

e

所以則a的取值范圍為+8].

el_eJ

【例2】(2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)/(x)=f+lnx+av在x=l處的切

線/和宜線x+y=0垂直.

(1)求實數(shù)。的值；

⑵若對任意的■，占?0,2],x產(chǎn)々，都有"為)一-1+、>〃?成立(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),求

e1-e2

實數(shù)〃?的取值范圍.

【解析】(1)由函數(shù)/(力=/+12:+依，可得r(x)=2x+，+c,可得/'(l)=a+3

.1

因為函數(shù)在X=1處的切線/和直線x+y=o垂直，所以r(i)=l,

即a+3=1,解得a=—2.

(2)解：不妨設(shè)()<』<巧<2,則記一記<(),

因為對任意的不匕?0,2],“產(chǎn)跖，都有/(*)一八七)「、+父》又成立,

6?1-e2

x,2

可得/(X)一/(&)-4：+4<〃z(e*—e*2),g|Jf(x})-x；-me<f[x2)-x；-me',

設(shè)g(x)=〃x)-V-〃S，則g(R<g(X2)，故g(x)在(0,2]單調(diào)遞增,

從而有g(shù)'。)=--2-〃&>0,即m<尸&-2)在(0,2]上恒成立，

設(shè)叔x)=尸&一2),則〃z訓(xùn)正，

因為//(A)=一e_(：-2)+e-?(—5)=er?Z"；""(。<2),

令力'(x)>0,即2x2—x-i=(2x+l)(x—l)>0,解得1<XW2，

令〃(x)<0,2X2-X-1=(2X+1)(X-1)<0,解得0<xvl,

所以力(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在。2]單調(diào)遞增，

又因為伙1)=-J故旗力在(0,2]上最小值〃⑴疝”一，所以”區(qū)一，

1

實數(shù)機的取值范圍是-8,--.

I6」

(-)xe,型同構(gòu)

【例3】(2023屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期考試)已知函數(shù)/'(刈=1-依(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴當(dāng)〃=1時，求〃工)的極值點；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑶若g(x)=e'(x-l)-alnx+/(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)〃=1時，/(x)=e*—x,則/'(x)=e、—l.

當(dāng)X?YO,0)時，f(x)<0,此時函數(shù)/(幻遞減，當(dāng)xe(0,+oo)時，/^.r)>0,此時函數(shù)/")免增，

所以/“)極小值點為工=0,無極大值點.

(2)求導(dǎo)/'(%)=

①當(dāng)a?0時，制勾>0,〃幻在R上遞增

②當(dāng)。>0時，

當(dāng)He(-oo,lna)時，/'(4)<0,/")在(一oo』na)上遞減，

當(dāng)xe(lna,+8)時，/”)>0,此時函數(shù)/(.t)在(lno,+o。)上遞增.

(3)等價于身(“=朧'-。(1nx+1)=把*一。1n(xe%)(x>0)有兩個零點，

令，=,\(%>0),則/'=(x+l)eX>0在x>0時恒成立，所以在X>0時單調(diào)遞增，故/〉0,

所以8(司=心'-。皿(.記，有兩個零點，等價于/7(r)=f-aln/有兩個零點.

因為/?'⑺=1—0=?，

tt

①當(dāng)時，//(0>0,〃⑺在r>0上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，不符合題意舍去，

②當(dāng)〃>0時，令〃'Q)>0,得/>〃，以。單調(diào)遞增，令人⑴<0,得0</<4,〃⑺單調(diào)遞減，

所以〃(/)min=/?(。)=。一川114.

若批4)>0,得0<〃<e,此時/?)>0恒成立，沒有零點；

若力(。)=0,得，7=e,此時/)有一個零點.

當(dāng)o,/(x)有2個零點，

e

(2)當(dāng)相=0時，若對任意x>0,恒有"(e；+l)2/(切(f+i)等價于:

對任意x>0,恒有av(ertV+l)>lnx2(x2+l),

令尸(x)=(x+l)lnx,則不等式等價于4*

由于9(x)=lnx+」，

X

令加(x)=lnx+上士加(1)=，-4=三^,

當(dāng)0vxv1,加(x)v0,/M(X)單調(diào)遞減,當(dāng)x>l,w/(x)>0,/n(x)單調(diào)遞增,所以F'(x)=m(x)>m(l)=2>0,

故尸(“在(0,+8)單調(diào)遞增，

由尸(e'“"戶(Y)得加>，對什意x>()恒成立，

兩邊取對數(shù)得arN21nxn”叱對任意x>0恒成立，

2x

故;g3M，所嗚*"W

工乙Lv

2

故。的范圍為。

c

(四)e*+ox+b型同構(gòu)

【例5】(2024屆福建省漳州市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)〃x)=ae'+x+l.

(1)討論/⑴的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x>l時，/(x)>ln—+x,求實數(shù)〃的取值范圍.

a

【解析】(1)依題意，得ra)=*+i.

當(dāng)〃20時，r(x)>0,所以/(、)在(-oo,xo)單調(diào)遞增.

當(dāng)0<0時,令尸(幻>。，可得XV-In(-a)；

令f\x)<0,可得x>-ln(-a),

所以/(??)在(-oo,-ln(-?))單調(diào)遞增，在(-ln(-tz),+oo)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，/(用在(fKO)單調(diào)遞增：當(dāng)〃<0時，/(幻在(f,Tn(-a))單調(diào)遞增，在㈠n(-a),e)

單調(diào)遞減.

r-Ix-I

(2)因為當(dāng)x>l時，/(x)>ln:——+x,所以ae'+x+l>ln---+x,

即e""ex+x+1>ln(x-l)-lna+x,

即er4,no+\na+x>ln(x-l)+x-l,

即^toa+x+\na>eMT)+In(x-l).

令人(x)=e，+x,則有"*+1|］。)>加111(工-1))對\/1￡(1,+00)恒成立.

因為〃'(x)=e*+l>0,所以〃(x)在(TO,+00)單調(diào)遞增，

故只需x+lna>ln(x-1),

即Ina>ln(x-l)-x對Vxe(1,+<Q)恒成立.

12-x

令尸(x)=ln(x-l)-x,則9(x)=-------1=——，令/")=0,得x=2.

x-Ix-\

當(dāng)工w(l,2)時，尸(為>0,當(dāng)了“2,2)時，F(xiàn)(x)<0,

所以"(x)在(1,2)單調(diào)遞增，在(2.”)單調(diào)遞減，

所以產(chǎn)(x)W22)=-2.

因此lna>-2,所以

e-

(五)Inx+at+Z?型同構(gòu)

\v+i2/\a+x+lnx一

【例6】已知/(x)=e--，g(x)=-------;------，aeR.

?VX

(1)當(dāng)XW(1,E)時,求函數(shù)g(x)的極值;

(2)當(dāng)。=0時,求證：f(x)>g(x).

【解析】(1)/(力=(1辿”"當(dāng)。之1時,/(力<0,即g(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞減,

X

故函數(shù)g("不存在極值；

當(dāng)"1時，令/（工）=。，得x=e?，

X(i)e'-a⑹…)

g'(x)+0-

g(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)

故8（X）極大偵=g（丁"）=…二『"）=坐=e“T+1,無極小值.

綜上，當(dāng)時,函數(shù)g（x）不存在極值:

當(dāng)時,函數(shù)g(x)有極大值,g(x)極大位=e"'+l,不存在極小值.

(2)顯然x>(),要證：/(x)>^(x),

即證：e^+,>V+2+lnV,即證：疣川之lnx+x+2,

x

即證：e,nx+x+,>(lnx+x+l)+l.

令f=lnx+x+l,故只須證：e!>r+l.

設(shè)力("=1一3一1,則〃'(x)=e"-l,

當(dāng)工>0時，//(x)>0,當(dāng)x<0時，/f(x)<0,

故叫“在(0,鈣)上單調(diào)遞增，在(-。⑼上單調(diào)遞減，

即力(x)由=〃(°)=°，所以〃㈤對,從而有e』+l.

故ea/+l,即/(x"g(x).

三、典例展示

【例I】(2024屆江蘇省徐州市邳州市新世紀學(xué)校高三上學(xué)期月考)已知函數(shù)/(x)=(%2+l)hu—x2一辦.

⑴若4=1,求/'(X)的最小值：

⑵若方程/(司:以化”-f有解，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=l時，/(x)=|x2+l)lrLv-x2-x,

f'(x)=2x\nx-x+--\,

設(shè)g(x)=r(x),則/(x)=l+21nx—%,

g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/⑴=0,

所以xe(0,l)時，g'(x)<0,/'(工)單調(diào)遞減，

X￡(l,+oo)時,/(力>0,/'(X)單調(diào)遞增,

所以ra：L=r(i)=7；

(2)/(.r)=ave2<u一Y即2(V+1)InX=2av(e2ttV+l),

即+1)Inx2=(e2av+l)lne2av,

設(shè)力(x)=(x+l)lnx(x>0),則

/f(x)=lnx+l+—,設(shè)〃?(x)=lnx+l+，(x〉O),則=

XX

所以xw(O,l)時，(x)<0,"?)單調(diào)遞減，

X€(l,+oo)時,〃7(x)>o,單調(diào)遞增,

所以〃?(x)之〃z(l)=2>0,lip/f(x)>0,〃(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以方程/⑴="后"-V有解即/=e2,“在(o,y)上有解，

Inx

20r=2hix有解，即。二」有解，

x

設(shè)Mx)='!^(x>0),則〃(x)=i

xw(O,e)時，〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

xw(e,+co)時,〃'(x)vO,〃(x)單調(diào)遞減，所以〃(x)?〃(e)=L

e

當(dāng)工->0時，

j(r

所以。4一，即實數(shù)a的取值范圍是-00-.

eI?！?/p>

【例2】(2024屆安徽省六校教育研究會高三上學(xué)期素質(zhì)測試)已知函數(shù)/(x)=ae、-x(e是自然對數(shù)的底

數(shù)).

(1)討論函數(shù)〃力的單調(diào)性;

⑵若網(wǎng)”=加?-1)-心+/(工)有兩個零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(1)因為/(x)=ae，7,所以f'(x)=，e'-l,

當(dāng)〃W0時，/'(力<0,所以/(?在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)〃>0時，令用工)>0得x>-lna；令;(x)<0得xv-ln",

所以/(可在(f，Tn〃)上單調(diào)遞減，在(-In?”)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)心。時，〃x)在R上單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)a>0時，/(x)在(f-hw)上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增.

(2)由題意身(x)=?eA(x-l)-lnx+/(x)=aveA-\nx-x=aver-ln(ve、)(尢>0)有兩個零點，

令z=(x>0),則，=(l+x)e*>0在(0,+R)上恒成立,所以z=心，在(0,+。。)上單調(diào)遞增,

故f>0,所以g(x)=ore'-In(.ve、)有兩個零點等價于7。)="-In，有兩個零點，

等價于“丁有兩個不同的實數(shù)解'等價于、="與.1)=7在兩個交點，

1-In/

則h'S=力'(1)>0得0</〈e,4(/)<0得，>e,

Inr在(0,e)上單調(diào)遞增，在3+動上單調(diào)遞減，又"9)=止=』,

所以人0)=A(D=O,

ee

當(dāng)j趨向于0且為正時，趨向于負無窮大，當(dāng)，趨向于正無窮大時，趨向于0,如圖:

所以實數(shù)。的取值范圍為o<〃<L

e

【例3】(2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期月考)已知函數(shù)〃x)=(/+〃ln(x-l),

g(x)=/(x)+3%+x.

vq

⑴當(dāng)。二一1時，求函數(shù)/'("的極值；

⑵若任意外、x,e(l,E)且天工王，都有g(shù)(*)-g(W)>］成立,求實數(shù)。的取值范圍.

王一W

【解析】(1)當(dāng)〃二一1時，/(力=92-皿％-1),其中xe(l,+<o),

則“力=5“一二T年「令/'3=0,解得戶-1或、=2,

又因為x〉l,所以x=2,

列表如下：

X(1,2)2(2,田)

/⑺—0+

/(X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因此,(X)有極小值/(2)=1,無極大值.

2

(2)解：因為8(刈=/(耳+二一：/+不，/(A-)=lx4-6/in(x-l),

e44

所以g(x)=〃ln(x-l)+e+x,其中xe(l,+oo),

e

對V3、七?1,+00)且務(wù)工工2，不妨設(shè)內(nèi)>々，則%-9>0，

得到g(%)-g(W)>%一%，化為g6)-%>g(%)一七,

設(shè)力(X)=g(X)7且函數(shù)力⑴的定義域為。,+00),

所以4(x)=aln(x-l)+二在(1,內(nèi))為增函數(shù)，

e

即有力‘3=三-4之0對X>1恒成立，即a2二二對任意的X>1恒成立，

x1ee

設(shè)夕(力=口，其中則”")=與，

ee

令夕，(力>。，解得l<x<2,令d(x)<。，解得x>2,

所以*(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以奴”最大值*(2)=1，因此實數(shù)。的取值范圍是讓與.

ee

【例4】已知=-a(x+21nx)

⑴當(dāng)4=e時，求/(%)的單調(diào)性;

(2)討論/(X)的零點個數(shù).

【解析】⑴解：因為〃=e,x>(),/(x)=x2ev-e(x+21nx)

所以r(x)=(/+2,eJe(l+：)=xa+2)e'_^^=(x+2Ge',-|>/⑴=0

令g(x);短(x)=(x+l)e'+?_>0,所以g(x)在(0,向單增，且g(l)=0,

當(dāng)xw(0,1)時g(x)=xev--<0,當(dāng)xG(l,+oo)Ihj-g(X)=xev-->0,

XX

所以當(dāng)X￡(0,1)時/")VO,當(dāng)Xw(1,也)時第A)>0,

所以“力在(。/)單調(diào)遞減，在(1,y)單調(diào)遞增

(2)解：因為/(力=即/er—Mx+ZlnxbeZm_〃(工+211)=0

令Z=x+21nx,易知，=x+21nx在(0,xo)上單調(diào)遞增，且fwR,

故f(x)的零點轉(zhuǎn)化為〃吊=/2放一a(x+21nx)=e'-ar=0即e'=w,fwR,

設(shè)g(/)=S-m,則g〈r)=cJa,

當(dāng)〃=0時，g?)=e，無零點；

當(dāng)“<0時./(。=占一々>(),故g“)為R卜的增函數(shù).

而g(0)=l>0,=故g。)在R上有且只有一個零點；

當(dāng)4>0時,若fw(Yo,lna),則g'(r)<0；/e(lnt/,-Ko),則g'(r)>0；

故gUm=g(lM=a(Ina),

若”二e,則8(/).=0,故g。)在R上有且只有一個零點；

若0<"e,則g(。1nhi>。，故g(J)在R上無零點；

若〃〉e,則此時lna>l,

而^?(0)=1>0,g(21na)="=-21na),

設(shè)力(a)=〃-21na,a>e,則=-->0,

故人(。)在(e,+8)上為增函數(shù)，故MG>〃(e)=e-2>0即g(21na)>0,

故此時g〃)在R上有且只有兩個不同的零點；

綜上：當(dāng)OW“<e時，0個零點；當(dāng)〃=e或”0時，1個零點：a>e時，2個零點;

【例5】已知函數(shù)/(x)=e'-Hrt〈aeR.

(1)當(dāng)。=0時，若曲線)，=/(x)與直線>=丘相切于點兒求點P的坐標(biāo);

⑵當(dāng)。=e時，證明：/(x)>c；

⑶若對任意xe(O,”)，不等式恒成立，請直接寫出〃的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)〃=()時，/(x)=e；r(x)=e*.

設(shè)戶則切線斜率4=應(yīng)

k=匕”

由切點性質(zhì)，得〈4,，解得％=1.

e"=kx0

所以點P的坐標(biāo)(l,c).

⑵當(dāng)。=6時-，/(x)=ex-elnx,其中x>(),則/'(力二。'-"!,

令g(x)=e'，，其中上>0,貝ij/(x)=e'+與>0,

X

故函數(shù)廣(刈在(0,+8)上單調(diào)遞增，且:(1)=0,

當(dāng)X變化時，X,r(力,/(A-)變化情況如下表：

X(。,1)1(1收)

門刈—0+

小)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由上表可知,/(x).=『(l)=e.所以f(x)Ne.

(3)品然a>0,在(0,+e)上/(.r)=e、一勿nx>alna恒成立，即已?加"-hu>Ina恒成立即

ex-ha-Ina>Inx恒成立，

所以e-'M+x-\na>x+\nx=”+liu,恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'+x,xe(0,+oo),易知g(x)在(0,+a?)上是增函數(shù),

所以無一Ina>kw恒成4,即\na<(x-\nx)min,

令力(x)=x-Inx,〃(x)=---(x>0),

當(dāng)工w(0,l)時,/f(x)<0,所以4x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)時,”卜)>0,所以力⑴在(1,+00)上單調(diào)遞增,

所以/?(x)inin=//(I)=1,所以]na<1,解得0<a<e,

所以實數(shù)〃的取值范圍(O,e).

【例6】已知函數(shù)/(x)=x-alnx,(awR)

⑴請討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性

(2)當(dāng)xe-,+。時，若e-4(ln(Inx+x+l)+l)恒成立，求實數(shù)4的取值范圍

,e/x

【解析】(1)/(外=1-0=二(《>0)

XX

當(dāng)“K0時，/*)>(),/*)在(0,物)上遞增

當(dāng)〃>0時，在((),〃)上/@)<0,"V)單調(diào)遞減

在(a+?)±/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

(2)原式等價于*N4(]n(inx+x+l)+l)

設(shè)7=lnx+x,xwI,400)

由(1)當(dāng)。=一1時，/*)=lnx+x為增函數(shù)，.\re[--l,+oo),

c

???等式等價于92〃】11(，+1)+1),%5-1,*01亙成立，

t=--\U'j,e">0成立，/￡(工_1,+8)時，"?二~~-?

ee)ueln(/+l)+l

設(shè)g")=-'一->/G(--1,4<O),

In"+1)+1e

S(ln(r+l)4-l)-ef(—)ln(r+1)+1--—

g()=---------------=e'------------------'

(ln(r+l)+l)2(ln(/+l)+l)2

設(shè)力")=ln(/+1)+1———,

t+\

〃'⑴=Jr+77As>°所以〃")在d-1,y)上為增函數(shù)，

/+1(/+1)e

又因為a(0)=0,所以在d-1,0)上，h(t)<o,/.^(r)<0,g")為減函數(shù)，

e

在(0,+8)上，/?(;)>0,g(i)>0,R")為增函數(shù)，

，g(f)min=前。)=1，/./I<1-

四、跟蹤檢測

1.12023屆廣東省深圳市光明區(qū)高三二模)已知函數(shù)〃》)=竺三」的圖象在(1,/。))處的切線經(jīng)過點

(2,2叫

⑴求。的值及函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)g(x)=Q]，若關(guān)于x的不等式/Ug(x)We2M-l在區(qū)間(1,y)上恒成立，求正實數(shù)％的取值范圍.

lav

2.〔2023屆海南省海口市龍華區(qū)海南華僑中學(xué)高三一模)已知函數(shù)〃"=二+1.

X—1

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)