1.5有理數(shù)的乘方

卜I知識梳理

考點一.乘方的概念

求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做鬲.在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

考點二:乘方的性質

(1)負數(shù)的奇次鬲是負數(shù)，負數(shù)的偶次鬲的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次鬲都是0。

考點三：.有理數(shù)的混合運算

做有理數(shù)的混合運算時，應注意以下運算順序：

(1)先乘方，再乘除.最后加減；

(2)同級運算，從左到右進行；

(3)如有括號，先做括號內的運算,按小括號，中括號，大括號依次進行。

考點四：科學記數(shù)法

題型一：科學記數(shù)法

1.（2022?全國?七年級專題練習）據(jù)《長江日報》報道：“2022年2月4日第24屆冬季奧林匹克運動會，在北京隆

重開幕二現(xiàn)場觀眾累計約為人次，將用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.423X107B.4.23x106C.42.3x105D.423x104

2.（2022?全國?七年級專題練習）2021年2月19日9：00時，我國首枚火星探測器“天問一號”距離地球20500萬千

米，其中20500萬千米用科學記數(shù)法表示為（）

A.2.05x1"千米B.2.05x109千米

C.20.5x107千米D.20.5x108千米

3.（2022?山東?日照市北京路中學七年級期末）截至2021年6月10日，31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產建

設兵團累計報告接種新型病毒疫苗89277萬劑次，其中89277萬劑次用科學記數(shù)法表示為（）

A.89277x107劑次B.8.9277x108齊ij次

C.0.89277x109劑次D.8.92777x109劑次

題型二：有理數(shù)塞的計算

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型三：有理數(shù)的乘方（逆）運算

7.（2022?浙江?七年級單元測試）下列計算中正確的是（）

A.—B.-C.—D.

2233

題型四：乘方運算的符號規(guī)律

10.（2D22?江蘇?七年級專題練習）下列各式小三、C2、|x+2|中，值一定是正數(shù)的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

A.5B.-1C.1D.-5

A.1B.1C.2021D.2021

題型五：有理數(shù)四則混合運算

13.（2022.河北承德.七年級期末）老師設計了計算接力游戲,規(guī)則是每名同學只能利用前面一個同學的式子，進一

步計算,將計算的結果傳給下一個同學，最后解決問題.過程如下:

自己負責的哪一步錯誤的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

14.（2。22?浙江?七年級階段練習）計算：

⑵18?6：（-2）x|-1|；

4

15.（2022?浙江?七年級專題練習）用簡便方法計算

題型六：近似數(shù)

16.（2022?河南?商水縣希望初級中學七年級期末）用四舍五入法對2021.89（精確到十分位）取近似數(shù)的結果是（）

A.2（）21B.2021.8C.2021.89D.2021.9

17.（2。22.上海.上外附中七年級期末；下列結論正確的是（）

A.0.12349有六個有效數(shù)字B.0.12349精確到0.001為0.124

C.12.349精確到百分位為12.35D.12.349保留兩個有效數(shù)字為12.35

18.（2022?浙江?七年級專題練習）2019年11月，聯(lián)合國教科文組織正式宣布，將每年的3月14日定為“國際數(shù)學

日”.國際數(shù)學日之所以定在3月140,是因為“3.14”是圓周率數(shù)值最接近的數(shù)字.將圓周率“”用四舍五入法取近

似值3.14,是精確到（）

A.個位B.十分位C.百分位D.千分位

隨堂演練

一、單選題

19.（2023?江蘇?七年級單元測試）按照如圖所示的計算程序,若x:2,則輸出的結果是（）

A.16B.26C.-16D.-26

A.4315B.431.5C.43.15D.4.315

21.（2022.全國?七年級專題練習）2021年安徽省糧食總產量為817.5億斤,創(chuàng)歷史新高.“817.5億”可用科學記數(shù)

法表示為（）

A.817.5xiosB.8.175x|0oC.8.175x|O,0D.8.175x10”

22.（2022?河北?安新縣第二中學七年級階段練習）有理數(shù)小〃在數(shù)軸上分別對應點M、N,則下列式子結果為負

數(shù)的個數(shù)是（）

ON'

A.1個B.2個C,3個D.4

A.2個B.3個C,4個D.5個

A.1B.-1C,0D.2

25.（2021?全國?七年級專題練習）寫出下列用科學記數(shù)法表示的數(shù)的原數(shù)：

（1）2.0152017x1。；（2）1.23456x105；（3）6.18x102；（4）2.xl伊.

26.（2020?福建省連江第三中學七年級期中）計算與化簡：

工一面分與破

—:選擇題

A.-39B.7C.15D.47

A?2個B.3個C.4個D.5個

A00612R.6120C000612D

30.（2021.全國?七年級課時練習）一根1米長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六

次后剩下的繩子長度為（）

32.（2021?江蘇徐州?七年級期中）2019年I月3日，我國“嫦娥四號”月球探測器在月球背面軟著陸，實現(xiàn)人類

有史以來首次成功登陸月球背面.已知月球與地球之間的平均距離約為km,把km用科學記數(shù)法可以表示為（）

A.38.4xl04kmB.3.84x105kmC.0.384x106kmD.3.84x106km

A.1B.1C.0D.2018

二、填空題

35.（2020.新疆.烏魯木齊市第7（）中七年級階段練習）用四舍五入法取近似數(shù)：2.7982=（精確到0.01）.

36.（2018.湖北武漢.七年級階段練習；已知（〃+1）2+心+5|=〃+5,且則帥=.

38.（2022?全國?七年級課時練習）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號（如圖所示），一

個釘頭形代表1,一個尖頭形代表10,在古巴比倫的記數(shù)系統(tǒng)中，人們使用的標記方法和我們當今使用的方法相同,

最右邊的數(shù)字代表個位，然后是十位，百位，根據(jù)符號記數(shù)的方法，右下面符號表示一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是

三、解答題

42.（2020?全國?七年級課時練習）計算：

43.（2021?全國?七年級）探究：22-21=2x2-1x21=，）

23-22==2<）,

24-23==2<）,

（1）請仔細觀察，寫出第4個等式；

（2）請你找規(guī)律，寫出第〃個等式；

⑶計算：2L22+23+...+22⑴9_22。2。.

44.（2019.全國.七年級單元測試）已知〃互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，卜-1|=2,求竺+（〃+〃）x-R的值.

X

45.（2019.山東聊城.七年級期中）計算

46.（2022?全國七年級）求1+2+22+23+...+22016的值,

令S=1+2+22+23+…+220叱貝|J2s=2+22+23+…+22016+220%

因此2S-S=22°i7_1.S=2^7-I.

參照以上推理，計算5+52+53+…+52。3的值.

1.B

【分析I科學記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其中號間＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時,

小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值21()時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1

時，〃是負數(shù).

【詳解I解：用科學記數(shù)法表示為：4.23x106.

故選：B.

【點睛I此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO〃的形式，其中1W間＜10,〃為整數(shù)，表

示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

2.A

故選：A.

3.B

【分析I將89277萬轉換為892770000,而892770000等于8.9277x100000000,將100000000變?yōu)?0*即可.

故選：B.

【點睛I本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，在表示的過程中，能夠數(shù)清數(shù)位是解決本題的關鍵.

4.D

故選：D.

【點睛I此題主要考查了有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的乘方，解答此題的關鍵是要明確乘法、乘方的含義.

5.C

【分析I根據(jù)乘方的寫法即可求解.

故選C.

【點睛I此題主要考查乘方的表示，解題的關鍵是熟知乘方的計算方法.

6.A

【分析I根據(jù)乘方的意義：限表示n個a相乘，分別計算出結果，根據(jù)結果判斷即可.

正確的有：①I個.

故選：A.

【點睛I本題主要考查了乘方的意義，能正確進行計算是解此題的關鍵，注意計算時應先確定結果的符號.

7.C

【分析I根據(jù)有理數(shù)的乘法、除法和乘方的運算法則即可求解.

故選C.

【點睛I本題考查了有理數(shù)的混合運算，涉及了有理數(shù)的乘法、除法以及乘方運算，熟練掌握各運算的運算法則是

解題的關鍵.

8.A

二2劉5

故選：A.

【點睛I此題考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)乘方的逆運算是解題的關鍵.

9.D

【分析I根據(jù)有理數(shù)的乘方運算、乘方運算的逆用即可得.

2

"3'

故選：D.

【點睛I本題考查了有理數(shù)的乘方運算、乘方運算的逆用，熟記各運算法則是解題關鍵.

10.B

［分析］根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對值的性質進行解答即可.

【詳解I解：x不一定是正數(shù)；/不一定是正數(shù)；

L一定是正數(shù)；9+2一定是正數(shù)；

\x\

|x+2|不一定是正數(shù)；

所以值一定是正數(shù)的有2個，

故選：B.

【點睛|本題考查了非負數(shù)，絕對值.掌握非負數(shù)的性質是解題的關鍵.

11.B

【分析I根據(jù)絕對值以及偶次方的非負性求出外〃的值即可得出結果.

故選：B.

【點睛I本題考查了絕對值的非負性以及偶次方的非負性，有理數(shù)加法，根據(jù)題意得出。涉的值是解本題的關鍵.

12.B

【分析I根據(jù)絕對值和平方的非負性，可解得x、y的值，進而得到代數(shù)式的值.

故選：B.

【點睛I本題考查絕對值和平方的非負性，屬于?？碱}型.

13.C

【分析I根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則進行判斷即可.

【詳解I解：（4963）+7=49：763K

=79

=2

???出錯的是丙.

故選：C.

【點睛I本題考查有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是掌握有理數(shù)混合運算法則.

14.(1)18.5

3

⑵%

4

(3)3.3

(4)26

【分析I(1)根據(jù)加法的交換律和結合律可以解答本題；

(2)先算乘除法，再算減法即可；

(3)根據(jù)乘法分配律計算即可；

(4)先把除法轉化為乘法，然后根據(jù)乘法分配律計算即可.

(1)

=22+3.5

=18.5；

(2)

(3)

=3.3；

(4)

=2720+21

=26.

【點睛I本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵，注意乘法分配律的應用.

15.(1)4

⑵18

【分析I(1)先把括號里面的利用乘法分配律展開講行計算,再講行有理數(shù)的加減混合運算.最后根據(jù)有理數(shù)的除

法除以5即可；

(2)先根據(jù)同號得正異號得負進行符號運算，然后逆運用乘法分配律，提取|,并利用加法結合律計算，最后進

行有理數(shù)的乘法運算即可得解.

(1)

=(45-28+33-30)-5

=(78-58)+5

=20:5

=4

（2）

=18.

【點睛I本題考查了有理數(shù)的除法與乘法運算，注意利用乘法分配律運算是解題的關鍵.

16.D

【分析I對百分位數(shù)字9四舍五入即可.

【詳解I解：用四舍五入法對2021.89（精確到十分位）取近似數(shù)的結果是2021.9,

故選：D.

【點睛I本題考查了近似數(shù)：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個

有效數(shù)字等說法.

17.C

【分析I取近似數(shù)的時候，要精確到哪一位，只需對下一位數(shù)字進行四舍五入，據(jù)此進行判斷即可.

【詳解】A、0.12349有5個有效數(shù)字，所以A選項錯誤；

B、0.12349=0.123（精確到0.001）,所以B選項錯誤;

C、12.349確到百分位為12.35,所以C選項正確；

D、12.349保留兩個有效數(shù)字為12,所以D選項錯誤.

故選：C.

【點睛I本題考查了近似數(shù)與有效數(shù)字，從左邊第一個不是0的數(shù)開始數(shù)起，到精確的數(shù)為止，所有的數(shù)字都叫做

這個數(shù)的有效數(shù)字，最后一位所在的位置就是精準度.

18.C

【分析I根據(jù)近似數(shù)精確到哪一位，應當看末位數(shù)字實際在哪一位，即可求解.

【詳解I解：將圓周率““用四舍五入法取近似值3.14,是精確到百分位.

故選：C.

【點睛I本題主要考查運用“四舍五入”法求一個數(shù)的近以數(shù)，解題的關鍵是要看清精確到哪一位，就根據(jù)它的下一

位上數(shù)是否滿5,再進行四舍五入.

19.D

【分析I將x的值代入程序圖中的程序按要求計算即可.

【詳解I解：當“2時，10?始=10?4=6>0,不輸出；

當x=6時，1。-/=10-36二-26<0,符合題意，輸出結果，

故選：D.

【點睛I本題主要考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運算，本題是操作型題目，按程序圖的要求運算是解題的關

鍵.

20.A

【分析I將小數(shù)點向右移動3位即可得出原數(shù).

故選A.

【點睛I本題主要考查科學記數(shù)法一原數(shù)，科學記數(shù)法6IO〃表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把。的小數(shù)

點向右移動〃位所得到的數(shù).若科學記數(shù)法表示較小的數(shù)還原為原來的數(shù)，需要把〃的小數(shù)點向左移動〃

位得到原數(shù).

21.C

【分析I科學記數(shù)法的表示形式為。xio”的形式，其中號同<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成“時,

小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值多()時，〃是正整數(shù).

【詳解I解：817.5億=81750000000=8.175x1()1。.

故選：C.

【點睛I此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax1。"的形式，其中號同<10,〃為整數(shù)，表

示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

22.B

【分析I根據(jù)數(shù)軸，可得〃?<0<〃，而且|/川>|力據(jù)此逐項判斷即可.

【詳解I解:V/M<0<H,而且網(wǎng)>間,

m+n<0,

???①的結果為負數(shù)；

'：m<Q<n,

-/;<0,

???②的結果為負數(shù)；

V/n<O<n,而且|聞>|川,

-n>0,

???③的結果為正數(shù)；

Vm<0<n,而且|〃?|>|川，

???④的結果為正數(shù)；

*：m<Q<n,

???⑤的結果為正數(shù)，

???式子結果為負數(shù)的個數(shù)是2個：①、②.

故選：B.

【點睛I此題主要考查了數(shù)軸的特征和應用，以及正數(shù)、負數(shù)的特征和判斷，要熟練掌握.

23.C

【分析I先根據(jù)去括號法則、有理數(shù)的乘方法則、絕對值的性質化簡各數(shù)，再根據(jù)負數(shù)的定義即可得.

則負數(shù)的個數(shù)是4個，

故選：C.

【點睛I本題考查了化簡多重符號、有理數(shù)的乘方、絕對值、負數(shù)，熟練掌握各運算法則和定義是解題關鍵.

24.B

【分析I原式利用乘方的意義和絕對值的性質化簡，計算即可得到結果.

=1

故選：B.

【點睛I此題考查了有理數(shù)的混合運算，泵練掌握運算法則是解本題的關鍵.

25.(1)20152.017；(2)；(3)618；(4).6

【分析I用科學記數(shù)法表示為axl0〃的形式的數(shù)，其中1二同<10,〃為正整數(shù).確定原數(shù)時，看的值，再把。的

小數(shù)點句右移動〃位，不足有0補齊，〃的值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解I解：(1)2.0152017x104=20152.017；

(2)1.23456x105=;

(3)6.18x102=618；

(4)2.xl0<,=.6

【點睛I本題考查科學記數(shù)法，解題關鍵是熟練掌握用科學記數(shù)法表示為4X10〃的形式的數(shù).

26.(1)9；(2)26；(3)-26.

【分析I⑴根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算即可；

(2)先運用乘法分配律去括號，再計算加減即可；

(3)先評算乘方和絕對值，再計算乘除，最后計算加減.

【詳解】(1)12-(-6)+(-9)

=12+6+(-9)

=18+(-9)

二9；

157

二(?48)X(--)+(-48)X(--)+(-48)X—

2o12

=24+30-28

=26；

⑶-3"(-2)2X|?l；|X6+(-2)3.

4

=-94-4XjX6+(-8)

94

二--X—X6+(-8)

43

=(-18)+(-8)

=-26.

【點睛I本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟記有理數(shù)的運算法則和混合運算的順序是解題的美犍.

27.D

【分析I利用乘方的意義化簡各式，確定出4c的值，原式去括號后代入計算即可求出值.

=4+27+16

=47

故選：D

【點睛I本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的乘方法則和去括號法則是解題的關鍵.

28.A

【分析I分①a>0,b>0,@a>0,b<0,③a<0,b<0,@a<0,b>0,4種情況分別討論即可得.

【詳解I由分析知：可分4種情況：

?a>0b>0,此時ab>0,

②a>0b<0,此時ab<0,

③a<0b<0,此時ab>0,

@a<0b>0,此時ab<0,

故選A.

【點睛I本題考查了絕對值的運用，熟知絕對值都為非負數(shù)并且運用分類討論思想是解題的關鍵.

29.C

【分析I絕對值小于I的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為ax|()n,與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其

所使用的是負指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

［詳解］6.12x10-3=000612,

故選C.

【點睛I本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlOT其中七間<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為

考的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

30.C

【分析I根據(jù)乘方的意義和題意可知：第2次后剩下的繩子的長度為(g)2米，那么依此類推得到第六次后剩下的繩

子的長度為(；卜米.

【詳解I?門3=3,

???第2次后剩下的繩子的長度為(g)2米；

依此類推第六次后剩下的繩子的長度為(方)6米.

故選C.

【點睛I此題主要考查了乘方的意義.其中解題是正確理解題意是解題的關鍵，能夠根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題主

要步驟.

31.C

/.a=l,b=2

故選：C.

32.B

【分析|科學記數(shù)法的表示形式為“XI。的形式，其中以〃為整數(shù).確定n的值時，要看杷原數(shù)變成a時,

小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>10時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1

時，〃是負數(shù).

［詳解］科學記數(shù)法表示：5=3.84x105g

故選：B.

【點睛I此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X1①的形式，其中岸間<10,〃為整數(shù)，表

示時關鍵要正確確定4的值以及〃的值.

33.B

【分析I根據(jù)偶次方的非負性、絕對值的非負性列式計算即可.

【詳解I解：由題意得：al=0,b2=0；解得：a=l,b=2

【點睛I本題主要考查了非負數(shù)的應用，初中解答涉及到得非負數(shù)有絕對值、偶次方和算術平方根.

34.C

故選：C.

【點睛I本題考查有理數(shù)的運算，解題的關鍵是模仿題目中給出的計算方法進行計算.

35.2.80

【分析I精確到0.0L則要把千分位上的數(shù)字8進行四舍五入即可.

【詳解I丁8>5,

工2.7902.80（精確到0.01）.

故答案為：2.80

【點睛I本題考查了近似數(shù)，經過四舍五入得到的數(shù)叫近似數(shù)；精確到哪一位，就要把下一位的數(shù)進行四舍五入.

36.2或4.

【詳解I解：根據(jù)平方數(shù)是非負數(shù)，絕對值是非負數(shù)的性質可得：心電0,I什5網(wǎng)???（。+1）2+洋+5|="5,

???。+5*，I.（a+1）2+b+5=b+5,J（。+1）2=0,解得折―1,Z>>-5,\'\2a-b-1|=1,1|=1,

/.|b+3|=l,/.Z?+3=±l,.?.6=-4或-2,???當〃=一2時，ab=2；

當。=-1,-4時，ab=4.

故答案為2或4.

點睛：本題主要考查了絕對值是非負數(shù)，偶次方是非負數(shù)的性質，根據(jù)題意列出等式是解題的關鍵.

37.0.

【分析I由他<0可得。、。異號，莊。+力)0可得，正數(shù)的絕對值較大，再分兩類討論.①。>0,)<0,②。<0,

b>0,在這兩種情況下對7a+2Hl=-|A-a|進行化簡，最后計算出所求式子的值即可.

【詳解1?.?而<0,〃+〃>().???"、?異號,且正數(shù)絕對值較大，

①當"O〃<0時，a+b>0,則7a+2b+l>0,\b-a\<0,

則此情況不存在；

②當4<0,〃>0時，b-a>0,\b-a\=b-a,

7a+2b+1=-{b-a)=a-b,

1

???2ai+b=—,

3

(2a+〃+g)?(a-b)=0.

故答案為().

【點睛I本題關鍵在于分類討論，結合有理數(shù)的運算法則去絕對值對式子進行化簡.

38.25

【分析I根據(jù)所給圖形可以看出左邊是2個尖頭，表示2個10,右邊5個釘頭表示5個1,由兩位數(shù)表示法可得結

論.

【詳解I根據(jù)圖形可得：兩位數(shù)十位上數(shù)字是2,個位上的數(shù)字是5,

因此這個兩位數(shù)是2x10+5x1=25,

故答案為：25.

【點睛I此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的數(shù)字的表示法是解本題的