第二章有理數(shù)的運算一新定義型及規(guī)律探究題型梳理專題練

2025.2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版(2024)七年級上冊

一、有理數(shù)運算中的程序問題

1.按如圖所示匕也衛(wèi)”亙□的程序計算，若開

始輸入的數(shù)為0,則最后輸出的結(jié)果為.

2.如圖所示的是一個簡單的數(shù)值運算程序.當輸入x的值為4時，輸出的值為一.

I輸(-96)|~^[7(-0.25)1義*T—(—l)l~V輸出/

3.按照如圖所示的一個數(shù)值轉(zhuǎn)換程序，若輸入機的值是-2,則輸出的結(jié)果是.

輸入〃？一?nf-5+3—?X(-2)—?輸出

4.小明同學(xué)編寫了一個加密數(shù)據(jù)的代碼，如圖是這個加密代碼的運算程序，按照這個運算程序，

當原始數(shù)據(jù)工=8時，加密后的數(shù)據(jù)是253：當原始數(shù)據(jù)x=40時，加密后的數(shù)據(jù)是235.如果輸入的

原始數(shù)據(jù)x是正整數(shù)，加密后的數(shù)據(jù)是217,那么原始數(shù)據(jù)x的值可以是.

輸入x1計算6x-5的值—輸出結(jié)果

二、古代中的有理數(shù)運算問題

5.如圖是中國古代“洛書”的一部分，洛書中用實心點或空心點的個數(shù)表示數(shù)字，縱、橫、斜三

條線上的三個數(shù)字，其和皆相等，則右下角代表的數(shù)是一.

+

6.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠占時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)如

圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，如圖1,

孩子出生后的天數(shù)=3x72+1x71+6=147+7+6=160(天)，請根據(jù)圖2,計算孩子自出生后的天數(shù)

是天.

7.第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(1CME-14)會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國

古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)3745.八進制是以8

作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有。?7共8個基本數(shù)字.八進制數(shù)3745換算成十進制數(shù)是

3x83+7x82+4x8'+5x80=2021,表示ICME—14的舉辦年份.則十進制數(shù)2025換算成人進制數(shù)

是.(注：8°=1)

8.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時?期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)一

位書生堅持每天五更起床讀書，為了勉勵自己，他用“結(jié)繩記數(shù)”的方法來記錄自己讀書的天數(shù)，如圖

1是他從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進一，表示的天數(shù)為51天(1x6+2x6+3=51),按同

圖1圖2

三、有理數(shù)運算中的新定義型問題

9.對于有理數(shù)h,定義運算：a0b=-a2+ab,^11201=-22+2x1=-2.

⑴計算(-5)⑥3的值；

⑵計算口8(-3)］額-2)的值.

10.定義一種新運算“△"：a^b=b2-ab，例如：1△(-2)=(-2『—1x(—2)=4+2=6.計算:

(1)(-3)..(-5)；

⑵目△怛.

H.對于任意有埋數(shù)小b,我們定義一種新運算“※”，規(guī)定：4※8=〃2-時+。2,如:

(-2蟀3=(-2)、-(-2)x3+32=19.

⑴求(-8)※(-5)的值：

（2）求（-5怦（3※2）的值.

12.定義新運算：=a?b=-^~（右邊的運算為平常的加、減、乘、除）.

abab

例如：3*7=i--=—,307=—=—.

37213x721

若a?b=a*b,則稱有理數(shù)。，〃為“隔一數(shù)對

例如：2*3=9922住3=六卷2齒3=2*3,所以2,3就是一對“隔一數(shù)對”.

⑴下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對''的是（請?zhí)钚蛱枺?

②a=-1,b=l.

⑵計算：（-3）*4-（-3慮4

（3）已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”.

計算：182+283+3笆)4+4笆)5++202302024.

四、有理數(shù)運算中的規(guī)律探究問題

111111

13.觀察下列等式：3r4

2^3~2-33^4-3-4

1111111

把以上三個等式兩邊分別相加得:—+----+-H—+—1=1-1=2

1x22x33x42233444

這種求和的方法稱為裂項求和法：裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項分解，然后重新組合，使之能

消去一些項，最終達到求和的目的.規(guī)律應(yīng)用：

計算：―+—+―++一!一的值

1x22x33x499x100

14.【觀察思考】觀察下列等式

11111111

將以上三個等式兩邊分別相加得：

111,11111,13

+----+------=J1-----------1---------=I=一

2x33x42233444

【探索規(guī)律】

1

（1）猜想并寫出:

小+1)

（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果:

足結(jié)合律.

能力練

1.我們定義i種新運算：a?b=a+b-ab.

⑴求3額-2）的值；

⑵求（T）⑥口二（-5）］的值.

2.現(xiàn)定義一種新的運算，規(guī)定：々※匕=/+〃匕一1,其中小〃均為有理數(shù)，例如:

隰2=F+lx2-1=2.求：

⑴（一3）※（一2）的值；

（2）2※信）—卜5）初的值.

3.根據(jù)下圖所示的程序【可答問題:

⑴當小明輸入-1和-2這兩個數(shù)時，輸出的結(jié)果是多少？

（2）當小明輸入-I和這兩個數(shù)時，輸出的結(jié)果是4,求被墨水污染的數(shù).

4.按圖中程序計算，并根據(jù)要求求出輸出的結(jié)果.

（I）當輸入的數(shù)為3時，直接寫出輸出結(jié)果為

⑵設(shè)輸入的數(shù)記作工，且忖=5,求出輸出的結(jié)果.

5.觀察下列等式：

LL

第1個等式：-----=-4-；

1x22x31x2x3

112

第2個等式：白-七=丁工：

2x33x42x3x4

I1?

第3個等式：

3x44x53x4x5

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴請直接寫出第4個等式：

⑵利用規(guī)律計算:—：—+—：—+—:—的值

1x2x32x3x43x4x5

⑶直接寫出際++際前的值.

答案

一、有理數(shù)運算中的程序問題

1.解：開始輸入的數(shù)為0,

解：Ox22-(-5)=O+5=5<8返回繼續(xù)運算；

5、22-(-5)=20+5=25>8輸出結(jié)果；

故答案為：25

2.解：當x=4時，

4X(-96)X(-0.25)X±-(-1)

=4x(-96)x(一撲京+1

=4x96x—X—+1

448

=2+1

=3,

故答案為：3.

3.解：5+3卜(一2)

=(4-5+3)x(-2)

=2x(-2)=4

故答案為：—4.

4.解：如果輸入的原始數(shù)據(jù)x是正整數(shù)，加密后的數(shù)據(jù)是217,

則(217+5)+6=37；

(37+5)^6=7；

(74-5)4-6=2；

故答案為：2或7或37.

5.解：最左邊的一列三個數(shù)字和為4+3+8=15,

???山最下面一行數(shù)字可得右下角代表的數(shù)是1581=6,

故答案為：6.

6.解：由題意得，圖2,計算孩子自出生后的天數(shù)=2x72+3x71+4=98+21+4=⑵,

故答案為：123.

7.解：3X83+7X82+5x8'+1x8°=2025，

???十進制數(shù)2025換算成八進制數(shù)是3751.

故答案為:3751.

8.解：圖2表示的天數(shù)是：1x63+2x62+3x6+2=308

故答案為：308.

三、有理數(shù)運算中的新定義型問題

9.(1)解：依題意得：

(-5)@3=-(-5)2+(-5)X3

=-25-15

=-40；

(2)解：[l?(-3)]0(-2)

=[-12+1X(-3)]?(-2)

=(-1-3)@(-2)

=5(-2)

=-(Y)2+(T)X(—2)

=-16+8

=—8.

10.(1)解：(-3)A(-5)

=(-5)2-(-3)X(-5)

=25-15

=10；

(2)解：f-^A4

(jAli

42-4x——△-

I2)3

=18A-

3

心)-184

53

=----

9.

11.⑴解:(一8)※(一5)=(—8)、(—8)X(—5)+(—5)2

=64-40+25

=49.

所以(-8)※(-5)的值為49.

(2)解：3X2=3?-3x2+2?

=9-6+4

=7；

(-5)^7=(-5)2-(-5)X7+72

=25+35+49

=109.

所以(-5法(3派2)的值為109.

41

12.(1)@Va--—,b-

3939

/.?*/?=——+3=—,??Z?=——x(-3)=—

4444

/.a?b=a&b,

①是“隔一數(shù)對”

?,?a=-l,b=\

：.a*h=-\—\=-2,6/0/?=—1x1=—1

a?b^a*b

???②不是“隔一數(shù)對''

故答案為：①

⑵原H-31X4

111

-3-4+12

2

11

(3)原式=+-----FH------------

1x22x33x42023x2024

1

-2+2-3+3-4+

20232024

1

2024

2023

2024

四、有理數(shù)運算中的規(guī)律探究問題

1111

13.解:---T----+-----+

1x22x33x499x100

111I

=1+-----1-...H-------

4233499100

1

100

99

100

14.(1)解:=1

1x222x3233x434

I

/?(/!+1)n+\,

11

故答案為:

⑵解「,++白+￡+

+2023x2024

11111

一+----+-----+??,+------------

2233420232024

1

2024

2023

2024

2222

⑶解:一十一—+

1x33x55x72023x2025

1

3355720232025

2025

2024

2025

15.解：(1)@|7-21|=21-7；

4

②一一1+一41

2552'

7777

③------

171817-?8

4177

故答案為：21-7；

521718

(2)①解：原式：15()1

557-2

1

=—，

5

故答案為：-1；

4A〃211111111

②解：原式=----H-----+----++---------?--+---?--------

2334452022202320232024

__1

-2-2024

1011

=2024

16.(1)十〃=卜+4,

/.?3?(-4)=|3+(-4)|=1；@(-4)?3=|(-4)+3|=l；

17

12

由以上運算可得，“絕佳”運算滿足交換律；

1717

故答案為：①1,②1,③立，④五；滿足;

(2)①:a十8=|。+可，

3十%=|3+4=7,

二3+x=7或3+工=-7,

x=4或工=-10；

②Va?b=\a+t\,

(-3)?x=|-3+;t|,x十彳=0+H=國,

(-3饞X=不十工=卜3+彳=|2凡,

:.一3+x=2x或一3十人=一2人,

解得犬=-3或x=l；

故答案為：①4或TO；②1或-3：

(3)十人=卜+可，

???6十(-7)=|6+(-7)|=1,I十(-8)=|1+(-8)|=7,

???[6?(-7)]0(-8)=7；

V(-7)e(-8)=|-74-(-8)1=15,6e15=|6+15|=21

.*.60[(-7)0(-8)]=21

???等式[6十(-7)]十(-8)=6十](-7)創(chuàng)-8)]不成立,

???“絕佳”運算不滿足結(jié)合律.

能力練

1.(1)解：原式=3+{-2)-3x(—2)

=3-2+6

(2)解：原式=(-4)磯1+(-5)-以(一5)]

=(T)?1

=(T)+l-(-4)xl

=1

2.(1)解：(-3)※(-2)

=(-3『+(-3)x(-2)-1

=9+6-1

=14；

(