【目標(biāo)要求】I.理解動能定理，會用動能定理解決一些基K問題2掌握解決動能定理與圖象結(jié)

合的問題的方法.

考點(diǎn)一動能定理的理解和基本應(yīng)用

【基礎(chǔ)回扣】

1.動能

⑴定義：物體由于運(yùn)動而具有的能量叫作動能.

(2)公式：瓦=產(chǎn)。入單位:焦耳(J).lJ=1N-m=lkgnfd.

(3)動能是標(biāo)量、狀態(tài)量.

2.動能定理

(1)內(nèi)容：力在?個(gè)過程中對物體做的功，等于物體在這個(gè)過程中動能的變化.

2

(2)表達(dá)式：W=AEk=Ek：—?=jnv^—jnv\.

(3)物理意義：合力做的功是物體動能變化的量度.

【技巧點(diǎn)撥】

1.適用條件

(1)動能定理既適用于直線運(yùn)動，也適用于曲線運(yùn)動.

(2)動能定理既適用于恒力做功，也適用于變力做功.

(3)力可?以是各種性質(zhì)的力.既可以同時(shí)作用，也可以分階段作用.

2.解題步驟

3.注意事項(xiàng)

(1)動能定理中的位移和速度必須是相對于同?個(gè)參考系的，一般以地面或相對地面靜止的物

體為參考系.

(2)當(dāng)物體的運(yùn)動包含多個(gè)不同過程時(shí)，可分段應(yīng)用動能定理求解；也可以全過程應(yīng)用匆能定

理求解.

(3)動能是標(biāo)量，動能定理是標(biāo)量式，解題時(shí)不能分解動能.

【例1】(2019?遼寧大連市高三月考)如圖I所示，一名滑雪愛好者從離地〃=40m高的山坡上

A點(diǎn)由靜止沿兩段坡度不同的直雪道A。、。?；拢狡碌證時(shí)的速度大小。=20m/s.已

知滑雪愛好者的質(zhì)量〃?=60kg,滑雪板與雪道間的動摩擦因數(shù)〃=0.25,8c間的距離乙=

100m,重力加速度g=10m/s2,忽略在。點(diǎn)損失的機(jī)械能，則下滑過程中滑雪愛好者做的

功為()

h

c^~L--------，B

圖1

A.3000JB.4000J

C.5000JD.6OCX)J

答案A

6+〃吆力=夕〃。2,

解析根據(jù)動能定理有W—以ocosa一即：W-7〃〃gL+〃?g力

=*加2,求得W=3000J,故選A.

【例2】(2017?上海卷?19)如圖2,與水平面夾角夕=37。的斜面和半徑R=0.4m的光滑圓軌道

相切于8點(diǎn)，且固定于豎直平面內(nèi).滑塊從斜面上的A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)8點(diǎn)后沿圓軌道運(yùn)

動，通過最高點(diǎn)C時(shí)軌道對滑塊的彈力為零.己知滑塊與斜面間動摩擦因數(shù)"=0.254取

10rn/s2,sin37，,—0.6,cos37°—0.8)求：

圖2

⑴滑塊在C點(diǎn)的速度大小女；

(2)滑塊在B點(diǎn)的速度大小劭；

(3)43兩點(diǎn)間的高度差。

答案(1)2m/s(2)4.29nVs(3)1.38m

解析(。在C點(diǎn)，滑塊豎直方向所受合力提供向心力，〃吆=喏

解得0c=/斤=2m/s.

(2)B-C過程，由動能定理得

—tngR(\4-cos370)=%近一］地/

解得VB=yjv(r+2,g/?(1+cos37°)^4.29ni/s.

(3)滑塊從A-8的過程，利用動能定理：

mgh—/zwgcos37%，；7。=熱如2-0

代入數(shù)據(jù)，解得力=1.38m.

跟進(jìn)訓(xùn)練

1.(動能定理的理解)(2018?天津卷2)滑雪運(yùn)動深受人民群眾喜愛.如圖3所示，某滑雪運(yùn)動

員(可視為質(zhì)點(diǎn))由坡道進(jìn)入豎直面內(nèi)的圓弧形滑道A3,從滑道的A點(diǎn)滑行到最低點(diǎn)B的過程

中，由于摩擦力的存在，運(yùn)動員的速率不變，則運(yùn)動員沿人8下滑過程中()

B

圖3

A.所受合外力始終為零

B.所受摩擦力大小不變

C.合外力做功一定為零

D.機(jī)械能始終保持不變

答案C

解析運(yùn)動員從A點(diǎn)滑到3點(diǎn)的過程中速率不變，則運(yùn)動員做勻速圓周運(yùn)動，其所受合外力

指向圓心，A錯(cuò)誤：如圖所示，運(yùn)動員受到的沿圓弧切線方向的合力為零，即居二mgsina,

下滑過程中a減小，sina變小，故摩擦力R變小，B錯(cuò)誤；由動能定理知，運(yùn)動員勻速率下

滑動能不變，合外力做功為零，C正確；運(yùn)動員下滑過程中動能不變，重力勢能減小，機(jī)械

能減小，D錯(cuò)誤.

2.（動能定理的應(yīng)用）（多選）（2019.寧夏銀川市質(zhì)檢）如圖4所示為一滑草場.某條滑道由上下

兩段高均為近與水平面傾角分別為45。和37。的滑道組成，載人滑草車與草地之間的動摩擦

因數(shù)均為4.質(zhì)量為，〃的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑，經(jīng)過上、下兩段滑道后，最

后恰好靜止于滑道的底端（不計(jì)載人滑草車在兩段滑道交接處的能量損失，重力加速度大小為

g,sin37°=0.6,cos370=0.8）.則（）

圖4

A.動摩擦因數(shù)〃巖

B.載人滑草車最大速度為、尸甲

C.載人滑草車克服摩擦力做功為機(jī)的

D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為蘇

答案AB

解析對載人滑草車從坡頂由岸止開始滑到底端的全過程分析，由動能定理可知：加分2力一

"〃儂os45。.j'；F一"〃?gccs37°.j'；70=0,解得"=*或項(xiàng)A正確；對經(jīng)過上段滑道的過

程分析，根據(jù)動能定理有mgh—R/ngcos45。?：*2,解得：駕^,選項(xiàng)B正確；

0111■?'乙\1/

載人滑草車克服摩擦力做功為2mgh,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；載人滑草車在下段滑道上的加速度為a

W(=0—jinvi?,則W祥=外孫)2—"〃?g(s+x),故選項(xiàng)A正確.

考點(diǎn)三動能定理與圖象結(jié)合的問題

1.解決圖象問題的基本步驟

（1）觀察題目給出的圖象，弄清縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)所對應(yīng)的物理量及圖線所表示的物理意義.

（2）根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)出縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)所對應(yīng)的物理量間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）將推導(dǎo)出的物理規(guī)律與數(shù)學(xué)上與之相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系式相對比，找出圖線的斜率、截

距、圖線的交點(diǎn)、圖線下的面積等所表示的物理意義，分析解答問題，或者利用函數(shù)圖線上

的特定值代入函數(shù)關(guān)系式求物理量.

2.圖象所圍“面積”和怪象斜率的含義

動能定理與￡k-v圖象結(jié)合

m41（2019?全國卷川」7）從地面豎直向上拋出?物體，物體在運(yùn)動過程中除受到重力外，還

受到一大小不變、方向始終與運(yùn)動方向相反的外力作用.距地面高度"在3m以內(nèi)時(shí)，物體

上升、下落過程中動能反隨力的變化如圖7所示.重力加逗度取10m/s2.該物體的質(zhì)量為（）

圖7

A.2kgB.1.5kgC.1kgD.0.5kg

答案C

解析法一：特殊值法

畫出運(yùn)動示意圖.

設(shè)該外力的大小為F,據(jù)動能定理知

A-&上升過程）：—（mg+F）h=EkB-EkA

8fA（下落過程）:（mg—F）h=EkA，—￡k8'

整理以上兩式并代入數(shù)據(jù)得〃3?=30J,解得物體的質(zhì)量機(jī)=1kg,選項(xiàng)C正確.

法二：寫表達(dá)式根據(jù)斜率求解

上升過程：一（〃吆+尸）/2=反一反0,

則反=一+F）h+Eko

下降過程：尸）/?=Ek'—反0'，

則E/=（〃氓一尸）力+反0’，

72_36

結(jié)合題圖可知N=12N,

JU

48-24

mg—F=N=8N

3-0

聯(lián)立可得〃?=1kg,選項(xiàng)C正確.

動能定理與「一x圖象結(jié)合

【例5】如圖8甲所示，在傾角為30。的足夠長的光滑斜面AB的A處連接一粗糙水平面

O人長為4m.有一質(zhì)量為機(jī)的滑塊，從O處由靜止開始受一水平向右的力尸作用.尸在水

平面上按圖乙所示的規(guī)律變化.滑塊與OA間的動摩擦因數(shù)"=0.25,g取10m/s2,試求：

圖8

(1)滑塊運(yùn)動到A處的速度大?。?/p>

(2)不計(jì)滑塊在4處的速率變化，滑塊沿斜面AB向上運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離是多少.

答案(I)"m/s(2)5m

解析(1)由題圖乙知，在。4段拉力做功為W=(2〃?gX2-05〃gXl)J=3.5〃，g(J)

滑動摩擦力Ff=—fimg=-0.25〃?g,Wf=FVXOA=—〃ig(J),

滑塊在OA上運(yùn)動的全過程，由動能定理得

VV+用=協(xié)辦2—0

代入數(shù)據(jù)解得d=5小m/s.

(2)對于滑塊沖上斜面的過程，由動能定理得

一，〃gAsin30°=0-5加/

解得L=5m

所以滑塊沿斜面AB向上運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離為L=5m.

跟進(jìn)訓(xùn)練

4.(動能定理與。一/圖象結(jié)合)(2020?山西太原市模擬)用傳感器研究質(zhì)量為2kg的物體由靜

止開始做直線運(yùn)動的規(guī)律時(shí)，在計(jì)算機(jī)上得到。?6s內(nèi)物體的加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖

9所示.下列說法正確的是()

圖9

A.。?6s內(nèi)物體先向正方向運(yùn)動，后向負(fù)方向運(yùn)動

B.0?6s內(nèi)物體在4s時(shí)的速度最大

C.物體在2?4s內(nèi)的速度不變

D.。?4s內(nèi)合力對物體做的功等于。?6s內(nèi)合力對物體做的功

答案D

解析物體6s末的速度場=gx(2+5)X2m/s-：XlX2m/s=6m/s,結(jié)合題圖可知0?6s

內(nèi)物體一直向正方向運(yùn)動，A項(xiàng)錯(cuò)誤：由題圖可知物體在5s末速度最大，pm=1x(2+5)X

2m/s=7m/s,B項(xiàng)錯(cuò)誤：由題圖可知物體在2?4s內(nèi)加速度不變，做勻加速直線運(yùn)動，速

度變大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；在0?4s內(nèi)由動能定理可知，W合4=5，必2—0,又。4=；X（2+4）X2m/s

=6m/s,得W合4=36J,0?6s內(nèi)合力對物體做的功：卬江二品笳-0,又w=6m/s,

得卬合6=36J,則卬令4=卬合6,D項(xiàng)正確.

5.（動能定理與Ek-x圖象結(jié)合）（2020?湖北高三月考）質(zhì)量為2kg的物塊放在粗糙水平面上,在

水平拉力的作用下由靜止開始運(yùn)動.物塊的動能Ek與其發(fā)生的位移x之間的關(guān)系如圖10所

示.已知物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)"=。.2,重力加速度g取10m/s2,則下列說法正確的

是（）

圖10

A.x=1m時(shí)速度大小為2m/s

B.x=3m時(shí)物塊的加速度大小為2.5m/s2

C.在前4m位移過程中拉力對物塊做的功為9J

D.在前4m位移過程中物塊所經(jīng)歷的時(shí)間為2.8s

答案D

解析根據(jù)動能定理△反=產(chǎn)合x可知，物體在兩段運(yùn)動由分別所受合外力恒定，則物體做加

速度不同的勺加速運(yùn)動；由邈圖圖象司知x=lm時(shí)動能為2J,v\=騁=6m/s,故A

錯(cuò)誤.同理，當(dāng)x=2m時(shí)動能為4J,V2=2m/s：當(dāng)x=4m時(shí)動能為9J,火=3m/s,則2?

4m內(nèi)有2?2^2=^42—1^22,解得2?4m內(nèi)物塊的加速度為生=1.25m/s2,故B錯(cuò)誤.對物體

運(yùn)動全過程，由動能定理得：航+（一〃叫心）=瓜木一0,蜂得場=25J,故C錯(cuò)誤.0?2m過

程，/i=—=2s；2?4m過程，/2=^T—=0.8s,故總時(shí)間為2s+0.8s=2.8s,D正確.

V2。2十

2

課時(shí)精練

政雙基鞏固練

1.（2018?全國卷H44）如圖1,某同學(xué)用繩子拉動木箱，使它從靜止開始沿粗糙水平路面運(yùn)動

至具有某一速度.木箱獲得的動能一定（）

圖I

A.小于拉力所做的功

B.等于拉力所做的功

C.等于克服摩擦力所做的功

D.大于克服摩擦力所做的功

答案A

解析由題意知，W拄-W￡=A￡k,則WGAEk,A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；與AEk的大小

關(guān)系不確定，C、D項(xiàng)錯(cuò)誤.

2.如圖2所示，小物體從A處由靜止開始沿光滑斜面40下滑，又在粗糙水平面上滑動，最

終停在8處，已知A距水平面08的高度為人物體的質(zhì)量為加，現(xiàn)用力將物體從8點(diǎn)靜止

沿原路拉回至距水平面高為各的C點(diǎn)處，已知重力加速度為g,需外力做的功至少應(yīng)為（）

圖2

A.eqmghB.eqm^h

C.cqmghD.2/ngh

答案C

解析物體從A到8全程應(yīng)用動能定理可得〃吆萬一所=0,由8返回。處過程，由動能定理

25

得W「一用一亍〃g/?=0,聯(lián)立可得故選C.

3.（2018?江蘇卷4）從地面豎直向上拋出一只小球，小球運(yùn)動一段時(shí)間后落回地面.忽略空氣

阻力，該過程中小球的動能反與時(shí)間/的關(guān)系圖像是（）

答案A

解析小球做豎直上拋運(yùn)動，設(shè)初速度為U0,則V=Vo—gt

小球的動能Ek=5i*把速度D代入得

Ek=/鏟尸-mg研）/+；/如（）2,

反與f為二次函數(shù)關(guān)系，故A正確.

4.（2021?廣東茂名市第一中學(xué)期中）如圖3所示，運(yùn)動員把質(zhì)量為〃?的足球從水平地面踢出，

足球在空中達(dá)到的最高點(diǎn)高度為心在最高點(diǎn)時(shí)的速度為。，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,

下列說法正確的是（）

圖3

A.運(yùn)動員踢球時(shí)對足球做功如2

B.足球上升過程重力做功〃甲力

C.運(yùn)動員踢球時(shí)對足球做功nigh+/*

D.足球上升過程克服重力做功〃3+%?5

答案C

解析足球被踢起后在運(yùn)動過程中，只受到重力作用，只有重力做功，重力做功為一所妙，

即克服重力做功〃?B、D錯(cuò)誤；由功能定理有W人一〃2g〃=；/如2,因此運(yùn)動員對足球做功

W\=mgh+呼版,故A錯(cuò)誤，C正確.

5.（2021?湖南懷化市模擬）如圖4所示，。。是水平面，是斜面，初速度為g的物體從。

點(diǎn)出發(fā)沿。8A滑動到頂點(diǎn)4時(shí)速度剛好為零，如果斜面改為AC,讓該物體從。點(diǎn)出發(fā)沿

DCA滑動到4點(diǎn)且速度剛好為零，則物體具有的初速度（已知物體與斜面及水平面之間的動

摩擦因數(shù)處處相同且不為零）（）

A.等于。oB.大于加

C.小于如D.取決于斜面

答案A

解析物體從。點(diǎn)滑動到頂點(diǎn)A過程中一〃RXA。一加一"/"geosa?XA4=0—fw（，，由幾

何關(guān)系有XAHCOSa=XOB,因而上式可以簡化為一〃RXA。一〃加gJ">=0—^inv（）2,從上式可以看

出，物體的初速度與路徑無關(guān).故選A.

6.（2021?福建寧德市高三期中）如圖5所示，質(zhì)量為m的物體置于光滑水平面上，一根繩子跨

過定滑輪一端固定在物體上，另一端在力尸作用下，物體由靜止開始運(yùn)動到繩與水平方向的

夾角a=45。時(shí)繩以速度。o豎直向下運(yùn)動，此過程中，繩的拉力對物體做的功為（）

圖5

A.eq/rry（）2B.eqw^o2

C.〃w（）2D.cq/nPo2

答案C

解析將物體的運(yùn)動分解為沿繩子方向的運(yùn)動以及垂直繩子方向的運(yùn)動，則當(dāng)物體運(yùn)動到繩

與水平方向的夾角。=45。討物體的速度為。，則。以拈45。=%，可得。=小伙），物體由靜止開

始運(yùn)動到繩與水平方向的夾角a=45。過程中，只有繩子拉力對物體做功，由動能定理得■繩的

拉力對物體做的功：W=^rnv2—0=mvi)2,故C正確，A、B、D錯(cuò)誤.

7.(多選)在某一粗糙的水平面上，一質(zhì)量為2kg的物體在水平恒定拉力的作用下做勻速直線

運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動一段時(shí)間后，拉力逐漸減小，且當(dāng)拉力減小到零時(shí)，物體剛好停止運(yùn)動，圖6

中給出了拉力隨位移變化的關(guān)系圖象.已知重力加速度g取10m/s?.根據(jù)以上信息能精確得

出或估算得出的物理量有()

圖6

A.物體與水平面間的動摩擦因數(shù)

B.合外力對物體所做的功

C.物體做勻速運(yùn)動時(shí)的速度

D.物體運(yùn)動的時(shí)間

答案ABC

解析物體做勻速直線運(yùn)動時(shí)，拉力后與滑動摩擦力R相等，物體與水平面間的動摩擦因

A1

數(shù)為4=滯=°.35,A正確；減速過程由動能定理得V%+Wf=°—即m2,根據(jù)尸一，圖象中圖

線與坐標(biāo)軸圍成的面積可以估算力F儆的功WF,而Wt=-/tmgx=—Fo，v,由此可求得合外力

對物體所做的功，及物體做勻速運(yùn)動時(shí)的速度B、C正確：因?yàn)槲矬w做變加速運(yùn)動，所以

運(yùn)動時(shí)間無法求出，D錯(cuò)誤.

8.質(zhì)量〃?=1kg的物體，在水平恒定拉力網(wǎng)拉力方向與物體初速度方向相同)的作用下，沿粗

糙水平面運(yùn)動，經(jīng)過的位移為4m時(shí)，拉力片停止作用，運(yùn)動到位移為8m時(shí)物體停止運(yùn)動，

運(yùn)動過程中反一x圖象如圖7所示.取g=10m/s2,求：

圖7

(I)物體的初速度大??；

(2)物體和水平面間的動摩源因數(shù)；

(3)拉力廠的大小.

答案(l)2m/s(2)0.25(3)4.5N

解析(1)從題圖可知物體初動能為2J,則

&0='蘇=2J,

得。=2m/s.

⑵在位移為4m處物體的動能為反=IOJ,在位移為8m處物體的動能為零，這段過程中物

體克服摩擦力做功.

設(shè)摩擦力為R,則由動能定理得

-FfX2=0-Ek

代入數(shù)據(jù)，解得R=2.5N.

因R="〃g,

故〃=0.25.

（3）物體從開始運(yùn)動到位移為4m的過程中，受拉力尸和摩擦力R的作用，合力為產(chǎn)一Ff,根

據(jù)動能定理有

（F—Ff）xi=Ek-fko,

故得尸=4.5N.

用能力提升練

9.（多選）（2020?貴州安順市網(wǎng)上調(diào)研）如圖8所示，半圓形光滑軌J道BC與水平光滑軌道AB平

滑連接.小物體在水平恒力/作用下，從水平軌道上的P點(diǎn)，由靜止開始運(yùn)動，運(yùn)動到8點(diǎn)

撤去外力F,小物體由。點(diǎn)離開半圓軌道后落在P點(diǎn)右惻區(qū)域.已知PB=3R,重力加速度

為g,產(chǎn)的大小可能為（）

圖8

A.eqingB.eq

C.nigD.eq

答案BC

解析小球能通過C點(diǎn)應(yīng)滿足〃苣

且由C點(diǎn)離開半圓就道后落在尸點(diǎn)右側(cè)區(qū)域，則有2R=/產(chǎn)，vd<3R,對小球從尸點(diǎn)到。點(diǎn)

由功能定理得

F3R—2mgR=^ntvc2,

聯(lián)立解得喈專哎

故B、C正確，A、D錯(cuò)誤.

10.如圖9所示，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水

平.一質(zhì)量為，〃的小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）從2點(diǎn)上方高為R處由靜止開始下落，恰好從尸點(diǎn)進(jìn)入

軌道.小球滑到軌道最低點(diǎn)N時(shí)，對軌道的壓力大小為4〃?g,g為重力加速度.用W表示小

球從P點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中克服摩擦力所做的功，則（）

-T-om

1￡Q

R

N

圖9

A.卬=]〃吆上小球恰好可以到達(dá)。點(diǎn)

B.,小球不能到達(dá)Q點(diǎn)

C.W=g〃?gR,小球到達(dá)。點(diǎn)后，繼續(xù)上升一段距離

D.卬(“小，小球到達(dá)Q點(diǎn)后，繼續(xù)上升一段距離

答案C

解析在N點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有尸N—〃田=根贊~,解得VN=〈3gR,對小球從開始下落至

到達(dá)N點(diǎn)的過程，由動能定理得〃?e2R-W=%s2-0,解得W=3咫R.由于小球在PN段某

點(diǎn)處的速度大于此點(diǎn)關(guān)于ON在NQ段對稱點(diǎn)處的速度，所以小球在PN段某點(diǎn)處受到的支

持力大于此點(diǎn)關(guān)于ON在NQ段對稱點(diǎn)處受到的支持力，則小球在NQ段克服摩擦力做的功

小于在PN段克服摩擦力做的功，小球在NQ段運(yùn)動時(shí)，由動能定理得一帆小一W'=&WQ2

因?yàn)閃'<^mgR,則小球在N處的動能大于小球從N到?？朔亓ψ龅墓涂朔?/p>

摩擦力做的功之和，可知%>0,所以小球到達(dá)Q點(diǎn)后，繼續(xù)上升一段距離，選項(xiàng)C正確.

11.如圖10甲所示，長為4m的水平軌道A3與半徑為R=0.6m的豎直半圓弧軌道8c在3

處相連接，有一質(zhì)量為1kg的滑塊(大小不計(jì))，從A處由靜止開始受水平向右的力尸作