第05講有理數(shù)的乘除運算（知識點+題型+強化訓(xùn)練）

。目錄

知識梳理

1.有理數(shù)乘法法則2.倒數(shù)3.有理數(shù)乘法法則的推廣

4.有理數(shù)乘法的運算律5.有理數(shù)除法法則6.有理數(shù)的乘除混合運算

題型鞏固

一、兩個有理數(shù)的乘法運算二、多個有理數(shù)的乘法運算

三、三理數(shù)乘法的實際應(yīng)用四、倒數(shù)五、有理數(shù)乘法運算律

六、有理數(shù)的除法運算七、有理數(shù)除法的應(yīng)用

八、有理數(shù)乘除混合運算九、有理數(shù)乘除中的簡便運算

十、十理數(shù)四則混合運算H、有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用

十二、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的式負十三、數(shù)軸上的翻折

強化訓(xùn)練

單選題（7）填空題（8）解答題（8）

知識點L有理數(shù)乘法法則

類型運算法則運算步驟示例

同號兩數(shù)同號得正，并把絕對值相乘（1）先看有無為0的因數(shù)，若(+5)x(+3)=15,

有，則乘積為0；(-5)x(-3)=15

異號兩數(shù)異號得負，并把絕對值相乘⑵如果沒有為0的因數(shù)，則先(-5)x(+3)=-15,

確定乘積的符號，再求乘積的(+5)x(-3)=-15

一個因數(shù)為0任何數(shù)與0相乘，積仍為0絕對值(-5)x0=0,0x(+3)=0

知識點2.倒數(shù)

1.定義如果兩個有理數(shù)的乘積為1,那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱這兩個有理數(shù)互

為倒數(shù).

2.互為倒數(shù)與互為相反數(shù)的異同

項目互為倒數(shù)互為相反數(shù)

不特點不同兩數(shù)之積等于1兩數(shù)之和等于0

同性質(zhì)不同互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號相同互為相反數(shù)且不等于0的兩個數(shù)的符號一正一負

點范圍不同只有0沒有倒數(shù)任意一個數(shù)都有相反數(shù)

⑴都是指兩人有理數(shù)之間的一種關(guān)系；

相同點⑵都具有規(guī)定性(可規(guī)定其中任意一個數(shù)是加另一個數(shù)的倒數(shù)或相反數(shù))、相對性(倒數(shù)或

相反數(shù)是相對于另一個數(shù)而言的)、成對性(倒數(shù)或相反數(shù)是成對出現(xiàn)的)

知識點3.有理數(shù)乘法法則的推廣

1.幾個不等于o的有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積的符號為負,

當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積的符號為正，即“奇負偶正”.

圖示：

2.幾個有理數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,結(jié)果就是0；反之，若幾個有理數(shù)的乘積為0,則至少有一個因

數(shù)為0.

圖示：

多個有理數(shù)相乘,一[乘積為。]

其中有因數(shù)為0,

知識點4.有理數(shù)乘法的運算律

運算律內(nèi)容用字母表示示例

乘法交換律兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變ah=ha6x(-8)=(-8)x6

乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘或先把后(ab)c=a(be)[3x(-4)]x(-6)=

兩個數(shù)相乘，積不變3x[(-4)x(-6)]

乘法對加法的一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)a(b+c)=ab-^ac4x(—3+5)=

分配律同兩個數(shù)分別相乘再把積相加4x(—3)+4x5

知識點5.有理數(shù)除法法則

1.法則(一)

⑴兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.

例如：

同號得正異號得負

II+II*

(-12)+(-3)=+(12+3)=4][(-0.5)+0.25=-(0.5子0.25)=巨|

IIGI14

絕對值相除絕對值相除

(2)0除以任何非0的數(shù)都得0.注意：0不能作除數(shù).

2.法則二

⑴除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù).即：a4-b=aXl/b(b豐0).

例如：

除法變乘法

(+2T)^(-1T)=Tx(-f)=-2

]了

除數(shù)變?yōu)槠涞箶?shù)

⑵運算步驟：先將除號變?yōu)槌颂?，將除?shù)變?yōu)槠涞箶?shù)，再運用有理數(shù)乘法法則進行計算.

知識點6.有理數(shù)的乘除混合運算

1.有理數(shù)的乘除混合運算順序

按照從左到右的順序計算，有括號的，先計算括號里面的.

2.有理數(shù)的乘除混合運算法則

有理數(shù)乘除混合運算往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照多個有理數(shù)相乘的法則計算.

題型鞏固

題型一、兩個有理數(shù)的乘法運算

(1、

L計算：-15x4的結(jié)果是()

A.1B.-1C.5D.-6

2.計算:

(1)(一：x0.25+(-3)x(-1.34)-2x53x0=.

(2)(-8)x<-ll^+(-7)x^-ll^+^15>112.4x5=.

3.(25-26七年級上?全國?課后作業(yè))計算：

⑴沁)⑵13加0.

⑶(-0.125)x(-8).(4)0X(-13.52).

題型二、多個有理數(shù)的乘法運算

4.(25-26七年級上?全國?課后作業(yè))下列算式中，積為負數(shù)的是()

A.0x(-5)x3B.4x(-0.5)x(-10)

題型五、有理數(shù)乘法運算律

15/5、1

11.（25-26七年級上?全國?課后作業(yè)）計算--x2^的結(jié)果是（）

20285

A.—B.—C.0D.—

7514

12.（25-26七年級上?全國?課后作業(yè)）計算：

（1）（-2）x（-7）x（-5）x卜;卜.

（2、

（2）-0.75x0.4x-I-=

I3J-------

13.（24-25七年級上?天津?qū)幒?階段練習(xí)）用簡便方法計算：

題型六、有理數(shù)的除法運算

14.（24-25七年級上?全國?隨堂練習(xí)）下列等式成立的是（）

91

c?2—X—D.

52II117

I（71

15.（24-25七年級上?湖北襄陽?階段練習(xí)）新定義一種運算，。助=—+-f.則（-3A4）A2的值

a\b）

是

16.（24-25七年級上?吉林白城,階段練習(xí)）計算:

題型七、有理數(shù)除法的應(yīng)用

17.（24-25七年級上?四川眉山?階段練習(xí)）有一棟居民住宅樓，每兩層樓之間的樓梯都是由17級臺階組成

的，小明一口氣從一樓一級臺階一級臺階地跑到最高一層，緊接著又一級臺階一級臺階地回到一樓，他一

邊數(shù)一邊跑，當他數(shù)到238時，恰好回到了一樓，那么這棟樓有（）

A.7層B.8層C.6層D.9層

24

18.（24-25七年級上?吉林松原?階段練習(xí)）小英用:小時走了n千米，則小英行走的速度是每小時

千米.

19.（24-25七年級上?四川眉山?期中）中國高鐵設(shè)訂標準高，行駛穩(wěn)定，是中國發(fā)展的張獨特而亮麗的“名

片”.至2022年底，中國高鐵運營里程超過4.3萬千米，位居世界第一，高鐵的票價是按"票價=每千米乘

車價錢X乘車路程〃的方法計算的，已知A站至G站的里程為2000千米，全程票價為800元，沿途各站的路

程如圖.李老師從C站上車，購買了一張80元的票，他可能會在哪一站下車？請列式說明.

ABCDEFG

0200400600100016002000

題型八、有理數(shù)乘除混合運算

20.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）計算（-1）/-0卜（-；）的結(jié)果是（）

I1

A.7B,3C,--D.-

21.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）計?算：（-1）+（-弓上3=.

題型九、有理數(shù)乘除中的簡便運算

/157、

22.（25-26七年級上?全國?周測）計算：-72x---+—+（-2）.

14912Jv,

23.（23-24七年級上?廣東河源?期中）學(xué)習(xí)本節(jié)知識后，薛老師給同學(xué)們出了這樣的兩道題:

①卜2T+力

②（一奸卜卜后,?

下面是小剛和小明做的過程：

小剛：解：①原式=（一;+24）=8-12+6=2.

小明：解：②原式=卜春卜（-3+2-4）=（-/x-5）=套.

請回答：

⑴小剛和小明的解題都對嗎？如果不對，請寫出正確的計算過程；

⑵小華是個愛動腦筋的好學(xué)生，他觀察了①、②這兩個式子是互為倒數(shù)的關(guān)系，故先求出①式的結(jié)果,

即可得到②式的結(jié)果，你認為他的思路正確嗎？

⑶如果你認為小華是正確的，請試著計算：島上（卜小a卻（卜卜小/卜7??

題型十、有理數(shù)四則混合運算

24.（25-26七年級上?全國?周測）要使算式6-1-3口2）勺計算結(jié)果最小，口中應(yīng)填入的運算符號是（）

A.+B.-C.xD.+

題型十一、有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用

25.（24-25七年級上?新疆烏魯木齊?期末）根據(jù)如圖可知，某地2023年人均年收入（）元.

26.（24-25七年級上?湖北十堰?期末）甲、乙兩人同時從A地出發(fā)前往相距270千米的B地，甲每小時比乙

多走10千米.甲到達4地后立即返回A地，在距4地30千米處與乙相遇，則甲出發(fā)_小時甲乙第一次相遇.

27.（2025七年級上?浙江寧波?專題練習(xí)）有一個長方體容器，底部有一塊擋板（垂直于底面，厚度忽略），

將容器下面分成力、4兩部分，3部分有一個漏洞，水可以往下漏.C是用來測量水面高度的尺子，。是進

水管，每秒進水0.75升.如圖記錄的是開始注水后水面高度隨時間變化的情況.請回答:

25cm15cm

(1)￡表示多少？

⑵漏洞每秒鐘漏出多少升水？

(3/、G各表示幾？

題型十二、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負

28.(25-26七年級上?全國?課后作業(yè))有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則a+b的值()

0b

A.大于0B.小于0C.等于0D.無法確定

29.如圖，力、〃兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為。、b,下列式子成立的是.(填序號).

(l)\a+b\=a+b-(2)\a-h\=b-n；(3)(Z)-l)(cf-1)>0；④(b-l)(a+l)>0

I4I,B

-1a01h

30.如圖，A.B、C三點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為八b、

ABC

0h

（1）若-a=5,|力|=5,-=—,則a=_____；b=_____；c=_____.

c10

,,AAcIZ?Ia

（2）化面：—+—--：

klb\a\

（3）在（1）的條件下，氏C兩點同時出發(fā)向點/運動，結(jié)果同時到達，求點兒點C的運動速度關(guān)系是

VB=VC.

題型十三、數(shù)軸上的翻折

31.（24-25七年級?河南開封?期末）一個長方形月3CQ在數(shù)軸上的位置如圖所示，AB=3,AD=2,若此長

方形繞著頂點按照順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點A所對應(yīng)的數(shù)為1,求翻轉(zhuǎn)2018次后，

點8所對應(yīng)的數(shù)（）

B3A

CD01234

A.5040B.5042C.5043D.5044

32.（25-26七年級上?全國?周測）如圖，在紙上有一條數(shù)軸.折疊這張紙，使-3對應(yīng)的點與1對應(yīng)的點重

合，則3對應(yīng)的點與對應(yīng)的點重合.

-5-4-3-2-1012345

33.（25-26七年級上?全國?周測）已知在紙面上有一數(shù)軸（如下圖所示）.

-5-4-3-2-1012345

⑴折疊紙面，使表示1的點與表示-1的點重合，則表示-3的點與表示的點重合.

⑵折疊紙面，使表示-1的點與表示3的點重合，回答以下問題：

①表示5的點與表示的點重合；

②若數(shù)軸上48兩點之間的距離為11（點4在點8的左側(cè)），且48兩點經(jīng)折疊后重合，求48兩點表示

的數(shù).

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.--X24-I--|x2=()

212；

A.2B.-1C.1D.4

2.計算4乂卜：)的結(jié)果是()

A.-1B.1C.-2D.2

Io+/?|I—ba-b

3.有理數(shù)m6在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么口--T-E+L的值是()

aa+bb-a

ab

-------1i?

-10I

A.4B.2C.0D.-2

4.下列算式中，正確的是()

A.(24x?+(-6)=-4!B.-3.5+2

\78I4「

//八659(4M_5)=~r

C.(-6)+(-4)+—=-D.——+

V7V75416I

5.如果對于任意兩個非零有理數(shù)〃、b定義運算③如下:。③力=：-L則(-4)③3的結(jié)果是()

b

74

A.-12B.--C.-13D.——

3

6.已知。力是有理數(shù)，且。<0,ab<0,4+b<0,下列結(jié)論：①〃（a+b）v0；②〃<-“；③中+高-%；

④若|〃-6|=6,。是有理數(shù)，且滿足M-C|=2,則,-。|=8.其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

7.下列計算正確的是（）

A.(-24)x[-!---]=-24x--24x—

[34)34

B.信+升(-35)=(-35)x(T卜(一35)其

C.(33-99)x—=33x—+(-99)x—

111111

D.304-f|=304---304--

154j54

二、填空題

8.計算：dx5x：x2=____.

k4J3

9.計算：--x-2-=:(-5)-(_)=1.

10.計算：

41s]

(2)0.7xl—+2-x^—15)+0.7x—+—x^—15)=.

11.-5的倒數(shù)是_______:比較大?。阂?_________(用"、＞或=〃連接)

34

=21x()x()x(-10)(利用乘法交換律)

=[21x()]x()](利用乘法結(jié)合律)

)X()=

14.已知a為有理數(shù)，{〃}表示不大于。的最大整數(shù)，{（）.5}=0,{1.6}=1,{-0.4}=-1,{-3.5}=-4等，則

計算{-7.5}-{6.2}x{-0.89}>{4.3}=

15.某面粉廠生產(chǎn)一種面粉，每袋以5kg為標準質(zhì)量，現(xiàn)抽檢5袋面粉的質(zhì)量，其與標掂質(zhì)曷的差值情況如

下表所示：（超過5kg記為“+〃，穴足5kg記為“一〃）

袋數(shù)12345

差值3-0.15-0.100+0.10-0.15

這5袋面粉的平均質(zhì)量是kg.

三、解答題

16.