第2講一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(二)

公考綱考情

本講為重要知識點，也是導數(shù)中的難點。主要以切線的題型進行總結，也包含了一些隱零點的思想和

極值點偏移的思想解決相關的切線的問題。還是要注意函數(shù)的思想和導數(shù)的幾何意義來理解這類題的

核心思想。

位考點梳理

考點一由導數(shù)的幾何意義求基礎切線問題

導數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在點X。處的導數(shù)『(短的幾何意義是在曲線y=f(x)上點P(XD,f(x。))處的切線的斜率.相應地,

切線方程為y—f(xo)=#(xo)(x-xo).

給切點求切線

以曲線上的點(xO,f(xO))(已知xO為具體值)為切點的切線方程的求解步驟:

①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)「(x)；

②求切線的斜率f'(xO)；

③寫出切線方程y-f(xO)=f'(>:O)(x-x()),并化簡.

有切線無切點求切點

以曲線上的點(xO,f(xO))(xO為未知值，可以設出來)為切點的切線方程的求解步驟：

①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)；

②求切線的斜率f'(xO)：

③寫出切線方程y-f(xO)=f'(>:O)(x-xO),并化簡.

無切點求參

規(guī)律同上，注意待定系數(shù)法的應用。

無切點多參

思維同上，依舊是設切點，待定系數(shù)求解方程(組)。

考點二復雜切線問題

“過點”型切線

1、設切點：P(x0,y0)

2、(x°)

3、y=f'(x)nk=f'(x0)。

4、切線方程:y-y<)=-)

5、過(a,b),代入：y-y。=

得b-y。=解出X。

以上是“在點”與“過點”的區(qū)別，

判斷切線條數(shù)

1.設點列方程過程同前（求切線過程）

2.切線條數(shù)判斷，實質(zhì)是切點橫坐標為變量的函數(shù)（方程）零點個數(shù)判斷

多函數(shù)（多曲線）的公切線

1.兩個曲線有公切線，且切點是同一點

2.兩個曲線有公切線，但是切點不是同一點。

考點三切線的應用

切線的應用：距離最值

主要思維：利用平移直線，直到與該函數(shù)切線重合。

切線的應用：距離公式轉(zhuǎn)化型

1.距離公式形式：平方和

2.以此還可以類比斜率公式形式

切線的應用：恒成立求參等應用

利用切線作為“臨界線”放縮。這類思維，有時也應用于大題的不等式證明，稱之為“切線放縮”。

切線的應用：零點等

對于函數(shù)與直線交點個數(shù)，可以借助于切線（臨界線）來求解，但是一定要注意函數(shù)一般情況下，是比較

簡單的凸凹函數(shù)。如下圖（示意圖），可以講清楚這里邊的“非充要”性

隹］題型剖析

高頻考點一由導數(shù)的幾何意義求基礎切線問題

例1、已知函數(shù)〃到二三手，則曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線的方程為.

【答案】2x-y=0

【解析】

…、2(x+1)cosx-2sinx.、

因為f(力=-------(v+1)2------，所以攵=/'(0)=2，

則所求切線的方程為)，=2x.故答案為：2x-y=0.

【變式訓練】

1、曲線/(x)=(x+l)e、+x在點(0,1)處的切線方程為.

【答案】3x-y+l=0

【解析】

解：rh/(x)=(x+l)e'+x,得=+(x+l)，+l,

所以在點(0,1)處的切線的斜率為f(0)=e°+(0+l)e°+l=3,

所以所求的切線方程為丁-1二3。-0),即3x-y+l=0,

故答案為：3x-y+l=0,

例2、曲線/(x)=f+1-2在p0處的切線平行于直線y=4x-l,則p0點的坐標為()

A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(TT)

【答案】C

【詳解】令f(x)=3f+l=4,解得x=±l,/(l)=0J(-l)=4故p。點的坐標為(1,0),(-1,-4),

故選C.

【變式訓練】

2、已知函數(shù)/*)="+二為偶函數(shù)，若曲線＞=/*)的一條切線與直線2戈+3y=0垂直，則切點的橫

e

坐標為()

A.V2B.2C.2In2D.In2

【答案】D

(詳解】73為偶函數(shù)，則/(一力="*+二=，+二G3)(。-1)=0a=1,/(x)=d,

e€

【變式訓練】

4、已知函數(shù)/(x)^axbix-bx(出/?￡R)在點(e,/(e))處的切線方程為廣3x-e,則o+b=.

【答案】0

【詳解】???在點(e,/(e))處的切線方程為y=3x-e,.?./(e)=2e,代入/(x)=adnx-bx得〃一〃二2

①.

又v/(x)=tz(l+lnx)-b,/.f[e)=2a-b=3②.

聯(lián)立①②解得：。=1/=-1..=。+〃=0.故答案為：().

高頻考點二復雜切線問題

例I、過原點作曲線y=ln/的切線，則切點的坐標為,切線的斜率為.

【答案】(e,l)-

e

解：設切點坐標為(乂歷的；/=-；故由題意得，—=-：解得，x=e；故切點坐標為(e,D；切線的斜

XXX

率為L

e

故切線方程為y=e)+l,整理得x—e)，=0.故答案為：(e,D；

ee

【變式訓練】

1、過點(-L-1)與曲線y=ex+尤相切的直線方程為.

【答案】y=2x+l.

【詳解】設切點坐標為(%,e"+%)，由y=e'+x得)/=e'+1,切線方程為y=(e"+l)(x-%)+e"+%，

,??切線過點(T,-l),「?-l=(e"+l)(—l—%)+卜+小，即=0,％=0,

即所求切線方程為y=2x+1.故答案為：y=2x+1.

例2、已知曲線S:y=3x-%3,則過點P(2,2)可向S引切線，其切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

【答案】C

【解析】

設在曲線S上的切點為卜,3/-r)，...),=3x—d,則y=3—3d,

所以，曲線S在點0,3，")處的切線方程為)，一(3―/)=(3-3/)(不一，)，

將點0(2,2)的坐標代入切線方程得/—3/+2=0,即。一。(產(chǎn)一2/-2)=0,

解得乙=1，72=1+6，，3=1-6

因此，過點夕(2,2)可向S引切線，有三條.故選：C.

【變式訓練】

2、已知過點A(a,0)作曲線C：y=x?e'的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,-4)U(0,+8)B.(0,+8)

C.(?8,-1)u(1,+8)D.(?8,-1)

【答案】A

【詳解】設切點為(xo，x°e")，y'=(x+l)/,/.Mx/=($+1>*，則切線方程為：

y-不("=(.%+1)?e"(x-無)，切線過點。)代入得：一毛。"=(%)+1)?e"(。一天))

a=-^―,即方程玉：-or。=0有兩個解，則有/="+44>()=々>0或4V-4.故答案為:A.

與+1

例3、直線y=丘+〃與曲線y="x)相切也與曲線y=g(x)相切,則稱直線y=H+b為曲線y=/(x)和

曲線y=g(x)的公切線，已知函數(shù)f(x)=g*)=。mx,,其中。工0,若曲線y=f(x)和曲線)，=g(x)

的公切線有兩條，則。的取值范圍為()

2

A.a<.()B.a<—IC.0<a<2cD.()<?<—

e

【答案】C

【解析】

【分析】

設切點求出兩個函數(shù)的切線方程，根據(jù)這個兩個方程表示同一宜線，可得方程組，化簡方程組，可以得到

變量。關于其中一個切點橫坐標的函數(shù)形式，求導，求出函數(shù)的單調(diào)性，結合該函數(shù)的正負性，畫出圖象圖

形，最后利用數(shù)形結合求出。的取值范圍.

【詳解】

設曲線/(幻二/的切點為：(s/2),八加二/二/工獷=？—所以過該切點的切線斜率為/'(s)=2s,

因此過該切點的切線方程為：y-52=2s(x-s)=>y=2sx-s2；

設曲線y=g(x)的切點為：,g(x)=alnx=g(x)=3,所以過該切點的切線斜率為gQ)=@,

xt

因此過該切點的切線方程為：y-a\nt=—(x-t)=>y=—x-a+a\nt,則兩曲線的公切線應該滿足：

2s=-

zz>a=4/-(l-lnr),

-s2=一〃+aIn/

構造函數(shù)h(t)=4/(1-In/)(/>0)=>/?(/)=4/(l-21nr),

當時，"⑺<。，/?⑺單調(diào)遞減，當Ov/v1時，"⑺>。，〃⑺單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最大值為:

/)=2e，當，>e時，"。)<0，當O〈f<e，〃⑴>0,函數(shù)的圖象大致如下圖所示：

要想有若曲線>=j\x)和曲線y=g(x)的公切線有兩條，則。的取值范圍為0vav2c.

故選：C

【變式訓練】

1JTY

3、函數(shù)/(x)=lnx+——與ga)=/+l有公切線y=c、(a>0),則實數(shù)〃？的值為()

X+1

A.4B.2C.1D.-

2

【答案】A

【解析】

設公切線y=cixXa>0)與兩個函數(shù)/(x)=InX+匹與g(x)=Y+1圖象的切點分別為A(與，y)和B

X1

g'(%2)-2s-a

]m

(毛，必)，由.(X)=[+((+])2，g'(x)=2x,可得，

y2=^2解得。=2,所以有

且(%)=石+1=%

1m

，(x)=(+(X+l)2

?/(M)=ln%+——--y\化簡得2x；-％+lnX]-1=0,令〃(x)=2f-x+lnx-1(x>0),則

X]1

X=g=2%

1("=4工+'-123＞。恒成立，即得函數(shù)/2(力=2/一1+111工一1(工＞0)在定義域上為增函數(shù)，又因

〃⑴=0,則可解得方程2x；—x+lnx「l=0,x,=1,則由/‘⑴='+而尸=2解得“=4.

故選:A.

高頻考點三切線的應用

例I、點P在函數(shù)y=lnx的圖像上，若滿足到直線y=x+。的距離為1的點P有且僅有1個，則。=()

A.y/2,+1B.5/2—1C.—y/2—1D.i.y/2,—1

【答案】B

【詳解】

函數(shù)y=lnx的導函數(shù)為，=L設直線kx+/〃與產(chǎn)Inx相切于點(%,%),

X

由題可知(1,0)到直線y=x+a的距離為1,

所以?氏L1,解得］=±&一1，結合圖象口J知，a=\/2-1.

故選:B.

【變式訓練】

1、點4在直線），=1上，點B在曲線），=lnx上，則|A卻的最小值為（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【分析】

設平行于直線y=x的直線與曲線），=lnx相切，將題意轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離，由導數(shù)的幾何意

義可得〃的值.進而可得結果.

【詳解】

設平行于直線y=x的直線尸x+b與曲線y=hix相切，

則兩平行線間的距離即為|A8|的最小值.

設直線y=x+力與曲線y=Inx的切點為（wJn/w）,

則由切點還在直線y=x-\-b上可得In〃?=〃?+/?，

由切線斜率等于切點的導數(shù)值可得工=1，

m

聯(lián)立解得m=1,b=—1,

由平行線間的距離公式可得|A8|的最小值為君券=乎，

故選：A.

例2、若FWWR，則■一力）2+卜2-己）2的最小值是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

由題意可轉(zhuǎn)化為點4（斯，爐）與點8（*,與）間的距離最小值的平方，

點A在函數(shù)y=，上，點8在函數(shù)y=lnx上，這兩個函數(shù)關于T=x對稱，

所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)V=Inx與丁=x的距離的最小值2倍的平方，

此時）,，=,=1,.?.），=lnx斜率為1的切線方程為y=x-l,它與y=x的距離為1.

x2

故原式的最小值為2.故選：B.

【變式訓練】

2、若玉,/eR，則（為一小丁+（天—9丫的最小值是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

原題等價于函數(shù)y="上的點A（x,d）與函數(shù)）'=lnx上的點可*，占）間的距離最小值的平方，結合兩個函

數(shù)關于）'=x對稱，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)），=lnx與），=x的距離的最/.、值2倍的平方，利用導數(shù)求切線方程最后

轉(zhuǎn)化求兩平行線間的距離平方即可.

【詳解】

由題意可轉(zhuǎn)化為點A（苞與點可產(chǎn),與）間的距離最小值的平方,

點A在函數(shù)），=/上，點8在函數(shù)y=lnx上，這兩個函數(shù)關于9對稱,

所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與），=工的距離的最小值2倍的平方，

此時）,，=4=1,

x

.?.y=]n.i斜率為1的切線方程為y=x-l,它與y=x的距離為也.

2

故原式的最小值為2.

故選:B.

例3、已知“為實數(shù)，則”1>必對任意的實數(shù)x恒成立”是的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出直線.'=丘與曲線,y=d相切時Z的值，再數(shù)形結合將廿〉辦對任意的實數(shù)x恒

成立轉(zhuǎn)化為OW〃<e,最后判斷充要關系即可得解.

【詳解】

設直線y=履與曲線y=I相切,且切點為（爽,泊）,

則，解得所以切點為（㈤，k=e,

所以切線方程為）'=6.

數(shù)形結合可知，e”>ar對任意的實數(shù)”恒成立等價于0<a<e.

而由0工a<e不能得到。va<2,故充分性不成立