有理數(shù)的運算（21個高頻易錯考點，42題）

目D易錯考點目錄指引_____________________________________________________________

易錯考點01：有理數(shù)的加減混合運算....................................................1

易錯考點02：有理數(shù)減中的簡便運算....................................................4

易錯考點03：有理數(shù)減混合運算的應用..................................................6

易錯考點04：省略加法和掛號的形式....................................................8

易錯考點05：有理數(shù)乘除混合運算......................................................9

易錯考點06：有理數(shù)乘除中的簡便運算.................................................11

易錯考點07：有理數(shù)四則混合運算.....................................................12

易錯考點08：有理數(shù)四則混合運算的實際應用...........................................15

易錯考點09：數(shù)軸上的翻折...........................................................17

易錯考點10：有理數(shù)的乘方運算.......................................................19

易錯考點11：有理數(shù)乘方逆運算.......................................................22

易錯考點12：乘方運算的符號規(guī)律.....................................................23

易錯考點13：乘方的應用.............................................................26

易錯考點14：程序流程圖與有理數(shù)計算.................................................28

易錯考點15：算“24”點.............................................................29

易錯考點16：含乘方的有理數(shù)混合運算.................................................31

易錯考點17：用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù).......................................33

易錯考點18：求一個數(shù)的近似數(shù).......................................................33

易錯考點19：求近似數(shù)的精確度.......................................................34

易錯考點20：近似數(shù)推斷取值范圍.....................................................35

困易$髓型培優(yōu)訓練____________________________________________________________

易錯考點01：有理數(shù)的加減混合運算

1.（24-25七年級上?寧夏銀川?階段練習）計算:

⑴45+（_30）：

（2）（-8）-（-1）；

⑶（-2）+（+5）—（+6）一（—7）；

(4)(-12)—5+(-14)-(-39)；

(5用+(_*)+(一3+(+5§.

【答案】(1)15

(2)-7

⑶4

(4)8

⑸4

【思路引導】本題考查有理數(shù)的加減混合運算，掌握相應有理數(shù)的加減運算法則、運算律及運算順序是解

題的關鍵.

(1)直接利用有理數(shù)的加法運算法則進行計算即可；

(2)直接利用有理數(shù)的減法運算法則進行計算即可；

(3)先化簡，然后將正負數(shù)分組，再分別進行加減運算；

(4)先化簡，然后將正負數(shù)分組，再分別進行加減運算：

(5)先化簡，然后將分母相同的有理數(shù)分組并進行計算得名+另，再轉(zhuǎn)化為(2+4)+G+J進行計算即可;

【規(guī)范解答】(1)解：454-(-30)

=45-30

=15：

(2)解：(-8)-(-1)

=(-8)+(+1)

=-(8-1)

=—7；

⑶解:(_2)+(+5)-(+6)-(—7)

=-2+5-6+7

=(-2-6)+(5+7)

=(-8)+12

=4；

(4)解：(-12)—5+(一14)一【一39)

=_12-5-14+39

=(-12-5-14)+39

=(-31)+39

=8

⑸解：2"(-媼)+(-扔(+53

2113

=2——1———+5—

3838

=(2禺)+kU)

11

=23+44

11

=2+3+4+4

=(2+4)4-(1+1)

7

=6+12

=%

2.(24-25七年級上-全國?課后作業(yè))計算：

(1)(-73)-(-94)+(-194)+(-27)；

⑵(-8J)-(+12)-(-701)-(-81);

⑶&-(-9+(-3-(-：)?

【答案】(1)-200

(2)581

⑶8；

【思路引導】本題考查了有理數(shù)的加減運算，加法運算律，掌握有理數(shù)的加減運算法則和運算律是解題的

關鍵.

(1)先把加減運算轉(zhuǎn)化為加法運算，再利用加法運算律訂算即可：

(2)先把加減運算轉(zhuǎn)化為加法運算，再利用加法運算律計算即可；

(3)先把加減運算轉(zhuǎn)化為加法運算，再利用加法運算律計算即可.

【規(guī)范解答】(1)解：原式=(-73)+94+(一194)+(—27)

=[(-73)+(-27)]+[94+(-194)]

=(-100)+(-100)

=-200；

=(23+6)-(17+22)

=29-39

=—10；

(2)解：(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)

=(-2+2)+(3—3)+1—4

=0+0+1-4

=—3；

⑶解：1+(-D4+(-D

⑷解：31+(-2|)+51+(-81)

=9-11

=—2.

4.(25-26七年級上-仝國-階段練習)(1)小馬虎在計算一12+N時，誤將“十”看成了“一”結果得

47,求一12+N的值.

(2)閱讀并解決問題.

計算：53.27—(—18)+(-21)+46.73—(+15)+21

解：原式=53.27+18-21+46.73-15+21……第一步

=(53.27+46.73)+(21-21)+(18-15)……第二步

=100+0+3……笫三步

=103

①計算過程中，第一步把原式化成一的形式，體現(xiàn)了數(shù)學的_思想.為了計算簡便，第二步應用的加法運算

律

②根據(jù)以上的解題技巧計算下列式子.

-21鴻-(-9-(+?

【答案】（1）-71；（2）①省略加號和括號，轉(zhuǎn)化，交換律和結合律；②—18

【思路引導】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算.

（1）根據(jù)題意先求出N的值，再計算一12+N即可；

（2）①根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算步驟及運算定律可得答案；

②仿照題意利用加法的交換律和結合律簡便計算即可.

【規(guī)范解答】解:（1）???-12—N=47,

??.N=—59,

-12+N=-12-59=-71；

（2）①計算過程中，第一步把原式化成省略加號和括號的形式，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，為了計算簡便,

第二步應用了加法的交換律和結合律.

故答案為：省略加號和括號，轉(zhuǎn)億，交換律和結合律；

2121

=-21-+3-+---

=(-21|+1)+(31-^)

=-21+3

=-18.

易錯考點03：有理數(shù)減混合運算的應用

5.（24-25七年級上-黑龍江哈爾濱?開學考試）某兒童服裝店老板以每件32元的價格購進一批連衣裙，針

對不同的顧客，30件連衣裙的售價不完全相同，若售價以每件55元為標準，將超過的錢數(shù)記為正，不足的

錢數(shù)記為負；售出件數(shù)以5件為標準，超過的件數(shù)記為正，不足的件數(shù)記為負.銷售情況記錄結果如下表:

售價與標準價的

-5+504-3+10

差額（元）

售出件數(shù)與標準

-4+3+50+1

件數(shù)的差額（件）

（1）根據(jù)記錄可知，每件最高售價比最低售價高多少元?

（2）該服裝店本次購進連衣裙多少件？

（3）求該服裝店售完這批連衣裙所獲的利潤.

【答案】（1）15元

（2）30件

（3）800元

【思路引導】本題考查正負數(shù)的理解，有理數(shù)的運算，掌握相關知識是解決問題的關鍵.

（1）分別求出最高售價和最低售價，求差值即可.

（2）由題目已知即可得到答案.

（3）分別求出每種情況的單價，利潤和數(shù)量，然后求解即可.

【規(guī)范解答】（1）解：最高售價：55+10=65（元）

最低售價：55-5=50（元）

最高售價比最低售價高：65-50=15（元）

答：每件最高售價比最低售價高15元.

（2）解：該服裝店本次購進連衣裙30件.

（3）售價為55—5=50元的連衣裙售出5—4=1件.

售價為55+5=60元的連衣裙售出5+3=8件，

售價為55元的連衣裙售出5+5=10ft-,

售價為55+3=58元的連衣裙售出5件，

售價為55+10=65元的連衣裙售出5+1=6件，

總利潤為：（50-32）x1+（60-32）x8+（55一32）X10+（58-32）x5+（65-32）X6=800.

答：該服裝店售完這批連衣裙所獲的利潤為800元.

6.某檢修小組開汽車從A地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修電路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負，

一天中七次行駛記錄如下：一4,+7,-9,+8,+6,-7,-2.（單位：km）

（1）求收工時距A地多遠？

（2）若每千米耗油0.5升，出發(fā)時油箱加滿且容量為20升，求途中至少還需補充多少升油？

【答案】（1）收工時距A地1km

（2）途中還需補充1.5升

【思路引導】本題主要考查正負數(shù)的意義，絕對值的含義，及有理數(shù)的加減運算，正確理解止負數(shù)的意義

及掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵.

（1）由收工時距A地的距離等于所有記錄數(shù)字的和的絕對值，從而可得答案；

（2）所有記錄數(shù)的絕對值之和乘以每千米耗油量，就是共耗油數(shù)，再減去油箱中存油量即可得到答案.

【規(guī)范解答】（1）解：-4+7-9+8+6—7—2=—1,又|一1|=1,

故收_L時距離A地1km；

(2)解：0.5x(|一引+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-7|+|-2|)=21.5(升)

所以途中還需要補充：21.5-20=1.5(升).

答：途中還需補充L5升.

易錯考點04：省略加法和括號的形式

7.為計算簡便，把(-1.4)-(-3.7)-GO.5)+(+2.4)+(-3.5)寫成省略力II號的和的形式，并按要求交換

加數(shù)的位置正確的是()

A.-1.4+2.4+3.7-().5-3.5B.-1.4+2.4+3.7+0.5-3.5

C.-1.4+2.4-3.7-0.5-3.5D.-1.4+2.4-3.7-0.5+3.5

【答案】A

【思路引導】根據(jù)有理數(shù)的運算法則計算即可.

【規(guī)范解答】原式=-1.4+3.7-0.5+2.4-3.5

=-1.4+2.4+3.7-0.5-3.5,

故選A.

【考點剖析】考查有理數(shù)的運算，解題的關鍵是熟記和運用有理數(shù)的計算法則.

8.把下列各式寫成省略加號的形式.

(1)—7—(—15)+(—3)—(—4)=；

⑵7+(—I)—(―1)=

【答案】-7+15—3+47—+1

【規(guī)范解答】試題分析：寫成省略加號的形式，可先統(tǒng)一成加法運算，利用有理數(shù)減法運算的法則：減去

一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).然后再變成省略加號的和的形式，去掉括號各項不變號.

所以一7一(―15)+(-3)-(-4)=-7+15-3+4;

易錯考點05：有理數(shù)乘除混合運算

9.(25-26七年級上-重慶?開學考試)計算:

⑴沁D6

(2)2吟x36+3彳x36+34||x36：

⑶99%xg+111；

⑷0.365x640+3|x36.5.

【答案】（1*

⑵等

（4）365

【思路引導】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟練運用運算律和運算法則進行簡便計算.

（1）先去括號，再通分，最后進行同分母分數(shù)的加減運算；

（2）觀察到每一項都有因數(shù)36,利用乘法分配律進行簡便計算；

（3）將帶分數(shù)化為假分數(shù)，除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法交換律和結合律簡便計算；

（4）根據(jù)積不變的規(guī)律對式子變形，使兩項都有因數(shù)0.365,再用乘法分配律計算.

【規(guī)范解答】（1）解?：9+G一|+0

11

—+~~

612

(2)解：25^1x364-381x364-34|2x36

,1871311839、

x36

7187

x36

72

7187

2；

(3)解：9991x41-lll

8999371

="9_xTxm

3999

--------

243'

(4)解：0.365x640+3|x36.5

=0.365x640+0.365x360

=0.365x(640+360)

=0.365x1000

=365.

10.(25-26七年級上?全國?單元測試)閱讀下面解題過程并解答問題：

計算：(―15)+(一如第4

解：原式=(—15)+(—分x6(第一步)

=(-15)+(-25)(第二步)

=-1(第三步)

(1)上面解題過程有兩處錯誤：

第一處是第一步，錯誤原因是」

第二處是第一步，正確步驟的依據(jù)是」

⑵請寫出正確的結果

【答案】(1)二，運算順序錯誤；三，兩數(shù)相除同號得正，異號得負，并把絕對值相除

⑵個

【思路引導】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)的乘除混合運算是解題的關鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算的運算順序及有理數(shù)除法的運算法則即可解答；

(2)先計算括號內(nèi)的有理數(shù)乘法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算即可.

【規(guī)范解答】(1)解?：第?處是第二步錯誤，錯誤原因是運算順序錯誤，應該先計算除法，再計算乘法:

第二處是第三步錯誤，正確的步驟的依據(jù)是：兩數(shù)相除同號得正，異號得負，并把絕對值相除；

故答案為：二，運算順序錯誤：三，兩數(shù)相除同號得正，異號得負，并把絕對值相除；

(2)解：(—15)+(—x馬弓

25

=(-15)+(-%~)x6

6

=(-15)x(--)x6

108

=-

易錯考點06：有理數(shù)乘除中的簡便運算

12.(23-24七年級上?廣東河源?期中)學習本節(jié)知識后，薛老師給同學們出了這樣的兩道題：

①(一扛；-0，(-3；

②（一點）+（—+9??

下面是小剛和小明做的過程：

小剛：解：①原式=（—[+g_；）x（—24）=8—12+6=2.

小明：解：②原式=（一（）乂（-3+2—4）=（一（）乂（-5）=4.

請回答:

（1）小剛和小明的解題都對嗎？如果不對，請寫出正確的計算過程；

⑵小華是個愛動腦筋的好學生，他觀察了①、②這兩個式子是互為倒數(shù)的關系，故先求出①式的結果，即

可得到②式的結果，你認為他的思路正確嗎？

⑶如果你認為小華是正確的，請試著計算:（一/）得+或QT）+Q+白白3+（T）?

【答案】（D小剛的解題是對的，小明的解題是不對的，見解析

（2）小華的思路止確，理由見解析

⑶3

【思路引導】本題考查了有理數(shù)乘除的簡便運算，熟練掌握有理數(shù)乘除的運算法則是解題的關鍵.

（1）根據(jù)有理數(shù)除法的運算法則即可解答：

（2）根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)即可得出結論；

（3）先計算弓+卷一（一2）+（—2）的值，再結合（2）中的結論即可求解.

【規(guī)范解答】（1）解：小剛的解題是對的，小明的解題是不對的，

②的正確計算過程如下：

=(-L)X(T2)

1

二Z一?

9，

（2）解：小華的思路正確，理由如下:

=(一泊-2+(-5)X(一如(-泊

=1?

???①、②這兩個式子是互為倒數(shù)的關系，

由小剛的解題可得，(一9+：-5+(-5)=2,

+與⑴中的計算結果相符,

???先求出①式的結果，即可得到②式的結果，

???小華的思路正確；

⑶解：Q+或一套_4)+(一夜)

=(D(_-X(_72)

二-9-3+14+1

=3,

???(_2)+@+5_/_/)與6+焉_/_2)+(_')互為倒數(shù)的關系，

???(-/)+。+《一5-/)=:

；?原式=1+3=y.

易錯考點07：有理數(shù)四則混合運算

13.(23-24七年級上?江蘇南京?開學考試)計算下面各題，怎樣算簡便就怎樣算.

(1)6.72-3.2+3.18-1.8

(2)0.25x32x1.25

(3)4+~+4

⑷(評)x7+：

嗚xWW

哈簞孫斗

【答案】(1)4.9

⑵1()

⑶吟

(4)6

⑸]

(6)3

【思路引導】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握相關運算法則是解題關鍵.

(1)利用加法交換律和結合律簡便計算即可；

(2)將32拆分為4x8,再利用乘法交換律和結合律簡便計算即可；

(3)先將除法化為乘法計算，再進行減法計算即可；

(4)先利用乘法分配律展開，再利用加法結合律簡便計算即可：

(5)先將除法化為乘法，再利用乘法分配律簡便計算即可；

(6)先計算小括號內(nèi)加法，再計算乘法，最后計算除法即可.

【規(guī)范解答】⑴解：6.72-3.2+3.18-1.8

=6.72+3.18-(3.2+1.8)

=9.9-5

=4.9；

(2)解：0.25x32x1.25

=0.25x4x8x1.25

=(0.25x4)x(8x1.25)

=1x10

=10；

44

(3)解：4+,—亍+4

741

=4X---X-

474

1

=/-7

=4

(4)解：G+§X7+：

321

=nX74--x7+—

)5b

141

=3+—+-

=3+3

=6；

「、&刀73,84

(5)解：記x7+京+q

7383

=TFX了+-X-

154154

=(i+^)x?

3

=1x—

⑹解：可

8-V2X4/

93

=—:—

88

98

=8X3

=3.

14.計算：

⑴（L+XO

⑵（一嘉）+6-9+：一：）

（3）0.5x[20-（4.5一J一25%

⑷6+1）x7+21x13

【答案】（1）一2

⑷（2）--10

⑶7.75

⑷若

【思路引導】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)的乘法運算律，解題的關鍵是掌握各運算法則.

（1）先將除法運算轉(zhuǎn)化成乘法運算，再利用乘法運算律進行求解即可；

（2）先進行通分，再運用除法運算法則進行計算即可；

（3）先進行括號里面的運算，最后進行乘法運算；

（4）先利用乘法運算律進行計算，再進行除法計算即可.

【規(guī)范解答】(1)解.：G—+。子(_《)

231

=-x(-24)--x(-24)+-x(-24)

310

=-16+18-4

=—2；

⑵解：(一')+(|一白+，3

一(_mJ四一三十三.當

-\307-\30-30^30-307

=(-4)《

1

-

10,

(3)解：0.5乂[20—(4.5—；)一25%]

=0.5x(20-4.25-0.25)

=0.5x15.5

=7.75；

(4)解：修+1)x7+21x13

盧3、

=Ux7x13+百x13x7)+21

=(65I21)+21

=86?21

=喘?

易錯考點08：有理數(shù)四則混合運算的實際應用

15.(25-26七年級上?全國?期中)某自行車廠計劃每天生產(chǎn)200輛自行車，但由于種種原因，實際每天

生產(chǎn)量與計劃量相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負)：

星期—?二三四五六0

增減(輛)+5-2-4+13-10+16-9

(1)星期四生產(chǎn)自行車多少輛？

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少輛？

(3)該廠實行每周計件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得50元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎20元；少

生產(chǎn)一輛扣10元，求這一周的工資總額.

【答案】(1)213輛

(2)26輛

(3)70630元

【思路引導】本題考查正數(shù)和負數(shù)及有理數(shù)運算的實際應用，根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列得正確的算式

是解題的關鍵.

(1)結合表格數(shù)據(jù)，根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列式計算即可：

(2)由表格中數(shù)據(jù)求得最高產(chǎn)量及最低產(chǎn)量，然后作差即可：

(3)計算出這周生產(chǎn)的自行車總量，按照題意計算工資即可.

【規(guī)范解答】(1)解：200+13=213(輛)，

即該廠星期四生產(chǎn)自行車213輛，

故答案為：213：

(2)解：結合表格數(shù)據(jù)可得最高產(chǎn)量為200+16=216(輛)，最低產(chǎn)量為20。-10=190(輛)，

則216-190=26(輛)，

即產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)自行車26輛：

(3)解：本周生產(chǎn)的自行車總量為200x7+5—2—4+13—10+16-9=1409(輛)，

本周工資為1409X50+(1409-200x7)x20=70630(元),

答：本周工費為70630元.

16.某登山隊5名隊員以二號高地為基地，開始向海拔距二號高地50()米的頂峰沖擊，設他們向上走為正,

行程記錄如下，(單位：米)：

+150,-32,-43,+205,-30,+25,—20,-5,4-30,+75,-25.

(1)他們最終有沒有登上頂峰？如果沒有，那么他們離頂峰還差多少米？

⑵登山時，5名隊員在全程中都使用了氧氣，且每人每米要消耗氧氣0.04升，他們共使用了氧氣多少升？

【答案】(1)他們最終沒有登，頂峰，離頂峰還差170m

(2)128L

【思路引導】本題考查正負數(shù)的應用，有理數(shù)加減混合運算的應用，有理數(shù)四則混合運算的應用，理解正

負數(shù)在本題的實際意義是解題關鍵.

(1)將題H中的數(shù)據(jù)加在一起與500進行比較即可解答本題；

(2)將所有數(shù)據(jù)的絕對值加在一起，再乘以5乘以0.04即可解答本題.

【規(guī)范解答】(1)解?：+150+(-32)+(-43)+(+205)+(-30)+(+25)+(-20)+(-5)+(+30)+

(+75)+(-25)

=150-32-43+205-30+25-20-5+30+75-25

=330,

500-330=170（m）.

所以他們最終沒有登上頂峰，離頂峰還差”0m；

（2）解：（150+32+43+205+30+25+20+5+30+75+25）X0.04x5=128（L）,

答：他們共使用了氧氣128L.

易錯考點09：數(shù)軸上的翻折

17.（23-24七年級上?江蘇宿遷?期中）折疊紙面，若在數(shù)軸上一1表示的點與5表示的點重合，回答以

下問題：

-3-2-1012345

（1）數(shù)軸上10表示的點與—表示的點重合.

（2）若數(shù)釉上M、N兩點之間的距離為2022（M在N的左側(cè)），且M、N兩點經(jīng)折疊后重合，求M、N兩點表示

的數(shù)是多少？

（3）如圖，邊長為2的正方形有一頂點A落在數(shù)軸上表示一1的點處，將正方形在數(shù)軸上向右滾動（無滑動）,

正方形的?邊與數(shù)軸重合記為滾動一次，求正方形滾動2023次后，數(shù)軸上表示點A的數(shù)與折疊后的哪個數(shù)

重合？

【答案】（1）-6

（2）M、N兩點表示的數(shù)是一1009、1013

（3）正方形滾動2023次后，數(shù)軸上表示點A的數(shù)與折疊后的一4043重合

【思路引導】本題考查了數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)字類規(guī)律探究；

（1）先求出一1和5的中點，再根據(jù)對稱列式計算即可求解；

（2）根據(jù)中點定義求出MN的一半，然后分別列式計算即可；

（3）根據(jù)邊長為2的正方形有一頂點A落在數(shù)軸上表示一1的點處，正方形滾動一次后一個頂點落在表示1

的點處，正方形滾動2次后一個頂點落在表示3的點處，正方形滾動3、4次后頂點力落在表示5的點處，即

可求出正方形滾動2023次后，頂點月落在表示4045的點處，進而即可求解.

【規(guī)范解答】（1）解：?.?在數(shù)軸上一1表示的點與5表示的點重合，

—1+5

???—=2o

???數(shù)軸上-1表示的點與5表示的點的中點是2表示的點.

.??數(shù)軸上1。表示的點與一6表示的點重合.

故答案為一6；

（2）???數(shù)軸上M、N兩點之間的距離為2022,

1MN=1x2022=1011,

:.2+1011=1013,2-1011=-1009

二點M表示的數(shù)為一1009,

點N表示的數(shù)為1013.

答：M、N兩點表示的數(shù)是一1009、1013；

（3）；邊長為2的正方形有一頂點A落在數(shù)軸上表示一1的點處，

???正方形滾動第3次、第4次時，點A落在數(shù)軸上表示7的點處

正方形滾動第7次、第8次時，點A落在數(shù)軸上表示15的點處

規(guī)律是：正方形滾動第（4n-l）（n是正整數(shù)）次、第4n次時，點A落在數(shù)軸上表示（一i+8n）的點處

正方形滾動2023次后，頂點A落在表示一1+8x506=4047的點處，

此時，點A距離數(shù)軸上2表示的點的距離為：4047-2=4045,

2-4045=-4043

二正方形滾動2023次后，數(shù)軸上表示點A的數(shù)與折疊后的一4043重合.

18.（25-26七年級上?全國?周測）已知在紙面上有一數(shù)軸（如下圖所示）.

-5-4-3-2-1012345

（1）折疊紙面，使表示1的點與表示一1的點重合，則表示一3的點與表示的點重合.

（2）折疊紙面，使表示一1的點與表示3的點重合，回答以下問題：

①表示5的點與表示________的點重合；

②若數(shù)軸上A,B兩點之間的距離為11（點力在點8的左側(cè)），且AB兩點經(jīng)折疊后重合，求A,B兩點表示的數(shù).

【答案】（1）3

（2）①一3：②A,B兩點表示的數(shù)分別是一456.5

【思路引導】本題考查了數(shù)軸的折疊問題，通過折疊使數(shù)軸上的點重合，考查“對稱點”和“中點”概念

的理解和應用.

（1）根據(jù)表示1的點和表示一1的點重合，由此可以得到折痕點為0,由此口J以得到表示一3的點重合的點.

（2）①根據(jù)已知條件可知對稱點為表示1的點，由此即可找到與表示5的點的重合點.

②根據(jù)題意可知｛和8與對稱點的距離，由此即可得到4和月兩點表示的數(shù).

【規(guī)范解答】（1）解：折疊紙面，使表示1的點與表示一1的點重合，所以折痕點為原點，借助數(shù)軸可得,

則表示一3的點與表示3的點重合.

故答案為：3.

（2）解：折疊紙面，使表示一1的點與表示3的點重合，所以折痕點為1：

①借助數(shù)軸可得，表示5的點與表示一3的點重合；

故答案為：一3.

②由題意可得，小8兩點與折痕點的距離都為：

11-r2=5.5

因為點力在點”的左側(cè)，所以A、B兩點表示的數(shù)分別為-4.5,6.5.

易錯考點10：扇埋數(shù)的乘方運算

19.（25-26七年級上?浙江?階段練習）【概念學習】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的

運算叫做除方，比如2+2+2,（一3）+（—3）+（—3）+（—3）筆，類比有理數(shù)的乘方，我們把2+2+2寫

作2③,讀作“2的圈3次方”，（—3）+（-3）+（-3）+（-3）寫作（一3產(chǎn)，讀作“（一3）的圈4次方”，—

般地，把十二上二2（aH°）寫作a⑥，讀作。的圈〃次方”.

、下a

【初步探究】

（1）直接寫出計算結果：2③=_；（一1J）③二二

【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)

的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

除方』2'=24-24-2^-2=2XyXyXy=（y）2—>1聯(lián)

（2）試一試：仿照上面的算式，把除方運算寫成制的形式：（一3）⑤，a@（a0,n>3）.

i14）1〔6）

（3）算一算：122-（-1）x（-2）⑥一（一9）+33.

【答案】（1）（2）:Q）n-2.（3）-2

【思路引導】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，掌握除方的運算法則是解題的關鍵.

（1）直接根據(jù)除方的運算法則求解即可；

（2）根據(jù)除方的運算法則和有理數(shù)除法運算法則化簡相關式子即可；

（3）利用（2）所得的運用法則將原式化成含乘方的有理數(shù)混合運算求解即可.

【規(guī)范解答］解：⑴2?=2-2-2=2x|xl=1,

(-1滬=(-升THTH(-初1)7

故答案為：P—

(2)(一3)⑤=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)

=(-3)x(-1)x(_ax(-1)x(-1)

=(-/

a?=a+a+a+….a(ar0)=ax；x：x…x；=

nfa

1④號、1⑥Q

(3)12?o+(—x(—2)—(--)+33

=144+(-3)2x(-1)-(一3尸+27

1

=144-r9x--81-7-27

16

=1-3

=—2.

20.（24-25七年級上?全國?階段練習）類比有理數(shù)的乘方，我們定義''除方”運算，比如：2+2+2可

記作2③，（_3）+（—3）+（-3尸（一3）記作（一3嚴，一般地把〃個a相除記做a包讀作“a的圈〃次方”.

⑴直接寫出計算結果：2①、；（一3②、

（2）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，那么除方運算如何

轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？方法如下：

除方-2④=2-2-2-2=2X|X|X1=Q）T乘方的形式

仿照以上例子，把除方運算寫成乘方形式：（-3）?=.

⑶算一算：］22+（_J⑷x（—2）⑥一（_J⑥+33

【答案】（1）2；1.

(3)-2.

【思路引導】（1）直接根據(jù)“除方”運算的定義，即n個a相除記作a01計算2①與（一J②的值.

（2）仿照所給例子，將除方運算轉(zhuǎn)化為乘方形式，關鍵在于明確除方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算的規(guī)律.

（3）先根據(jù)（2）中得出的規(guī)律將除方運算轉(zhuǎn)化為乘方形式，再按照有理數(shù)的混合運算法則進行計算.

本題主要考查了新定義運算以及有理數(shù)的混合運算.熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則，以及根據(jù)新定義運

算的規(guī)則將除方運算轉(zhuǎn)化為常見的乘方和乘法運算形式是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】⑴解：2①=2,==

故答案為2；1.

(2)解：(—3)⑥

=(-3)+(-3)+(-3)+(—3)+(-3)+(—3)

=(-3)xx(-》xx(-1)x(-|)

=(-滬，

故答案為：(一0;

(3)解：122+(_J④x(—2)⑥—(—J⑥+33

=144+[(-$x(-3尸]x[(-2)x(-i)5]-[(-1)x(-3)5]

4-27

=144+[(-Jx(-27)]x[(-2)x(-^)X(-243)

-27

1

=144-r9X--81-27

16

=16x13

=1-3

=—2.

易錯考點11：有理數(shù)乘方逆運算

21(2022七年級?江蘇?專題練習)定義一種新運算(a,b),3fac=b,則(a,b)=c，例(2,8)=3,

(3,81)=4.已知(4,8)+(4,7)=(4,x),則>的值為_

【答案】56

【思路引導】設4m=8,4n=7,根據(jù)新運算可得m+n=(4,x),從而得到4m+n=x,即可求解.

【規(guī)范解答】解：設4nl=8,4n=7,

???（4,8）+（4,7）=（4,x）,

.?.n+n=（4,x）,

.?.4m+n=x,

/.4mx4n=x,

.*.8x7=x,

.*.x=56,

故答案為：56.

【考點剖析】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，會用新定義解答問題.

22.（22-23七年級上?重慶云陽?期中）請認真閱讀下面材料，并解答下列問題.

如果a（a>0,ah1）的b次凝等于N,即指數(shù)式a、=N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：

logaN=b例如：

①因為指數(shù)式22=4,所以以2為底4的對數(shù)是2,對數(shù)式記作：log24=2：

②因為指數(shù)式42=16,所以以4為底16的對數(shù)是2,對數(shù)式記作：.log416=2

（1）請根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對數(shù)式：

①62=36：②43=64

⑵將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：

①logs25=2②Iog327=3

（3）計算:log264

【答案】（D@log636=2；@log+64=3

⑵①52=25；②33=27

（3）6

【思路引導】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；

（2）利用對數(shù)的定義寫成事的形式；

（3）先利用乘方的意義得到26=64,然后根據(jù)對數(shù)的定義求解.

【規(guī)范解答】⑴解:①62=36；

對數(shù)式記作：log黑=2：

②43=64；

對數(shù)式記作：1。區(qū)64=3；

（2）①log$25=2；

指數(shù)式為52=25,

②啕27=3；

指數(shù)式為33=27；

(3)???26=64,

log264=6.

【考點剖析】本題考查了有理數(shù)乘方：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.也考查了閱讀理解能力.

易錯考點12：乘方運算的符號規(guī)津

23.(2024七年級上?安徽?專題練習)如圖，A,B,C三個點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a,b,c,且

|a+16|+|b+6|+(c-8)2=0.動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向終點C運動.

ABC

IIII>

ab0c

⑴求a,b,c的值；

⑵點P運動到點C前，若點P到點A距離是到點C距離的3倍，求點P運動的時間；

(3)若點P運動的同時，點Q從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向點C運動，點Q到達點C后，再立即以

同樣的速度返回，運動到終點A,在點P開始運動后，P,Q兩點之間的距離能否為2個單位長度？如果能,

請求出此時點P表示的數(shù)；如果不能，請說明理由.

【答案】(l)a=-16,b=-6,c=8

(2)當點P的運動時間為:8(秒)時，點P到點A距離是到點C距離的3倍

⑶點P表示的數(shù)為一2或0或3或4

【思路引導】(1)利用絕對值的非負性及乘方運算的符號規(guī)律即可求解：

(2)利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式及數(shù)量關系列出算式即可求得點P表示的數(shù)為2,進而可求得BP=8,

再根據(jù)速度、時間及路程之間的美系即可求解；

(3)分類討論：①點P在點Q右側(cè)，兩點同向而行，②當點P在點Q左側(cè)，兩點同向而行，③當點P在點Q左

側(cè)，兩點背向而行，④當點P在點Q右側(cè)，兩點背向而行，進而可求解.

【規(guī)范解答】⑴解:v|a+16|+|b+6|+(c-8)2=0,

a+16=0,b+6=0,c—8=0,

a=-16,b=—6,c=8.

(2)由(1)可知，AC=8-(-16)=24,

因為點P在AC之間，且點P到點A的距離是到點C距離的3倍，

所以CP=24x[=6,

因為點C表示的數(shù)為8,點P在點C的左邊，

所以點P表示的數(shù)為：8-6=2,

所以BP=2-(-6)=8,

因為點P以每秒1個單位長度的速度運動，

所以當點P的運動時間為：8+1=8(秒州、J,點P到點A距離是到點C距離的3倍.

(3)能,理由如下:

點P從點B運動到點C需要隼包=14秒，而點Q從點A運動到點C需要吃誓=8秒，點Q到達點C時，此時點

JLO

P表示的數(shù)為2,

所以當點P從點B運動到點C的過程中，點Q從點A運動到點C,又從點C返回，因此可分為四種情況討論：

點Q到達點C之前：

①點P在點Q右側(cè)，兩點同向而行，

運動時間為詈=4秒，所以此時點P表示的數(shù)為一6+4x1=—2；

②當點P在點Q左側(cè)，兩點同向而行，

運動時間為警=6秒，所以此時點P表示的數(shù)為-6+6xl=0：

點Q從點C返回后：

③當點P在點Q左側(cè)，兩點背向而行，

運動時間為8+等=9秒，所以此時點P表示的數(shù)為一6+9X1=3；

④當點P在點Q右側(cè)，兩點背向而行，

運動時間為8+3祟=10秒，所以此時點P表示的數(shù)為-6+10x1=4.

綜上所述，點P表示的數(shù)為一2或()或3或4.

【考點剖析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上動點問題、絕對值的非負性、乘方運算的符號規(guī)

律，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式及分類討論思想解決問題是解題的關鍵.

24.(2024七年級上-全國?專題練習)閱讀材料，解決問題：431=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36

=729,37=2187,38=6561,…不難發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)幕的個位數(shù)字以3,9,7,1為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，由

此可以得到：因為31°°=3僅25,所以31。。的個位數(shù)字與34的個位數(shù)字相同，應為1；因為3%5=34x91+1,

所以3365的個位數(shù)字與3】的個位數(shù)字相同，應為3.

(1)請你仿照材料，分析求出，戶9的個位數(shù)字及899的個位數(shù)字；

(2)請?zhí)剿鞒?301+7301+8301的個位數(shù)字.

【答案】(1)3,2

(2)7

【思路引導】此題主要是考查乘方的尾數(shù)特征，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進行計算.

(1)此題不難發(fā)現(xiàn)：7n的個位數(shù)字是7,9,3,1四個一循環(huán)，所以99+4=24...3,則799的個位數(shù)字是

3；8n的個位數(shù)字是8,4,2,6四個一循環(huán)，所以99+4=24...3,則8。9的個位數(shù)字是2；

(2)分別找出23。1,73。1,83。1的個位數(shù)字,然后個位數(shù)字相加所得個位數(shù)字就是23。1+73。1+83。1的個

位數(shù)字.

【規(guī)范解答】⑴解:V71=7,72=49,73=343,74=2401,7s=16807,

???7的正整數(shù)基的個位數(shù)字以7,9,3,1為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，

??y99_74x24+3,

???799的個體數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，應為3：

V81=8,82=64,83=512,84=4096,85=32768,…，

???8的正整數(shù)塞的個位數(shù)字以8,4,2,6為一個周期循環(huán)出現(xiàn).因為899=84x24+3,

???899的個位數(shù)字與83的個位數(shù)字相同，應為2；

(2)解：V21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,-,

???2的正整數(shù)基的個位數(shù)字以2,4,8,6為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，

???2301=24x75+1的個位數(shù)字與21相同,是2,

根據(jù)(1)可知，7301=74x75+1的個位數(shù)字是7,8301=84x75+1的個位數(shù)字是8,2+7+8=17,

/.2301+7301+83。1的個位數(shù)字是7.

易錯考點13：乘方的應用

25.(24-25七年級上?河北石家莊?期中)利用如圖所示的圖形，可求3+/+￡的值是

/

29r31

*32

32

【答案】C

【思路引導】該題主要考查了有理數(shù)乘方的應用，解題的關鍵是讀懂圖象.

根據(jù)圖象得出亞￡+5+3+E即為①+②+③+④+⑤的面積，再計算①+②+③+④+⑤的面

積即可.

【規(guī)范解答】解：假設正方形的面枳為1,

根據(jù)圖象可彳%+卷+攝+盤■+套即為①+②+③+④+⑤的面積，

???①+②+③+④+⑤的面積=1一金=1一1=3

故;+《+￡+《+《的面積為蘇

故選：C.

26.(24-25七年級上?遼寧撫順?期中)生活中常用的十進制是用0、9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，

例：312=3X102+1X101+2；

計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數(shù)來表示數(shù)，滿二進一，

例：二進制數(shù)10101轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)：1x24+0x23+1x22+0x21+1=21；

例如(10101)2就是二進制數(shù)10101的簡單寫法.卜進制數(shù)一般不標注基數(shù).

其他進制也有類似的表示方法和算法….

(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將數(shù)(101010)2轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)是多少；

⑵【遷移】按照上面的格式將十進制數(shù)“89”轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)和八進制數(shù)；

(3)【應用】二進制的運算和十進制的運算規(guī)則相同，不同的是十進制的數(shù)位有0~9十個數(shù)碼，滿十進一,

而二進制的數(shù)位有。和1兩個數(shù)碼，滿二進一，借一當二.

即二進制的加法和減法運算規(guī)則如下：

加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=(10)2.(滿2進1)

減法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,(10)2—1=1(同一?數(shù)位不夠減時，向高一位借1當2)

根據(jù)以上信息，結果保留二進制：

計算①(10110)2+(Hll)2=_________.

②(110101)2-(11110)2=_________.

【答案】(1)42

(2)(1011001)2,(131)8

(3)①：(100101)2,②：(10111)2

【思路引導】本題考查了有理數(shù)乘方的應用，正確理解題中二正制轉(zhuǎn)換十進制的計算方法是解題的關鍵

(1)根據(jù)題目信息直接進行計算即可：

(2)根據(jù)十進制轉(zhuǎn)二進制和轉(zhuǎn)八進制的方法列式計算即可；

(3)根據(jù)滿二進一和借一為二的法則，進行二進制數(shù)的加減運算即可.

【規(guī)范解答】(1)解：(101010)2轉(zhuǎn)化為十進制數(shù):

1X25+0X24+1X23+0x22+1x21+0=42,

(2)89=64+16+84-1=1x26+0x254-1x24+1x23+0x22+0x21+1即

89轉(zhuǎn)化為二進制是：(1011001)2，

89=64+24+1=1x82+3x81+1,

即89轉(zhuǎn)化為八進制是：(131)8

(3)從右往左逐位相加：

最右動：0+1=1,

接著：1+1=(10)2,(滿2進1,寫下()，進位1),

再接著：1+1=(10)2,(加上之前的進位1,得11,滿2進1,寫下1,進位1),

然后：1+0=1,(加上之前的進位1,得2,寫下0,進位1),

最左邊：1+。=1,(加上之前的進位1,得2,寫下0,進位1),

所以(10110)2+(1111)2=(100101)2；

②計算(110101)2—(11110)2：

從右向左算，

1-0=1,

0-1,(不夠減，向高位借1當2),

(10)2-1=1，(借位后計算的結果)，

0-1,(不夠減，向高位借1,前一位是()，向前兩位借I),

(100)2-1-11,(寫1進1)

1-1=0

0-1,(不夠減，向高位借1當2)

(10)2-1=1

所以,(110101)2-(11110)2=(10111)2.

易錯考點14：程序流程圖與有理數(shù)計算

27.(24-25七年級上?安徽安慶?期中)小力在電腦上設計一個有理數(shù)運算程序：輸入a,按*鍵，再輸入

b,得到運算a*b=a2—b2—[2(a3-1)-1](a—b).

⑴求(—3)*2的值;

(2)小華在運算此程序計算時，屏幕顯示“該程序無法操作”你清小華在輸入數(shù)據(jù)時，可能是出現(xiàn)了什么情

況？為什么？

【答案】(1)一黑

(2)見詳解

【思路引導】本題是信息題，把-3當作82當作4代入運算程序中進行計算.同時考查了有理數(shù)的混

合運算，利用了分母和除數(shù)不能為0求第二小題.

(1)把一3當作&2當作從代入運算程序中計算即可：

(2)由于程序中有分數(shù)，分母不能為0；程序中有除法，除數(shù)不能為0,圍繞這兩方面找原因.

【規(guī)范解答】⑴解：(—3)*2

=(_3)2_22-{2x[(-3)3-1]--(-3-2)

=9一4一2x(一27-1)一；]+[一5)

=5-(2X(-28)-1]-(-5)

=5,(-56-1)x

L113

=>---------

10'

63

=---

10

(2)解：由于分母不為0,且程序中有;和除以(a—b),故b=0或a=b時，程序無法操作.